專題11四點共圓模型-【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題11四點共圓模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】已知：正方形中，是的中點，是上一點，且，、交于點，連接，平分交于，連接．(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形．【例2】定理：圖1，如果，那么四邊形有外接圓，也叫做，，，四點共圓．(注本定理不需要證明)(1)圖2，中，，點，分別在線段，上運動(不與端點重合)，而且，是的外心(外接圓的圓心，它到三角形三個頂點距離相等)，試證明，，，四點共圓．(注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法)如果將問題2中的點“分離”成兩個點，那么就有：(2)圖3，在凸四邊形中，，點，分別在線段，上運動(不與端點重合)，而且，直線，相交于點，直線，相交于點，直線，相交于點．當(dāng)點，分別在線段，上運動(不與端點重合)時，探究的外接圓是否經(jīng)過除點外的另一個定點？如果是，請給出證明，并指出是哪個定點；如果不是，請說明理由．【例3】探究問題：(1)閱讀理解：①如圖(A)，在已知所在平面上存在一點，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離；②如圖(B)，若四邊形的四個頂點在同一圓上，則有．此為托勒密定理；(2)知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖(C)，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據(jù)(2)①的結(jié)論，我們有如下探尋(其中、、均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖(D)，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接、、、．易知；第三步：請你根據(jù)(1)①中定義，在圖(D)中找出的費馬點，并請指出線段的長度即為的費馬距離．(3)知識應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．已知三村莊、、構(gòu)成了如圖(E)所示的(其中、、均小于，現(xiàn)選取一點打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．【例4】如圖1，直線與兩坐標(biāo)軸交于、，以點為圓心，為半徑作小，又以點為圓心、為半徑作大交坐標(biāo)軸于、．(1)求證：直線是小的切線．(2)連接，若小以2單位秒的速度沿軸向右平移，大以1單位秒的速度沿射線方向平移，問：經(jīng)過多少秒后，兩圓相切？(3)如圖2，作直線軸交大于，過點作直線，連接、，使，請你探究線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．

培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上的兩個動點，且，AE和BF相交于點P．(1)探究AE、BF的關(guān)系，并說明理由；(2)求證：A、D、F、P在同一個圓上；(3)如圖2，若正方形ABCD的邊AB在y軸上，點A、B的坐標(biāo)分別為、，點E、F分別是BC、CD上的兩個點，且，AE和BF相交于點P，點M的坐標(biāo)為，當(dāng)點P落在以M為圓心1為半徑的圓上．求a的取值范圍．2．在中，，，．將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，直線，交于點P．(1)如圖1，當(dāng)時，連接．①求的面積；②求的值；(2)如圖2，連接，若F為中點，求證；C，E，F(xiàn)三點共線．3．如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．設(shè)AB＝1．(1)求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；(2)分別求△ABC和△ABD的面積；(3)過點D作DF∥BC交AB于點F，求OE︰OF的比值．4．如圖①，是外一點，與相切于點，的延長線交于點，過點作，交于點，連接，并延長交于點，連接．已知，的半徑為3．(1)求證：是的切線；(2)求的長；(3)如圖②，若點是上一點，且，過作，交弧于點，連接，交于點，連接，則的長度是______．5．如圖，在中，，過點B作于點E，過B，D，E三點的圓分別交邊，，于點F，M，N，連結(jié)，，連結(jié)交于點P．(1)求證：．(2)當(dāng)是等腰三角形時，求的長．(3)連結(jié)，，當(dāng)平分時，求與面積的比值．6．如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點，直線與直線于點．(1)若點在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；(2)連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．7．如圖，邊長為的正方形中，是對角線上的一個動點(點與、不重合)，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與交于點，其延長線與(或延長線)交于點．(1)連接，證明：；(2)設(shè)，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)試問當(dāng)點運動到何處時，的值最小，并求出此時的長．(畫出圖形，直接寫出答案即可)8．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點，連接AD．(1)如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；(2)如圖2，P為AD上一點，且∠BPD＝45°，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．9．在邊長為12cm的正方形ABCD中，點E從點D出發(fā)，沿邊DC以1cm/s的速度向點C運動，同時，點F從點C出發(fā)，沿邊CB以1cm/s的速度向點B運動，當(dāng)點E達到點C時，兩點同時停止運動，連接AE、DF交于點P，設(shè)點E．

F運動時間為t秒．回答下列問題：(1)如圖1，當(dāng)t為多少時，EF的長等于cm?(2)如圖2，在點E、F運動過程中，①求證：點A、B、F、P在同一個圓(⊙O)上；②是否存在這樣的t值，使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；③請直接寫出問題①中，圓心O的運動的路徑長為_________．10．問題背景：如圖1，等腰中，，作于點D，則D為的中點，，于是；遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點在同一條直線上，連接．①求證：；②請直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交于點F，連接，．①證明是等邊三角形；②若，求的長．11．已知：內(nèi)接于，過點作的切線，交的延長線于點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點作于點，連接，交于點，，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，點為上一點，過點的切線交的延長線于點，連接，交的延長線于點，連接，，點為上一點，連接，若，，，，求的長．12．如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．(1)求BC的長．(2)如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．13．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．已知四邊形是圓美四邊形．(1)求美角的度數(shù)；(2)如圖1，若的半徑為5，求的長；(3)如圖2，若平分，求證：．14．如圖，在?ABCD中，，，，點E為CD上一動點，經(jīng)過A、C、E三點的交BC于點F．(操作與發(fā)現(xiàn))當(dāng)E運動到處，利用直尺與規(guī)作出點E與點F；保留作圖痕跡在的條件下，證明：．(探索與證明)點E運動到任何一個位置時，求證：；(延伸與應(yīng)用)點E在運動的過程中求EF的最小值．15．問題探究：(一)新知學(xué)習(xí)：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓(即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上)．(二)問題解決：已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑．P是上任意一點，過點P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．(1)若直徑AB⊥CD，對于上任意一點P(不與B、C重合)(如圖一)，證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；(2)若直徑AB⊥CD，在點P(不與B、C重合)從B運動到C的過程匯總，證明MN的長為定值，并求其定值；(3)若直徑AB與CD相交成120°角．①當(dāng)點P運動到的中點P1時(如圖二)，求MN的長；②當(dāng)點P(不與B、C重合)從B運動到C的過程中(如圖三)，證明MN的長為定值．(4)試問當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值．16．?dāng)?shù)學(xué)概念若點在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.理解概念(1)若點是的等角點，且，則的度數(shù)是.(2)已知點在的外部，且與點在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時，求證：是的等角點.(要求：只選擇其中一道題進行證明！)①如圖①，②如圖②，深入思考(3)如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點.(不寫作法，保留作圖痕跡)(4)下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；③正三角形的中心是它的強等角點；④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有.(填序號)17．如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.(1)求證：AHAB=AC2；(2)若過A的直線與弦CD(不含端點)相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AEAF=AC2；(3)若過A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).18．如圖，在等腰中，，，垂足為，點為邊上一點，連接并延長至，使，以為底邊作等腰．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，連接，，點為的中點，連接，過作，垂足為，連接交于點，求證：；(3)如圖3，點為平面內(nèi)不與點重合的任意一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線交于點，為直線上一動點，連接并在的右側(cè)作且，連接，為邊上一點，，，當(dāng)取到最小值時，直線與直線交于點，請直接寫出的面積．19．直線與x軸交于A，與y軸交于C點，直線BC的解析式為，與x軸交于B．(1)如圖1，求點A的橫坐標(biāo)；(2)如圖2，D為BC延長線上一點，過D作x軸垂線于點E，連接CE，若，設(shè)的面積為S，求S與k的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接OD交AC于點F，將沿CF翻折得到，直線FG交CE于點K，若，求點K的坐標(biāo)．20．在平行四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，點E為線段BC上的一點，連接DE，以線段DE為直角邊構(gòu)造等腰RtDEF，EF交線段AB于點G，連接AF、DG．(1)如圖1，若AB＝12，BE＝5，則DE的長為多少？(2)如圖2，若點H，K分別為線段BG，DE的中點，連接HK，求證：AG＝2HK；(3)如圖3，在(2)的條件下，若BE＝2，BG＝2，以點G為圓心，AG為半徑作⊙G，點M為⊙G上一點，連接MK，取MK的中點P，連接AP，請直接寫出線段AP的取值范圍．【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題11四點共圓模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】已知：正方形中，是的中點，是上一點，且，、交于點，連接，平分交于，連接．(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形．【分析】(1)根據(jù)全等三角形判定方法得出，進而根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得出即可得出答案；(2)利用已知得出、、、四點共圓，得出，進而得到是的中垂線，再利用，得出即可得出答案．【解答】證明：(1)在正方形中，，，，即在和中，，，，，，(四邊形內(nèi)角和定理)，，，即；(2)連接，由(1)得，，，、、、四點共圓(如圖所示)，，，在和中，，，，，，，又平分交于，是的中垂線，，，，，，，，，，，，，又，是等腰直角三角形．【例2】．定理：圖1，如果，那么四邊形有外接圓，也叫做，，，四點共圓．(注本定理不需要證明)(1)圖2，中，，點，分別在線段，上運動(不與端點重合)，而且，是的外心(外接圓的圓心，它到三角形三個頂點距離相等)，試證明，，，四點共圓．(注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法)如果將問題2中的點“分離”成兩個點，那么就有：(2)圖3，在凸四邊形中，，點，分別在線段，上運動(不與端點重合)，而且，直線，相交于點，直線，相交于點，直線，相交于點．當(dāng)點，分別在線段，上運動(不與端點重合)時，探究的外接圓是否經(jīng)過除點外的另一個定點？如果是，請給出證明，并指出是哪個定點；如果不是，請說明理由．【分析】(1)根據(jù)外心的性質(zhì)可知，則，又，由等腰三角形的對稱性，得，再根據(jù)已知條件證明，可得，，比較等腰與等腰的頂角，可得底角，可證，，，四點共圓；(2)本題要找出第四個點，使、、、四點共圓，作線段，垂直平分線的交點，由垂直平分線的性質(zhì)得，，，可證，，進一步證明，可得且，從而有，得到，利用相似得角的等量關(guān)系，證明四點共圓．【解答】證明：(1)，，又，，，在與中，，，，又，，又，，，，，四點共圓；(2)由于是將問題2中的點“分離”成兩個點，根據(jù)圖形變換的過程，猜測的外接圓一定經(jīng)過線段，垂直平分線的交點．下面給予證明：顯然，，，且，，，，，，，四點共圓，，，，四點也共圓，，，，，四點共圓，即當(dāng)點和變動時，的外接圓經(jīng)過除點外的另一個定點．【例3】．探究問題：(1)閱讀理解：①如圖(A)，在已知所在平面上存在一點，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離；②如圖(B)，若四邊形的四個頂點在同一圓上，則有．此為托勒密定理；(2)知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖(C)，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據(jù)(2)①的結(jié)論，我們有如下探尋(其中、、均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖(D)，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接、、、．易知；第三步：請你根據(jù)(1)①中定義，在圖(D)中找出的費馬點，并請指出線段的長度即為的費馬距離．(3)知識應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．已知三村莊、、構(gòu)成了如圖(E)所示的(其中、、均小于，現(xiàn)選取一點打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．【分析】(2)知識遷移①問，只需按照題意套用托勒密定理，再利用等邊三角形三邊相等，將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長，即可獲證．②問，借用①問結(jié)論，及線段的性質(zhì)“兩點之間線段最短”數(shù)學(xué)容易獲解．(3)知識應(yīng)用，在(2)的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再求解．【解答】(2)①證明：由托勒密定理可知是等邊三角形，，②、，(3)解：如圖，以為邊長在的外部作等邊，連接，則知線段的長即為最短距離．為等邊三角形，，，，，，在中，，，，從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長度的最小值為．【例4】．如圖1，直線與兩坐標(biāo)軸交于、，以點為圓心，為半徑作小，又以點為圓心、為半徑作大交坐標(biāo)軸于、．(1)求證：直線是小的切線．(2)連接，若小以2單位秒的速度沿軸向右平移，大以1單位秒的速度沿射線方向平移，問：經(jīng)過多少秒后，兩圓相切？(3)如圖2，作直線軸交大于，過點作直線，連接、，使，請你探究線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】(1)過作于，證，推出，代入求出，即可得出直線是小的切線．(2)設(shè)經(jīng)過秒后兩圓相切，則兩圓的新圓心均可以表示出來，在分兩種情況討論：外切與內(nèi)切，根據(jù)兩圓相切時半徑的關(guān)系即可求解．(3)作輔助線連接和，則在中，，同理，，證、、、四點共圓，推出，證出是等邊三角形，推出，，求出，證，推出，由此可容易得出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】(1)直線與兩坐標(biāo)軸交于、，，，，過作垂直于，則，，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，直線是小的切線．(2)小以2單位秒的速度沿軸向右平移，圓心，則移動秒后的圓心變?yōu)椋灰驗?，，所以直線的解析式為：，又因為大以1單位秒的速度沿射線方向平移，圓心，則移動秒后的圓心變?yōu)?，，①?dāng)兩圓外切時，兩圓心距離為兩圓半徑的和即：，解得秒，②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，兩圓心距離為兩圓半徑的差即：，解得秒，(3)如下圖作輔助線：，，在中，，同理，則，又，，四點共圓，，，在上截取，連接，，，是等邊三角形，，，，(在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等)，在和中，，，．、、三者之間的數(shù)量關(guān)系為：．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上的兩個動點，且，AE和BF相交于點P．(1)探究AE、BF的關(guān)系，并說明理由；(2)求證：A、D、F、P在同一個圓上；(3)如圖2，若正方形ABCD的邊AB在y軸上，點A、B的坐標(biāo)分別為、，點E、F分別是BC、CD上的兩個點，且，AE和BF相交于點P，點M的坐標(biāo)為，當(dāng)點P落在以M為圓心1為半徑的圓上．求a的取值范圍．【答案】(1)AE=BF，且AEBF，見解析；(2)見解析；(3)【分析】(1)證明，得AE=BF，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；(2)由得到，再利用同角的余角相等，解得，最后90°角所對的弦是直徑解答即可；(3)如圖，先計算AB=2a，由可得在以為圓心，半徑為的圓上，再確定點落在上的兩個臨界點，即兩圓外切與兩圓內(nèi)切時，從而可得答案．【解析】解：(1)在正方形ABCD中，AB=BC,，在和中，AE=BF，∵，，∴，AEBFAE=BF，且AEBF；(2)由(1)知，A、D、F、P在以AF為直徑的同一個圓上；(3)的中點的坐標(biāo)為：如圖，結(jié)合(1)可得：在以為圓心，半徑為的圓上，要在以為圓心，半徑為的圓上，當(dāng)外切時，過作于則而如圖，當(dāng)內(nèi)切時，過作于則同理可得：所以：當(dāng)點P落在以M為圓心1為半徑的圓上．a(chǎn)的取值范圍為：

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，90°所對的弦是直徑、兩圓的外切與內(nèi)切的性質(zhì)，四點共圓的知識，解題的關(guān)鍵是判斷兩圓外切與內(nèi)切是解題的臨界位置．2．在中，，，．將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，直線，交于點P．(1)如圖1，當(dāng)時，連接．①求的面積；②求的值；(2)如圖2，連接，若F為中點，求證；C，E，F(xiàn)三點共線．【答案】(1)①10．②．(2)證明見解析部分．【分析】(1)①過點作于．證明四邊形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得結(jié)論．②利用面積法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得結(jié)論．(3)如圖2中，連接，取的中點，連接，．想辦法證明，可得結(jié)論．【解析】解：(1)①過點作于．，，，四邊形是矩形，，在中，，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知，，．②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，．(2)如圖2中，連接，取的中點，連接，．，，，，是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，，，，四點共圓，，，，，、、三點共線．【點睛】本題考查了幾何變換綜合題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明．3．如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．設(shè)AB＝1．(1)求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；(2)分別求△ABC和△ABD的面積；(3)過點D作DF∥BC交AB于點F，求OE︰OF的比值．【答案】(1)見解析；(2)△ABC的面積為，△ABD的面積為；(3)【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．(2)根據(jù)已知條件可計算出AC、BC、AD、BD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解析】(1)證明：如圖，連接OD、OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O是AB的中點，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，點O是AB的中點，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；(2)解：△ABC的面積為；△ABD的面積為(3)解：是等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點∵DF∥BC∵∴△DEF∽△CEB，∴又得．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)(兩組對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊成比例)，三角形的面積的計算(三角形面積=底底邊上的高)，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．4．如圖①，是外一點，與相切于點，的延長線交于點，過點作，交于點，連接，并延長交于點，連接．已知，的半徑為3．(1)求證：是的切線；(2)求的長；(3)如圖②，若點是上一點，且，過作，交弧于點，連接，交于點，連接，則的長度是______．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】(1)由與相切于點B，想到連接OB，再結(jié)合等腰和可得即可求證；(2)由(1)知和已知的BD與半徑，所以過點作交于點，可得，即可求解；(3)由可知是等邊三角形，再結(jié)合知，即、、、共圓，再由(2)知、、、在以為直徑的圓上，即，故F、O、G三點共線，最后利用都是含的直角三角形即可求解．【解析】解：(1)證明：連接∵與相切于點，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∴∴又∵點在圓上，∴是的切線．(2)過點作交于點．∵，為圓心，∴，在中，∵，，∴∴∴．(3)．理由見解析：由(2)得，在以為直徑的圓上，記為，由，且半徑為3可知，為等邊三角形，則，由且，所以，∴，∴、、、共圓，即點也在上∵為直徑，∴，即過作交于由可得、、共線過點作則，在中，在中，∴．【點睛】本題主要考察圓的綜合運用、切線的證明、垂徑定理、三角形相似等，屬于較難的幾何綜合題型．解題的關(guān)鍵是通過題干條件聯(lián)系相關(guān)知識點做出對應(yīng)的輔助線．如已知弦長時，常做弦心距利用垂徑定理求解線段長度；對角互補的四邊形四點共圓．5．如圖，在中，，過點B作于點E，過B，D，E三點的圓分別交邊，，于點F，M，N，連結(jié)，，連結(jié)交于點P．(1)求證：．(2)當(dāng)是等腰三角形時，求的長．(3)連結(jié)，，當(dāng)平分時，求與面積的比值．【答案】(1)證明見解析；(2)或9或；(3)．【分析】(1)由四邊形BEDN內(nèi)接于圓可得，再由平行四邊形性質(zhì)可知，從而可得，根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系即得結(jié)論；(2)延長BN、DA交于點G，過E點作EH⊥BP；可求出EB、EG、EH、BH，再證，得，再利用，設(shè)，，，分三種情況討論是等腰三角形，求出BP，PH，用x表示出PN、NC，再根據(jù)比例式列方程求解即可；(3)根據(jù)角平分線性質(zhì)可得得BE=BN，再證明是菱形，利用圖形的面積關(guān)系求出與面積與菱形面積關(guān)系后即可得出答案．【解析】解：(1)∵四邊形BEDN內(nèi)接于圓，；∴，∴，∵在中，，∴，∴；(2)延長BN、DA交于點G，過E點作EH⊥BP；如解圖(2-1)∵四邊形BEDN內(nèi)接于圓，∴，又∵在中，，∴，∵，，∴，，，∴，，，，∵在中，，∴，∴，∴，故設(shè)，，；∵EH⊥BN，CD⊥BN，∴CD//EH，∴，∴，當(dāng)是等腰三角形時，有三種情況：I.當(dāng)PB=PE時，如解圖(2-1)則：，，，,∴，解得：，∴；II.PB=BE=4，如解圖(2-1)則，，,∴，解得：，∴；II.PE=BE=4，如解圖(2-3)，∵EP⊥BN，∴，，，,∴，解得：，∴；綜上所述：的長為或9或；(3)當(dāng)平分時，∵BE⊥AD，BN⊥CD，∴BE=BN，又∵，∴(AAS)，∴，，∴是菱形；∴，又∵四邊形BDNM內(nèi)接于圓，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴．【點睛】本題綜合強、難度大，是幾何壓軸題，綜合考查了圓的有關(guān)知識，平行四邊形及菱形性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練運用圓的有關(guān)性質(zhì)、對等腰三角形進行分類討論，通過添加恰當(dāng)輔助線解三角形都是本題的關(guān)鍵．6．如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點，直線與直線于點．(1)若點在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；(2)連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)根據(jù)垂直及同弧所對圓周角相等性質(zhì)，可得，可證與全等，得到，進一步即可證點和關(guān)于直線成軸對稱；(2)作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得與全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【解析】解：(1)證明：∵，，∴，∵，∴，又∵同弧所對圓周角相等，∴，∴，在與中，∴，∴，又，∴點和關(guān)于直線成軸對稱；(2)如圖，延長交于點，連接，，，，∵，，∴、、、四點共圓，、、、四點共圓，∴，，在與中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，又，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對稱、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對各知識點的熟練運用是解題的關(guān)鍵．7．如圖，邊長為的正方形中，是對角線上的一個動點(點與、不重合)，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與交于點，其延長線與(或延長線)交于點．(1)連接，證明：；(2)設(shè)，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)試問當(dāng)點運動到何處時，的值最小，并求出此時的長．(畫出圖形，直接寫出答案即可)【答案】(1)見解析；(2)；(3)P位置如圖所示，此時的值最小，，理由見解析．【分析】(1)結(jié)合已知條件，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明即可得；(2)結(jié)合(1)中所得解結(jié)論，證明，建立等式化簡即可得；(3)將轉(zhuǎn)化成，三點共線時最小可確定P點位置，再結(jié)合(1)所得結(jié)論，證明四點共圓，繼而根據(jù)正方形的對稱性證明，即可得解．【解析】解：(1)由題可知，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：，∴(2)是對角線，是等腰直角三角形，,，是等腰直角三角形，解得：，顯然所以有；(3)當(dāng)時，有最小值，此時，理由如下：連接DP，由正方形的對稱性可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)D、P、E三點共線時上時取得最小值DE，如圖所示位置，此時由正方形的對稱性得，結(jié)合(1)所以四點共圓有，，結(jié)合，所以，代入，所以．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和應(yīng)用、線段和的最值問題、動點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四點共圓的判定和性質(zhì)，綜合性強；熟練掌握相關(guān)知識，能靈活運用，順著題意證明推導(dǎo)、合理的轉(zhuǎn)化條件是解題的關(guān)鍵．8．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點，連接AD．(1)如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；(2)如圖2，P為AD上一點，且∠BPD＝45°，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．【答案】(1)證明見解析；(2)①△APC的面積＝1；②．【分析】(1)由題意可證點A，點B，點E，點C四點共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；(2)①通過證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；②過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于F，過點P作PH⊥AC于H，設(shè)AP＝2a，則BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面積法可求PH2，即可求解．【解析】證明：(1)∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點A，點B，點E，點C四點共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；(2)①如圖2，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點A，點B，點E，點C四點共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；②如圖，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于F，過點P作PH⊥AC于H，設(shè)AP＝2a，則BP＝a，由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝a，∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，∴CP2＝CF2+PF2＝a2+(a﹣a)2＝a2﹣a2，AC2＝AF2+CF2＝a2+(a+a)2＝a2+a2，∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，∴(AC?PH)2＝(AP?CF)2，∴PH2＝a2，∵(sin∠ACP)2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案為：．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了四點共圓，圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．9．在邊長為12cm的正方形ABCD中，點E從點D出發(fā)，沿邊DC以1cm/s的速度向點C運動，同時，點F從點C出發(fā)，沿邊CB以1cm/s的速度向點B運動，當(dāng)點E達到點C時，兩點同時停止運動，連接AE、DF交于點P，設(shè)點E．

F運動時間為t秒．回答下列問題：(1)如圖1，當(dāng)t為多少時，EF的長等于cm?(2)如圖2，在點E、F運動過程中，①求證：點A、B、F、P在同一個圓(⊙O)上；②是否存在這樣的t值，使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；③請直接寫出問題①中，圓心O的運動的路徑長為_________．【答案】(1)t=4或8；(2)①證明見解析；②存在，t=3或12；③6cm．【分析】(1)由題意易得DE=CF=t，則有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；(2)①由題意易證△ADE≌△DCF，則有∠CDF=∠DAE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF=90°，進而可得∠B+∠APF=180°，則問題得證；②由題意可知當(dāng)⊙O與正方形ABCD的一邊相切時，可分兩種情況進行分類討論求解：一是當(dāng)圓與AD相切時，一是當(dāng)圓與邊DC相切時；③由動點E、F在特殊位置時得出圓心O的運動軌跡，進而求解即可．【解析】解：(1)由題意易得：DE=CF=t，四邊形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，EC=12-t，EF的長等于cm，在Rt△CEF中，，即解得；(2)①由(1)可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，△ADE≌△DCF，∠CDF=∠DAE，∠CDF+∠PDA=90°，∠DAE+∠PDA=90°，∠ADP=∠APF=90°，∠APF+∠B=180°，由四邊形APFB內(nèi)角和為360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，點A、B、F、P在同一個圓(⊙O)上；②由題意易得：當(dāng)⊙O與正方形ABCD的一邊相切時，只有兩種情況；a、當(dāng)⊙O與正方形ABCD的邊AD相切時，如圖所示：由題意可得AB為⊙O的直徑，t=12；b、當(dāng)⊙O與正方形ABCD的邊DC相切于點G時，連接OG并延長交AB于點M，過點O作OH⊥BC交BC于點H，連接OF，如圖所示：OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，四邊形OMBH、GOHC是矩形，OH=BM=GC，OG=HC，AB=BC=12cm，OH=6，CF=t，BF=12-t，，在Rt△FOH中，，即，解得：；綜上所述：當(dāng)或t=12時，⊙O與正方形ABCD的邊相切；③由(1)(2)可得：當(dāng)點E與點D重合及點F與點C重合時，圓心在正方形的中心上；當(dāng)點E與點C重合及點F與點B重合時，圓心在AB的中點上，故圓心的運動軌跡為一條線段，如圖所示：OP即為圓心的運動軌跡，即OP=6cm．故答案為6cm．【點睛】本題主要考查圓的綜合，熟練掌握圓的性質(zhì)及切線定理解題的關(guān)鍵，注意運用分類討論思想解決問題．10．問題背景：如圖1，等腰中，，作于點D，則D為的中點，，于是；遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點在同一條直線上，連接．①求證：；②請直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交于點F，連接，．①證明是等邊三角形；②若，求的長．【答案】遷移應(yīng)用：①詳見解析；②結(jié)論：；拓展延伸：①詳見解析；②【分析】遷移應(yīng)用：①如圖2中，只要證明，即可根據(jù)解決問題；②結(jié)論：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解決問題；拓展延伸：①如圖3中，作于，連接．由，，推出、、、四點共圓，推出，推出，推出是等邊三角形；②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解決問題．【解析】遷移應(yīng)用：①證明：如圖2∵，∴，在和中，，∴，②解：結(jié)論：．理由：如圖中，作于．∵，∴，在中，，∵，，∴，∴；拓展延伸：①證明：如圖3中，連接，∵四邊形是菱形，，∴是等邊三角形，∴，∵E、C關(guān)于對稱，∴，∴A、D、E、C四點共圓，∴，∴，∴是等邊三角形；②解：作于H，∵，∴，在中，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點共圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．11．已知：內(nèi)接于，過點作的切線，交的延長線于點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點作于點，連接，交于點，，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，點為上一點，過點的切線交的延長線于點，連接，交的延長線于點，連接，，點為上一點，連接，若，，，，求的長．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)【分析】(1)延長BO交于G，連接CG，根據(jù)切線的性質(zhì)可得可證∠DBC＋∠CBG=90°，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可證∠CBG＋∠G=90°，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DAB=∠G，從而證出結(jié)論；(2)在MB上截取一點H，使AM=MH，連接DH，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DH=AD，再根據(jù)等邊對等角可得∠DHA=∠DAH，然后根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證出∠ABC=∠C，可得AB=AC，再根據(jù)垂直平分線的判定可得AO垂直平分BC，從而證出結(jié)論；(3)延長CF交BD于M，延長BO交CQ于G，連接OE，證出tan∠BGE=tan∠ECF=2，然后利用AAS證出△CFN≌△BON，可設(shè)CF=BO=r，ON=FN=a，則OE=r，根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形即可證出四邊形OBPE為正方形，利用r和a表示出各線段，最后根據(jù)，即可分別求出a和CF．【解析】解：(1)延長BO交于G，連接CG∵BD是的切線∴∠OBD=90°∴∠DBC＋∠CBG=90°∵BG為直徑∴∠BCG=90°∴∠CBG＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四邊形ABGC為的內(nèi)接四邊形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC(2)在MB上截取一點H，使AM=MH，連接DH∴DM垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵，∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB＋∠HBD=2∠HBD由(1)知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC=2∠HBD∵∠DBC=∠HBD＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴點A在BC的垂直平分線上∵點O也在BC的垂直平分線上∴AO垂直平分BC∴(3)延長CF交BD于M，延長BO交CQ于G，連接OE，∵∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF∥OB∴∠BGE=∠ECF，∠CFN=∠BON，∴tan∠BGE=tan∠ECF=2由(2)知OA垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN≌△BON∴CF=BO，ON=FN，設(shè)CF=BO=r，ON=FN=a，則OE=r∵∴OQ=2a∵CF∥OB∴△QGO∽△QCF∴即∴OG=過點O作OE′⊥BG，交PE于E′∴OE′=OG·tan∠BGE=r=OE∴點E′與點E重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB和PE是圓O的切線∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四邊形OBPE為正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=∠BOE==45°∴△NQC為等腰直角三角形∴NC=NQ=3a，∴BC=2NC=6a在Rt△CFN中，CF=∵∴PQ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE∽△BCG∴即解得：PQ=4a∵，∴4a＋2a=解得：a=∴CF==10【點睛】此題考查的是圓的綜合大題，難度較大，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．12．如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．(1)求BC的長．(2)如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．【答案】(1)BC=；(2)EF的最小值為【分析】(1)過點A作AM⊥BC于點M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性質(zhì)得BM=，進而即可求解；(2)連接BD，取BD的中點O，連接OE，OF，易得B，D，E，F(xiàn)四點共圓，從而得?OEF是等邊三角形，進而得EF=BD，由BD⊥CD時，BD的值最小，進而即可求解．【解析】(1)過點A作AM⊥BC于點M，∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，∴BM=3÷2×=，∴BC=2BM=2×=3；(2)連接BD，取BD的中點O，連接OE，OF，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴在Rt?BDF與Rt?BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，∴B，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，∴?OEF是等邊三角形，∴EF=OF=BD，∵∠C=∠EBF=30°，∴當(dāng)BD⊥CD時，BD=BC=，此時，BD的值最小，∴EF的最小值=BD=×=．【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造四邊形的外接圓，是解題的關(guān)鍵．13．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．已知四邊形是圓美四邊形．(1)求美角的度數(shù)；(2)如圖1，若的半徑為5，求的長；(3)如圖2，若平分，求證：．【答案】(1)60°；(2)；(3)見解析【分析】(1)根據(jù)美角的定義可得，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出結(jié)論；(2)連接DO并延長，交與點E，連接BE，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論；(3)延長CB至F，使BF=DC，連接AF、BD，先證出△ABD為等邊三角形，然后利用SAS證出△ABF≌△ADC，從而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再證出△ACF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出結(jié)論．【解析】解：(1)根據(jù)題意可得：，而∠A＋∠C=180°∴∠A=60°(2)連接DO并延長，交與點E，連接BE∴∠E=∠A=60°∵DE為的直徑，的半徑為5，∴∠DBE=90°，DE=10在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×=；(3)延長CB至F，使BF=DC，連接AF、BD由(1)可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120°∵平分，∴∠BCA=∠DCA==60°∴∠ABD=∠DCA=60°∴∠ADB=180°－∠ABD－∠BAD=60°∴△ABD為等邊三角形∴AB=AD根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ABF=∠ADC在△ABF和△ADC中∴△ABF≌△ADC∴AF=AC，∠F=∠DCA=60°∴∠FAC=180°－∠F－∠ACF=60°∴△ACF為等邊三角形∴CF=AC∴BC＋BF=AC∴BC＋CD=AC【點睛】此題考查的是新定義類問題、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握新定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．14．如圖，在?ABCD中，，，，點E為CD上一動點，經(jīng)過A、C、E三點的交BC于點F．(操作與發(fā)現(xiàn))當(dāng)E運動到處，利用直尺與規(guī)作出點E與點F；保留作圖痕跡在的條件下，證明：．(探索與證明)點E運動到任何一個位置時，求證：；(延伸與應(yīng)用)點E在運動的過程中求EF的最小值．【答案】作圖見解析；證明見解析；證明見解析；EF最小值為.【分析】當(dāng)，此時AC是的直徑，作出AC的中點O后，以O(shè)A為半徑作出即可作出點E、F；易知AC為直徑，則，，從而得證；如圖，作，，若E在DN之間，由可知，，然后再證明∽，從而可知，若E在CN之間時，同理可證；由于A、F、C、E四點共圓，所以，由于四邊形ABCD為平行四邊形，，從而可證為等腰直角三角形，所以，由于，所以E與N重合時，F(xiàn)E最小．【解析】如圖1所示，如圖，易知AC為直徑，則，則，，如圖，作，，若E在DN之間由可知，、F、C、E四點共圓，，，，，∽，若E在CN之間時，同理可證、F、C、E四點共圓，，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，為等腰直角三角形，，，與N重合時，F(xiàn)E最小，此時，在中，，則由勾股定理可知：此時EF最小值為.【點睛】考查圓的綜合問題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識．15．問題探究：(一)新知學(xué)習(xí)：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓(即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上)．(二)問題解決：已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑．P是上任意一點，過點P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．(1)若直徑AB⊥CD，對于上任意一點P(不與B、C重合)(如圖一)，證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；(2)若直徑AB⊥CD，在點P(不與B、C重合)從B運動到C的過程匯總，證明MN的長為定值，并求其定值；(3)若直徑AB與CD相交成120°角．①當(dāng)點P運動到的中點P1時(如圖二)，求MN的長；②當(dāng)點P(不與B、C重合)從B運動到C的過程中(如圖三)，證明MN的長為定值．(4)試問當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值．【答案】(1)證明見解析，直徑OP=2；(2)證明見解析，MN的長為定值，該定值為2；(3)①MN=；②證明見解析；(4)MN取得最大值2．【解析】試題分析：(1)如圖一，易證∠PMO+∠PNO=180°，從而可得四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2；(2)如圖一，易證四邊形PMON是矩形，則有MN=OP=2，問題得以解決；(3)①如圖二，根據(jù)等弧所對的圓心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得∠MP1N=60°．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得P1M=P1N，從而得到△P1MN是等邊三角形，則有MN=P1M．然后在Rt△P1MO運用三角函數(shù)就可解決問題；②設(shè)四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長，交⊙O′于點Q，連接QM，如圖三，根據(jù)圓周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中運用三角函數(shù)可得：MN=QN?sin∠MQN，從而可得MN=OP?sin∠MQN，由此即可解決問題；(4)由(3)②中已得結(jié)論MN=OP?sin∠MQN可知，當(dāng)∠MQN=90°時，MN最大，問題得以解決．試題解析：(1)如圖一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2；(2)如圖一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四邊形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的長為定值，該定值為2；(3)①如圖二，∵P1是的中點，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等邊三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②設(shè)四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長，交⊙O′于點Q，連接QM，如圖三，則有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN?sin∠MQN，∴MN=OP?sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．(4)由(3)②得MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN．當(dāng)直徑AB與CD相交成90°角時，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考點：圓的綜合題．16．?dāng)?shù)學(xué)概念若點在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.理解概念(1)若點是的等角點，且，則的度數(shù)是.(2)已知點在的外部，且與點在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時，求證：是的等角點.(要求：只選擇其中一道題進行證明！)①如圖①，②如圖②，深入思考(3)如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點.(不寫作法，保留作圖痕跡)(4)下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；③正三角形的中心是它的強等角點；④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有.(填序號)【答案】(1)100、130或160；(2)選擇①或②，理由見解析；(3)見解析；(4)③⑤【分析】(1)根據(jù)“等角點”的定義，分類討論即可；(2)①根據(jù)在同圓中，弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等即可證明；②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(3)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等作圖即可；(4)根據(jù)“等角點”和“強等角點”的定義，逐一分析判斷即可．【解析】(1)(i)若=時，∴==100°(ii)若時，∴(360°－)=130°；(iii)若=時，360°－－=160°，綜上所述：=100°、130°或160°故答案為：100、130或160．(2)選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴∵∴∴是的等角點(3)作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點D，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓，交AD于點Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=(360°－∠BQC)=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點即為所求．(4)③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯誤；②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點的定義，故②錯誤；③正三角形的每個中心角都為：360°÷3=120°，滿足強等角點的定義，所以正三角形的中心是它的強等角點，故③正確；④由(3)可知，點Q為△ABC的強等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠Q(mào)C，故④錯誤；⑤由(3)可知，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角都小于時，必存在強等角點．如圖④，在三個內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點，連接、、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴是等邊三角形．∴∴∵、是定點，∴當(dāng)、、、四點共線時，最小，即最?。?dāng)為的強等角點時，，此時便能保證、、、四點共線，進而使最?。蚀鸢笧椋孩邰荩军c睛】此題考查的是新定義類問題、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形綜合大題，掌握“等角點”和“強等角點”的定義、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形中心角公式和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．17．如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.(1)求證：AHAB=AC2；(2)若過A的直線與弦CD(不含端點)相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AEAF=AC2；(3)若過A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)成立.【分析】(1)連接CB，證明△CAH∽△BAC即可；

(2)連接CF，證△AEC∽△ACF，根據(jù)射影定理即可證得；

(3)由(1)(2)的結(jié)論可知，AP?AQ=AC2成立．【解析】(1)連結(jié)CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC.∴，即AHAB=AC2.(2)連結(jié)FB，易證△AHE∽△AFB，∴AEAF=AHAB，∴AEAF=AC2.(也可連結(jié)CF，證△AEC∽△ACF)(3)結(jié)論APAQ=AC2成立.【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．18．如圖，在等腰中，，，垂足為，點為邊上一點，連接并延長至，使，以為底邊作等腰．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，連接，，點為的中點，連接，過作，垂足為，連接交于點，求證：；(3)如圖3，點為平面內(nèi)不與點重合的任意一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線交于點，為直線上一動點，連接并在的右側(cè)作且，連接，為邊上一點，，，當(dāng)取到最小值時，直線與直線交于點，請直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】(1)過E點作EH⊥AD于H點，在等腰Rt△ABC中求出，再結(jié)合已知條件∠ADE=30°求出，最后即可求出進而求出；(2)連接FC，DM，AG，得到MD=，證明NH為△ACG的中位線，得到NG=，再證明△CDF≌△ADG，進而得到AG=CF即可得到NG=MD；(3)過A點作AN∥BC，過C點作CN平∥AB，連接AN，證明△NAC’∽△CAD’，得到點D’在線段BC上運動時，C’在NC’上運動，當(dāng)QC’⊥CC’時，QC’最??；證明∠BPK=90°，得到P點在以AB的中點G為圓心，為半徑的圓上運動，進而G、P、C’三點共線時，有最小值；最后由△BGS∽△CC’S，其相似比為3：1即可求解．【解析】解：(1)過E點作EH⊥AD于H點，如下圖所示：∵△ABC為等腰直角三角形，且AD⊥BC，∴∠DAC=45°，△AHE為等腰直角三角形，∴，又已知∠ADE=30°，且△DHE為30°，60°，90°直角三角形，∴，∴，∵△ADC為等腰直角三角形，∴；(2)如下圖(1)所示：連接GC，DG，∵△DEG、△DAC均為等腰直角三角形，∴∠ACD=∠EGD=45°，∴D、E、C、G四點共圓，∴∠DCG=∠DEG=45°，∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，如下圖(2)所示：連接FC，DM，AG，∵DH⊥AC，∴∠DHC=90°=∠ACG，∴CG∥DH，∵△ADC為等腰直角三角形，且DH⊥AC，∴H為AC的中點，∴NH為△ACG的中位線，∴NG=，∵點M和點D分別是BF和BC的中點，∴MD是△BCF的中位線，∴MD=，∵∠CDF=∠CDG+∠GDF=∠CDG+90°，∠ADG=∠CDG+∠CDA=∠CDG+90°，∴∠CDF=∠ADG，在△CDF和△ADG中：，∴△CDF≌△ADG(SAS)，∴AG=CF，∴NG=MD；(3)如下圖(3)所示：過A點作AN∥BC，過C點作CN平∥AB，連接AN，∴∠CAN=∠BAC=90°，∠NAC=∠BCA=45°，∴△CAN為等腰直角三角形，此時，且∠NAC’=∠NAC+∠CAC’=45°+∠CAC’，∠CAD’=∠D’AC’+∠CAC’=45°+∠CAC’，∴∠NAC’=∠CAD’，∴△NAC’∽△CAD’，∴當(dāng)點D’在線段BC上運動時，C’在NC’上運動，當(dāng)QC’⊥CC’時，QC’最小，∵∠BDK=∠BDA+∠ADK=90°+∠ADK，∠ADK’=∠KDK’+∠ADK=90°+∠ADK，∴∠ADK’=∠BDK，在△ADK’和△BDK中，，∴△ADK’≌△BDK(SAS)，∴∠DAK’=∠DBK，∴∠BPK=∠DAK’+∠AIP=∠DBK+∠BID=180°-∠BDA=180°-90°=90°，又為定值，∴P點在以AB的中點G為圓心，為半徑的圓上運動，當(dāng)G、P、C’三點共線時，有最小值，此時依然滿足QC’⊥CC’，故此時有最小值，由已知條件及可知，，∴，∵△QCC’為等腰直角三角形，∴，∵AB∥CC’，∴△BGS∽△CC’S，且∴，且，∴，過C’作C’H⊥BC于H點，則，∴，∵△BGS∽△CC’S，其相似比為3：1，由相似三角形面積比等于相似比的平方可知：∴，且，又，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，四點共圓的判定方法，等腰直角三角形的性質(zhì)等，本題難度比較大，第(3)問中正確判斷出P點和C’點的運動軌跡是求解的關(guān)鍵．19．直線與x軸交于A，與y軸交于C點，直線BC的解析式為，與x軸交于B．(1)如圖1，求點A的橫坐標(biāo)；(2)如圖2，D為BC延長線上一點，過D作x軸垂線于點E，連接CE，若，設(shè)的面積為S，求S與k的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接OD交AC于點F，將沿CF翻折得到，直線FG交CE于點K，若，求點K的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】(1)令，求x；(2)過點D作y軸的垂線，先證明，再由K型全等，得E點坐標(biāo)，即可求出S與k的函數(shù)關(guān)系式；(3)由等腰直角三角形和四點共圓把已知條件轉(zhuǎn)化為簡單的等量關(guān)系，得出，再利用垂直平分線性質(zhì)構(gòu)造，通過解直角三角形求出求出k的值，再求點K的坐標(biāo)．【解析】解：(1)∵直線與x軸交于A，與y軸交于C點，∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，得：，∴，，∴點A的橫坐標(biāo)為．(2)過點D作軸于點H，∵，，∴，∴，對直線BC：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，即：，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，∴，(3)連接AD，過AD的中點N作交DE于點M，連接AM，(3)連接，過的中點作交于點，連接，，，，在四邊形中，，，點、、、四點共圓，為圓的直徑，點為圓心，，是的中垂線，，，，，，，又，，即：，在中，，，設(shè)，則：，，，解得：，，，，，即：，解得：，，，，直線的解析式為：，直線的解析式為：，直線的解析式為：，由，解得：，點，，點和點關(guān)于點對稱，，直線的解析式為：，由，解得：，點的坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的求法、K型全等的應(yīng)用和四點共圓的判定、以及利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化等知識，是一個代數(shù)幾何綜合題．對于比較復(fù)雜的條件，需要學(xué)生學(xué)會將復(fù)雜的條件轉(zhuǎn)化為簡單直接的條件，可以從等量關(guān)系，倍數(shù)關(guān)系入手．20．在平行四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，點E為線段BC上的一點，連接DE，以線段DE為直角邊構(gòu)造等腰RtDEF，EF交線段AB于點G，連接AF、DG．(1)如圖1，若AB＝12，BE＝5，則DE的長為多少？(2)如圖2，若點H，K分別為線段BG，DE的中點，連接HK，求證：AG＝2HK；(3)如圖3，在(2)的條件下，若BE＝2，BG＝2，以點G為圓心，AG為半徑作⊙G，點M為⊙G上一點，連接MK，取MK的中點P，連接AP，請直接寫出線段AP的取值范圍．【答案】(1)DE＝13；(2)見解析；(3)﹣2≤AP≤+2【分析】(1)借助三角形全等，求線段的長度．(2)借助模型“對邊平行+中點”構(gòu)造全等三角形．將AG轉(zhuǎn)化為GM；(3)主動點M在圓上運動，從動點P也在圓上運動，利用中位線找到P的運動軌跡．【解析】解：(1)∵∠A＝45°，且AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴△ABD為等腰直角三角形，又∵,∴BD＝12，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DBE＝∠ADB＝90°，在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，∴DE＝＝＝13；(2)如圖2，連接GK，BK，延長BK交AD于M，連接GM，∵AD∥BC，∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，又DK＝KE，∴△BEK≌△MDK(AAS)，∴DK＝KE，又∵BH＝GH，∴KH∥GM，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，∴∠EDB＝∠FDA，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD，∴DB＝DA，∴△ADF≌△BDE(SAS)，∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE∵∠DAG＝∠DFG＝45°，∴A、F、G、D四點共圓，∴∠DGE＝∠DAF＝90°，在Rt△DGE中，K是DE的中點，∴GK＝DE，在Rt△DKE中，同理可得：KB＝DE，∴GK＝KB，又∵BH＝GH，∴KH⊥BG，∵KH∥MG，∴MG⊥AB，∴∠AGM＝90°，∵∠BAD＝45°，∴∠AMG＝∠BAD＝45°，∴AG＝GM，∴KH＝GM＝AG．(3)作EN⊥AB于N，在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，∴EN＝BN＝，在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3，EN＝，∴GE＝2，∴DE＝GE＝2，在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2，∴BD＝6，∴AB＝BD＝6，∴AG＝AB﹣BG＝4連接MG，取GK的中點I，作IQ⊥AB于Q，∵P是MK的中點，∴PI＝＝2，∴點P在以I為圓心，半徑為2的⊙I上運動由(2)知：KH＝AG＝2，∵IQ是△KGH的中位線，∴IQ＝KH＝，在Rt△AIQ中，AQ＝AG+GQ＝4+＝，IQ＝KH=，∴AI＝，∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，∴﹣2≤AP≤+2．【點睛】本題主要考查等腰三角形與直角三角形、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)、三角形的全等和圓的綜合運用，解題關(guān)鍵是確定P點的軌跡并且要靈活運用轉(zhuǎn)化思想、推理能力、模型思想和創(chuàng)新意識．【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題12二次函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用綜合問題經(jīng)典例題經(jīng)典例題[例1](2021·寧夏西吉實驗中學(xué)九年級期中)據(jù)統(tǒng)計每年由于汽車超速行駛而造成的交通事故是造成人員傷亡的主要原因之一，行駛中的汽車，在剎車后由于慣性，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為剎車距離，為了測定某種型號汽車的剎車性能(車速不超過)，對這種汽車的剎車距離進行了測試，測得的數(shù)據(jù)如下表：剎車時車速剎車距離(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中以剎車時的速度為橫坐標(biāo)，以剎車距離為縱坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)所表示的點，并用光滑的曲線連接這些點，得到某函數(shù)的大致圖象．(2)觀察圖象估計函數(shù)的類型，并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式．(3)一輛該型號的汽車在福銀高速上發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得剎車距離為，請推測該汽車的剎車時的速度是多少？請問在事故發(fā)生時，汽車是否超速行駛？(假定該路段最高限速)[例2](2021·全國·九年級專題練習(xí))某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P(單位：噸)，P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖像是函數(shù)P=(0＜t≤8)的圖像與線段AB的組合；設(shè)第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位：萬元)，Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q=(1)當(dāng)8＜t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位：萬元)①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；②該藥廠銷售部門分析認為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值．[例3](2021·江蘇·無錫市港下中學(xué)九年級階段練習(xí))某商店銷售一種進價50元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量y(件)是售價x(元/件)的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應(yīng)值如下表：售價x(元/件)5565銷售量y(件/天)9070(1)若某天銷售利潤為800元，求該天的售價為多少元/件？(2)設(shè)該商店銷售商品每天獲得的利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？(3)由于某種原因，該商品進價提高了a元/件(a＞0)，該商店在今后的銷售中，日銷售量與售價仍然滿足原來的函數(shù)關(guān)系．規(guī)定商店售價不低于進價，售價不得超過70元/件，若今后每天能獲得的銷售最大利潤是960元，求a的值．[例4](2021·江蘇·常熟市第一中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，點G為BC邊上一點，滿足BG＝AB＝6cm，動點E以1cm/s的速度沿線段BG從點B移動到點G，連接AE，作EF⊥AE，交線段CD于點F．設(shè)點E移動的時間為t(s)，CF的長度為y(cm)，y與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．(1)圖①中，CG＝______cm，圖②中，m＝______；(2)點F能否為線段CD的中點？若可能，求出此時t的值，若不可能，請說明理由；(3)在圖①中，連接AF，AG，設(shè)AG與EF交于點H，若AG平分△AEF的面積，求此時t的值．[例5]．(2021·全國·九年級專題練習(xí))“宿松家樂福超市”以每件20元的價格進購一批商品，試銷一階段后發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖(20≤x≤60)：(1)求每天銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)表達式；(2)若該商品每天的利潤為w(元)，試確定w(元)與售價x(元/件)的函數(shù)表達式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大？最大利潤是多少？【例6】某公司生產(chǎn)A型活動板房成本是每個425元．圖①表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長AD＝4m，寬AB＝3m，拋物線的最高點E到BC的距離為4m．(1)按如圖①所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y＝kx2+m(k≠0)表示．求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)將A型活動板房改造為B型活動板房．如圖②，在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶FGMN，點G，M在AD上，點N，F(xiàn)在拋物線上，窗戶的成本為50元/m2．已知GM＝2m，求每個B型活動板房的成本是多少？(每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本)(3)根據(jù)市場調(diào)查，以單價650元銷售(2)中的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個．公司每月最多能生產(chǎn)160個B型活動板房．不考慮其他因素，公司將銷售單價n(元)定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w(元)最大？最大利潤是多少？培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．(2021·湖南郴州·九年級階段練習(xí))為滿足市場需求，郴州某超市在“中秋節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌月餅，每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價提高1元，每天要少賣出20盒．(1)試求出每天的銷售量(盒與每盒售價(元之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤(元最大？最大利潤是多少？(3)為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種月餅的每盒售價不得高于57元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售月餅多少盒？2．(2021·云南·云大附中九年級階段練習(xí))某種蔬菜的銷售單價y1與銷售月份x之間的關(guān)系如圖1所示，成本y2與銷售月份x之間的關(guān)系如圖2所示(圖1的圖象是線段，圖2的圖象是拋物線)．(1)已知6月份這種蔬菜的成本最低，此時出售每千克的收益是元；(收益＝售價﹣成本)(2)哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大，最大收益是多少？說明理由．

3．(2021·湖北·武漢第三寄宿中學(xué)九年級階段練習(xí))近年來我國無人機設(shè)備發(fā)展迅猛，新型號無人機不斷面世，科研單位為保障無人機設(shè)備能安全投產(chǎn)，現(xiàn)針對某種型號的無人機的降落情況進行測試，該型號無人機在跑道起點處著陸后滑行的距離y(單位：m)與滑行時間x(單位：s)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系，其部分函數(shù)圖象如圖所示．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若跑道長度為900(m)，是否夠此無人機安全著陸？請說明理由；(3)現(xiàn)對該無人機使用減速傘進行短距離著陸實驗，要求無人機觸地同時打開減速傘(開傘時間忽略不計)，若減速傘的制動效果為開傘后每秒鐘減少滑行距離20a(單位：m)，無人機必須在200(單位：m)的短距跑道降落，請直接寫出a的取值范圍為．4．(2021