2024年濟(jì)南高新區(qū)九年級中考數(shù)學(xué)一模考試試題（含答案）

年高新區(qū)學(xué)考第一次模擬測試九年級數(shù)學(xué)試題2024.04本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分、第1卷共2頁，滿分為40分；第II卷共4頁，滿分為110分，本試題共6頁，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘，答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的考點(diǎn)、姓名、準(zhǔn)考證號、座號填寫在答題卡上和試卷規(guī)定的位置上、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，本考試不允許使用計(jì)算器。第I卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：第1卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答案寫在試卷上無效．一.選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是()2."燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺．"這是詩仙李白眼里的雪花，單個(gè)雪花的重量其實(shí)很輕，只有0.00003kg左右，0.00003用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A.3×10﹣5B.3x10-4C.0.3x10-4D.0.3x10-53.如圖，平行于主光軸MN的光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線BE、DF的反向延長線交于主光軸MN上一點(diǎn)P．若∠ABE=160°，∠CDF=150°，則∠EPF的度數(shù)是（）A.20°B.30°C.50°D.70°4.下列式子計(jì)算正確的是（）A.m+m=m2B.(-3m)2=6m2C.(m+2n)2=m2+4n2D.(m+3n)(m-3n)=m2-9n25.如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)180后得到的圖案()6.解分式方程1－12－x=A.1-(2-x)=-2xB.(2－x)+1=2xC.（x－2）－1=2xD.（x－2）+1=2x7.若0<m<n，則直線y=-5x+m直線y=-x+n的交點(diǎn)（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限（x－2）D.第四象限8.某口袋中有10個(gè)球,其中自球x個(gè)個(gè),緑球2r個(gè),其余為黑球,甲從袋中任任意摸出一個(gè)球,若為綠球獲勝,甲摸出的球放回袋中,乙從袋中摸出一個(gè)球,著為黑球則乙獲勝勝,要使游戲?qū)住⒁译p方公平,則x應(yīng)該是()A.3B.4C.1D.29.如圖.在平行四邊形ABCD中，CD=4，∠B=60°，BE:EC=2:1,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕痕跡,則平行四邊形ABCD的面積為()A.12B.122C.123D.12510.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表:且當(dāng)x=-12時(shí),與其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,有下列結(jié)論:①abc<0;②m=n;③-2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的兩個(gè)根;④a<83，A.1B.2C.3D.4第II卷（非選擇題共110分）注意事項(xiàng)：1.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效．2.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．二.填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）11.計(jì)算（x+3)(x-2)=。12.為了估計(jì)魚塘中魚的數(shù)量，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標(biāo)記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有作記號的頻率穩(wěn)定在5％左右，則魚塘中估計(jì)有魚條．13.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一個(gè)根為2，則另一根為.14.如圖，將長為6，寬為4的長方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長方形A'B'CD',則陰影部分的面積為.(第14題圖)(第15題圖)（第16題圖）15.甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘成渝高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，申組革獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長度之和y(m)與甲組挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則甲組挖掘的總長度比乙組挖掘的總長度多m.16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E為AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在A1處，連接A1C，若F、G分別為A1C、BC的中點(diǎn)，則FG的最小值為。三．解答題：（本大題共10個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（本題滿分6分）計(jì)算：(-2024)0+4-4sin30°+|-5|.18.（本題滿分6分）求不等式組x－19.（本題滿分6分）如圖，點(diǎn)E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD和BC上，且AE=CF.求證：∠BAF=∠DCE.20.（本題滿分8分）桔棉俗稱"吊桿""稱桿"（如圖1)，是我國古代農(nóng)用工具，始見于《墨子·備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械，如圖2所示的是桔棉示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，且AB=6米，OA:OB=2:1．當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，∠AOM=127°.(1)求點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離；(2)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)A1時(shí)，求此時(shí)水桶B上升的高度．（考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6,sin17.5°≈0.3,tan37°≈0.8）21.（本題滿分8分）某校初三年級一共有1200名學(xué)生，某一次體育測試后，彭老師為了了解本校初三學(xué)生體考成績的大致情況，隨機(jī)抽取了男、女各40名考生的體考成績，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，給出了下面部分信息：數(shù)據(jù)分為A，B，C，D四個(gè)等級分別是：A:49≤x≤50,B:45≤x≤49,C:40≤x≤45,D:0≤x≤40.40名男生成績的條形統(tǒng)計(jì)圖以及40名女生成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖．40名男生和40名女生成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如下：男生成績在B組的考生的分?jǐn)?shù)為45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5;根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空a=，女生成績?yōu)锽等對應(yīng)的扇形的圓心角為,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次測試中，男生成績好還是女生成績好？請說明理由；(3)請估計(jì)該年級所有參加體考的學(xué)生中，成績?yōu)锳等級的考生人數(shù)．22.（本題滿分8分）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB.(1)若∠ABC=2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若AB=4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）.23.（本題滿分10分）學(xué)校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關(guān)信息如下表：(1)在上表中用含x的代數(shù)式分別表示購買甲、乙兩種足球的數(shù)量；(2)若本次購買甲種足球的數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷售單價(jià)；(3)為滿足學(xué)生需求，這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個(gè)．恰逢該商場對兩種足球的銷售單價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球的銷售單價(jià)比上次購買時(shí)提高了10%，乙種足球的銷售單價(jià)比上次購買時(shí)降低了10%．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過2950元，求這所學(xué)校最多可以購買乙種足球的數(shù)量．24.（本題滿分10分）【綜合與實(shí)踐】:"怎樣把一塊三角形的木板加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？"某小組同學(xué)對此展開了思考．【特例感知】:(1)若木板的形狀是如圖（甲）所示的直角三角形，S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，根據(jù)"相似三角形對應(yīng)的高的比等于相似比"求得此時(shí)正方形DEFG的邊長．【問題解決】:若木板是面積仍然為1.5m2的銳角三角形ABC，按照如圖（乙）所示的方式加工，記所得的正方形DEFG的面積為S，如何求S的最大值呢？某學(xué)習(xí)小組做了如下思考：設(shè)DE=x，AC=a，AC邊上的高BH=h，則S△ABC=12ah,∴h=由△BDE∽△BAC得：BMBH=DEAC，從而可以求得x=若內(nèi)接正方形面積S最大，即求x的最大值．因?yàn)镾=1.5為定值，因此只需要分母最小即可．(2)小組同學(xué)借鑒研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，令y=a+h=a+2Sa=a+3a(a>0)．探索函數(shù)y=a+①下表列出了y與a的幾組對應(yīng)值，其中m=.②在如圖（丙）所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的大致圖象；③結(jié)合表格觀察函數(shù)y=a+3a圖象，以下說法正確的是A.當(dāng)a>1時(shí)，y隨a的增大而增大．B.該函數(shù)的圖象可能與坐標(biāo)軸相交．C.該函數(shù)圖象關(guān)于直線y=a對稱．D.當(dāng)該函數(shù)取最小值時(shí)，所對應(yīng)的自變量a的取值范圍在1~2之間．25.（本題滿分12分）問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，直接寫出CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系：拓展探究：(2)將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接DG、CF，試猜想CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。類比遷移：(3)如圖3，已知菱形ABCD和菱形AEFG，∠DAB=60°，將菱形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a≤90°)，連接DG、CF，請?jiān)趥溆脠D中畫出草圖，判定CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系是否隨著a的變化而變化，并說明理由．26.（本題滿分12分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，﹣3)，P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，判斷點(diǎn)A'是否落在拋物線上，并說明理由；(3)求PM+2BH的最大值；(4)如果△PMC是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的值．答案一.選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是(D)2."燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺．"這是詩仙李白眼里的雪花，單個(gè)雪花的重量其實(shí)很輕，只有0.00003kg左右，0.00003用科學(xué)記數(shù)法可表示為(A)A.3×10﹣5B.3x10-4C.0.3x10-4D.0.3x10-53.如圖，平行于主光軸MN的光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線BE、DF的反向延長線交于主光軸MN上一點(diǎn)P．若∠ABE=160°，∠CDF=150°，則∠EPF的度數(shù)是（C）A.20°B.30°C.50°D.70°4.下列式子計(jì)算正確的是（D）A.m+m=m2B.(-3m)2=6m2C.(m+2n)2=m2+4n2D.(m+3n)(m-3n)=m2-9n25.如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)180后得到的圖案(D)6.解分式方程1－12－x=A.1-(2-x)=-2xB.(2－x)+1=2xC.（x－2）－1=2xD.（x－2）+1=2x7.若0<m<n，則直線y=-5x+m直線y=-x+n的交點(diǎn)（B）A.第一象限B.第二象限C.第三象限（x－2）D.第四象限8.某口袋中有10個(gè)球,其中自球x個(gè)個(gè),緑球2r個(gè),其余為黑球,甲從袋中任任意摸出一個(gè)球,若為綠球獲勝,甲摸出的球放回袋中,乙從袋中摸出一個(gè)球,著為黑球則乙獲勝勝,要使游戲?qū)?、乙雙方公平,則x應(yīng)該是(D)A.3B.4C.1D.29.如圖.在平行四邊形ABCD中，CD=4，∠B=60°，BE:EC=2:1,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕痕跡,則平行四邊形ABCD的面積為()A.12B.122C.123D.12510.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表:且當(dāng)x=-12時(shí),與其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,有下列結(jié)論:①abc<0;②m=n;③-2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的兩個(gè)根;④a<83，A.1B.2C.3D.4第II卷（非選擇題共110分）注意事項(xiàng)：1.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效．2.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．二.填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）11.計(jì)算（x+3)(x-2)=x2+x－6。12.為了估計(jì)魚塘中魚的數(shù)量，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標(biāo)記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有作記號的頻率穩(wěn)定在5％左右，則魚塘中估計(jì)有魚1000條．13.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一個(gè)根為2，則另一根為3.14.如圖，將長為6，寬為4的長方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長方形A'B'CD',則陰影部分的面積為12.(第14題圖)(第15題圖)（第16題圖）15.甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘成渝高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，申組革獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長度之和y(m)與甲組挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則甲組挖掘的總長度比乙組挖掘的總長度多60m.16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E為AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在A1處，連接A1C，若F、G分別為A1C、BC的中點(diǎn)，則FG的最小值為1。三．解答題：（本大題共10個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（本題滿分6分）計(jì)算：(-2024)0+4-4sin30°+|-5|.=1+2－2+5=618.（本題滿分6分）求不等式組x－解：解不等式①得：x≥-1解不等式②得：x<2不等式組的解集為：-1≤x<2不等式組的正整數(shù)解是119.（本題滿分6分）如圖，點(diǎn)E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD和BC上，且AE=CF.求證：∠BAF=∠DCE.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC∵AE=CF∴DE=BF∴△ABF≌△CDE(SAS)∴∠BAF=∠DCE20.（本題滿分8分）桔棉俗稱"吊桿""稱桿"（如圖1)，是我國古代農(nóng)用工具，始見于《墨子·備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械，如圖2所示的是桔棉示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，且AB=6米，OA:OB=2:1．當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，∠AOM=127°.(1)求點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離；(2)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)A1時(shí)，求此時(shí)水桶B上升的高度．（考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6,sin17.5°≈0.3,tan37°≈0.8）解：(1)過O作EF⊥OM于O，過A作AG⊥EF于G∵AB=6米，OA:OB=2:1∴OA=4米，OB=2米∵∠AOM=127°,∠EOM=90°∴∠AOE=127°-90°=37在Rt△AOG中，AG=AO×sin37°≈4x0.6=2.4（米）點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離為2.4+3=5.4（米）答：點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離為5.4米；(2)過O作EF⊥OM，過B作BC⊥EF于C，過B1作B1D⊥EF于D∵∠AOE=37°∴∠BOC=∠AOE=37°，∠B1OD=∠A1OE=17.5°∵OB1=OB=2（米）在Rt△OBC中，BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB=0.6x2=1.2（米）在Rt△OB1D中，B1D=sin17.5×OB1≈0.3x2=0.6（米）∴BC+B1D=1.2+0.6=1.8（米）此時(shí)水桶B上升的高度為1.8米．21.（本題滿分8分）某校初三年級一共有1200名學(xué)生，某一次體育測試后，彭老師為了了解本校初三學(xué)生體考成績的大致情況，隨機(jī)抽取了男、女各40名考生的體考成績，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，給出了下面部分信息：數(shù)據(jù)分為A，B，C，D四個(gè)等級分別是：A:49≤x≤50,B:45≤x≤49,C:40≤x≤45,D:0≤x≤40.40名男生成績的條形統(tǒng)計(jì)圖以及40名女生成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖．40名男生和40名女生成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如下：男生成績在B組的考生的分?jǐn)?shù)為45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5;根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空a=，女生成績?yōu)锽等對應(yīng)的扇形的圓心角為,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次測試中，男生成績好還是女生成績好？請說明理由；(3)請估計(jì)該年級所有參加體考的學(xué)生中，成績?yōu)锳等級的考生人數(shù)．解：(1)46.25162°(2)女生的成績較好，理由：女生的平均數(shù)、眾數(shù)都比男生好(3)1200×1640答：估計(jì)該年級所有參加體考的學(xué)生中，成績?yōu)锳等級的考生人數(shù)為480人．22.（本題滿分8分）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB.(1)若∠ABC=2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若AB=4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）.解：(1)∵AB是半圓O的直徑∴∠ACB=90°∵CP是半圓O的切線∴OC⊥PC∴∠OCP=90°∴∠ACB=∠OCP∴∠ACO=∠BCP∵∠ABC=2∠BCP∴∠ABC=2∠ACO∵OA=OC∴∠ACO=∠A∴∠ABC=2∠A∵∠ABC+∠A=90°∴∠A=30°，∠ABC=60°∴∠ACO=∠BCP=30°∴∠P=∠ABC﹣∠BCP=60°-30°=30°(2)由（1）知∠A=30°∵∠ACB=90°∴BC=12AB=2，AC=3BC=2∴S△ABC=12BC·AC=2∴S半圓＝2π陰影部分的面積是（2π﹣23)23.（本題滿分10分）學(xué)校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關(guān)信息如下表：(1)在上表中用含x的代數(shù)式分別表示購買甲、乙兩種足球的數(shù)量；(2)若本次購買甲種足球的數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷售單價(jià)；(3)為滿足學(xué)生需求，這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個(gè)．恰逢該商場對兩種足球的銷售單價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球的銷售單價(jià)比上次購買時(shí)提高了10%，乙種足球的銷售單價(jià)比上次購買時(shí)降低了10%．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過2950元，求這所學(xué)校最多可以購買乙種足球的數(shù)量．解：(1)2000x；(2)根據(jù)題意得：2000x=1400解得：x=50經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是所列方程的解，且符合題意x+20=50+2=70答：甲種足球在此商場的銷售單價(jià)為50元／個(gè)，乙種足球在此商場的銷售單價(jià)為70元／個(gè)：(3)設(shè)這所學(xué)?？梢再徺Im個(gè)乙種足球，則購買（50-m）個(gè)甲種足球根據(jù)題意得：50x(1+10%)(50-m)+70x(1-10%)m≤2950解得：m≤25∴m的最大值為25答：這所學(xué)校最多可以購買25個(gè)乙種足球24.（本題滿分10分）【綜合與實(shí)踐】:"怎樣把一塊三角形的木板加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？"某小組同學(xué)對此展開了思考．【特例感知】:(1)若木板的形狀是如圖（甲）所示的直角三角形，S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，根據(jù)"相似三角形對應(yīng)的高的比等于相似比"求得此時(shí)正方形DEFG的邊長．【問題解決】:若木板是面積仍然為1.5m2的銳角三角形ABC，按照如圖（乙）所示的方式加工，記所得的正方形DEFG的面積為S，如何求S的最大值呢？某學(xué)習(xí)小組做了如下思考：設(shè)DE=x，AC=a，AC邊上的高BH=h，則S△ABC=12ah,∴h=由△BDE∽△BAC得：BMBH=DEAC，從而可以求得x=若內(nèi)接正方形面積S最大，即求x的最大值．因?yàn)镾=1.5為定值，因此只需要分母最小即可．(2)小組同學(xué)借鑒研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，令y=a+h=a+2Sa=a+3a(a>0)．探索函數(shù)y=a+①下表列出了y與a的幾組對應(yīng)值，其中m=.②在如圖（丙）所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的大致圖象；③結(jié)合表格觀察函數(shù)y=a+3a圖象，以下說法正確的是A.當(dāng)a>1時(shí)，y隨a的增大而增大．B.該函數(shù)的圖象可能與坐標(biāo)軸相交．C.該函數(shù)圖象關(guān)于直線y=a對稱．D.當(dāng)該函數(shù)取最小值時(shí)，所對應(yīng)的自變量a的取值范圍在1~2之間．解：(1)過點(diǎn)B作BN⊥AC于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)M，如圖，設(shè)DE=x，則DG=MN=x∵S△ABC=1.5m2，AB=1.5m∴12×1.5×∴BC=2m∴AC=2.5∴12×AC×∴BN=1.2m∴BM=BN﹣MN=(1.2-x)m∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴DEAC=即x2.∴x=30(2)①61②在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的大致圖象：②D25.（本題滿分12分）問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，直接寫出CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系：拓展探究：(2)將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接DG、CF，試猜想CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。類比遷移：(3)如圖3，已知菱形ABCD和菱形AEFG，∠DAB=60°，將菱形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a≤90°)，連接DG、CF，請?jiān)趥溆脠D中畫出草圖，判定CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系是否隨著a的變化而變化，并說明理由．解：(1)CF=2DG