2023-2024學(xué)年北京和平街一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中調(diào)研卷附答案解析

2023-2024學(xué)年北京和平街一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中調(diào)研卷

2023.11

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的

一項(xiàng).

1.已知集合4={一101},8={xeN|x<3},那么集合—8等于（）

A[-1,3）R{0,1,2}p{-1,0,1,2}n{-1,0,1,2,3}

2.設(shè)命題PHxeR,x+lN°,則[P為（）

AVxeR,x+1>0BHxeR,x+1<0QVXGR,x+1<0p3xgR,x+lN0

3.設(shè)集合A={X|-1MX<2},B={X[X<0,若ACBHO,則a的取值范圍是（）

A.-l<a<2B."2c.。之一1D.。>一1

4.已知y=〃x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xwo時(shí)，y=〃x）圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（）

A./（1）>/（-2）>/（3）B/（3）>/（1）>/（-2）

C,〃1）>〃3）"（_2）D〃-2）>〃1）>〃3）

5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（°，一）上單調(diào)遞減的是（）

￡

A.y=r2B.y="c.y=x-'D.

6.已知“，仇cwR,且a>3則下列不等式一定成立的是（）

1<1

A.cr>b2B.abc.。1。1>匕1。1D.c—a<c—b

7.設(shè)xeR,則“l(fā)<x<2，，是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.從2015年到2020年，某企業(yè)通過持續(xù)的技術(shù)革新來降低其能源消耗，到了2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總

值能耗降低了20%.如果這五年平均每年降低的百分率為x,那么x滿足的方程是（）

S

A.5x=0.2B,5（1-x）=0.8X_Q2p（l-x）5=0.8

9.函數(shù)f（x）=ax2+（a-3）x+l在區(qū)間卜1,+8）上是遞減的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-3,0）B.（-oo,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]

10.設(shè)/（X）為定義在R上的函數(shù)，函數(shù),（X+1）是奇函數(shù).對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①”1）=。；

②〃1）=一/（1+力；

③函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

④函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（L°）對(duì)稱；

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.

Jx+1

y—

11.函數(shù).X-1的定義域是

12.已知函數(shù)“X）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)%>。時(shí)，/（x）=Ml+x）,則〃T）=

尸

13.函數(shù)f（x）=|-/+2,x<l的最大值為

14.函數(shù)"X）的定義域?yàn)镈,給出下列兩個(gè)條件：

①對(duì)于任意*應(yīng)亡。，當(dāng)x尸々時(shí)，總有"為）//（々）；

②AM在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)/（X）,則〃x）=

、\x2-2x,x>a,

/r（/x）=,,

15.已知函數(shù)Lx給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在實(shí)數(shù)”，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)〃，函數(shù)既無最大值也無最小值；

③對(duì)任意實(shí)數(shù)”和我,函數(shù)）'=/0）+&總存在零點(diǎn)；

④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)機(jī)，總存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)/*）在區(qū)間（一1，〃?）上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序

號(hào)是

2

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.設(shè)集合A={RaT<x<2a+3},不等式Y(jié)—2x-8<0的解集為B.

(1)當(dāng)"=]時(shí)，求AcB,ADB,\A；

(2)當(dāng)A=8時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4

f(x)=x+—+3

17.設(shè)函數(shù)工

(1)求函數(shù)“X)的圖像與直線y=2x交點(diǎn)的坐標(biāo)：

(2)當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，求函數(shù),(X)的最小值

(3)用單調(diào)性定義證明：函數(shù)/(X)在(2+8)上單調(diào)遞增.

18.已知函數(shù)/(“)=皿2一加A3.

⑴若。=1,求不等式°的解集；

⑵己知且〃力2°在區(qū)內(nèi))上恒成立，求a的取值范圍；

(3)若關(guān)于x的方程〃x)=°有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根4，々，求的取值范圍.

19.已知函數(shù)“>公+儂―2m+l(〃zeR)

⑴若m=2,求函數(shù)“X)在區(qū)間上的最大和最小值；

⑵解不等式〃x)<2x+l

20.設(shè)某商品的利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定.生產(chǎn)成本C(單位：萬元)與生產(chǎn)量x(單位：千件)

c18…=

3xH-----F5,0<x<6

5=<x-8

間的函數(shù)關(guān)系是C=3+x；銷售收入S(單位：萬元)與生產(chǎn)量x間的函數(shù)關(guān)系是[14x26.

(I)把商品的利潤表示為生產(chǎn)量x的函數(shù)；

(II)為使商品的利潤最大化，應(yīng)如何確定生產(chǎn)量？

21.設(shè)函數(shù)其中p,M是非空數(shù)集.記f(P)={y|y=f(x),x^P},f(M)={y|y=f(x),xGM}.

(I)若P=[0,3],M=(-oo,-1),求f(P)Uf(M)；

(II)若PCM=0,且f(x)是定義在R上的增函數(shù)，求集合P,M；

(III)判斷命題“若PUM爾，則f(P)Uf(M)#R”的真假，并加以證明.

3

1.c

【分析】先求出B集合，再根據(jù)并集合的運(yùn)算求出兩個(gè)集合的并集.

【詳解】5={XWN|X<3}={0,1,2},所以A.B{-1,0,1,2},

故選：C

2.C

【解析】特稱命題的否定是全稱命題，先否定量詞，再否定結(jié)論.

【詳解】命題P：土6R,X+I4°,則rP為：VxeR，X+l<°

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)ACBN0,由集合A,B有公共元素求解.

【詳解】集合A={x|TVx<2},8={x|x<a},

因?yàn)锳C8H0,

所以集合A,B有公共元素，

所以。>一1.

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到八―2)=/⑵，再結(jié)合當(dāng)了2°時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)>=/(")是定義在R上的偶函數(shù)，可得八一2)=〃2),

又由當(dāng)了上。時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以〃⑵>〃3),

所以〃1)>〃一2)>〃3)

故選：A.

5.C

【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.

2

【詳解】對(duì)A,函數(shù))的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

故y=-v是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,函數(shù)丫=爐的定義域?yàn)椋?,+8)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故丫=產(chǎn)是非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,函數(shù))'=廠’的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

4

故丁=/是奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞減，故c正確;

對(duì)D,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故丫=『是奇函數(shù)，但在（°，+8）上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.D

【解析】對(duì)A,B,C,利用特殊值即可判斷，對(duì)D,利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：對(duì)A,令。=1,b=-2,此時(shí)滿足但"<心故A錯(cuò)；

11

——>一

對(duì)B,令〃=1,b=2此時(shí)滿足a”,但ab,故B錯(cuò)；

對(duì)C,若c=0,a>b,則a\c\=b\c\t故c錯(cuò)；

對(duì)D,a>h

-a<-b,

則c_a,故D正確.

故選：D.

7.A

【分析】先解不等式，再根據(jù)兩個(gè)解集包含關(guān)系得結(jié)果.

【詳解】|x_2|<l.?._l<x_2<l,l<x<3,又（1,2）.。，3）,所以“l(fā)<x<2，，是小-2|<1,,的充分不必要條件,

選A.

【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法.

i.定義法：直接判斷“若p則夕”、"若q則?！钡恼婕?并注意和圖示相結(jié)合，例如“夕=9”為真，則〃是夕的

充分條件.

2.等價(jià)法：利用與非“=非乙與非非4，與非夕的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)

論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

3.集合法：若AUB,則A是B的充分條件或8是A的必要條件；若A=8,則A是B的充要條件.

8.D

【解析】根據(jù)題設(shè)逐年列出生產(chǎn)總值能耗后可得正確的選擇.

【詳解】設(shè)2015年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為〃，則2016年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗"（J"）,

2017年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗"Of）,2018年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗“（1-x）,

2019年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗“（1-x）,2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗"0一可，

由題設(shè)可得°'。即（I?=0.8,

故選：D.

9.D

5

【詳解】當(dāng)a=0時(shí),f(x)=?3x+l顯然成立，

&<0,

當(dāng)a和時(shí)，需1一二7三解得-3$a<0,

綜上可得?3SaW0.

【誤區(qū)警示】本題易忽視a=0這一情況而誤選A,失誤的原因是將關(guān)于x的函數(shù)誤認(rèn)為是二次函數(shù).

10.C

【解析】令g(x)=〃x+l),①：根據(jù)g(°)=°求解出/⑴的值并判斷；②：根據(jù)g(x)為奇函數(shù)可知

g(r)=-g(x),化簡此式并進(jìn)行判斷；根據(jù)y=1)與y=〃x)的圖象關(guān)系確定出關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的

情況，由此判斷出③④是否正確.

【詳解】令g(x)"(x+l),

①因?yàn)間(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(O)=/(O+l)=O,所以“1)二°,故正確；

②因?yàn)間(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(r)=-g(x),所以/(-X+1)=-/(X+1),即〃1一力=一/(1+司，故

正確；

因?yàn)閥=/(x+D的圖象由y=/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，

又y=/(x+i)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，°)對(duì)稱，故③錯(cuò)誤④正確，

所以正確的有：①②④，

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：通過奇偶性判斷函數(shù)對(duì)稱性的常見情況：

(1)若為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線尤="對(duì)稱；

(2)若“X+G為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/a)的圖象關(guān)于點(diǎn)(“'°)成中心對(duì)稱.

11{xlxN-1且xwi}

【分析】求使函數(shù)有意義的X的范圍即為定義域，逐項(xiàng)求解即可.

p+l>0

【詳解】解：由題意得解得xNT且X",

故函數(shù)的定義域?yàn)閧乂xNT且xxl).

故答案為：{幻且XH1}

12.-2

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合/(-1)二一/(1),代入即可求解.

6

【詳解】由函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，/（x）=x（l+x）,

則八—1）=一/⑴=Tx（l+l）=-2

故答案為：-2.

13.2

【分析】求出函數(shù)在每一段的最大值，再進(jìn)行比較，即可得答案；

,/?=-

【詳解】當(dāng)x＞l時(shí)，函數(shù)x為減函數(shù)，

所以/（X）在x=l處取得最大值為了⑴T；

當(dāng)“＜1時(shí)，易知函數(shù)〃*）=一爐+2在x=0處取得最大值為/（0）=2

故函數(shù)f（x）的最大值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.%

【解析】根據(jù)題意寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的函數(shù)f（x）即可.

【詳解】解：易知：”"一最，在（一8，0）上單調(diào)遞減，（°，+?）上單調(diào)遞減，

故對(duì)于任意為“We。，當(dāng)占.超時(shí)，總有/&）關(guān)了仁）：

且‘°）一捻在其定義域（9⑼口包刊0）上不單調(diào)

故答案為：''X.

15.①②④

【解析】分別作出。=°,。＞°和。＜°的函數(shù)"X）的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正

確答案.

如上圖分別為。=0,。＞0和。＜0時(shí)函數(shù)f（x）的圖象,

7

〃、fx2-2x,x>0

f(x)=j,

對(duì)于①：當(dāng)。=0時(shí)，L-2x,x<0,

f(x)圖象如圖1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以存在〃=0使得函數(shù)”X)為奇函數(shù)，故①正確；

對(duì)于②：由三個(gè)圖知當(dāng)X--8時(shí)，yf-oo,當(dāng)xf”時(shí)，yi",所以函數(shù)〃x)既無最大值也無最小

值；故②正確；

對(duì)于③：如圖2和圖3中存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)y=/(x)圖象與)'=一”沒有交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f(x)+《沒有

零點(diǎn)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)。和女，函數(shù)y=/a)+及總存在零點(diǎn)不成立；故③不正確

對(duì)于④：如圖2,對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)機(jī)，取“="+1即可使函數(shù)f(x)在區(qū)間(-LM上單調(diào)遞減，故④

正確；

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論。=0,。>°和。<0

即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).

“}AB=(x|0<x<4}AuB={x|-2<x<5}A={x|x<0x>5)

【分析】(1)根據(jù)條件，先求出集合A，8,再借助數(shù)軸即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)A=分A=0和AX0兩種情況討論，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由爐-2萬-8<0,得到—2<x<4,即8={川—2<x<4},

當(dāng)a=l時(shí)，A=M0<X<5},

14—"I

?2045

由圖知A3={X|0<XV4}A^JB={X\-2<X<5}々A={X|XWO或XN5}

(2)因?yàn)锳=8,當(dāng)A=0,即〃-122。+3,得至ijaW-4,滿足題意，

[a-l>-2i

y—1<^/<—

AW0,即。>-4,由得到[2々+3<4,得到--2,

—1<^<—

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為或2.

8

17.(1)(4,8)或(一1，一2)⑵7⑶證明見解析.

x+—4+3c=2Cx

【解析】(1)由X解出方程可得答案.

4I~4

X4--F32.IXF3

(2)利用均值不等式x、％可得答案.

(3)由定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟即可證明.

4

x+—+3=2%

［詳解］(1)由X,即x9_3x-4=0,解得X=4或x=_］

所以函數(shù)的圖像與直線'=2工交點(diǎn)的坐標(biāo)為(48)或

44

/(x)=x+-+3>2Jx?-+3=7

(2)當(dāng)工>。時(shí)，％,%

4

x=-

當(dāng)且僅當(dāng)X,即X=2時(shí)，取得等號(hào).

所以當(dāng)xe(°，+8)時(shí)，函數(shù)“X)的最小值為7.

⑶任取斗”2>2,且

44

/(x2)-/(x,)=X2+—+3-X]4-----F3

則\X2Jkx2>

44、/+依&)=(&TJ

=(X2-Xj)+=(-

中2

由且耳<工2,則為七>4,工2一工1>°

所以中2-4>0,則""

為々所以/(電)一/(內(nèi))>°,即/(%)>/&)

所以函數(shù)AM在⑵+09)上單調(diào)遞增

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性解不等式.證明函

數(shù)的單調(diào)性的基本步驟為：

(1)在給定的區(qū)間內(nèi)任取變量小與，且設(shè)片<%.

(2)作差/(為)一/(々)變形，注意變形要徹底，變形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.

(3)判斷符號(hào)，得出〃演)’/(電)的大小.

(4)得出結(jié)論.

9

18.（1）｛乂，"7或XN3｝（2）[L+00）（3）（2,4）

【分析】（1）由題意得丁一法-320,求解即可得出答案；

（2）函數(shù)f（x）="2_2or-3=a（x-l）2_a_3（a>0）,可得二次函數(shù)/（*）圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為X=1,題

意轉(zhuǎn)化為“外而“'°,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案；

（3）利用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理，即可得出答案.

【詳解】（1）當(dāng)。=1時(shí)，

FOO,[jpx2-2x-3>0,解得-1或芳23,

...不等式的解集為或xN3｝；

（2）fW=^2-2ax-3=a（x-l）2-a-3（a>0）xe[3,4-oo）

則二次函數(shù)/*）圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為X=l,

/⑶在[3,+8）上單調(diào)遞增，二/（X）min=八3）=3a-3,

/（X）>°在[3,+oo）上恒成立，轉(zhuǎn)化為fMmi?,

r.3a-3N0,解得aNl,故實(shí)數(shù)。的取值范圍為"長0）；

（3）關(guān)于x的方程/（x）=°有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根小毛,

..f（x）=ax2-2ax-3~+羽>0>0

?，，，

△=4/+12。>0

<Xj+x2=2>0

3八

%1?=—>0

.?.aw。且I&,解得"-3,

/.“；+x；=（玉+/J-2X]X2=4+一

a,

g（a）=4+-

令a（a<-3）,

■以幻在（-8，-3）上單調(diào)遞減，

一￡（—2.0）/、/c八

a,.,?^（a）e（2,4）；

故木+考的取值范圍為（2,4）.

10

19.(1)最大值為0,最小值為T(2)答案見解析

【分析】(1)當(dāng)由=2時(shí)，可得/(X)='+2X-3,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解;

(2)把不等式轉(zhuǎn)化為“2+(機(jī)-2口-2根<0,結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)機(jī)=2時(shí)，可得〃》)=父+2*-3,

則函數(shù)y二7(X)表示開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為戶-1,

所以函數(shù)在[-2，叫上單調(diào)遞減，在「1，”上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)aT時(shí)，函數(shù)”X)取得最小值，最小值為“―b"4,

又因?yàn)椤?2)=-3,〃1)=0,所以函數(shù)的最大值為0,

綜上可得，函數(shù)y=f(x)的最大值為0,最小值為T.

(2)解：由不等式'(")<2x+l,g[Jx2+?ir-2/n+l<2x+l,

即不等式、+(加-2)x-=(x+m)(x-2)<0,

當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，不等式即為(x-2f<0,此時(shí)不等式的解集為空集；

當(dāng)一加<2時(shí)，即，">-2時(shí)，不等式的解集為一加<x<2；

當(dāng)一加>2時(shí)，即，"<-2時(shí)，不等式的解集為2<x<-〃z,

綜上可得：當(dāng)〃?=-2時(shí):不等式的解集為空集；

當(dāng)”>-2時(shí)，不等式的解集為(一機(jī)2)；當(dāng)機(jī)<_2時(shí)，不等式的解集為(2,一機(jī)).

汽18i右

2xH-----+2,0<x<6

x-8

1l-x,x>6

20.(I)(ID確定為5千件時(shí)，利潤最大.

【解析】⑴用銷售收入減去生產(chǎn)成本即得利潤;

(II)分段求出利潤函數(shù)的最大值可得生產(chǎn)產(chǎn)量.

1O

3xH-----F5—(3+x),0<x<6

y=S-C=九一8

【詳解】⑴設(shè)利潤是〉(萬元)，則14-(3+x),x>6

2xH-----F2,0<x<6

y=yx-8

11-x,x>6

11

189

八,y=2x+—^-+2=-2[(8-x)+^-]+18

(II)°<x<6時(shí)，x-88-x