專題07 五大類新定義題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考新題型專用）（學(xué)生版）

專題07五類新定義題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【題型1數(shù)列新定義破解大法】【題型2集合新定義破解大法】【題型3導(dǎo)數(shù)新定義破解大法】【題型4三角函數(shù)新定義破解大法】【題型5平面向量新定義破解大法】題型1數(shù)列新定義破解大法高考對(duì)數(shù)列的考查常常涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列中的一些基本問題，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，判斷等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法等.另外，也要關(guān)注新定義與數(shù)列的結(jié)合，此類題往往涉及推理與證明的相關(guān)知識(shí)，對(duì)思維的要求較高，所以要注意多角度、全方位分析題目的條件和結(jié)論，拓寬看問題的視野.新定義題型的特點(diǎn):通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.下面介紹幾類數(shù)列新定義數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說明理由．問題1：根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得的通項(xiàng)公式，問題2：根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果，問題3：根據(jù)“和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.在正項(xiàng)無窮數(shù)列中，若對(duì)任意的，都存在，使得，則稱為階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對(duì)任意的，都存在，使得，則稱為階等差數(shù)列．(1)若為1階等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若為階等比數(shù)列，求證：為階等差數(shù)列；(3)若既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：是等比數(shù)列．問題1：根據(jù)題意可得為正項(xiàng)等比數(shù)列，求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解；問題2：由為階等比數(shù)列，可得，使得成立，再根據(jù)階等差數(shù)列即可得出結(jié)論；問題3：根據(jù)既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，可得與同時(shí)成立，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請(qǐng)給出證明過程；若不能，請(qǐng)說明理由.問題1：根據(jù)和討論，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；問題2：結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即可；問題3：根據(jù)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”求得，再利用數(shù)列的前項(xiàng)和得，然后推得與不能同時(shí)成立，即可判斷.1．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前項(xiàng)和為，稱滿足條件“對(duì)任意的，，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.(1)試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，并給出證明；(2)已知數(shù)列為“好”數(shù)列，其前項(xiàng)和為.①若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，且對(duì)任意給定的正整數(shù)，，有，，成等比數(shù)列，求證：.2．設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.3．設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③.設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為.換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3.(1)請(qǐng)寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前之和；(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和.4．若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；(2)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當(dāng)不是“型數(shù)列”時(shí)，（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求證：.5．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.6．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.7．將數(shù)列按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱為的一個(gè)分群數(shù)列，稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列．如，，…，是的一個(gè)分群數(shù)列，其中第k個(gè)括號(hào)稱為第k群．已知的通項(xiàng)公式為．(1)若的一個(gè)分群數(shù)列中每個(gè)群都含有3項(xiàng)；該分群數(shù)列第k群的中間一項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的一個(gè)分群數(shù)列滿足第k群含有k項(xiàng)，為該分群數(shù)列的第k群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)，求集合M中所有元素的和．8．隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．題型2集合新定義破解大法解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：第一點(diǎn)：緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；第二點(diǎn)：用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的，，，使得成立．(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若，求中所有元素的和的最小值并寫出取得最小值時(shí)所有符合條件的集合；(3)求證：．問題1：由，所以數(shù)集不具有性質(zhì)，同理根據(jù)集合性質(zhì)的概念，可判斷具有性質(zhì)；問題2：由（1）結(jié)合數(shù)集的性質(zhì)的概念，滿足，分類討論，即可求得數(shù)集；問題3：根據(jù)數(shù)集的性質(zhì)的定義，可得，，，，滿足，，，，，累加即可證明.已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對(duì)任意的k，，使得成立．(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(2)若，求A中所有元素的和的最小值并寫出取得最小值時(shí)所有符合條件的集合A；(3)求證：．問題1：由，所以數(shù)集不具有性質(zhì)P，同理根據(jù)集合性質(zhì)P的概念，可判斷具有性質(zhì)P；問題2：由（1）結(jié)合數(shù)集的性質(zhì)P的概念，滿足，分類討論，即可求得數(shù)集A；問題3：根據(jù)數(shù)集的性質(zhì)P的定義，可得，所以，滿足，累加即可證明．設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．(1)設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請(qǐng)說明理由；(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；（ii）若（c為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式．問題1：根據(jù)“T集”的定義判斷即可；問題2：（i）寫出等差數(shù)列通項(xiàng)，得到向量的坐標(biāo)，再分類討論即可；（ii）設(shè)，利用三角數(shù)陣和等比數(shù)列定義即可.1．已知集合，對(duì)于，，定義與之間的距離為．(1)已知，寫出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)設(shè)集合，中有個(gè)元素，若中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為，求證：．2．對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．(1)設(shè)，請(qǐng)寫出向量集Y并判斷X是否具有性質(zhì)P（不需要證明）．(2)若，且集合具有性質(zhì)P，求x的值；(3)若X具有性質(zhì)P，且，q為常數(shù)且，求證：．3．定義兩個(gè)維向量，的數(shù)量積，，記為的第k個(gè)分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個(gè)條件：①集合中含有n個(gè)n維向量作為元素；②集合中每個(gè)元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個(gè)元素，，滿足（T為常數(shù)）且.則稱A為T的完美n維向量集.(1)求2的完美3維向量集；(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.4．設(shè)自然數(shù)，由個(gè)不同正整數(shù)構(gòu)成集合，若集合的每一個(gè)非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個(gè)數(shù)(1)已知集合，集合，分別求解．(2)對(duì)于集合，若取得最大值，則稱該集合為“極異集合”①求的最大值（無需證明）．②已知集合是極異集合，記求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．5．設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì)．(1)試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由．(2)若．證明：A不可能具有性質(zhì)．(3)若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個(gè)數(shù)的最大值．6．已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個(gè)數(shù)，的元素個(gè)數(shù).(1)若，直接寫出所有滿足條件的集合；(2)若，且對(duì)任意，都有，求的最大值；(3)若且對(duì)任意，都有，求的最大值.7．給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對(duì)值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).8．已知集合A為非空數(shù)集.定義：(1)若集合，直接寫出集合S，T；(2)若集合且．求證：；(3)若集合記為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求的最大值.題型3導(dǎo)數(shù)新定義破解大法函數(shù)新定義，以及理由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不等式的綜合應(yīng)用問題，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的定義，并結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，不等式關(guān)系，進(jìn)行推論論證.特別注意1：解題關(guān)鍵是掌握新定義“好點(diǎn)”的含義，對(duì)函數(shù)的“好點(diǎn)”，實(shí)質(zhì)就是解方程組，因此凡是出現(xiàn)“好點(diǎn)”，解題時(shí)就是由此方程組求解．這樣就把新定義轉(zhuǎn)化一般的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)問題．特別注意2：明確階泰勒展開式的具體定義；在證明不等式成立時(shí)的關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在處的階泰勒展開式的大小關(guān)系，利用放縮的方法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.問題1：根據(jù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；問題2：令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負(fù)，由此可得與的大小關(guān)系；問題3：令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即；①當(dāng)時(shí)，由，，可直接證得不等式成立；②當(dāng)時(shí)，分類討論，由此可證得不等式成立.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.問題1：首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；問題2：首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；問題3：分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.問題1：根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；問題2：通過構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；問題3：通過換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.1．已知常數(shù)為非零整數(shù)，若函數(shù)，滿足：對(duì)任意，，則稱函數(shù)為函數(shù).(1)函數(shù)，是否為函數(shù)﹖請(qǐng)說明理由；(2)若為函數(shù)，圖像在是一條連續(xù)的曲線，，，且在區(qū)間上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記、為函數(shù)的最大、小值，求的取值范圍；(3)若，，且為函數(shù)，，對(duì)任意，恒有，記的最小值為，求的取值范圍及關(guān)于的表達(dá)式.2．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴(yán)格增，設(shè)為函數(shù)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意都有.3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)、是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，如果曲線上存在，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在中值相依切線，說明理由.4．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的級(jí)“平移點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，求的取值范圍.5．記，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“好點(diǎn)”．(1)判斷函數(shù)與是否存在“好點(diǎn)”，若存在，求出“好點(diǎn)”；若不存在，請(qǐng)說明珵由；(2)若函數(shù)與存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．7．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．(1)求曲線在點(diǎn)處的曲率的值；(2)求正弦曲線曲率的最大值．8．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；(2)已知函數(shù)，其中.（ⅰ）求的拐點(diǎn)；（ⅱ）若，求證：.題型4三角函數(shù)新定義破解大法三角函數(shù)新定義問題；主要把握住三角函數(shù)與其它知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可，熟記三角恒等變換的有關(guān)公式；求取值范圍轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題.特別注意：新定義“伴隨函數(shù)”得出函數(shù)的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)求解．對(duì)于函數(shù)一般借助輔助角公式進(jìn)行變形，即，其中，．我們知道：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取其定義域D中的任意值時(shí)，有，且成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)．對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做函數(shù)的最小正周期．對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)，若存在正常數(shù)T，使得是以T為周期的函數(shù)，則稱為正弦周期函數(shù)，且稱T為其正弦周期．(1)驗(yàn)證是以為周期的正弦周期函數(shù)．(2)已知函數(shù)是周期函數(shù)，請(qǐng)求出它的一個(gè)周期．并判斷此周期函數(shù)是否存在最小正周期，并說明理由．(3)已知存在這樣一個(gè)函數(shù)，它是定義在R上嚴(yán)格增函數(shù)，值域?yàn)镽，且是以T為周期的正弦周期函數(shù)．若，，且存在，使得，求的值．問題1：根據(jù)正弦周期函數(shù)的定義求解；問題2：結(jié)合正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)由周期函數(shù)定義求解．問題3：從是嚴(yán)格遞增函數(shù)，時(shí)，進(jìn)行推理可得．人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)象的身份.在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.已知二維空間兩個(gè)點(diǎn)、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離：.(1)若、，求、之間的余弦距離；(2)已知，、,，若,，求、之間的曼哈頓距離.問題1：利用題中定義可求得點(diǎn)、間的余弦距離；問題2：利用兩角和與差的正弦、余弦公式可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合題中定義可求得、之間的曼哈頓距離.人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值問題1：根據(jù)公式直接計(jì)算即可.問題2：根據(jù)公式得到，，計(jì)算得到答案. 1．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為．向量稱為函數(shù)的“相伴向量”．(1)記的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)已知點(diǎn)滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．(3)當(dāng)向量時(shí)，伴隨函數(shù)為，函數(shù)，求在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍；2．對(duì)于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.(1)若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；(2)若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；(3)若，；，，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對(duì)的的“余弦方差”.(1)若集合，求集合A相對(duì)的“余弦方差”；(2)若集合，是否存在，使得相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值？若存在，求出的值：若不存在，則說明理由.4．人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；(2)記向量的相伴函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，求的值域；(3)已知為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.6．已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，且過點(diǎn).(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值；(2)令，記函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大依次為、、、，求的值；(3)設(shè)函數(shù)，，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，對(duì)于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，若恒有成立，則稱函數(shù)是上的級(jí)周期函數(shù)，周期為.是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的周期為的級(jí)周期函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.7．對(duì)于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時(shí)，有則稱函數(shù)為“k級(jí)周天函數(shù)”.(1)判斷下列函數(shù)是否是“2級(jí)周天函數(shù)”，并說明理由：①；②；(2)求證：當(dāng)時(shí)，是“3級(jí)周天函數(shù)”；(3)設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.8．定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)的“跟隨函數(shù)”為．(1)記有序數(shù)對(duì)(1,－1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若，求滿足要求的所有x的集合；(2)記有序數(shù)對(duì)(0,1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若函數(shù)與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)已知，若有序數(shù)對(duì)(a,b)的“跟隨函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)b在區(qū)間(0,]變化時(shí)，求的取值范圍．題型5平面向量新定義破解大法平面向量新定義一般與三角恒等變換相結(jié)合合，充分理解新定義，且熟練掌握向量和三角函數(shù)知識(shí)才能解決此類題，特別是求長度，要設(shè)出向量，表達(dá)出，先證明充分性，再證明必要性已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；(2)設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量；(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.問題1：根據(jù)向量的伴隨函數(shù)求出，再將所求角用已知角表示，結(jié)合三角恒等變換即可求解；問題2：化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)相伴特征向量的定義即可求得，繼而進(jìn)一步計(jì)算即可；問題3：根據(jù)題意確定的值，繼而得到函數(shù)，繼而得到，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)向量的垂直關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性得到答案.n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，其中稱為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)n維向量，若，稱為n維信號(hào)向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.(1)直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；(2)證明：不存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號(hào)向量；(3)已知k個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量，，…，滿足它們的前m個(gè)分量都是相同的，求證：.問題1：根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；問題2：根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到有5個(gè)分量為，設(shè)的前5個(gè)分量中有r個(gè)，得到5個(gè)分量中有個(gè)，進(jìn)而求得r的值，即可求解；問題3：任取，得到，設(shè)的第個(gè)分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．(1)設(shè)，解決下面問題：①求；②設(shè)與的夾角為，求；(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．問題1：根據(jù)條件得到，再利用題設(shè)定義的運(yùn)算，即可求出結(jié)果；問題2：任取，，得到，設(shè)的第個(gè)分量之和為，結(jié)合，即可求出結(jié)果.1．已知集合.對(duì)于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說明：的充要條件是.(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；(2)若，且存在，使得，求證：；(3)記.若，且，求的最大值.2．定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為．(1)寫出向量的“伴隨函數(shù)”，并直接寫出的最大值；(2)求函數(shù)的“伴隨向