專題04 二次根式（教師版）

知識點01：二次根式的基本性質與化簡【高頻考點精講】1．二次根式有意義的條件（1）二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)；（2）如果所給式子中含有分母，那么除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零。2．二次根式的基本性質（1）≥0；a≥0（雙重非負性）。（2）（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）。（3）＝＝3．二次根式的化簡（1）利用二次根式的基本性質進行化簡。（2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡。＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知識點02：同類二次根式及分母有理化【高頻考點精講】1．同類二次根式（1）一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，那么把這幾個二次根式叫做同類二次根式。（2）合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變。2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式。①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式互為有理化因式。知識點03：二次根式混合運算與化簡求值【高頻考點精講】1．二次根式的混合運算順序：先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。2．在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”。3．二次根式的運算結果要化為最簡二次根式。四、二次根式的應用【高頻考點精講】二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念，性質和運算方法。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.61一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．解：A．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；B．和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；C．＝2，和是同類二次根式，故本選項符合題意；D．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．2．（2分）（2023?西寧）下列運算正確的是（）A． B． C． D．解：A．+無法合并，故此選項不合題意；B．＝5，故此選項不合題意；C．（3﹣）2＝11﹣6，故此選項符合題意；D．6÷×＝9，故此選項不合題意．故選：C．3．（2分）（2023?通遼）二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．解：二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則1﹣x≥0，解得：x≤1，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為：．故選：C．4．（2分）（2023?巴中）下列運算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．×＝ C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m解：A、x2與x3，不是同類項，不能合并，故本選項計算錯誤，不符合題意；B、×＝，計算正確，符合題意；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本選項計算錯誤，不符合題意；D、當m≥0時，|m|＝m，故本選項計算錯誤，不符合題意；故選：B．5．（2分）（2022?廣州）代數(shù)式有意義時，x應滿足的條件為（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1解：代數(shù)式有意義時，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故選：B．6．（2分）（2023?濟寧）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2解：由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．7．（2分）（2023?內蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個數(shù)有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個解：x﹣1＜，即x＜+1，又知≈2.236，即x＜+1≈3.236，故正整數(shù)解為3，2，1．故選：A．8．（2分）（2023?內蒙古）下列運算正確的是（）A．+2＝2 B．（﹣a2）3＝a6 C．+＝ D．÷＝解：A．+2＝3≠2，故該選項不正確，不符合題意；B．（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，故該選項不正確，不符合題意；C．+＝+＝≠，故該選項不正確，不符合題意；D.÷＝×＝，故該選項正確，符合題意；故選：D．9．（2分）（2021?荊門）下列運算正確的是（）A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1解：A．（﹣x3）2＝x6，錯誤，不滿足題意．B.＝|x|，錯誤，不滿足題意．C．（﹣x）2+x＝x2+x，錯誤，不滿足題意．D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正確，滿足題意．故選：D．10．（2分）（2020?呼倫貝爾）已知實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點位置如圖所示，則化簡|a﹣1|﹣的結果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3解：由圖知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?哈爾濱）計算的結果是2．解：原式＝3﹣＝2，故答案為：2．12．（2分）（2022?濟寧）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≥3．解：根據(jù)題意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案為：x≥3．13．（2分）（2021?哈爾濱）計算﹣2的結果是2．解：原式＝3﹣2×＝3﹣＝2．故答案為：2．14．（2分）（2023?綏化模擬）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，那么三角形的面積為．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別記為a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的面積為．解：∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝＝9，則S＝＝＝6．故答案為：6．15．（2分）（2023?池州模擬）要使式子有意義，則x的取值范圍為x≥﹣3且x≠1且x≠2．解：根據(jù)題意，得．解得x≥﹣3且x≠1且x≠2．故答案為：x≥﹣3且x≠1且x≠2．16．（2分）（2023?內蒙古）實數(shù)m在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：＝2﹣m．解：由數(shù)軸可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案為：2﹣m．17．（2分）（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式（□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計算該算式的結果是﹣2（答案不唯一）．（只需寫出一種結果）解：若“□”是﹣，“〇”是，則（﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；若“□”是﹣，“〇”是，則（﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；若“□”是，“〇”是，則（+）2÷＝（9+2）÷＝+6；故答案為：﹣2（答案不唯一）．18．（2分）（2023?臨汾模擬）計算：＝2．解：＝＝﹣1＝3﹣1＝2，故答案為：2．19．（2分）（2023?錦江區(qū)校級模擬）已知實數(shù)m＝﹣1，則代數(shù)式m2+2m+1的值為2．解：∵m＝﹣1，∴m2+2m+1＝（m+1）2＝（﹣1+1）2＝2．故答案為：2．20．（2分）（2023?大同模擬）計算（）（）的結果等于4．解：原式＝7﹣3＝4．故答案為4．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?陜西）計算：．解：原式＝﹣3++1＝2﹣3+1＝2﹣2．22．（6分）（2023?金昌）計算：÷×2﹣6．解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．23．（8分）（2023?龍巖模擬）（1）計算：；（2）解不等式組：．解：（1）＝﹣2×﹣＝﹣﹣＝；（2），解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞3，故原不等式組無解．24．（8分）（2023?晉城模擬）高空拋物嚴重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風速的影響，g≈10m/s2）．（1）求從60m高空拋物到落地的時間．（結果保留根號）（2）已知高空墜物動能（單位：J）＝10×物體質量（單位：kg）×高度（單位：m），某質量為0.2kg的玩具被拋出后經(jīng)過3s后落在地上，這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人嗎？請說明理由．（注：傷害無防護人體只需要65J的動能）解：（1）由題意知h＝60m，∴t＝＝＝2（s），故從60m高空拋物到落地的時間為2s；（2）這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人，理由：當t＝3s時，3＝，∴h＝45，經(jīng)檢驗，h＝45是原方程的根，∴這個玩具產(chǎn)生的動能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人．25．（8分）（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+）﹣a]＝（2a+）?＝b+2a例如：當a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+2根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+2，S4﹣S3＝15+2；（2）當a＝1，b＝3時，把邊長為a+n的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a+）2＝a2+4a+4b﹣a2﹣2a﹣b＝2a+3b，當a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+2；S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a+9b﹣a2﹣4a﹣4b＝2a+5b，當a＝1，b＝3時，S4﹣S3＝15+2；故答案為：9+2；15+2；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2；證明：Sn+1﹣Sn＝（1+n）2﹣[1+（n﹣1）]2＝[2+（2n﹣1）]×＝3（2n﹣1）+2＝6n﹣3+2；（3）當a＝1，b＝3時，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50＝S51﹣S1＝（1+50）2﹣1＝7500+100．26．（8分）（2023?晉城模擬）閱讀與思考請仔細閱讀下列材料，并完成相應的任務．＝，＝＝＝3+像上述解題過程中，與、﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程被稱為分母有理化．任務：（1）的有理化因式（答案不唯一）；﹣2的有理化因式是+2（答案不唯一）．（2）寫出下列式子分母有理化的結果：①＝；②＝﹣1．（3）計算：+……+．解：（1）的有理化因式是，﹣2的有理化因式是+2，故答案為：（答案不唯一），+2（答案不唯一）；（2）①＝＝，②＝＝﹣1，故答案為：，﹣1；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+……+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．27．（8分）（2023?晉城模擬）問題：先化