上海市民辦明珠中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科期中試卷

上海市民辦明珠中學(xué)九年級數(shù)學(xué)學(xué)科活動

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.在比例尺為1：2000的地圖上測得A、B兩地間的圖上距離為5cm,則AB兩地間的實(shí)際距離為（）

A.10mB.25mC.100mD.250m

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離+實(shí)際距離，變形計算，再轉(zhuǎn)化單位即可.

【詳解】解：因為比例尺為1：2000的地圖上測得A、B兩地間的圖上距離為5cm,

所以AB兩地間的實(shí)際距離為：5x2000=1OOOO（cm）=100（m）,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例尺的計算，熟練掌握比例尺的定義即比例尺=圖上距離+實(shí)際距離是解題的關(guān)鍵.

2.如果色=￡,那么下列等式不成立的是（

ba

a+hc+daa+c

A.----=-----B.一二-----

bdbb+d

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，正確變形計算即可.

【詳解】解：因為？a=三c,

ba

a+bc+daa+cab

所以一；一=——,一=----,一=一，

bdbb+dcd

所以A、B、D都正確，C錯誤，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)，并準(zhǔn)確進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.

3.已知在Rr.ABC中，ZC=90，NA=。，AC=3,那么A3的長為（）

A.3sinaB.3cosaC.----D.-----

sinacosa

【答案】D

【解析】

【分析】利用/A的余弦值解答即可.

【詳解】解：cosA=-----,ZA=a>AC=3,

AB

cosAcosa

故選D.

【點(diǎn)睛】考查解直角三角形的知識；掌握和一個角的鄰邊與斜邊有關(guān)的三角函數(shù)值是余弦值的知識是解決

本題的關(guān)鍵.

4.如圖所示，點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G,H,K都是8x8方格紙中的格點(diǎn)，為使ADEMsaABC,則點(diǎn)

M應(yīng)是F、G、H、K四點(diǎn)中的（）

【答案】C

【解析】

【分析】由圖形可知△ABC的邊AB-4,AC=6,DE=2,當(dāng)ADEMs^ABC時，AB和DE是對應(yīng)邊，相似

比是1：2,則AC的對應(yīng)邊是3,則點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)是H.

【詳解】解：根據(jù)題意，

△DEM^AABC,AB=4,AC=6,DE=2,

ADE：AB=DM：AC,

；.DM=3,

，M應(yīng)是H,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定.

5.已知△ABC,D.E，F(xiàn)分別是AB，BC>CA的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b,則DE+DF是（）.

1廠，、1?1,1,?,、

A.一（a+b）；B.—ci+b；C.ci—b；D.一（a—b）.

【答案】B

【解析】

1111

【詳解】解：?.?DE-^DF=-AC^-AC一一AB=AC一一AB,

2222

一1.r

?*.DE+DF—a+b

2

故選B.

6.如果拋物線4尸/一1通過左右平移得到拋物線B,再通過上下平移拋物線B得到拋物線C：)=必一2%

+2,那么拋物線B的表達(dá)式為()

A.y=x2-h2B.y=x2~2x—1C.y=x2-2xD.y=x2~2x+1

【答案】C

【解析】

【分析】平移不改變拋物線的開口方向與開口大小，即解析式的二次項系數(shù)不變，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可求

拋物線解析式.

【詳解】拋物線A：y=x2-l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-1),拋物線C：y=x2-2x+2=(x-1)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1).

則將拋物線A向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到拋物線C.

所以拋物線B是將拋物線A向右平移1個單位得到的，其解析式為y=(x-1)2-l=x2-2x.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移與解析式變化的關(guān)系.關(guān)鍵是明確拋物線的平移實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移，

能用頂點(diǎn)式表示平移后的拋物線解析式.

二、填空題：(本大題共12題，每題4分，滿分48分)

7.如果線段。功=5:3,且線段b是線段a、c的比例中項，那么c仍等于.

3

【答案】3:5##j

【解析】

【分析】根據(jù)得到a=Z,代入化簡計算即可.

b3c

【詳解】因為線段a:)=5:3,且線段6是線段〃、c的比例中項，

所以3=*,/=ac,a,

h3c

b1

所以工

T-3

所以2=9,

c3

所以￡=3,

b5

故答案為：3:5.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.已知點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，PB>PA，PB=2,那么PA=.

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知總是較長線段；則PB=避二iAB，代入數(shù)據(jù)即可求解.

2

【詳解】解：為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且尸8>24，

則=即^^■A3=2，

22

；?AB=y[5+l

PA=AB-PB=y^+l-2=#-l

故答案為正-1

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割的概念，熟練掌握把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短

線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割是解題的關(guān)鍵.

9.己知向量力和。方向相反，長度為4,則a用6來表示為：.

【答案】a=Te

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量與單位向量方向相反，長度為4,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：因為向量a和2?方向相反，長度為4,

所以d=-Ae.

故答案為：a=-4e.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性表示法，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如果拋物線>=32+(m-3)%-加+2經(jīng)過原點(diǎn)，那么機(jī)=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，代入即可得答案.

【詳解】；拋物線y=mV+（加一3）x-加+2經(jīng)過原點(diǎn),

—m+2=0,

解得：m=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式是解題的關(guān)鍵.

11.如果拋物線y=ax2-2ax+l經(jīng)過點(diǎn)A（-1,7）>B（x,7）,那么x=.

【答案】3

【解析】

【詳解】試題分析：先求出拋物線的對稱軸方程，根據(jù)對稱性即可求出x的值.

解：：拋物線的解析式為y^ajc2-2ax+\,

拋物線的對稱軸為x=l,

?.?圖象經(jīng)過點(diǎn)4-1,7）、B（x,7）,

；.A、8兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸戶1對稱，

故答案為：3.

12.如圖，已知小魚同學(xué)的身高（CD）是1.6米，她與樹（AB）在同一時刻的影子長分別為DE=2米,

BE=5米，那么樹的高度AB=米.

【答案】4

【解析】

DE

【分析】由ABJ_8E知CO〃A8,從而得△CQES/XABE,由相似三角形的性質(zhì)有匚=——,

ABBE

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入計算可得.

【詳解】由題意知CDJ_BE,AB1BE,

：.CD//AB,

:.ACDESAABE,

.CDDE0n1.6_2

ABBEAB5

解得：AB=4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖所示，沿傾斜角為30。的山坡植樹，要求相鄰兩棵樹的水平距離AC為2m,那么相鄰兩棵樹的斜

坡距離AB為m.

【答案】逑##&百

33

【解析】

【詳解】解：在RSABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=2m,

AC

cosZA=-----,

AB

2

cos30°=-----,

AB

?A*2（、

cos3003

故答案為：巫.

3

3

14.已知0°vav90°,如果cos0=—,那么tana=.

4

【答案】也

3

【解析】

3

【分析】由cosa=一設(shè)出直角三角形的鄰邊和斜邊長，由勾股定理求出另一直角邊的長，再根據(jù)正切定義

4

求值即可.

【詳解】解：如圖：

八

B

在RtABC中，ZB=9()°,AC=a,

Qc°si=3

AC4

設(shè)BC-3a,AC-4。，

則AB=y]AC2-BC2=幣a，

AB#iaV7

tana=---=----=—，

BC3a3

故答案為：互

3

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的求值，掌握定義是解答此題的關(guān)鍵.

15.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AC、3。相交于點(diǎn)。，如果：S0co=3：7,如果

S4Boc=32,那么SABC=-----

【答案】56

【解析】

A030C4S.432

【分析】根據(jù)4A8：SNCO=3：7,得到嘿=3,從而得到方=故產(chǎn)Rnr"=一計算

AC7AC7%ABC/

即可.

【詳解】因為S&ACD=3：7,

所以也3

AC7

g,OC4

所以——=一

AC7

Sfoc432

所以《但二弓=三一

解得SABC=56,

故答案為：56.

【點(diǎn)睛】本題考查了等高或同高的三角形面積之比等于對應(yīng)底的比，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)健.

16.如圖，ZA=ZADC=ZDBC=90°,AB=4，CD=9,則BC=.

【答案】3布

【解析】

【分析】證得△/3。/△比心，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得BO的長，在直角三角形BOC中

利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：；NA=NADC=NDBC=90°,

CD//AB,

：.ZABD^ZCDB,且NA=ND3C=90。，

公ABDsgDC,

.ABBD

"~BD~~DC'

；?BD=yjABxCD=屈=6，

BC=CDr-BDr=V92-62=375?

故答案為：3后.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

17.在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=2BC,若點(diǎn)。是.ABC的重心，貝iJcosNOBC=.

【答案】也##\五

22

【解析】

【分析】連接8。并延長交AC于E,根據(jù)重心的定義可知AC=2CE,可證_8CE為等腰直角三角形，

最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，連接8。并延長交AC于E,

?.?點(diǎn)。是一ABC的重心，

AC=2AE=2CE.

,/AC^IBC,

BC=CE,

ZC=90°,

，,BCE為等腰直角三角形,

，NC3E=45。，

cosZ.OBC=cos45°=-

2

故答案為：YZ.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和三角形重心的知識點(diǎn)，解答本

題的關(guān)鍵是掌握重心的定義和銳角特殊角的三角函數(shù)值.

18.在一ABC中，AB=6,BC=8,C4=7,點(diǎn)P在直線4c上，"BA=NC,則AP=.

【答案】9

【解析】

【分析】首先證明出△出3?AP3C，然后得到％■=〃■=竺，設(shè)必=3x,則有主=）匚，然后

PBPCBC4x3x+7

求解計算即可.

【詳解】解：；NPB4=NC,ZP=ZP

.,.二PABs一PBC

.PAPBA663

；?設(shè)以=3x,PB=4x

.3x_4x

解得:

4x3x+7

x=3

，AP=3x=9

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

1

19計算:2cos2300-sin30°+

cot300-2sin45°

【答案】1+6+0

【解析】

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可得到答案.

1

【詳解】解：2cos2300-sin30°+

cot30°-2sin45°

2

=2x—L_

2豆-2x也

2

_311

=l+G+&.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，分母有理化，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

20.已知拋物線y=x2+fcr+c與y軸交于點(diǎn)C（0,2）,它的頂點(diǎn)為M,對稱軸是直線x=-l.

（1）求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

（2）將上述拋物線向下平移〃？（機(jī)＞0）個單位，所得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為M請

判斷△M0N的形狀，并說明理由.

【答案】（1））=N+2X+2,頂點(diǎn)M（-1,1）

（2）等腰直角三角形；理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，然后化成頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）設(shè)新拋物線的解析式為廣（x+1）2+1加，把（0,0）代入求得，"的值，即可根據(jù)平移的原則得到頂

點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得。^^。知二2，Mg,即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

解：???拋物線產(chǎn)N+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0,2）,對稱軸是直線4-1.

c-2

f/>=2

/Jb，解得〈c

一一=-lc=2

I2I

拋物線的表達(dá)式為)=N+2X+2,

y-x1+2x+2=(x+1)2+1,

頂點(diǎn)M(-1,1)；

小問2詳解】

解：?.?拋物線向下平移機(jī)(相＞0)個單位，所得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,

設(shè)新拋物線的解析式為廣(x+l)2+1一”3

把(0,0)代入得，0=1+1-m，

m=2,

，頂點(diǎn)N為(-1,-1),

?：M(-1,1),

Z.0!^=(-1)2+口=2,0町=(-1)2+(-1)2=2,MM=22=4,

：.OM=ON,OM2+OM=MM,

AMON是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)特征，求得頂點(diǎn)M、和頂點(diǎn)N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

AFAE

21.如圖，在ABC中，點(diǎn)。在邊A8上，點(diǎn)E、點(diǎn)廠在邊AC上，B.DEHBC,—=—.

FEEC

(2)如果A尸=2,EF=4,AB=661—,求U——匚的值?

BE

【答案】(1)見解析；(2)B

3

【解析】

ApAFyAp

【分析】(1)由平行線分線段成比例，得到——=——=—,即可得到。P〃BE；

ECBDFE

DE

（2）根據(jù)題意，由相似三角形的判定定理，先證明即可求出——的值.

BE

詳解】證明：(1):DE//BC,

.AEAD

"~EC~~BD'

,,AF_AE

,~FE~~EC'

.ADAF

"~BD~~FE'

：.DF//BE；

(2)-：AF=2,EF=4,AB=673.

.ADAF21

"~BD~~FE~4^2

AD=26>BD=46，AE=AF+EF=6,

.AD_2百一百AE_6_V3

??---------------，--―,

AE63AB6y/33

.ADAE

??—，

AEAB

又NA=NA，

△ADEs&AEB,

.DEAEyf3

"BE~AB~3'

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例.解題的關(guān)鍵是利用平行線得出相似

三角形及比例，從而進(jìn)行解題.

22.為了監(jiān)控大橋下坡路段車輛行駛速度，通常會在下引橋處設(shè)置電子眼進(jìn)行區(qū)間測速，如圖，電子眼位

于點(diǎn)P處，離地面的鉛錘高度PQ為9米，區(qū)間測速的起點(diǎn)為下引橋坡面點(diǎn)A處，此時電子眼的俯角為

30°；區(qū)間測速的終點(diǎn)為下引橋坡腳點(diǎn)B處，此時電子眼的俯角為60°（A、B、P、Q四點(diǎn)在同一平

面）.

（1）求路段BQ的長（結(jié)果保留根號）；

（2）當(dāng)下引橋坡度j=l：26時，求電子眼區(qū)間測速路段AB的長（結(jié)果保留根號）.

【答案】（I）BQ=3百米；（2）A8=2而米

【解析】

【分析】（1）由題意可得/PBQ=60。，然后在Rt^PQB中利用60°的三角函數(shù)求解即可；

（2）作于點(diǎn)H,40，3。于點(diǎn)乂，如圖，則四邊形AMQH是矩形，設(shè)AM=a,根據(jù)矩形

的性質(zhì)和坡度的定義可用含a的代數(shù)式表示出PH和AH,易得NPAH=30。，然后利用30°角的三角函數(shù)

即可求出a,再根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）作PD〃QB,如圖，由題意得:ZPBQ=ZDPB=60",

PO9

則在RSQB中，%=sin/PBQ=sin6。。：3出,

即8。=3百米；

尸-------------3

'、、、、?

QB

（2）作于點(diǎn)H,4知，8。于點(diǎn)乂，如圖，則四邊形AMQH是矩形，設(shè)A"=a,

；.HQ=AM=a,AH=MQ,

.*.PH=9-a,

■:i=AM:BM=1:25

BM=26a，

，AH=QM=QB+BM^3y[3+2島,

由題意得：NDPA=NPAH=30。，

PH

在RtAPAH中，：tanNPAH=-~,

AH

tan300=/一"走，解得：a—2,

2y/3a+3y/33

；.AM=2,BM=4g，

AB=4?2+（4司=2小米.

電子眼區(qū)間測速路段AB長為2屈米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)知識

是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在_48。中，點(diǎn)。、G在邊AC上，點(diǎn)E在邊8c上，DB=DC,EG//AB,AE、BD交

于點(diǎn)尸，BF-AG.

(1)求證：ABFEACGE；

（2）當(dāng)ZAEG=NC時，求證：AB2AG-AC.

BE

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

【分析】（1）由EG//A3易證△CGEs^CAB,由性質(zhì)得29=笠由比例性質(zhì)得=由已知

CACBAGBE

BF=AG比例式變?yōu)镴=—，由已知DB=￡）C,利用等邊對等角得NFBE=NGCE,利用兩邊成比例夾

BFBE

角相等知ABFEs^CGE；

（2）由EG〃AB,利用性質(zhì)內(nèi)錯角相等NBAE=NAEG,由己知NAEG=NC,推出NBAE=NC,又

ABBE

NABE=NCBA共用，可證AABES^CBA,由性質(zhì)——二——，NBEA=NBAC,把比例變等積得

BCAB

AB?=BC.BE，由(1)利用性質(zhì)/BEF=/CEG,ZBFE=ZCGE,推出

ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,利用等角對等邊得AC=BC,GC=EC,利用等量代換得AG=BE,可證

AB2=AC.AG.

【詳解】（1）VEG//AB,

\ZCGE-ZCAB,NCEG=NCBA,

\ACGE^ACAB,

?CG——CE

CGCECGCE

-------=-------即nn----=---

CA-CGCB-CEAGBE

「BF=AG

?CG__C__E

'BF-BE

??DB=DC,

\ZDBC=ZDCB,即NFBE=NGCE,

?.△BFE—ACGE,

(2)'：EG//AB,

NBAE=/AEG,

又???NA￡G=NC,

NBAE=NC,

又：NABE=NCBA共用,

.".△ABE^ACBA,

ABBE

-----=-----9NBEA=NBAC,

BCAB

???AB2=BC.BE.

由（1）△BFEsACGE,

.\ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,

EG//AB,

NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

NBAC=NGEC=/ABC=/EGC,

；.AC=BC,GC=EC,

；.AG=BE,

AB2=BC.BE-AC.AG.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì),

等腰三角形的判定與性質(zhì)，會利用換比的方法證三角形相似，會利用相似證角等轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

24.已知頂點(diǎn)為〃（一2,-1）的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0,3）,與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.

1-

O1X

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)AC、MC,求NACM的正切值；

(3)點(diǎn)在R4的延長線上，如果NMPC=45。，求點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x2+4x+3

⑵-

3

(3)尸(-3-跖())

【解析】

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)2-1,把C(0,3)代入解析式，確定a值即可.

(2)設(shè)直線MC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F,且設(shè)直線MC的解析式為y=^+b,把C(0,3),M(—2,—1)代

入解析式，確定F的坐標(biāo)，過點(diǎn)F作尸6人AC于點(diǎn)G,根據(jù)Q4=OC得到等腰直角三角形AGE,根據(jù)

勾股定理，確定AC=30，AG=GF=-AF=—x-=^,計算

2224

CG=AC-AG=3y[2--=^-.根據(jù)正切的定義tanNACM=絲計算即可.

44CG

(3)過點(diǎn)M作肱于點(diǎn)N,則N(-2,0),從而得到24=-2—(—3)=1=MW=0—(-1),得到

等腰直角三角形AAW,得到=NOLO=45°,=NC4尸=135°,結(jié)合已知和外角性

質(zhì)，得到NMPC=45°=NCQ4+NAPM=NC4O=NCR4+NACP,得證NAPM=NACP,從而

ApA^J

證明一APA/s_ACP,列比例式——=——，求得AM=0，代入計算出24,計算PO即可確定坐

ACAP

標(biāo).

【小問1詳解】

因為頂點(diǎn)為M(-2,-1)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2/一1,

把C(0,3)代入解析式，

得3=4?！?,

解得a=l,

所以拋物線的解析式為y=(x+2)2-1即y=爐+4x+3.

【小問2詳解】

設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F,且設(shè)直線的解析式為y=+把C(0,3),代入解析

f—2k+b=—l

式，得匕R>

心=3

%=2

解得q

b-3

所以直線解析式為y=2x+3,

3

所以F的坐標(biāo)為(一一,0),

2

因為y=x2+4x+3,

所以0=d+4x+3，

解得X1=-1,工2=-3，

所以點(diǎn)A(-3,0),8(-1,0),

所以Q4=OC,

所以NOAC=NOC4=45，

過點(diǎn)F作尸GAAC于點(diǎn)G,

33

所以等腰直角三角形AGE,且AR=——(-3)=-,

22

所以AG=GF=^AF=顯乂,=迫,

2224

根據(jù)勾股定理，得=行=30，

所以CG=AC-AG=3痣一乎=乎

GF_372972_1

根據(jù)正切的定義tanZACM

而一丁‘丁一3

【小問3詳解】

過點(diǎn)M作MN上A3于點(diǎn)N,則N（-2,0）,

所以g=一2-(-3)=1=%加=0-(-1),

所以等腰直角三角形AMN,AM=6,

所以ZNAM=NC40=45°,

所以NMPC=45°=ZCPA+ZAPM=ZCAO=ZCPA+ZACP，

所以NAPM=NACP,

所以_APMs=ACP,

…APAM

所以一=——

ACAP

所以叢2=AC.AM=3五?上=6,

解得PA=V6,PA=—y/()(舍去)，

所以P0=3+指，

因為點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，

所以點(diǎn)P(-3-#,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的解析式，對稱性，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的

判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式，拋物線、一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握待定系數(shù)法，三角形相

似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

25.已知，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD=5,BC=8,A￡>=2，點(diǎn)E是邊CO上的一個動

點(diǎn)，點(diǎn)F是邊8C上的一個動點(diǎn)，線段”與線段BE交于點(diǎn)G,且NAGE=NC,設(shè)C￡=x，BF=y.

BFC

(l)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)當(dāng)BE平分/ABC時，求AQCV的值；

(3)分別延長C。、￡4相交于點(diǎn)P,當(dāng).PGE是等腰三角形時，求CE的長.

【答案】(1)y=|x(0<x<5)

8

.1260石

(2)AFCF---------

121

44

(3)——

15

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合，三角形內(nèi)角和等于180，證明AEBS.BEC,得到

BF5

——=——=——，將C￡=x,BF=y,AB=CD=5,BC=8代入計算可得y=/x(0<x<5).

BEBCCE8

(2)延長BE和AO交于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作3。的垂線，交BC于點(diǎn)/,證明,A6”是等腰三角形，得

DHDE

AB=AH=5，得DH=3，證明△DHEs/\CBE，得----=，將CE=x，AB=CD=5，BC=8

BCEC

代入計算得到X和〉的值，再分別計算CF和.的值，即可求得答案.

(3)過點(diǎn)A、。分別作BC的垂線交6c于點(diǎn)K、L,M為PC中點(diǎn)，連接FM,證明、

/\PFC、.PAD是等腰三角形，得到Q4、CF、■的用y表示的值，根據(jù)梯形ABC。是等腰梯形，

TC3

4/^_18。,8，3。得到心。的值，得到cos/C=—2='，利用得到P。、PC的

DC5

用y表示的值，根據(jù)△/>”1是等