重慶一中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

重慶一中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.某廠2017年產(chǎn)值3500萬元，2019年增加到5300萬元.設(shè)平均每年增長率為x,則下面所列方程正確的是()

A.3500(1+%)=5300B.5300(1+%)=3500

C.5300(1+x)2=3500D.3500(1+x)2=5300

2.如圖，在一幅長80cm,寬50cm的矩形樹葉畫四周鑲一條金色的紙邊，制成一幅矩形掛圖，若要使整個掛圖的面

積是5400cm2,設(shè)金色紙邊的寬為xcm,則滿足的方程是()

A.(80+x)(50+x)=5400

B.(80+2x)(50+2x)=5400

C.(80+2x)(50+x)=5400

D.(80+x)(50+2x)=5400

3.有一個正方體，6個面上分別標有1?6這6個整數(shù)，投擲這個正方體一次，則出現(xiàn)向上一面的數(shù)字是奇數(shù)的概率

為()

1111

A.-B.—C?-D.一

2436

4.如圖，點C在反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象上，過點。的直線與x軸，>軸分別交于點A,B,且AB=8C,

x

△AOB的面積為2，則Z的值為(

C.4D.8

5.如圖，四邊形QWC的頂點坐標分別為(0,0),(2,0),(4,4),(-2,2).如果四邊形O,4B'C'與四邊形0A3C位似,

9

位似中心是原點，它的面積等于四邊形。3C面積的二倍，那么點A',8',。的坐標可以是()

A.A'((),3),3'(6,6),C'(3,-3)B.A'(3,()),5'(6,6),。(-3,3)

C.A'(0,3),6'(6,6),C'(—3,3)D.A'(3,0),B'(6,6),C'(3,-3)

6.已知a=3+G,匕=3-6,則后二嬴下的值是()

A.3正B.3GC.±3&D.18

7.如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O,另一邊所在直線與半圓相交于點

D、E,量出半徑OC=5cm,弦DE=8cm,則直尺的寬度是()

A.4cmC.2cmD.1cm

8.如圖，在線段AB上有一點C,在AB的同側(cè)作等腰4ACD和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,NDAC=NCEB,直線

BD與線段AE,線段CE分別交于點F,G?對于下列結(jié)論：?ADCG^ABEG；?AACE^ADCB；③GF-GB=GCGE；

④若ZDAC=ZCEB=90。,貝!|2AD2=DFDG.X中正確的是()

C.①③④D.①②

9.在一個不透明的布袋中裝有9個白球和若干個黑球，它們除顏色不同外，其余均相同。若從中隨機摸出一個球，摸

到白球的概率是g,則黑球的個數(shù)為()

A.3B.12C.18D.27

10.已知關(guān)于x的一元二次方程(x-a)(x-b)-=0(a<b)的兩個根為xi、X2,(xi<X2)則實數(shù)a、b、xi、X2的大小

關(guān)系為()

A.a<xi<b<X2B.a<xi<X2<bC.xi<a<X2<bD.xi<a<b<X2

二、填空題(每小題3分，共24分)

11.如圖，點D、E、F分別位于AABC的三邊上，滿足DEIIBC,EFIIAB,如果AD：DB=3:2,那么BF：FC=.

12.在一個不透明的袋子中裝有8個紅球和16個白球，它們只有顏色上的區(qū)別，現(xiàn)從袋中取走若干個紅球，并放入相

同數(shù)量的白球，攪拌均勻后，要使從袋中任意摸出一個球是紅球的概率是1,則取走的紅球為個.

8

13.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZA=?,AC=20,請用含a的式子表示BC的長.

14.如圖，已知AB_LBD,ED±BD,C是線段BD的中點，且ACJLCE,ED=1,BD=4,那么

15.在RfAABC中，ZA=9O°,AB=3,BC=4則cosB=.

16.一個不透明的布袋中裝有3個白球和5個紅球，它們除了顏色不同外，其余均相同，從中隨機摸出一個球，摸到

紅球的概率是.

17.一個長方體木箱沿坡度/=坡面下滑，當木箱滑至如圖位置時，AB=3m,已知木箱高BE=&m,則木箱端

點E距地面AC的高度EF為?

E.

18.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于圓，點3關(guān)于對角線AC的對稱點E落在邊CD上，連接4E.若NA8C=115,則

NDAE的度數(shù)為

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖，AB是QO的直徑，AC為弦，/BAC的平分線交O于點D,過點D的切線交AC的延長線于

點E.

求證：（1）DE_LAE；

（2）AE+CE=AB.

20.（6分）由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù).如圖，航母

由西向東航行，到達A處時，測得小島C位于它的北偏東70。方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達B

處，測得小島C位于它的北偏東37。方向.如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的。處，求還需航行的距離BO的長.

（參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,sin37°?0.6,my370?0.80,tan370?0.75）

21.（6分）2019年九龍口詩詞大會在九龍口鎮(zhèn)召開，我校九年級選拔了3名男生和2名女生參加某分會場的志愿者工

作.本次學(xué)生志愿者工作一共設(shè)置了三個崗位，分別是引導(dǎo)員、聯(lián)絡(luò)員和咨詢員.

（1）若要從這5名志愿者中隨機選取一位作為引導(dǎo)員，求選到女生的概率；

（2）若甲、乙兩位志愿者都從三個崗位中隨機選擇一個，請你用畫樹狀圖或列表法求出他們恰好選擇同一個崗位的概

率.（畫樹狀圖和列表時可用字母代替崗位名稱）

22.（8分）如圖，在RtZkABC中，NB=90。，NA的平分線交BC于D,E為AB上一點，DE=DC,以D為圓心，以

DB的長為半徑畫圓.

求證：（1）AC是。D的切線;

（2）AB+EB=AC.

23.（8分）已知：A3為。。的直徑，8C=AC，O為AC上一動點（不與A、。重合）.

圖1圖2

（1）如圖1,若3。平分NC84,連接。。交80于點E.①求證：CE=CD；②若OE=1,求AO的長；

（2）如圖2,若繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接AR.求證：AF為。的切線.

24.（8分）“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行,

某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價.已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100

元銷售7輛獲利相同.

（1）求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？

（2）若該型號自行車的進價不變，按（1）中的標價出售，該店平均每月可售出50輛；若每輛自行車每降價20元，

每月可多售出5輛，求該型號自行車降價多少元時，每月可獲利30000元？

25.（10分）已知：如圖，ZABC=90°,點O在射線3C上.

求作：正方形DBEF,使線段3。為正方形。班E的一條邊，且點尸在NABC內(nèi)部.（請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫

作法，但要保留作圖痕跡）

26.（10分）如圖，AB為。的直徑，C、F為。上兩點，且點C為的中點，過點C作AE的垂線，交AF

的延長線于點E，交A5的延長線于點D.

（D求證：DE是。的切線；

3

（2）當89=2,sinD=：時，求AE的長.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、D

【分析】由題意設(shè)每年的增長率為x,那么第一年的產(chǎn)值為3500（1+x）萬元，第二年的產(chǎn)值3500（1+x）（1+x）萬元,

然后根據(jù)今年上升到5300萬元即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)每年的增長率為x,依題意得

3500(1+x)(1+x)=5300,

即3500(1+%)2=5300.

故選：D.

【點睛】

本題考查列出解決問題的方程，解題的關(guān)鍵是正確理解“利潤每月平均增長率為x”的含義以及找到題目中的等量關(guān)

系.

2、B

【詳解】根據(jù)題意可得整副畫的長為(80+2x)cm,寬為(50+2x)cm,則根據(jù)長方形的面積公式可得：(80+2x)(50+2x)

=1.

故應(yīng)選：B

考點：一元二次方程的應(yīng)用

3^A

【解析】投擲這個正方體會出現(xiàn)1到6共6個數(shù)字，每個數(shù)字出現(xiàn)的機會相同，即有6個可能結(jié)果，而這6個數(shù)中有1,

3,5三個奇數(shù)，則有3種可能，根據(jù)概率公式即可得出答案.

【詳解】解：?.?在1?6這6個整數(shù)中有1,3,5三個奇數(shù)，

31

二當投擲這個正方體一次，則出現(xiàn)向上一面的數(shù)字為奇數(shù)的概率是：一=不.

62

故選：A.

【點睛】

此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件

A的概率P(A)=—.

n

4、D

【分析】過點C作CDJ_x軸交于點D,連接OC,則CD〃OB,得AO=OD,CD=2OB,進而得△<%>￡>的面積為4,

即可得到答案.

【詳解】過點C作CDJLX軸交于點D,連接OC,則CD〃OB,

,:AB=BC,

.?.AO=OD,

AOB是AADC的中位線，

.?,CD=2OB,

：AAOB的面積為2,

A\COD的面積為4,

?.?點C在反比例函數(shù)y=f(x>0)的圖象上,

:.k=2x4=8,

故選D.

【點睛】

本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，添加輔助線，求出ACOD的面積，是解題的關(guān)鍵.

5、B

【分析】根據(jù)位似圖形的面積比得出相似比，然后根據(jù)各點的坐標確定其對應(yīng)點的坐標即可.

9

【詳解】解：I?四邊形OABC與四邊形O'A'B'C關(guān)于點O位似，且四邊形的面積等于四邊形OABC面積的二，

4

四邊形OABC與四邊形O'A'B'C的相似比為2:3,

?.,點A,B,C分別的坐標(2,0),(4,4),(—2,2)),.?.點A',B',C'的坐標分別是(3,0),(6,6),(-3,3)或(-3,

0),(-6,-6),(3,-3).

故選：B.

【點睛】

本題考查了位似變換及坐標與圖形的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩圖形的面積的比確定其位似比，注意有兩種情況.

6、A

【解析】先把二次根式化簡變形，然后把a、b的值代入計算，即可求出答案.

【詳解】解：???。=3+百功=3-百，

\Ja2—ab+b1-yl(a—b)2+ab

=7(3+V3-3+V3)2+(3+^)(3-A/3)

=112+9-3

=372；

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式進行化簡.

7、B

【分析】過點O作OMLDE于點M,連接0D,根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”和

勾股定理進行計算，即可求出答案.

【詳解】過點。作OMLDE于點M,連接OD.

.\DE=&DE,

3

*/DE=8cm,

；?DM=4cm,

在RtAODM中，VOD=OC=5cm,

-0M=\0D2-DM2=\5：T，=3cm

直尺的寬度為3cm.

故答案選B.

【點睛】

本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，靈活運用這些定理是解答本題的關(guān)鍵.

8、A

【解析】利用三角形的內(nèi)角和定理及兩組角分別相等證明①正確；根據(jù)兩組邊成比例夾角相等判斷②正確；利用③的

相似三角形證得NAEC=NDBC,又對頂角相等，證得③正確；根據(jù)△ACEs^DCB證得F、E、B、C四點共圓，由此推出

△DCF^ADGC,列比例線段即可證得④正確.

【詳解】①正確：在等腰AACD和等腰AECB中AC=AD,EC=EB,NDAC=NCEB,

二ZACD=ZADC=ZBCE=ZBEC,

.,.ZDCG=180°-ZACD-ZBCE=ZBEC,

VZDGC=ZBGE,

/.ADCG^ABEG;

②正確；VZACD+ZDCG=ZBCE+ZDCG,

:.ZACE=ZDCB,

..ACDC

?~EC~~BC'

.,.AACE^ADCB；

③正確；VAACE^ADCB,

:.ZAEC=ZDBC,

VZFGE=ZCGB,

.,.△FGE<^ACGB,

.,.GFGB=GCGE；

④正確；如圖，連接CF,

由②可得AACE^ADCB,

:.ZAEC=ZDBC,

??.F、E、B、C四點共圓，

，NCFB=NCEB=90°,

VZACD=ZECB=45°,

.?.ZDCE=90°,

.".△DCF^ADGC

.DF_DC

''~DC~~DG'

:.DC2=DF?DG,

,:DC=y/2AD,

.*.2AD2=DFDG.

故選：A.

【點睛】

此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，③的證明可通過②的相似推出所需要的條件繼而得到證明；

④是本題的難點，需要重新畫圖，并根據(jù)條件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判斷連接CF,由此證明F、E、

B、C四點共圓，得到NCFB=NCEB=90。是解本題關(guān)鍵.

9、C

【分析】設(shè)黑球個數(shù)為x,根據(jù)概率公式可知白球個數(shù)除以總球數(shù)等于摸到白球的概率，建立方程求解即可.

【詳解】設(shè)黑球個數(shù)為X,由題意得

9_1

x+93

解得：x=18

故選C.

【點睛】

本題考查根據(jù)概率求數(shù)量，熟練掌握概率公式建立方程是解題的關(guān)鍵.

10、D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】如圖，設(shè)函數(shù)y=(x-a)(x-b),

當y=O時，

x=a或x=b,

當y=J?時，

由題意可知：(x-a)(x-b)-；=O(a<b)的兩個根為xi、X2,

由于拋物線開口向上，

由拋物線的圖象可知：xi<a<b<x2

故選：D.

【點睛】

本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，本題屬于中等題型.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11,3:2

e注ul,,AOAE3,CECF2.BF3?

【解析】因為DE//8C,所以；工=——=—，因為EF//48,所以；了=——=—，所以；不=—，故答案為:3:2.

DBEC2EABF3FC2

12、1

8-rI

【解析】設(shè)取走的紅球有x個，根據(jù)概率公式可得方程2—=-,解之可得答案.

8+168

【詳解】設(shè)取走的紅球有X個,

根據(jù)題意，得：——

8+168

解得：x=l,即取走的紅球有1個，

故答案為：1.

【點睛】

此題主要考查了概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)十所有可能出現(xiàn)的

結(jié)果數(shù).

13、20tana

【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其對邊與鄰邊的比值，據(jù)此求解即可.

【詳解】在口△ABC中，VZA=a,AC=20,

BC

-----=tana,即BC=20tana.

AC

故答案為：20tana.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

14、4

【解析】VAB±BD,ED±BD.\ZB=ZD=90°,ZA+ZACB=90°

ABBC

VAC±CE,即NECD+NACB=90°，NA=NECDMABCs/iCDE，^~~-='~/.AB=4

CDDE

3

15、

4

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進而得出cosB=—求出即可.

BC

【詳解】解：VZA=90°,AB=3,BC=4,

eAB3

則cosB=----=—.

BC4

故答案為：43.

4

B

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確把握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5

16、-

8

【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.

【詳解】根據(jù)題意可得：一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的3個白球和5個紅球，共5個，從中隨機摸出

一個，則摸到紅球的概率是三=，

故答案為：

8

【點睛】

本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件

A的概率P(A)=—.

n

17、1

【分析】連接AE,在RtZkABE中求出AE,根據(jù)NEAB的正切值求出NEAB的度數(shù)，繼而得到NEAF的度數(shù)，在

RtZkEAF中，解出EF即可得出答案.

【詳解】解：連接AE,

在RtZ\ABE中，AB=lm,BE=V5m,

則AE=JAB?+BE^=2百m,

r，BEy/j

又,.,tanNEAB=-----=-----,

AB3

.".ZEAB=10°,

在RSAEF中，ZEAF=ZEAB+ZBAC=60°,

:.EF=AExsinZEAF=28x@=lm,

答：木箱端點E距地面AC的高度為Im.

故答案為：L

【點睛】

本題考查了坡度、坡角的知識，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，熟練運用三角函數(shù)求線段的長度.

18、50°

【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形對角互補，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形ABCD內(nèi)接于圓，NABC=115，

.,.ZADC=180°-115o=65°,

又?.?點B關(guān)于對角線AC的對稱點E落在邊CD上，

/.ZAEC=ZABC=115°,

:.ZDAE=ZAEC-ZADC=115°-65o=50°.

故答案為：50°.

【點睛】

此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及三角形的外角，正確得出NAEC和NADC的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出NCAD=NODA,利用“內(nèi)錯角相等，兩直線

平行”可得出AE//OD,結(jié)合切線的性質(zhì)即可證出DE_LAE；

(2)過點D作DMJ_AB于點M,連接CD、DB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出DE=DM,結(jié)合

AD=AD、NAED=NAMD=90。即可證出ADAEg△DAM(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AE=AM,由

NEAD=NMAD可得出CO=BO,進而可得出CD=BD,結(jié)合DE=DM可證出RtADEC^RtADMB(HL),根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得出CE=BM,結(jié)合AB=AM+BM即可證出AE+CE=AB.

【詳解】(1)連接OD,如圖1所示，

圖1

vOA=OD,AD平分/AC,

.?./OAD=/ODA,NCAD=/OAD,

../CAD=NODA,

.-.AE//OD,

DE是.。的切線，

.?2ODE=90，

.-.OD1DE,

.-.DE±AE;

⑵過點D作DM_LAB于點M,連接CD、DB,如圖2所示,

AD平分/BAC,DEJ_AE,DM±AB,

，DE=DM,

DE=DM

在一DAE和cDAM中，,NAE。=/AMD=90

AD=AD

.?^DAE^ADAM(SAS),

.-.AE=AM?

4AD=^MAD,

db=而，

CD=BD，

DE=DM

{CD=BD,

.-.RtDEC^RtDMB（HL）,

.?.CE=BM,

..AE+CE=AM+BM=AB.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及

圓周角定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用平行線的判定定理找出AE//OD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出

AE=AM、CE=BM.

20、還需要航行的距離BD的長為20.4海里.

【解析】分析：根據(jù)題意得：ZACD=70°,NBCD=37。，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函數(shù)得出CD=27.2

海里，在直角三角形BCD中，得出BD,即可得出答案.

詳解：由題知：ZACD=70。，N5C￡>=37。，AC=80.

CDCD

在RtMCD中，cos/ACO=——，,0.34=——，CD=27.2（海里）.

AC80

在R/ABC。中，tanNBCO=處，.?.0.75=絲，.?.30=20.4（海里）.

CD27.2

答：還需要航行的距離BD的長為20.4海里.

點睛：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，三角函數(shù)的應(yīng)用；求出CD的長度是解決問題的關(guān)鍵.

21

21、（1）隨機選取一位作為引導(dǎo)員，選到女生的概率為一；（2）甲、乙兩位志愿者選擇同一個崗位的概率為一.

53

【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；

（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的情況，共9中可能的結(jié)果數(shù)，選擇同一崗位的有三種，可求出概率.

22

【詳解】（1）5名志愿者中有2名女生，因此隨機選取一位作為引導(dǎo)員，選到女生的概率為彳，即：P=~,

2

答：隨機選取一位作為引導(dǎo)員，選到女生的概率為

（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的情況：

???/擇同-個崗位=?

答：甲、乙兩位志愿者選擇同一個崗位的概率為

3

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

注：尋示引導(dǎo)員，B表示聯(lián)絡(luò)員，C表示咨詢員

【點睛】

本題考查了隨機事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是用列表法或樹狀圖表示出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，用列表法或樹狀圖的前

提是必須使每一種情況發(fā)生的可能性是均等的.

22、（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）過點D作DF_LAC于F,求出BD=DF等于半徑，得出AC是。D的切線；

（2）根據(jù)HL先證明RtABDE^RtADCF,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)得出AB=AF,即可得出

AB+BE=AC.

【詳解】證明：（1）過點D作DF_LAC于F；

；AB為。D的切線，AD平分NBAC,

/.BD=DF,

.'AC為。D的切線.

(2)：AC為OD的切線，

.?,ZDFC=ZB=90°,

在RtABDE和RtAFCD中；

VBD=DF,DE=DC,

/.RtABDE^RtAFCD(HL),

.,.EB=FC.

VAB=AF,，AB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC.

【點睛】

本題考查的是切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；以及及全等三角形的判斷與性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)等.

23、(1)①見解析，②2；(2)見解析

【分析】(1)①先根據(jù)圓周角定理得出NCB4=N84C=45。，再得出NBCO=45。，再根據(jù)角平分線的定義得出

ZCBD=ZDBA,最后根據(jù)三角形外角定理即可求證；②取3。中點G,連接0G,可得0G是中位線，根據(jù)平行

線的性質(zhì)得N0G￡=N0EG,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OG=OE=1,最后再根據(jù)中位線的性質(zhì)得出

AD=2OG=2,

(2)8C上截取8P=AD,連接。P,由題意先得出BC=AC,再得出=135°,然后由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得

NBDF=90。、BD=FD,再根據(jù)同角的補角相等得出NCBO=NADF,然后證的ADE4三△aDP(S4S),最后

得出NB43=90°即可證明.

【詳解】解：(D①證明：QAB為。。的直徑，

：.ZBCA=90°.

BC=AC>

ZCBA=ABAC=45°,ZBOC=90°.

ZBCO=45°.

QBD平分/CBA,

:"CBD=ADBA.

■./CED=/CBD+/BCE,

ZCDE=ZABD+ABAC,

:"CED=NCDE.

CE=CD；

②解法一：如圖，取8D中點G,連接OG,

。為A8的中點,

:.AD^2OG,OG//AD.

/OGE=/CDE.

.ZOEG=ZCED,ZCED=ZCDE,

:.ZOGE=ZOEG.

OG-OE—1.

.?.AZ)=2OG=2；

解法二：如圖，作EM_L3C,垂足為M,

。3。平分/。胡，EOLAB,

：.EM=EO=\.

ZBCO=45°.

.-.ZMEC=ZBCE^45°.

:.CM=EM=L

:.CE=ylEM2+CM2=VT+1=V2-

;.CD=CE=&

：.OC=OE+CE=6+T.

在RtAAOC中，AC=\lAO2+OC2=V2OC=V2x(72+1]=2+^.

:.AD=AC-CD=2i

解法三：如圖，作DNLAB,垂足為N,

設(shè)CE=x

QB。平分NCfi4,DN±AB,

ND=CD=CE=x.

ZE4C=45°

二AD=6DN=Cx

,AC=V20C，即CO+AD=V2（CE+OE）

:.X+Cx=e（X+l）

解得：x=

?**AD=yflx-2

（2）證明（法一）：如圖，在BC上截取BP=AD,連接。P.

.NC3A=ZBAC=45。，

BC^AC.

:.CP=CD.

：.ACPD=45°.

,-.ZBPD=135°.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，NBDF=90°,BD=FD.

ZBDC+ZFDA-90°.

-:ZBDC+ZCBD=90°,

NCBD=ZADF.

：.ADE4三ABDP（SAS）.（SAS沒寫不扣分）

.?.NE4D=ZDBO=135°.

ZFAB=ZFAD-ABAC=135°—45°=90°.

：.OA±AF.

為。的切線.

證法二：如圖，延長D4到Q,使。Q=CB.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，NBDF=90°,BD=FD.

:.NBDC+NFDA=90。.

ABDC+ZCBD=90°,

：.ZCBD=ZADF.

..^DFQ^ABDC（SAS）.（胡S沒寫不扣分）

FQ=CD,NDQF=ZBCD=90°.

BC=AC>

BC=AC.

DQ=AC.

AQ=DC.

：.FQ=DC.

ZFAQ=ZAFQ=45°.

：.ZFAB=1800-ZFAQ-NBAC=90°.

：.OALAF.

??.AF為。的切線.

證法三：作FH_LC4交C4延長線于點H.（余下略）

B.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，ZBDF=90°,BD=DF

：.ZBDC+ZFDA^90°.

ZBDC+ZCBD^9Q0,

；.NCBD=ZADF.

,：NBCD=ZDHF=90。

:.gDCN^DFH(AAS)

:.DC=FH、BC=DH

BC=AC

:.BC^AC

...DH=AC

:.AH=DC

：.NFAH=ZAFH=45。

,:AB為。的直徑，

:.ZBC4=90°

/.ZC4B=ZABC=45°

:.ZFAB=180。一ZFAH-ABAC=90°

：.OA±AF.

；?AF為。的切線.

【點睛】

本題主要考察圓周角定理、角平分線定義、中位線性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)等，準確作出輔助線是關(guān)鍵.

24、(1)該型號自行