2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第22講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第22講平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精講)

題型目錄一覽

①平面向量的概念

②平面向量的線性運(yùn)

③共線向量定理的應(yīng)

用

、知識點(diǎn)梳理

一、向量的有關(guān)概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作|AB|.

(3)特殊向量：①零向量：長度為。的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

二'向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

(1)向量的線性運(yùn)算

、-A->r-

四舁定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量和的a+b=b+a

加法

、—A-A-②結(jié)合律

百舁aa

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求〃與匕的相反

減法向量-B的和的ci—b=Q+(—Z?)

運(yùn)算叫做。與ba

的差三角形法則

(1)\AdHA\\a\

=(，/)Q

求實(shí)數(shù)4與向量(2)當(dāng)4>0時(shí)，4。與〃的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(A+4)a=+jua

a的積的運(yùn)算幾<0時(shí)，4a與a的方向相反；

2(a+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時(shí)，Xa—0

注：①向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

②兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，

兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

三'平面向量基本定理和性質(zhì)

(1)共線向量定理

如果”勸(2eR),貝反之，如果。//6且6片0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)2,使人(口訣：數(shù)乘即得

平行，平行必有數(shù)乘).

(2)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)人〃，使0C=X0A+〃08,其中彳+〃=1,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

若A,B、C三點(diǎn)共線o存在唯一的實(shí)數(shù)力，使得AC=2ABo存在唯一的實(shí)數(shù)力，使得OC=04+448

O存在唯一的實(shí)數(shù)力，使得6^=(1-團(tuán)04+203=存在；1+〃=1,使得OC=404+“08.

(3)中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量AD=g(AB+AC),反之亦正確.

①向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱為多邊形法則.一

般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量.

即44+4A++4-4=44.

②特別地：||。|-|匕|區(qū)|〃±。|或|〃±b區(qū)|〃|+|匕|當(dāng)且僅當(dāng)a,b至少有一個(gè)為0時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等

號成立.

③A、P、3三點(diǎn)共線o。尸=（1-。。4+/。8QeR）,這是直線的向量式方程.

二、題型分類精講

題型一平面向量的概念

畬策略方法解答與向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

⑴平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的.

⑵向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小.

⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一

談.

（4）非零向量a與曲的關(guān)系：曲是與a同方向的單位向量.

【典例1】（多選題）下列說法正確的是（）

A.向量的長度與向量A。的長度相等B.零向量與任意非零向量平行

C.長度相等方向相反的向量共線D,方向相反的向量可能相等

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的有關(guān)概念進(jìn)行判定即可.

【詳解】A.向量OA與向量A。的方向相反，長度相等，故A正確；

B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行，故B正確；

C.能平移到同一條直線的向量是共線向量，所以長度相等，方向相反的向量是共線向量，故C正確；

D.長度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正確.

故選：ABC.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)。為正六邊形ABCOE尸的中心，下列向量中，與。4相等的是（）

E

A.DOB.EOC.FOD.CO

【答案】A

【分析】根據(jù)相等向量的定義即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)橄嗟认蛄渴侵搁L度相等且方向相同的向量Q為正六邊形ABCDEF的中心,

所以。。與。4模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；

E0與。4只是模相等的向量，故B錯(cuò)誤；

尸。與。4只是模相等的向量，故C錯(cuò)誤；

C。與04只是模相等的向量，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.向量AB與BA是相等向量

B.共線的單位向量是相等向量

C.零向量與任一向量共線

D.兩平行向量所在直線平行

【答案】C

【分析】根據(jù)向量相等和平行的定義逐項(xiàng)分析可以求解.

【詳解】對于A,AB=-BA，故A錯(cuò)誤；

對于B,兩個(gè)單位向量雖然共線，但方向可能相反，故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)榱阆蛄繘]有方向，所以與任何向量都是共線的，故C正確；

對于D,兩個(gè)平行向量所在的直線可能重合，故D錯(cuò)誤；故選：C.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）給出如下命題：

①向量AB的長度與向量BA的長度相等；

②向量d與6平行，則&與方的方向相同或相反；

③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；

④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

⑤向量與向量CO是共線向量，則點(diǎn)A,B,C,。必在同一條直線上.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的基本概念，對每一個(gè)命題進(jìn)行分析與判斷，找出正確的命題即可.

【詳解】對于①，向量AB與向量54,長度相等，方向相反，故①正確；

對于②，向量。與b平行時(shí)，〃或b為零向量時(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；

對于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；

對于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；

對于⑤，向量AB與是共線向量，點(diǎn)A,B,C,。不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤.

綜上，正確的命題是①③.

故選:B.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.單位向量都相等

B.平行向量不一定是共線向量

C.對于任意向量6,必有|a+b|ga]+聞

D.若a,。滿足|°|>|加且°與）同向，貝b>6

【答案】C

【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C分類討論向量

的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.

【詳解】依題意，

對于A,單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；

對于B,平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；

對于C,若a,5同向共線，\a+b\4a\+\b\,

若3）反向共線，|a+b|<|a|+|6|,

若“涉不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及

兩邊之和大于第三邊知I:+笳<13+山.

綜上可知對于任意向量a,6,必有|a+b|M|a|+|b|,故正確；

對于D,兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（2023?廣東揭陽??？级＃┰O(shè)e是單位向量，AB=3e，CD=-3e，|AD|=3,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由題知岌=3）=-蒼，進(jìn)而得|A目=,4，AB//CD,再根據(jù)菱形的定義即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)榱P=30，CD=-3e，

uuu!uuu,|UUB||UUU|II||!|

所以AB=3e=-CZ>，即AB//C。，網(wǎng)=皿=慟=3付=3,

所以四邊形ABCD是平行四邊形，

因?yàn)榫W(wǎng)=3,即網(wǎng)=網(wǎng)，

所以四邊形ABCD是菱形.

故選：B

ab

6.（2023?北京大興??？既＃┰O(shè)“，方是非零向量，“口=愀”是“〃=方”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.

ab

【詳解】由R=W表示單位向量相等，貝D同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出

ab

由a=b表示同向且模相等，則同=慟，

ab

所以“口=w”是“。=A”的必要而不充分條件.

故選：B

二、填空題

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，已知正六邊形ABCQEF,。是它的中心.（1）與低相等的向量有

;（2）與&相等的向量有；（3）與）"共線的向量有■

【答案】ED，F(xiàn)O'OCOA,EF,DOCB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE

【分析】利用相等向量和共線向量的定義解答即可.

【詳解】（1）與幾相等的向量有訪，F(xiàn)O,QC>

（2）與&相等的向量有61,辦,而；

⑶與應(yīng);共線的向量有昂,也公,向左，血國,京昆.

故答案為：訪，PQ,OC'OA,EF,DO<CB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE-

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）有下列命題：

①單位向量一定相等；

②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；

③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；

④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；

⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為.

【答案】3

【分析】由相等向量、相反向量的知識依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】對于①，兩個(gè)單位向量方向不同時(shí)不相等，①錯(cuò)誤；

對于②，方向相同且模長相等的向量為相等向量，與起點(diǎn)無關(guān)，②正確；

對于③，相等的非零向量方向相同且模長相等，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)不同，③正確；

對于④，單位向量模長相等，又方向相反，則這兩個(gè)向量為相反向量，④正確；

對于⑤，若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，且模長相等且不為零，則終點(diǎn)的軌跡為球面，⑤錯(cuò)誤;

則正確的命題個(gè)數(shù)為3個(gè).故答案為：3.

題型二3面向量的線性運(yùn)算

畬策略方法平面向量的線性運(yùn)算技巧

⑴不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

⑵含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的

中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.

【典例1】（多選題）已知M為AA8C的重心，。為邊8c的中點(diǎn)，則（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC^O

C.BM=^BA+^BDD.AB+AC=+MC^

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算、基本定理一一判定即可.

【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得MB+MC=2MD,故A正確；

由題意得M為線段AD的靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以=

又MB+MC=2MD,所以MA+M3+MC=0,故B正確；

BM=BA+^AD=BA+^BD-BA）=^BA+^BD,故C正確；

AB+AC=2AD，MB+MC=2MD,又AD=3Affl,所以A8+AC=3（MB+MC）,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?山東棗莊.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，化簡AB-AT>+CCj=（）

UUUL

A.BD}B.DBtC.AC]D.C\

【答案】B

【分析】由空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】由長方體的結(jié)構(gòu)特征，有CG=BB、,

貝!）AB-AD+CQ=DB+CC；=DB+BB,=DB1.

故選：B

2.（2023?安徽銅陵?統(tǒng)考三模）在平行四邊形ABCD中，M是8邊上中點(diǎn)，則240=（）

A.AC-2ABB.AC+2ABC.2AC-ABD.2AC+AB

【答案】C

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)镸是平行四邊形ABCD的CO邊上中點(diǎn)，所以=

所以AM=AC+CM=AC--AB,

所以2AM=2AC-A3.

故選：C.

3.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，BD=DC，則A￡>=（）

1111

A.-AB——ACB.-AB+-AC

2222

C.2AB+2ACD.2AB-AC

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得答案.

【詳解】由BO=OC可得。為BC邊中點(diǎn)，如圖所示:

22、722

故選:B.

4.(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知。為一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足貝|()

3121

A.AD=-AB——ACB.AD=-AB+-AC

2233

C.AB=AAD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運(yùn)算即可求解.

【詳解】如圖，

所以AO=A8+BD=AB+±BC=++

-44'>44

故A,B錯(cuò)誤；

13

由AD=：AB+：AC,可得AB=4AD-3AC,故C正確，D錯(cuò)誤，

故選:C.

5.(2023春?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))在.ABC中，8。=,E為AD中點(diǎn)，則EB=

()

41215171

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-AB+-AC

36366363

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的減法法則和平行四邊形法則對向量進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化即可.

【詳解】因?yàn)?E為AD中點(diǎn),

119121

所以EBuAB—AEuA3——AD=AB——(-AB+-AC)=-AB——AC.

223336

故選：B.

6.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在,ABC中，點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在8C上且破=2EC.記AB=a,AC=b，則

ED=（）

1-1『11,11,11

A.——a+—bB.——a——bC.——a——bD.-a——7b

36366336

【答案】B

【分析】利用向量加法、減法法則線性表示即可.

【詳解】如圖所示：

所以8C=AC-A8=8-a,

又BE=2EC,

:.EC=-BC=-（b-a\,

33、>

又因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，

■,CD=--b,

2

貝!|ED=EC+CD=--a--b,

36

故選:B.

7.（2023?湖南長沙?長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）如圖，在ABC中，M為線段8C的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)，

41

AG=2GM，過點(diǎn)G的直線分別交直線A3,AC于尸，。兩點(diǎn)，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,則Q

的最小值為（）.

A

C.3D.9

【答案】B

【分析】先利用向量的線性運(yùn)算得到AG=mAP+gAQ,再利用三點(diǎn)共線的充要條件，得至|jN+y=3,再利用基本

不等式即可求出結(jié)果.

121

【詳解】因?yàn)镸為線段8C的中點(diǎn)，所以A〃=5（4B+AC）,又因?yàn)锳G=2GM,所以AG=§AM=§（43+AC）,

又AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,所以AG=qAP+gAQ,

又P,G,。三點(diǎn)共線，所以3+]=1,即x+y=3,

^±1)1

所以45=黑+AT）H）]=2+M++>-(5+2

X4

當(dāng)且僅當(dāng)黃7=也二，即x=|,y4時(shí)取等號.

二、多選題

8.（2023春?云南昆明?高三?？茧A段練習(xí)）下列能化簡為PQ的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+^PA+BQj

C.（AB+PC）+（BA-QC）D.PA+AB-BQ

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷即可.

ULUUULIUUUUUL1UUUU

【詳解】解：對于A,QC-QP+CQ^-QP=PQ，故A正確；

ULUUUULIULILUULIUULHL

對于B,AB+PA+BQ=AQ+PA=PQ,故B正確；

/uimuim、/Uiruum、uimumnuum

對于c,[AB+PC）+（BA-QC）=PC+CQ=PQ,故C正確；

對于D,PA+AB-BQ=PB-BQ,故D不合題意；

故選：ABC.

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在，ABC中，若點(diǎn)。，E,P分別是BC,AC,A3的中點(diǎn)，設(shè)A。，BE,

C尸交于一點(diǎn)。，則下列結(jié)論中成立的是（）

A.BC^AC-ABB.AD=-AC+-AB

22

2222

C.AO=-AC+-ABD.OC^-AC——AB

3333

【答案】AB

【分析】利用向量的加減法則進(jìn)行判斷.

【詳解】根據(jù)向量減法可得=AC-A3,故A正確；

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以+故B正確；

22

由題意知。是.ABC的重心，

Q0111

貝（jAO=1AO=§*5（AC+AB）=§AC+mA2,故C錯(cuò)誤；

221111121

OC=——CF=——x-（CB+CA）=一CB——CA=一（CA+AB）——CA=-AC——AB,故D錯(cuò)誤.

332333333

故選：AB.

三、填空題

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）化簡：AB-CB+CD=.

【答案】AD

【分析】由向量的加減法法則計(jì)算.

ULULULIUUUIULUUUUIUUUUUU

【詳解】AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD-

故答案為:AD-

11.（2023?河南商丘?商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在平行四邊形A3CD中，點(diǎn)石滿足登=彳品,

13

DE=-AB——AD,則實(shí)數(shù)4=______.

44

【答案】；

【分析】利用向量的四則運(yùn)算化簡求值.

【詳解】如圖所示:

平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足藍(lán)=丸品，

13

DE=DA+AE=DA+^AC=-AD+^AB+AD^=^AB+^-1)AD=-AB——AD

44

解得：2

4

故答案為：；

4

12.（2023春?貴州黔東南?高三?？茧A段練習(xí)）在一ABC中，若點(diǎn)P滿足=2PC,設(shè)AB=XAP+〃AC,貝|勿=

【答案】-6

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可用ABAC表示A5,求出的值后可求M的值.

【詳解】

因?yàn)槎?2無,^AP-AB=2（AC-AP\

整理得至！J：AB=3AP-2.AC，故XAP+〃AC=3AP-2AC,

而8P=2PC,故尸為線段8C靠近C的三等分點(diǎn)，故AP,AC不共線,

故;1=3,〃=-2即=一6故答案為：-6.

題型三共線向量定理的應(yīng)用

多策略方法共線向量定理的三個(gè)應(yīng)用

1證明向;對于向量明力,若存在實(shí)數(shù)入，使a=Xb{b\

量共線1-W0),則a與方共線：

證明三若存在實(shí)數(shù)A,使啟=AAC,^A,B,CB\

—

點(diǎn)共線點(diǎn)共線1

求參數(shù)利用共線向量定理及向量相等的條件列：

—

的值方程(組)求參數(shù)的值：

【典例1](單選題)已知4,6是不共線的向量，S.AB=3a+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b,貝!!()

A.A、B、。三點(diǎn)共線B.A、B、C三點(diǎn)共線

C.B、C、。三點(diǎn)共線D.A、C、。三點(diǎn)共線

【答案】D

【分析】利用平面向量共線向量定理求解.

【詳解】因?yàn)锳B=3a+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b，

所以AD=3a—6b9

(3=34

若A、B、D三點(diǎn)共線，貝!lAB=2AO,而/"無解，故A錯(cuò)誤；

[4=—OX

因?yàn)锳B=3Q+4Z?,BC=—2a—6b,CD=2a—4b9

所以AC二a—2人，

f3=A

若A、B、C三點(diǎn)共線，貝！|A3=XAC,而/”無解，故B錯(cuò)誤；

14=—ZZ

因?yàn)?3。+4"=-2。-6"CD=2a-4Z?,

所以3D=3C+CD=—10b，

—2=0

若B、C、D三點(diǎn)共線，貝!=而(無解，故C錯(cuò)誤;

—o=-10Z

因?yàn)锳B=3a+4b,5C=-2a-6b,CD=2〃-4b,

所以AC=a-26,AZ>=3a-6b,

即AC=(AD,所以A、C、D三點(diǎn)共線，故D正確.

故選：D

【典例2]如圖，在11ABe中，點(diǎn)。，E是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，S.AD+AE=xAB+yAC,則％+V=

14

一+一的最小值為.

%y

A

【分析】設(shè)AD=mAB+〃AC,AE=AAB+JuAC,由8,D,E,C共線及已知可得x+y=2,從而有

14114

—+—=—(%+y)?(一+—),然后利用基本不等式即可求解；

xy2xy

【詳解】解：AZ)=mAB+nAC,AE=AAB+JLLAC9

BfD,E,。共線，

:.m+n=\,4+4=1,

AD+AE=xAB+yAC,

又AO+A石=(加+A)AB+(n+〃)AC

n

:.x=m+X9y=+M,

.?.X+y=M+幾+X+〃=2,顯然％>0,y>0,

當(dāng)且僅當(dāng)上y=一4x且x+y=2即X=2J,y=4=時(shí)取等號，故答案為：2；Q

尤y332

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知g=4令+24，p。=26+，4，若M、P、。三點(diǎn)共線，貝卜=（）

A.1B.2C.4D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量共線定理，列方程組即可求解.

【詳解】解：???M、P、。三點(diǎn)共線，則與尸。共線，

AMP=A,PQ,即46I+2?2=/1（24+加2）,得］：］?，解得f=L

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若平面四邊形A8CO滿足：AB+CD=0,（42-AD）-AC=0,則該四邊形一定是（）

A.平行四邊形B,菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數(shù)量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.

【詳解】AB+CD=O,:.AB=DC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

（AB-AD）-AC=O,:.DBAC=O,

所以BD垂直AC,所以四邊形ABCD為菱形.

故選：B

_4

3.（2023?全國?局三專題練習(xí)）已知向量萬不共線，若向量力=。+丁油與向量q=共線，則機(jī)的值為（）

A.±-B.0或；C.0或1D.0或3

22

【答案】A

【分析】根據(jù)向量共線的條件p=2q,代入化簡,對應(yīng)系數(shù)相等

【詳解】因?yàn)?.與q=b+3n?a共線，可設(shè)P=Xq,即。+=彳（6+3〃也），因?yàn)?，萬不共線，所以

3mA=1,

1

,4,所以加=土＞

—m=z,2

13

故選:A.

4.（2023春?湖北?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量a,b,貝廣。與6共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)2使得a=助”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】充分性根據(jù)6=0,。*0驗(yàn)證；必要性直接證明即可.

【詳解】當(dāng)人=0,aw0時(shí)，滿足。與）共線，

但是不存在實(shí)數(shù)4使得a=助，

故充分性不成立；

存在唯一實(shí)數(shù)2使得°=勸則。與，共線成立，

即必要性成立.

故“。與b共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)2使得a=勸”的必要不充分條件.

故選：B.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)0,6是不共線的兩個(gè)平面向量，已知A3=a-2b,BC=3a+kb（keR）,若A,

B,C三點(diǎn)共線，則后=（）

A.2B.-2C.6D.-6

【答案】D

【分析】根據(jù)向量數(shù)乘及向量共線條件，即可求得左的值.

【詳解】若A、B、。三點(diǎn)共線，則A3//3C，

即滿足系數(shù)成比例，則々=

一21

解得上=-6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)乘的意義，平面向量共線求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若CB-PB=2PA，其中屆R,則點(diǎn)尸一定在

()

A.AC邊所在的直線上B.邊所在的直線上

C.A8邊所在的直線上D.△ABC的內(nèi)部

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算整理可得，再結(jié)合向量共線分析即可.

【詳解】=PB=PC+CB

：.CB-(PC+CB)=2PA,貝！|-PC=；IPA，則CP=2PA

ACP//PA

AP點(diǎn)在AC邊所在直線上.

故選：A.

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))在ABC中，點(diǎn)尸是邊8C上一點(diǎn)，若=+則實(shí)數(shù)九=()

4

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】D

【分析】利用向量共線定理設(shè)=〃>0,通過線性運(yùn)算得AP=(1-〃)AB+〃AC,結(jié)合題目條件得到方程

組，解出即可.

【詳解】作出如圖所示圖形:

8,P,C三點(diǎn)共線，故可設(shè)=〃>0,

貝！JAP=A5+5P=A5+〃5C=A5+〃（AC-AB）=（1-〃）A5+〃AC,

（

i1-"二一13

AP=-AB+A.AC,:.\"4,解得2=-.

44

[〃=22

故選：D.

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知點(diǎn)O,P在ABC所在平面內(nèi)，滿OA+OB+OC=0,|尸$=|尸目=,。|，則點(diǎn)。，2

依次是_ABC的（）

A.重心，外心B.內(nèi)心，外心C.重心，內(nèi)心D.垂心，外心

【答案】A

【分析】設(shè)A3中點(diǎn)為D,進(jìn)而結(jié)合向量加法法則與共線定理得C三點(diǎn)共線，。在ABC的中線CZ）,進(jìn)而得。

為一ABC的重心，根據(jù)題意得點(diǎn)P為ABC的外接圓圓心，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：設(shè)A3中點(diǎn)為D,因?yàn)?4+08+00=0，

所以O(shè)A+O8+OC=2OO+OC=0,BP-2OD=OC,

因?yàn)?。D,0C有公共點(diǎn)。，

所以，O,n,C三點(diǎn)共線，即。在ABC的中線8,

同理可得。在.ABC的三條中線上，即為ABC的重心；

因?yàn)榫W(wǎng)=P8=PC,

所以，點(diǎn)?為.MC的外接圓圓心，即為一ABC的外心

綜上，點(diǎn)。尸依次是ABC的重心，外心.

故選：A

A\

ADB

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在一ABC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AF=2FB>BE與CF交于點(diǎn)P,且滿足BP=ABE，

則2的值為（）

A.-B.1C.|D.-

3234

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用AfAC表示人尸即可得答案.

【詳解】解：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AF=2FB，

所以，AP=AF+FP=AF+xFC=AF+x^AC-AF^=(l-x)AF+xAC,

AP=AB+BP=AB+ABE=AB+^AE-AB^=(l-A)AB+AAE=-^-^-AF+^AC,

’3。叫

所以，2即2二國+&=±坦=],解得彳=L

z2222

—=X

所以，入的值為g

故選：B

二、多選題

10.（2023春?遼寧?高三朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC所在的平面上存在一點(diǎn)尸，

AP=XAB+〃AC（X,〃eR）,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若2+〃=1,則點(diǎn)尸的軌跡不可能經(jīng)過"1BC的外心

B.若4+〃=1,則點(diǎn)。的軌跡不可能經(jīng)過的垂心

C.若2+〃=；,則點(diǎn)P的軌跡不可能經(jīng)過jABC的重心

D.若X?0,l],//G[0,1],則點(diǎn)尸的軌跡一定過ABC的外心

【答案】ABD

【分析】由彳+〃=1,結(jié)合向量共線的推論判斷尸的軌跡，討論A