余弦定理課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(3)2

6.4.3余弦定理新人教A版數(shù)學(xué)必修2第六章《平面向量》廣東高州中學(xué)夏孫明一、實(shí)際應(yīng)用問題ABC5km8km

某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置C，量出A到山腳A、B的距離，分別是BC=5km，AC=8km，再利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出C對山腳AB的張角，最后通過計算求出山腳的長度AB。思考：你能求出圖中山腳的長度AB嗎？二、化為數(shù)學(xué)問題已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?直角三角形

，向量，坐標(biāo)解決長度和角度問題的手段有什么？CBAcab探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB與CA

的夾角為∠C，求邊c.﹚設(shè)由向量減法的三角形法則得三、證明問題向量法CBAcab﹚﹚由向量減法的三角形法則得探究：若△ABC為任意三角形，已知角C，

BC=a,CA=b,求AB邊c.設(shè)同理：請用類比思想推出另外兩邊公式CBAcab﹚由向量減法的三角形法則得探究：若△ABC為任意三角形，已知角C，

BC=a,CA=b,求AB邊c.設(shè)同理：請用類比思想推出另外兩邊公式余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字說明嗎？CBAabc

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。歸納除了向量法證明，你能用其他方法證明它嗎?ABCabcD當(dāng)角C為銳角時幾何法bAacCBD當(dāng)角C為鈍角時ABCcba

余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來證明余弦定理。當(dāng)C=90?時，有證明在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，則CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：

當(dāng)然，對于鈍角三角形來說，證明類似，課后自己完成。D證明bAacCB證明：以CB所在的直線為x軸，過C點(diǎn)垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：xy坐標(biāo)法證明解三角形

一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.余弦定理能夠解決什么問題？

a2=b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcosC方程思想：四個量，知三求一b2+c2-a22bccosA=a2+c2-b22accosB=a2+b2-c22abcosC=CBAabc1.已知兩邊和它們的夾角，求另一邊想一想變形2.已知三邊，求角3.判斷三角形形狀題型一、已知三角形的兩邊及夾角求解三角形CABabc解決實(shí)際應(yīng)用問題BCA5km8km

某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置C，量出A到山腳A、B的距離，分別是BC=5km，AC=8km，再利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出C對山腳AB的張角，最后通過計算求出山腳的長度AB。例2.在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得題型二、已知三角函數(shù)的三邊解三角形CABabc例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)試判斷角C是什么角？（2）判斷△ABC的形狀題型三、判斷三角形的形狀解：由余弦定理得：變式訓(xùn)練：在△ABC中，若，則△ABC的形狀為（）Ａ、鈍角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、銳角三角形Ｄ、不能確定A推論：CBAbac知識提煉：提煉：設(shè)a是最長的邊，則△ABC是鈍角三角形△ABC是銳角三角形△ABC是直角三角形拓展：課堂小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么？三角形中的邊角關(guān)系余弦定理定理內(nèi)容定理證明定理應(yīng)用(2)已知三邊，求三個角(1)已知兩邊和其夾角，求第三邊和其它兩個角(3