2024年考研數(shù)學(xué)三真題解析詳解

1994年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題，每題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)

「2X+Lxl

(1)[—4dx=

J-22+/

X

(2)已知[=貝！Jlim

x

^°f(x0-2x)-f(x0-x)

(3)設(shè)方程*+V=cosx確定y為x的函數(shù),則電=_________________

dx

「0。10L0

00。2L0

(4)設(shè)公=MMMM，其中勾片0,，=1,2,L,n,貝uA-1=

000L4T

an00L0

(5)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

2%,0<x<1,

/(%)=

0,其他，

以y體現(xiàn)對(duì)X的三次獨(dú)立反復(fù)觀測中事件(X<出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2}=

二、選擇題(本題共5小題,每題3分，滿分15分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目規(guī)定，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

±r24-r+l

(1)曲線y=e"arctan的漸近線有

(%+1)(%-2)

()

(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條

(2)設(shè)常數(shù)，而級(jí)數(shù)；收斂，則級(jí)數(shù)

2>0Yan/2。

n=l八=15/Tl+A

()

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂(D)收斂

性與,有關(guān)

(3)設(shè)A是ax〃矩陣，。是“階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣5=AC時(shí)秩為大則

(A)

r>r}(B)r<r}

(C)r=z](D)r與4的關(guān)系由。而定

設(shè)0<P(A)<l,0<P(B)<1,P(A|B)+P(AB)=1

(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B互相對(duì)立

￡C)事件A和5互不獨(dú)立(D)事件A和8互相獨(dú)立

(5)設(shè)X],X2，L,X”是來自正態(tài)總體NO，。?)的簡樸隨機(jī)樣本，X是樣本均值，記

1n-1n-

S；=一^(X,-X)2,S；=—/X,-X)2,

n-1,.in,=i

則服從自由度為的r分布的隨機(jī)變量是

x-〃X-pi

~s~~s7~

y/n-l

,、X-u

(0t=(D)t=

)3d4

4n4n

三、(本題滿分6分)

計(jì)算二重積分jj(x+y)辦如儀，其中￡)={(%,y),2+,2wx+y+i}.

D

四、(本題滿分5分)

。設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足條件<彳求廣義積分J：y(x)dx.

五、(本題滿分5分)

-,八,/、2y?%492/

。已知j(%,y)=xarctan---yarctan—,求-----.

xydxdy

六、(本題滿分5分)

設(shè)函數(shù)/(%)可導(dǎo),且/(O)=O,F(x)=「廣"(x"T")力,求lim4^.

Jox->0

七、(本題滿分8分)

己知曲線y=aG(a〉0)與曲線y=In?在點(diǎn)(x0,%)處有公共切線，求:

(1)常數(shù)a及切點(diǎn)(毛,%);

(2)兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

八、(本題滿分6分)

假設(shè)/(%)在［a,+8)上持續(xù)，f\x)在(a,+oo)內(nèi)存在且不不大于零,記

-)=/("⑷…,

x-a

證明/（x）在（a,”）內(nèi)單調(diào)增長.

九、（本題滿分11分）

。設(shè)線性方程組

23

再+axx2+%退=%，

%!+a2x2+

%]+a3x2+

%+a4x2+

（1）證明:若％,。2，。3，。4兩兩不相等，則此線性方程組無解;

（2）設(shè)%=%=左,“2=。4=-左（左/0）,且己知發(fā)，夕2是該方程組的兩個(gè)解，其中

寫出此方程組的通解.

十、（本題滿分8分）

001

。設(shè)Ax1y有三個(gè)線性無關(guān)的特性向量,求x和y應(yīng)滿足的條件.

10o

十一、（本題滿分8分）

假設(shè)隨機(jī)變量x1；x2,x3,x4互相獨(dú)立,且同分布

P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4（z=1,2,3,4）,

求行列式乂=1“2的概率分布.

X3X，

十二、（本題滿分8分）

假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（〃,l）,內(nèi)徑不不不大于

10或不不大于12時(shí)為不合格品，其他為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品

虧損.已知銷售利潤T（單位:元）與銷售零件日勺內(nèi)徑X有如下關(guān)系：

-1,X<10,

T=J20,10<X<12,

-5,X>12.

問平均內(nèi)徑〃取何值時(shí)，銷售一種零件的平均利潤最大？

1994年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析

一、填空題(本題共5小題,每題3分,滿分15分.)

(1)【答案】In3

【解析】運(yùn)用被積函數(shù)的奇偶性,當(dāng)積分區(qū)間有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，積分

為

0;被積函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，可以化為二倍的半?yún)^(qū)間上的積分.因此知

-2|x|

原式=「一~dx+-^dx=2'2-^dx

J-22+x2-22+x2■02+x2

MU加

=In(2+x2)[=In6-In2=In3.

⑵【答案】1

/(%+Ax)一/(%)

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有尸(%)=lim

Axf0Ax

因此由此題極限的形式可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義的形式，從而求得極限值.由于

lim」5—2x)--(%-x)

x-0%

/(%—2x)一/(%0)——x)+f(x)

——111110

,

=(—2)lim"%-2x)-/(%)+Um/(%-x)-/(%)=_2/(^0)+/(-^o)=1.

xf0—2X0—x

x1

因此原式=lim---------------------------=-=l.

5/(/―2x)—/(xo—x)1

ye孫+sinx

(3)【答案】y'=—

xev+2y

【解析】將方程+/=cosx當(dāng)作有關(guān)x的恒等式，即y看作x的函數(shù).

方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得

+xy')+2yy'=-sinxny'=-ye

xe-+2y

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：[/(%)-g(x)]'=/'(1)?g(x)+/(%)-g'(x).

—000

ax

(4)【答案】

00—0

051

【解析】由分塊矩陣求逆時(shí)運(yùn)算性質(zhì)，有公式

B0A-10

000—

an

—000

因此,本題對(duì)A分塊后可得A-1=

00—0

9

(5)【答案】—

64

【解析】已知隨機(jī)變量X的概率密度，因此概率p{x<g}=J；2xdx=；,求得二項(xiàng)

分布的概率參數(shù)后,故y?B(3,-).

4

由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式,所求概率為P{Y=2}=心圖唉

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式:

若y?3(〃,p),則尸｛丫=左｝=。)11—,廣3左=0,1,

二、選擇題(本題共5小題,每題3分，滿分15分.)

(1)【答案】(B)

【解析】本題是有關(guān)求漸近線的問題.

T二X2+X+171

由于hmexarctan---------------=—,

X—>00(x+l)(x—2)4

7T

故y=I為該曲線的一條水平漸近線.

立-%?+X+1

乂limexarctan---------------二oo.

a。(x+l)(x-2)

故％=0為該曲線的一條垂直漸近線，因此該曲線的漸近線有兩條.

故本題應(yīng)選(B).

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】水平漸近線：若有l(wèi)im/(%)=〃，則y=a為水平漸近線;

鉛直漸近線:若有l(wèi)im/(x)=GO,則％=。為鉛直漸近線；

%—>4

斜漸近線：若有a=lim以立力=lim"(x)-取］存在且不為8,則y=以+》為斜漸

近線.

(2)【答案】(C)

【解析】考察取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù).因

Ic-iriajLi2,11.12.1

|7^77|"2"2n2+A2-2卮

(第一種不等式是由a>O,b>O,ab<1(a2+/)得到時(shí))

00001001

又￡片收斂，I收斂，(此為2級(jí)數(shù)：當(dāng)0>1時(shí)收斂；當(dāng)pwi時(shí)發(fā)散.)

n=ln=l2〃n=l〃

因此之,a：+_L收斂由比較鑒別法,得y(—D1%?收斂.

占22n267^77

故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,因此選(C).

(3)【答案】(C)

【解析】由公式r(AB)<min(r(A),r(B)),若A可逆,則

。。r(AB)<r(B)=r(EB)=r[A-1(AB)]<r(AB).

從而r(AB)=r(B),即可逆矩陣與矩陣相乘不變化矩陣的秩,因此選(C).

(4)【答案】(D)

【解析】實(shí)際上，當(dāng)0<。(5)<1時(shí)，P(A|8)=P(A|R)是事件A與6獨(dú)立的充足必要

條件，證明如下：

若P(A|5)=P(A|歷，則

"AB)=P(AB)-P(B)P(AB)=P(B)P(疝),

P(B)l-P(B)

P(AB)=P(B)?[P(AB)+P(AB)]=P(B)P(A),

由獨(dú)立的定義，即得A與B互相獨(dú)立.

若A與6互相獨(dú)立,直接應(yīng)用乘法公式可以證明P(A|B)=P(A|'B).

P(A\B)^1-P(A\B)P(A\B).

由于事件B的發(fā)生與否不影響事件A發(fā)生的概率，直觀上可以判斷A和B互相獨(dú)立.

因此本題選(D).

(5)【答案】(B)

【解析】由于X],X?,…，X”均服從正態(tài)分布N("Q2),根據(jù)抽樣分布知識(shí)與t分布的應(yīng)

用模式可知

Y_..___1n

與己N(O,1),其中x=—￡Xj,

/品nT

t(n-l).

X—juX—ju

即I產(chǎn)=-----r(n-l).

EE區(qū)-百向

由于。分布的經(jīng)典模式是：設(shè)XN(O,1),Y/(〃)，且X,y互相獨(dú)立，則隨機(jī)變量

V

T=7=服從自由度為"的f分布，記作T/(").

y/Y7n

因此應(yīng)選(B).

三、(本題滿分6分)

【解析】措施1：由/+/<%+丁+1,配完全方得[％—g[+(y—g)^|-

令1-g=rcos&y-；=rsine,引入極坐標(biāo)系(幾6),則區(qū)域?yàn)?/p>

D-<(r,^)|0<^<2TI,0<r<

故\\{x+y)dxdy=^dd\^(1+rcos^+rsin0)?rdr

D

3

a產(chǎn)d0+-(cos0+sin3)d0

4Jo2V2Jo

3「2%+；JT(sin8-cos3

=—71.

4o2

措施2:由+y2<%+y+],配完全方得(x—/IIM-

引入坐標(biāo)軸平移變換："=x-L,v=y-L,則在新的直角坐標(biāo)系中區(qū)域。變?yōu)閳A域

22

D1=(i/,v)|u?+v2V5卜

ffijx+y=w+v+1,則有dxdy=dudv,代入即得

Jj(x+y)dxdy=1j(w+v+l)dudv=jjududv+vdudv+“dudv.

DD】DiDi5

由于區(qū)域2有關(guān)u軸對(duì)稱，被積函數(shù)〃是奇函數(shù)，從而JJududv-0.

同理可得jjvdudv=0,又^dudv=\D^=—7V,

AA2

故jj(x+y)dxdy=—TT.

D2

四、(本題滿分5分)

【解析】先解出y(x),此方程為常系數(shù)二階線性齊次方程，用特性方程法求解.

方程V+4y'+4y=0的特性方程為彳2+42+4=0,解得4=%=—2.

故原方程時(shí)通解為y=(G+C,x)e-2x.

由初始條件y(0)=2,y'(0)=T得G=2,C?=0,

因此，微分方程的特解為y=2"21

?4-00/?+oo-

再求積分即得°y{x)dxJ2edx

=limfe~2xd（2x）=lim-e~2x[=1.

b—>+<x）JO''Z?—>+oolO

,

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】用特性方程法求解常系數(shù)二階線性齊次方程y"+py+qy=Q：

首先寫出方程y"+py'+qy=0的特性方程：產(chǎn)+°廠+q=0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特

性根彳，G;

分三種狀況：

v

（1）兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不公則通解為〉=￡63+C2e\

（2）兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根彳=2,則通解為y=（￡+Gx）/；

ax

（3）一對(duì)共輾復(fù)根￡=夕±率，則通解為y=e（QcosJ3x+C2sinJ3x）.

其中a，C2為常數(shù).

五、（本題滿分5分）

【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,首先求g,由題設(shè)可得

OX

yxyyy

=2xarctan---------——-----=2xarctan——y.

xx+y%+yx

再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)即得

2

df=2xj__1=2，_]=-

dxdy][y]xx2+y2x2+y2

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：假如函數(shù)〃=0（x,y）,v=〃（匹y）都在點(diǎn)（九,y）具

有對(duì)%及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=/（w,v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)3#）具有持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

z=（尤,y）,〃（無,y））在點(diǎn)（x,y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有

dzdzdudzdvrfdudv

--=--------1-------=f]1-fz--；

dxdudxdvdxdx-----dx

dzdzdudzdvrtdurfdv

—=-------1-------=f\----1~fy—?

dydudydvdydydy

六、(本題滿分5分)

【解析】運(yùn)用換元法，令x"-〃=”，則

F(x)=/)由=—J；f(u)dun尸(x)=x"T/(x").

由于limf孕為“?！毙偷臉O限未定式，又分子分母在點(diǎn)。處導(dǎo)數(shù)都存在，運(yùn)用洛必

…x2n0

達(dá)法則,可得

F(x)F\x)x'V(x")

hrm—=rhm-V-=rhm——/

—0鏟—02"2'1KfO2wr'T

2n—。xn2n―。xn-Q

由導(dǎo)數(shù)的定義，有原式=2/'(0).

2n

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)積分上限時(shí)函數(shù)的求導(dǎo)公式：

/?/?(?)

若F(n=[f(x)dx,?(0,/3(t)均一階可導(dǎo),則

Ja(r)

七、(本題滿分8分)

【解析】運(yùn)用(毛,為)在兩條曲線上及兩曲線在(不，光)處切線斜率相等列出三個(gè)方程，由

此,可求出然后運(yùn)用旋轉(zhuǎn)體體積公式求出匕.

a,x0,y0,r(x)dx

(1)過曲線上已知點(diǎn)(毛,為)的切線方程為V-%=左(x—x0)，其中，當(dāng)>'(不)存在時(shí)，

左=>'(不).

由y=ay[x知V=—.由y=In五知y'=」-

14x2x

由于兩曲線在(%,為)處有公共切線，可見一1=」-，得

25yxo2%0a

將毛=，分別代入兩曲線方程,有為=aMm

11

于是a=—，X。=~Te1

ea

從而切點(diǎn)為Q2,1).

(2)將曲線表成y是x的函數(shù)，丫是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差，套用旋轉(zhuǎn)體體積公式，可得

旋轉(zhuǎn)體體積為

2

Vx=(―(InInxdx

一「7T2兀7C

=XM；25—e-------x=—

22?2

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】由持續(xù)曲線y=/(x)、直線x=a,x=〃及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋

轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為：V=f\x)dx.

Ja

八、(本題滿分6分)

【解析】措施1：

/(%)=-,⑷=^-[/Xx)(x-a)-/(%)+/(a)],

yx-a)(1一〃)

令(p{x)=f'(x)(x-?)-/(%)+/(?)(%>a),

由(p'{x}=f"(x)(x—a)+f'(x)—f'(x)=(x—a)f"(x)>0(%>a),

知9(x)在(a,-K?)上單調(diào)上升,于是(p{x}>9(a)=0.

故廠口)=OR〉。

(x—a)

因此尸(x)在(a,”)內(nèi)單調(diào)增長.

措施2:E，(x)/a)(x-a).[/a)T(a)]=J_J."一于⑷-

(x-a)-x-a\_x-a_

由拉格朗日中值定理知，(x)-/(a)=于’8,(。<。<%).

x-a

于是有F'(X)=-[/(%)-ro，

x-a

由/”(尤)>0知/"(x)在(a,+00)上單調(diào)增，從而f\x)>y'C),故F\x)>0.

于是F(x)在(a,4w)內(nèi)單調(diào)增長.

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.分式求導(dǎo)數(shù)公式：[2]=八；"

2.拉格朗日中值定理：假如函數(shù)/(%)滿足在閉區(qū)間[a,b]上持續(xù);在開區(qū)間(a,內(nèi)可導(dǎo),

那么在(a,。)內(nèi)至少有一點(diǎn)/a(自<b),使等式于3)—/(a)=f'C)(b—a)成立.

九、(本題滿分11分)

【解析】⑴由于增廣矩陣了的行列式是范德蒙行列式，Qi，%，/，氏兩兩不相等，則有

|A|=（%—%）（。3—％）（〃4一%）（。3—%）（〃4一％）（。4—。3）?！悖?/p>

故r(A)=4.而系數(shù)矩陣A時(shí)秩r(A)=3,因此方程組無解.

（2）當(dāng)q=%=左,％=。4=—%（左。0）時(shí),方程組同解于

石+近2+左2%3=左：

<

%—kx、+k~X3=-k-

1k-

由于=—2左HO,知r（A）=r（A）=2.

1-k

由〃—r(A)=3—2=1,知導(dǎo)出組Ac=0的基礎(chǔ)解系具有1個(gè)解向量,即解空間的維數(shù)

為1.

由解的構(gòu)造和解的性質(zhì),

是Ax=0日勺基礎(chǔ)解系.

于是方程組的通解為4+左〃，其中左為任意常數(shù).

【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.非齊次線性方程組有解的鑒定定理:

設(shè)A是相x〃矩陣,線性方程組Ac=b有解的充足必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣

矩陣,=（A與的秩，即r（A）=r（無）.（或者說，?？捎葾的列向量生,%，-，%線表出，亦

等同于%,%，，a“與名,%，??，%，6是等價(jià)向量組）

設(shè)A是機(jī)x〃矩陣，線性方程組Ac="則

(1)有唯一解Or(A)=r(A)=n.

（2）有無窮多解Or(A)=r(A)<n.

(3)無解or(A)+l=r(A).

o匕不能由AaI列向量生,%，…,見線表出?

2.解的構(gòu)造：若火、a2是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=。的基礎(chǔ)解系，知Ax=匕的通解

形式為匕4i+其中7，%是Ax=0的I基礎(chǔ)解系，自是Ax=匕日勺一種特解.

3.解時(shí)性質(zhì)：假如7，〃2是Ax=0的兩個(gè)解，則其線性組合尢7+424仍是Ax=。的

解；假如J是=3的一種解，〃是Av=0的一種解，則J+〃仍是Ac=5的解.

十、（本題滿分8分）

【解析】由A的特性方程，按照第二列展開，有

20-1

I/IE1—A|=—x2—1_y=(2—1)=(^—1)~(/i+1)=0,

—1A

-102

得到A的特性值為4=4=1,%=—i.

由題設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特性向量,因此，彳