高中數(shù)學(xué)平面向量

專題講座中學(xué)數(shù)學(xué)“平面對(duì)量〞一、整體把握“平面對(duì)量〞教學(xué)內(nèi)容〔一〕平面對(duì)量學(xué)問構(gòu)造圖〔二〕重點(diǎn)難點(diǎn)分析本專題內(nèi)容包括：平面對(duì)量的概念、運(yùn)算及應(yīng)用．課標(biāo)要求：平面對(duì)量〔約12課時(shí)〕〔1〕平面對(duì)量的實(shí)際背景及根本概念通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面對(duì)量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示?！?〕向量的線性運(yùn)算①通過實(shí)例，駕馭向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。②通過實(shí)例，駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義。③了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義?！?〕平面對(duì)量的根本定理及坐標(biāo)表示①了解平面對(duì)量的根本定理及其意義。②駕馭平面對(duì)量的正交分解及其坐標(biāo)表示。③會(huì)用坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。④理解用坐標(biāo)表示的平面對(duì)量共線的條件?！?〕平面對(duì)量的數(shù)量積①通過物理中“功〞等實(shí)例，理解平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義。②體會(huì)平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。③駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)展平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算。④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系?！?〕向量的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)用向量方法解決某些簡(jiǎn)潔的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，開展運(yùn)算實(shí)力和解決實(shí)際問題的實(shí)力。依據(jù)課標(biāo)要求，并結(jié)合前面的分析可知：新概念、新運(yùn)算的定義，向量運(yùn)算和向量運(yùn)算的幾何意義是本專題的重點(diǎn)，平面對(duì)量根本定理是坐標(biāo)表示〔幾何代數(shù)化〕的關(guān)鍵，也是本專題教學(xué)的難點(diǎn)。二、“平面對(duì)量〞教與學(xué)的策略〔一〕在概念教學(xué)中，依據(jù)概念教學(xué)的方法，建構(gòu)概念學(xué)問體系本專題的教學(xué)中，向量、向量的運(yùn)算等都是新定義的概念，如何讓這些概念的出現(xiàn)自然輕松，還能讓學(xué)生快速把握住本質(zhì)，達(dá)成理解？不妨遵循概念教學(xué)的方法。比方說：“向量的概念〞教學(xué)中，可從力、位移等實(shí)例引入，進(jìn)展抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“溫度、功是不是向量？〞這樣的問題，通過比擬，對(duì)向量的概念進(jìn)展辨析，在此根底上，抓住向量的兩個(gè)要點(diǎn)：大小、方向進(jìn)展拓展，按如下表格整理，將向量概念精致化。概念辨析：本專題的內(nèi)容中，學(xué)生的問題之一是：概念不清，符號(hào)表示混亂，針對(duì)此問題，一方面老師在板書、表達(dá)等方面肯定要精確和多方強(qiáng)調(diào)，另一方面，也可設(shè)置一些推斷題，幫助學(xué)生辨析概念．例1．以下命題中，真命題的序號(hào)為：______．①是A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的充要條件；②－＝0；③單位向量不肯定都相等；④假設(shè)向量、滿意||=||，那么=±；⑤的充要條件是，且；⑥假設(shè)，那么或；⑦假設(shè)=0，那么或?yàn)榱阆蛄浚捕吃谄矫鎸?duì)量運(yùn)算的教學(xué)中，運(yùn)用模型和類比，降低難度，深化理解向量是新定義的數(shù)學(xué)概念，單純看向量的運(yùn)算，事實(shí)上是比擬抽象的．在教學(xué)中假設(shè)能恰當(dāng)運(yùn)用模型，運(yùn)用類比，不僅可以降低難度，而且對(duì)于學(xué)生相識(shí)抽象的運(yùn)算有很大的好處：比方說：向量這個(gè)概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成事實(shí)上就是向量加法的模型，依此為根底很簡(jiǎn)潔理解并記憶平行四邊形法那么和三角形法那么。而向量的減法那么可類比于數(shù)的減法定義：在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，減法是加法的逆運(yùn)算，于是向量的減法也可以看成是向量加法的逆運(yùn)算；在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，據(jù)此，引出相反向量的概念。再比方：實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘法，實(shí)那么是源于加法，向量運(yùn)算中，我們也可以從向量加法動(dòng)身，問學(xué)生：=？從而引出實(shí)數(shù)與向量的乘積。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法備注向量的加法模型力的合成平行四邊形法那么位移的合成三角形法那么向量的減法類比減法是加法的逆運(yùn)算減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)相反向量實(shí)數(shù)與向量的乘積類比辨析拓展數(shù)的乘法平行向量運(yùn)算率類比

辨析實(shí)數(shù)的運(yùn)算率交換律、結(jié)合律、安排率……平面對(duì)量根本定理模型力的分解平面對(duì)量的數(shù)量積模型做功的概念在定義新的向量運(yùn)算時(shí)，為了便于學(xué)生的理解和記憶，一方面要關(guān)注到運(yùn)算定義的合理性，新定義的運(yùn)算應(yīng)當(dāng)與我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)〔向量的來源〕不相?！锨楹侠恚涣硪环矫?，也要留意向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的差異，抓住“結(jié)果是什么？〞“遵循什么樣的運(yùn)算律？〞等問題，在類比和辨析中學(xué)習(xí)新學(xué)問。漸漸滲透在集合上定義二元運(yùn)算的準(zhǔn)那么．自然形成對(duì)于“逆運(yùn)算〞、“逆元〞等概念的了解．最終拓展學(xué)生對(duì)于運(yùn)算的相識(shí)．作為一種檢驗(yàn)，設(shè)計(jì)如下題目，考察學(xué)生對(duì)于抽象運(yùn)算的理解：例2．設(shè)是平面上全部向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。假設(shè)映射滿意：對(duì)全部及隨意實(shí)數(shù)都有，那么稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有以下命題：①設(shè)是平面上的線性變換，，那么；②假設(shè)是平面上的單位向量，對(duì)，那么是平面上的線性變換；③對(duì)，那么是平面上的線性變換；④設(shè)是平面上的線性變換，，那么對(duì)隨意實(shí)數(shù)均有。其中的真命題是〔寫出全部真命題的編號(hào)〕〔三〕緊扣重點(diǎn)，恰中選擇例題，深化數(shù)形結(jié)合本專題的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，理解向量線性運(yùn)算的幾何意義更是本專題的教學(xué)目標(biāo)之一，但學(xué)生往往不能做到恰當(dāng)轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是把握根本量的代數(shù)形式與幾何特征之間的聯(lián)系，一方面教學(xué)中要時(shí)刻留意二者的聯(lián)系和相互表達(dá)，學(xué)會(huì)“看圖說話〞，另一方面也可選擇恰當(dāng)?shù)睦}，對(duì)某些幾何特征量進(jìn)展歸納，漸漸學(xué)會(huì)“由數(shù)到形〞．先以教學(xué)為例：每種運(yùn)算都要留意從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)展解讀，兩者并重。但要真正駕馭、運(yùn)用這種思想方法，還需對(duì)數(shù)和形的實(shí)質(zhì)加以挖掘。比方“向量的加法〞教學(xué)中，可從“位移的合成〞引入三角形法那么，這是向量加法的幾何法那么，將其代數(shù)化，就得到：。代數(shù)化和形式化并不只是一種簡(jiǎn)潔的表示，還可挖掘其內(nèi)在的含義：如這個(gè)式子其實(shí)可以脫離圖形而存在，進(jìn)一步得到。之外，也可通過一些訓(xùn)練，促成學(xué)生駕馭“數(shù)形結(jié)合〞。例3．D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=，=，給出以下命題：①－；②+；③+；④．其中正確命題的個(gè)數(shù)是______________．選題目的：“看圖說話〞——平面對(duì)量的線性運(yùn)算。例4．點(diǎn)O是平面上肯定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意：，，那么點(diǎn)P的軌跡肯定通過的〔〕．A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：是什么？既然是向量，應(yīng)從幾個(gè)方面理解？大小、方向。設(shè)，．不難知道：向量、分別是與向量、方向一樣的單位向量，設(shè)，．解：如圖，以、為鄰邊作平行四邊形AMQN，那么此四邊形為菱形．依據(jù)向量加法的平行四邊形法那么，必有，依據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，所以，為的平分線．由題意:,即,且,所以,點(diǎn)位于射線上，即位于的平分線上．所以，點(diǎn)的軌跡必過ΔABC的內(nèi)心．選題目的：①深化理解“向量〞概念。②培育“數(shù)形結(jié)合〞的思維習(xí)慣。數(shù)形結(jié)合是處理向量問題的常用思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合的關(guān)鍵在于把握根本量的代數(shù)形式與幾何特征之間的聯(lián)系．如此題中由看到單位向量；③拓展延長(zhǎng)，見多識(shí)廣。嫻熟駕馭向量加法的平行四邊形法那么與三角形法那么，將平面幾何的圖形關(guān)系與向量運(yùn)算的幾何意義有機(jī)結(jié)合，如此題中的菱形．可以思索，當(dāng)兩個(gè)向量滿意什么關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造矩形？，O是△ABC的外心，O是△ABC的什么心？重心，O是△ABC的垂心，O是△ABC的內(nèi)心．又比方在平行四邊形ABCD中，意味著菱形；也意味著菱形；假設(shè)，意味著矩形．O、A、B、C是不共線的四點(diǎn)，假設(shè)存在一組正實(shí)數(shù)使得，那么三個(gè)角中至少有_________個(gè)鈍角例5向量≠，||＝1，對(duì)隨意實(shí)數(shù)t，恒有|－t||－|，那么〔〕A．⊥B．⊥(－)C．⊥(－)D．(＋)⊥(－)分析：利用向量減法的三角形法那么，作出幾何圖形，視察|－t||－|的含義．解：設(shè)，，那么，在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)，那么，所以，．因?yàn)閨－t||－|恒成立，所以，，所以，需且只需，即⊥(－)．選題目的：由數(shù)到形——實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何表示。t表示的就是與向量平行〔共線〕的向量．,是不共線的兩個(gè)向量,,,,假設(shè)、、三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．分析：三點(diǎn)共線對(duì)應(yīng)向量平行．解：,所以,由,必存在實(shí)數(shù),使.即．由于,是不共線的兩個(gè)向量，于是解得，．選題目的：三點(diǎn)共線與向量平行。運(yùn)用向量共線的充要條件?？山鉀Q幾何中的三點(diǎn)共線問題．〔四〕從特別到一般，強(qiáng)化平面對(duì)量根本定理的教學(xué)，突破難點(diǎn)課標(biāo)要求：通過本專題的學(xué)習(xí)，探討用向量處理問題的兩種方法：“向量法〞和“坐標(biāo)法〞．也即面對(duì)一個(gè)實(shí)際問題，要學(xué)會(huì)選擇基底或者建立平面直角坐標(biāo)系．本質(zhì)上這兩種方法是統(tǒng)一的，其依據(jù)都是“平面對(duì)量根本定理〞，后者是前者的特例．學(xué)生往往對(duì)于后者較為熟識(shí)，在給定的坐標(biāo)系中會(huì)處理問題，但不擅長(zhǎng)自己選擇基底．事實(shí)上，這種熟識(shí)，對(duì)于很多學(xué)生來說：只是一種簡(jiǎn)潔的仿照和運(yùn)算，而對(duì)于平面對(duì)量根本定理并沒有真正理解。但課標(biāo)對(duì)于平面對(duì)量根本定理的要求，只限于“了解〞。因此，假設(shè)學(xué)生程度較好，可在正交基底的根底上，引導(dǎo)學(xué)生選擇其它的基底解決問題，強(qiáng)化對(duì)于平面對(duì)量根本定理的教學(xué)．例7.中，為直角，，，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)，，〔Ⅰ〕試用表示向量；〔Ⅱ〕在線段AC上取一點(diǎn)E，在BD上取一點(diǎn)F，使得EF過點(diǎn)M，設(shè)，，求證：．分析：由于向量相互垂直，所以建立直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算坐標(biāo)的方法，可以解決問題；另外，可看作是平面的一組基底，用它們表示，留意到，所以只需求得求得點(diǎn)在上的位置，這一點(diǎn)可干脆利用平面對(duì)量根本定理中分解的唯一性，運(yùn)用兩組三點(diǎn)共線解決問題。解1：〔Ⅰ〕以為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,那么,，設(shè)，那么依據(jù)在直線上，也在直線上，依據(jù)斜率公式，可得：，．解之得：，所以．〔Ⅱ〕由題可得，，由三點(diǎn)共線，可得：可證得．解2：〔Ⅰ〕由三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)使得；由三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)使得；由平面對(duì)量根本定理知：解之得，．〔Ⅱ〕假設(shè)，，那么，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，．選題目的：〔1〕類比，由特別到一般。平面直角坐標(biāo)系是平面對(duì)量根本定理的特別狀況〔正交基底〕，但在這種正交基底的狀況下，向量的運(yùn)算就轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，度量問題因此得到簡(jiǎn)化；〔2〕運(yùn)用向量根本定理解題的根本方法。有了平面對(duì)量根本定理，平面上全部的向量都可以用一組基底表示，從而使得向量的“代數(shù)化〞更為便利．例8如圖，,點(diǎn)在由射線,線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)〔不含邊界〕運(yùn)動(dòng),且,那么的取值范圍是______；當(dāng)時(shí),的取值范圍是______.分析：以為基底分解向量．解：如圖，作交于．那么，由點(diǎn)的位置不難知道．因此，，也即的取值范圍是當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，的取值范圍是．選題目的：平面對(duì)量根本定理與向量的線性運(yùn)算。平面對(duì)量根本定理是引入向量坐標(biāo)運(yùn)算的理論依據(jù)，而坐標(biāo)運(yùn)算的引入，為向量供應(yīng)了新的語言——“坐標(biāo)語言〞，實(shí)質(zhì)上是化“形〞為“數(shù)〞．三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測(cè)分析〔一〕課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對(duì)“平面對(duì)量〞的要求依據(jù)課標(biāo)要求和考試說明的要求，將平面對(duì)量學(xué)習(xí)的主要檢測(cè)內(nèi)容與標(biāo)準(zhǔn)整理如下：考試內(nèi)容要求層次了解理解駕馭平面向量平面對(duì)量平面對(duì)量的相關(guān)概念√向量的線性運(yùn)算向量加法與減法√向量的數(shù)乘√兩個(gè)向量共線√平面對(duì)量的根本定理及坐標(biāo)表示平面對(duì)量的根本定理√平面對(duì)量的正交分解及其坐標(biāo)表示√用坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算√用坐標(biāo)表示的平面對(duì)量共線的條件√平面對(duì)量的數(shù)量積數(shù)量積√數(shù)量積的坐標(biāo)表示√用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角√用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系√向量的應(yīng)用用向量方法解決簡(jiǎn)潔的問題√總體而言，向量的運(yùn)算是考察的重點(diǎn)，局部概念和應(yīng)用那么須要理解即可。針對(duì)平面對(duì)量?jī)?nèi)容，除進(jìn)展綜合測(cè)試外，在學(xué)習(xí)過程中可支配兩次診斷性小測(cè)試：第一次在學(xué)習(xí)完線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算后進(jìn)展，重點(diǎn)考察向量的線性運(yùn)算和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，留意根底，限制難度，以低中檔題為主．通過測(cè)試了解學(xué)生對(duì)于向量有關(guān)概念、法那么的理解和運(yùn)用狀況，反思教與學(xué)的狀況．其次次測(cè)試在本專題全部學(xué)習(xí)完之后進(jìn)展，重點(diǎn)考察向量的數(shù)量積和向量的應(yīng)用，題目可略為綜合，考察學(xué)生綜合運(yùn)用向量解決問題的實(shí)力．命題不宜太難，但目的應(yīng)當(dāng)清楚，下面我們選擇一些例題加以說明：〔二〕典型題目的檢測(cè)分析例1.如圖，向量等于A．B．C．D．此題以“看圖說話〞的形式，考察向量運(yùn)算的三角形法那么?？此坪?jiǎn)潔，卻并不死板，正確解答此題，那么說明學(xué)生已從幾何意義的角度駕馭三角形法那么?？稍诘谝淮螠y(cè)驗(yàn)中運(yùn)用。例2.假設(shè)O是平行四邊形ABCD的中心，，那么＝〔〕A．B．C．D．此題由數(shù)到形，是對(duì)于向量運(yùn)算的另一層次的考察，可與例1結(jié)合運(yùn)用。例3.如圖，正六邊形，以下向量的數(shù)量積中最大的是〔〕A．B．C．D．此題考察數(shù)量積的幾何意義，解答此題時(shí)間的長(zhǎng)短可反映學(xué)生對(duì)這一概念駕馭的程度，可在課堂運(yùn)用。例4．一條從西向東的小河的河寬為3.5海里，水的流速為3海里/小時(shí)，假如輪船希望用10分鐘的時(shí)間從河的南岸垂直到達(dá)北岸，輪船的速度應(yīng)為__________．分析：速度既有大小又有方向，可以用向量很好的表達(dá)，所以，此題可以看作是一道向量的應(yīng)用問題．解：用表示水速，表示船速，．由題可知：，，且所成的角為，所以，船的速度應(yīng)當(dāng)滿意：，且與所成的角為．所以，輪船的速度應(yīng)當(dāng)為沿北偏西的方向海里／小時(shí)．此題中，學(xué)生常犯的錯(cuò)誤是答復(fù)時(shí)忽視方向。假設(shè)大小正確，反映學(xué)生已駕馭向量加法，但忽視方向那么說明學(xué)生對(duì)向量概念的應(yīng)用還不是很到位．此題可在其次次測(cè)試時(shí)作為中檔題運(yùn)用。例5．假設(shè)非零向量滿意，那么〔〕〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕此題難度較大，綜合考察學(xué)生對(duì)于向量運(yùn)算的應(yīng)用，可在其次次測(cè)試時(shí)作犯難題選用?；?dòng)對(duì)話【參加人員】梁麗平：人民高校附屬中學(xué)楊杰：人民高校附屬中學(xué)崔鵬：人民高校附屬中學(xué)【互動(dòng)話題】1．平面對(duì)量與三角函數(shù)〔1〕運(yùn)用向量方法證明三角函數(shù)與解三角形中的公式與定理；〔2〕向量在其它三角問題中的應(yīng)用〔3〕局部三角問題的向量?jī)?nèi)涵。2．平面對(duì)量與空間向量從軸上向量到平面對(duì)量，再到空間向量，是由一維à二維à三維的演化，學(xué)習(xí)過程中，如何抓住這一點(diǎn)，運(yùn)用類比的方法遞進(jìn)學(xué)習(xí)？3．平面對(duì)量與解析幾何〔1〕平面對(duì)量與解析幾何的連接點(diǎn)和共同特征；〔2〕在解析幾何中運(yùn)用向量工具，完成包括直線的“點(diǎn)向式〞、“點(diǎn)法式〞方程、點(diǎn)到直線距離、兩條直線夾角公式等的推導(dǎo)，用向量方法貫穿解析幾何初步；〔3〕讀懂向量，別有洞天。4．平面對(duì)量與其它學(xué)問平面對(duì)量在平面幾何中和不等式等方面的應(yīng)用；案例評(píng)析【案例信息】案例名稱：?實(shí)數(shù)與向量的乘積?授課老師：高德蓮〔人民高校附屬中學(xué)〕評(píng)析老師：梁麗平〔人民高校附屬中學(xué)〕【課堂實(shí)錄】【案例評(píng)析】一、引入開宗明義，簡(jiǎn)潔明快向量源于生活，有很多學(xué)生熟識(shí)的生活模型，如何將其抽象，形成數(shù)學(xué)的概念？如何讓這些概念的出現(xiàn)自然輕松，還能讓學(xué)生快速把握住本質(zhì)，達(dá)成理解？高德蓮老師的這節(jié)課從一個(gè)側(cè)面給了我們肯定的啟發(fā)．實(shí)數(shù)與向量的乘積，是在學(xué)生學(xué)習(xí)完向量的概念、向量的加減運(yùn)算之后所學(xué)習(xí)的新的運(yùn)算．是否肯定還要從實(shí)例引入？事實(shí)上，在學(xué)習(xí)向量的加法時(shí)，學(xué)生已經(jīng)很自然的有了這樣一些直觀的相識(shí)，只需順勢(shì)而為，嚴(yán)格定義即可．因此，高老師的這節(jié)課，就從一個(gè)引例動(dòng)身，讓學(xué)生先有這樣的概念，然后再追問應(yīng)當(dāng)如何給實(shí)數(shù)與向量的乘積下定義．這樣引入，開宗明義，簡(jiǎn)潔明快，節(jié)約了課時(shí)，也通過這一概念的引入，促使學(xué)生將感性相識(shí)轉(zhuǎn)化為理性相識(shí)，擺脫自發(fā)性概念的粗糙、淺薄狀態(tài)．加深了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的相識(shí)．如何使得教學(xué)是有效的、高效的，經(jīng)常須要?jiǎng)?chuàng)設(shè)肯定的情境，設(shè)置肯定的問題串，這個(gè)情境可以是生活中的實(shí)例，也可以是數(shù)學(xué)問題本身．情境設(shè)置的原那么應(yīng)當(dāng)是有利于激發(fā)學(xué)生的愛好，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)比擬快的引入正題，不應(yīng)當(dāng)為情境而情境．二、依據(jù)學(xué)生的最近開展區(qū)設(shè)置問題鏈，探究中求新知本節(jié)課是實(shí)數(shù)與向量的乘積的第一課時(shí)，主要介紹實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律以及兩向量共線定理，屬于概念課，創(chuàng)新的東西少，繼承的東西多，教材內(nèi)容簡(jiǎn)潔，為了防止學(xué)生被動(dòng)承受，高老師層層設(shè)置問題，想辦設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地去探究、去發(fā)覺、去主動(dòng)獲得學(xué)問．本節(jié)課中，高老師共設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：你能給λa這種運(yùn)算下個(gè)定義嗎？問題2：實(shí)數(shù)與向量的積有怎樣的運(yùn)算規(guī)律？問題3：向量b與a共線，b是否可以用λa來表示，λ唯一嗎？第一個(gè)問題，要求學(xué)生在直觀相識(shí)的根底上，提煉出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義．這一問題，還加深了學(xué)生對(duì)于向量概念的相識(shí)．在學(xué)生探究出定義后，回應(yīng)引例，使學(xué)生感受到定義的合理性和好用性．其次個(gè)問題，學(xué)生可以通過類比實(shí)數(shù)運(yùn)算、得出運(yùn)算律，并從形的方面給出證明或驗(yàn)證，這樣不僅有效地將新學(xué)問納入到他原有的認(rèn)知構(gòu)造中，而且相對(duì)于講授法而言，可以讓學(xué)生對(duì)于運(yùn)算有更深刻地相識(shí)．第三個(gè)問題，是由引例中詳細(xì)的向量共線，進(jìn)一步抽象成一般的向量共線，從而提出問題三，經(jīng)過學(xué)生探討，歸納出定理及其本質(zhì)．這三個(gè)問題，均由引例引出，以問題鏈的形式，層層深化，引導(dǎo)學(xué)生探究新知，解決問題，再發(fā)覺問題，使學(xué)生在螺旋式的探究、解決、發(fā)覺中體驗(yàn)科學(xué)探討的方法及類比、歸納的思維方式，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)獲得學(xué)問的學(xué)習(xí)意識(shí)．三個(gè)問題，都是學(xué)生能答復(fù)但不易完整、精確作答的，易于激發(fā)學(xué)生愛好，通過詳細(xì)問題的解決，體驗(yàn)勝利，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信念．總體來說，本節(jié)課特別留意概念的生成過程，教學(xué)設(shè)計(jì)表達(dá)“關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，提倡學(xué)生主動(dòng)探究、合作溝通〞的教學(xué)理念．老師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)．教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)建性，挖掘?qū)W生潛能，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在老師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)建〞過程．當(dāng)然，任何教學(xué)設(shè)計(jì)都要考慮到學(xué)生的詳細(xì)狀況．本節(jié)課中，在老師的三個(gè)問題引導(dǎo)下，幾乎全部的學(xué)生都順當(dāng)?shù)赝瓿闪嗽摴?jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)．假如學(xué)生的程度再好一些，這節(jié)課的步伐是不是可以邁得再大一些．比方說，課題引入后，讓學(xué)生自己考慮：定義一種新的運(yùn)算，須要解決哪幾方面的問題？——定義、法那么、運(yùn)算率．而鑒于向量集幾何與代數(shù)一體的特性，當(dāng)然有必要考慮其運(yùn)算的幾何意義，于是，很自然的引入平行向量根本定理．這樣的一節(jié)課，就把整個(gè)課堂交給了學(xué)生，探究的味道會(huì)更濃，學(xué)生自主的空間也會(huì)更大．思索與活動(dòng)1.向量與三角是如何聯(lián)系的？2.向量是如何溝通代數(shù)與幾何的？選一節(jié)課做出兩個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，分組探討，并進(jìn)展教學(xué)設(shè)計(jì)的溝通與反思。3.設(shè)計(jì)一份平面對(duì)量的檢測(cè)試題。在形成性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)上你還有哪些思索和困惑？介紹一個(gè)你在某一方面的測(cè)試方案并談?wù)劽}思索。參考資料【相關(guān)資源】1.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量(PDF)2.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量〔續(xù)1〕(PDF)3.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量〔續(xù)2〕(PDF)4.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量〔續(xù)3〕(PDF)5.從點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)談起(PDF)“平面對(duì)量根本定理〞的說課(PDF)7.平面對(duì)量解題初探(PDF)“平面對(duì)量的概念〞的教學(xué)與反思(PDF)【參考文獻(xiàn)】1．周建華：“向量的加法和減法〞教學(xué)設(shè)計(jì)，?中學(xué)數(shù)學(xué)月刊?2004年第3期．2．劉春燕：“平面對(duì)量的數(shù)量積〞(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)，?中小學(xué)數(shù)學(xué)〔中學(xué)版〕?2021年第03期.3．齊民友：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量〞，?數(shù)學(xué)通報(bào)?2007年第4期。4．齊民友：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量〔續(xù)1〕〞，?數(shù)學(xué)通報(bào)?2007年第5期。5．齊民友：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量〔續(xù)2〕〞，?數(shù)學(xué)通報(bào)?2007年第6期。