專題3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）【六大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】 1【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】 3【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】 7【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】 9【題型5“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】 12【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】 15【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用】1．實(shí)際問題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數(shù)模型.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例1】（2022秋·福建泉州·高一?？计谥校难b滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（

）A．fx=45x+2 B．f【解題思路】求出第k次倒出酒精后容器中含純酒精的質(zhì)量，然后可得第k+1次倒出的純酒精的質(zhì)量，然后可得倒k【解答過程】∵第k次時(shí)共倒出了純酒精x升，∴第k次倒出后容器中含純酒精為(10-x第k+1次倒出的純酒精是10-所以倒出第k+1次時(shí)，共倒出了純酒精故選：C.【變式1-1】（2022秋·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí)）一等腰三角形的周長(zhǎng)是20，底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，則它的解析式為（

）A．y=20-2x BC．y=20-2x(5≤【解題思路】由等腰三角形的周長(zhǎng)為20，得到y(tǒng)=20-2x，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得5<【解答過程】由等腰三角形的周長(zhǎng)為20，且底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x，可得y+2x=20又由2x>y，即2因?yàn)閥>0，即20-2x>0，可得x所以解析式為y=20-2故選：D.【變式1-2】（2023春·福建·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司市場(chǎng)營(yíng)銷部員工的個(gè)人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.由圖示信息可知，月銷售量為3百件時(shí)員工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【解題思路】利用公司市場(chǎng)營(yíng)銷部員工的個(gè)人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，代入圖象中的坐標(biāo)，求出函數(shù)并將月銷售量為3百件代入，可得此時(shí)的月收入．【解答過程】設(shè)一次函數(shù)為：y=kx+bk≠0，將解得k=300,故公司市場(chǎng)營(yíng)銷部員工的個(gè)人月收入與月銷售量之間的函數(shù)關(guān)系為y=300令x=3，可得y故選：C.【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格．下面給出的四個(gè)圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【解題思路】根據(jù)題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷不同方案下參數(shù)的變化對(duì)圖象的影響，即可確定正確選項(xiàng).【解答過程】設(shè)目前車票價(jià)格為k1，支出費(fèi)用為b1，則對(duì)于建議（I），設(shè)建議后的支出費(fèi)用為b2（b2＜b1顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對(duì)于建議（II），設(shè)建議后的車票價(jià)格為k2（k2＞k1顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東廣州·高一?？计谥校┠硨W(xué)校因?yàn)閷W(xué)生活動(dòng)區(qū)域緊張，為了更好的為學(xué)生提供活動(dòng)場(chǎng)地，決定在一塊長(zhǎng)AM=300米，寬AN=200米的矩形地塊AMPN上施工，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的學(xué)生活動(dòng)中心，要求頂點(diǎn)C在地塊的對(duì)角線MN上，B、D分別在邊AM、AN上，假設(shè)AB長(zhǎng)度為x

(1)要使矩形活動(dòng)區(qū)域ABCD的面積不小于14400平方米，AB的長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍？(2)長(zhǎng)度AB和寬度AD分別為多少米時(shí)矩形活動(dòng)區(qū)域ABCD的面積最大？最大值是多少平方米？【解題思路】（1）由已知可得△NDC∽△NAM，可求得ND=23x（2）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得矩形ABCD面積的最大值，及其對(duì)應(yīng)的x的值，即可得出結(jié)論.【解答過程】（1）解：因?yàn)镃D//AB，由圖可知，△NDC∽△NAM所以，ND=23x，所以，矩形ABCD的面積為fx=AB由fx=-23x因此，當(dāng)120≤x≤180時(shí)，形活動(dòng)區(qū)域ABCD的面積不小于14400（2）解：由（1）知，fx=-2故當(dāng)x=150時(shí)，函數(shù)fx取最大值，即因此，當(dāng)AB=150米，AD=100米時(shí)，矩形活動(dòng)區(qū)域ABCD的面積最大，且最大值為15000【變式2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）小明同學(xué)想知道自家煤氣灶旋鈕放到什么位置時(shí)，燒開一壺水最省燃?xì)?，于是通過實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)了旋鈕的轉(zhuǎn)角為18°、36°、54°、72°、90°時(shí)，燒開一壺水所耗燃?xì)馇闆r：旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）1836547290所耗燃?xì)饬浚▎挝唬簃30.1300.1220.1390.1490.172請(qǐng)選擇合適的函數(shù)模擬擬合以上數(shù)據(jù)，由此計(jì)算：旋鈕的轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，燒開一壺水所耗然氣最少？最少燃?xì)鉃槎嗌倭⒎矫?？【解題思路】設(shè)旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）為x，所耗燃?xì)饬浚▎挝唬簃3）為y，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，可選擇二次函數(shù)進(jìn)行模擬擬合，設(shè)y=ax2+【解答過程】設(shè)旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）為x，所耗燃?xì)饬浚▎挝唬簃3）為y，在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的五個(gè)點(diǎn)(

可以選擇二次函數(shù)進(jìn)行模擬擬合，設(shè)y=不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入，得0.130=a?18故y=1.9033×當(dāng)x=-y的最小值為4ac-b2所以當(dāng)x≈39（度）時(shí)，燒開一壺水所耗燃?xì)庾钌?，約0.1218m【變式2-2】（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）某蔬菜種植基地共有蔬菜種植大棚100個(gè)，用于種植普通蔬菜，平均每個(gè)大棚年收入為10萬元．為適應(yīng)市場(chǎng)需求，提高收益，決定調(diào)整原種植方案，將x(10≤x≤32,x∈(1)當(dāng)m=20時(shí)，要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%，求(2)當(dāng)22<m【解題思路】（1）當(dāng)m=20時(shí)，設(shè)種植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分別為y1,y2，表示出y1,y（2）設(shè)蔬菜種植大棚全年總收入為Z萬元，可得Z=xm-【解答過程】（1）當(dāng)m=20時(shí)，設(shè)種植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分別為y則y1=xy=-0.25x要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%則y1所以x20-化簡(jiǎn)得：x2-56解得：16≤x≤40，又因?yàn)樗?6≤x≤32，（2）設(shè)蔬菜種植大棚全年總收入為Z萬元，所以Z=-5=-當(dāng)22<m<23時(shí)，所以當(dāng)x∈10,4所以，當(dāng)x=29時(shí)，Z當(dāng)x=30時(shí)，Z當(dāng)x=31時(shí)，Z所以當(dāng)22<m<23時(shí)，Z2Z3-Z所以Z2最大，所以當(dāng)x=30時(shí)，蔬菜種植大棚全年總收入最大為：30【變式2-3】（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研可知：在未來20天內(nèi)，這種水果每箱的銷售利潤(rùn)r（單位：元）與時(shí)間t（1≤t≤20,t∈N，單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系式為r=1(1)求第幾天的日銷售利潤(rùn)最大？最大值是多少？(2)在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈(zèng)mm∈N*元給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象，為保證銷售積極性，要求捐贈(zèng)之后每天的利潤(rùn)隨時(shí)間【解題思路】（1）通過計(jì)算得f(（2）計(jì)算g(t)=-12t2+(10+2m)t+1200-120【解答過程】（1）設(shè)第t日的銷售利潤(rùn)為f(tf(t)=rp=(∵1≤t當(dāng)t=10時(shí)，f所以第10天的銷售利潤(rùn)最大，最大值是1250元.（2）設(shè)捐贈(zèng)之后第t日的銷售利潤(rùn)為g(g(t)=(依題意，m應(yīng)滿足以下條件：①m∈②10+2m>19+20③m≤14t+10綜上5≤m≤10，且【知識(shí)點(diǎn)2冪函數(shù)模型的應(yīng)用】1．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【例3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則A．14 B．12 C．23【解題思路】初始狀態(tài)設(shè)為(x1,y1)，變化后為【解答過程】設(shè)初始狀態(tài)為(x1,y1又y1=kx1α，8y1y1=k?16α故選：D．【變式3-1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）上海市為抑制房?jī)r(jià)，2011年準(zhǔn)備新建經(jīng)濟(jì)適用房800萬m2，解決中低收入家庭的住房問題.設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x%，設(shè)2014年新建經(jīng)濟(jì)住房面積為ym2，則y關(guān)于A．y=800(1+3x%)(C．y=800(1+4x%)(【解題思路】根據(jù)平均增長(zhǎng)率的定義寫出方程即可得到答案．【解答過程】由題意知2012年為800(1+2013年為8002014年為y故選B.【變式3-2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【解題思路】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，依題意列方程求x即可.【解答過程】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則150(1+所以x=3故選：B.【變式3-3】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某公司的收入由保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入和理財(cái)業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入為150億元，理財(cái)業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營(yíng)狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計(jì)每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財(cái)，公司理財(cái)業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.4【解題思路】求出2025年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入為50t5億元，根據(jù)題意可得出關(guān)于t的不等式，解出t【解答過程】因?yàn)樵摴?020年總收入為200億元，預(yù)計(jì)每年總收入比前一年增加20億元，所以2025年的總收入為300億元，因?yàn)橐髲?020年起每年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，所以2025年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入為50t5億元，所以300-50t5≤300×0.6，解得t≥故選：A.【知識(shí)點(diǎn)3分段函數(shù)模型的應(yīng)用】1．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【例4】（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)一種化學(xué)產(chǎn)品的總成本y（單位：萬元）與生產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=x3A．20噸 B．40噸 C．50噸 D．60噸【解題思路】由總成本與生產(chǎn)量之間的關(guān)系求出平均生產(chǎn)成本的函數(shù)解析式，求函數(shù)取最小值時(shí)的x的值即為所求.【解答過程】因?yàn)榭偝杀緔與生產(chǎn)量x之間的關(guān)系為y=設(shè)平均生產(chǎn)成本為f(x)當(dāng)x∈0,30時(shí)，則x=20時(shí)，f(x當(dāng)x∈30,+∞當(dāng)且僅當(dāng)x2=800x，即x=40綜上，x=40，即生產(chǎn)量控制在40噸時(shí)，每噸的平均生產(chǎn)成本最少故選：B.【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）2005年10月27日全國(guó)人大通過了關(guān)于修改個(gè)人所得稅的決定，工薪所得減去費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率%1不超過500元52500~2000元1032000~5000元15某人2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅（

）元．A．43 B．2280 C．680 D．不能確定【解題思路】根據(jù)已知寫出稅法修改前納稅額與工資的分段函數(shù)形式，根據(jù)個(gè)人所得稅求出某人工資，再按新稅法求稅額即可.【解答過程】設(shè)工資為x元，當(dāng)0≤x≤800，納稅為當(dāng)800<x≤1300，納稅為當(dāng)1300<x≤2800，納稅為當(dāng)2800<x≤5800，納稅為所以，納稅為y=而25<123<175，令x10-105=123由x-1600=680>500，則按新稅法只要交稅500×5故選：A.【變式4-2】（2023春·廣東河源·高二?？计谥校┰谝话闱闆r下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為90千米/小時(shí)；研究表明，當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．設(shè)當(dāng)車流密度x=x0時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/A．x0=100 B．x0=120 C．【解題思路】根據(jù)條件建立分段函數(shù)關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出k，m的值，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答過程】vx則當(dāng)x=200時(shí)，v當(dāng)x=20時(shí)，v20=90，即200k+故fx當(dāng)0<x≤20時(shí)，fx的最大值為x當(dāng)20≤x≤200時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=100，得fx的最大值為x0故選：A．【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)在2020年9月22日在聯(lián)合國(guó)大會(huì)提出，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）(x∈[120,500])之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=13A．120 B．200 C．240 D．400【解題思路】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分x∈[120,144)和x【解答過程】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為S=當(dāng)x∈[120,144)時(shí)，S當(dāng)x=120時(shí)，S取得最小值240當(dāng)x∈[144,500]時(shí)，S當(dāng)且僅當(dāng)12x=80000x，即x綜上，當(dāng)每月得理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D.【知識(shí)點(diǎn)4“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】1．“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.【題型5“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【例5】（2022秋·河北邯鄲·高一?？计谥校┠彻S為提升品牌知名度進(jìn)行促銷活動(dòng)，需促銷費(fèi)用x（0<x≤a,a為常數(shù)）萬元，計(jì)劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品（x+1）萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費(fèi)用（x(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；（注：利潤(rùn)=銷售額-投入成本-促銷費(fèi)用）(2)當(dāng)促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，此工廠所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【解題思路】（1）根據(jù)題意可得銷售額1+20x+1x+1（2）由（1）得y=-x+1x+20，x∈0,【解答過程】（1）由題意得y=1+20（2）由（1）得y=-x+∵x∴x+1x≥2由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)0<a<1時(shí)，y=-∴當(dāng)x=a時(shí)，當(dāng)a≥1時(shí)，y=-x綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)促銷費(fèi)用投入a萬元時(shí)，此工廠所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，此工廠所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為18萬元【變式5-1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距45km的某地聘請(qǐng)代駕司機(jī)幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?0km/h.油價(jià)為每升8元，當(dāng)汽車以xkm/h的速度行駛時(shí)，油耗率為3+x2【解題思路】根據(jù)題設(shè)可得y=3600x+【解答過程】設(shè)汽車以xkm/h行駛時(shí)，開車時(shí)間為45x小時(shí)，則代駕費(fèi)用為油耗為45x則總費(fèi)用y==36010由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在0,60單調(diào)遞減，在60,+∞因?yàn)?≤x≤50，所以當(dāng)x=50最小值為y=最經(jīng)濟(jì)的車速為50km/h時(shí)，使得本次行程的總費(fèi)用最少為122元【變式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校┤鐖D，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為4200元/m2；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為80元(1)設(shè)總價(jià)為S（單位：元），AD長(zhǎng)為x（單位：m），試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最小？并求出這個(gè)最小值．【解題思路】（1）先設(shè)DQ=y，又AD=x，建立等式找出（2）利用均值不等式計(jì)算即可，注意等號(hào)成立的條件.【解答過程】（1）設(shè)DQ=y，又AD=則x2+4xy=200∴S=4200x（2）由（1）得S=38000+4000利用均值不等式得S=38000+4000當(dāng)4000x2=所以當(dāng)x=10m時(shí)，S最小，最小值為【變式5-3】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）某廠家擬在2021年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬件）與年促銷費(fèi)用mm≥0（單位：萬元）滿足x=3-km+1（k為常數(shù)），如果不舉行促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬，每生產(chǎn)1(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬元）表示為年促銷費(fèi)用m的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？(3)若該廠家2021年的促銷費(fèi)用不高于2萬元，則當(dāng)促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該廠家的利潤(rùn)最大？【解題思路】（1）由m=0時(shí)，x=1可構(gòu)造方程求得k，得到x=3-2m（2）利用基本不等式可求得16m（3）利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即得.【解答過程】（1）由題意可知：當(dāng)m=0時(shí)，x∴1=3-k，解得：k∴x=3-2∴2021年利潤(rùn)y=28-16（2）因?yàn)閥=28-當(dāng)m≥0時(shí)，16m+1+m此時(shí)年利潤(rùn)ymax∴該廠家2021年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬元.（3）因?yàn)閥=28-當(dāng)0≤m≤2時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)m=2故當(dāng)促銷費(fèi)用為2萬元時(shí)，該廠家的利潤(rùn)最大.【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】【例6】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利，如果獲利，最大利潤(rùn)為多少元？【解題思路】（1）依題意寫出每噸的平均處理成本與月處理量x之間的函數(shù)關(guān)系，再用基本不等式即可求解；（2）設(shè)該單位每月獲利s元根，據(jù)題意寫出s的函數(shù)關(guān)系式，用一元二次函數(shù)求最值的方法求解.【解答過程】（1）由題意，每噸的平均處理成本為12x+45000x故該單位月處理量為300噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.（2）設(shè)該單位每月獲利為s元，則s=200x-y=-1故該單位每月獲利，最大利潤(rùn)為35000元.【變式6-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并