函數(shù)的周期性與圖象對稱性

關(guān)于函數(shù)的周期性與圖象對稱性1．函數(shù)的周期性對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為0的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的

時，有

都成立，那么就把函數(shù)y＝f(x)叫周期函數(shù)，如果在所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，把這個最小的正數(shù)叫

．若T是函數(shù)y＝f(x)的一個周期，則nT(n∈Z)也是f(x)的

．任意一個值f(x＋T)＝f(x)最小正周期周期注意：定義域兩頭都是無界

第2頁,共13頁，2024年2月25日，星期天若函數(shù)

滿足如下關(guān)系，證明這些函數(shù)是否是周期函數(shù)，研究它們的周期.探討：第3頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【例1】求函數(shù)圖像的對稱中心.

小結(jié)：一般地，函數(shù)的對稱中心為:__________.

2.函數(shù)圖像的中心對稱：

若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)的圖象關(guān)于點

對稱

第4頁,共13頁，2024年2月25日，星期天3.函數(shù)圖像的軸對稱：若f(a+x)=f(a-x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線

對稱?！纠?】已知是函數(shù)的對稱軸,求a的值.

【練習(xí)1】若函數(shù)y=log2|ax-1|的圖象關(guān)于直線x=2對稱,求非零實數(shù)a的值.

【練習(xí)2】已知對一切x都有f(x)=f(2-x)且方程f(x)=0有2011個不同的根，求這2011個根的和.

第5頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【例3】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R，恒有f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)．第6頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【證明】

(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)由f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2004)＋f(2005)＋f(2006)＋f(2007)．第7頁,共13頁，2024年2月25日，星期天又x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，且f(3)＝f(－1)．∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(3)＝－f(1)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，又f(2008)＝f(0)＝0，f(2009)＝f(1)＝1，f(2010)＝f(2)＝0.因此f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝1.第8頁,共13頁，2024年2月25日，星期天4.對稱性與周期性的關(guān)系

①一般地:若x=a,x=b(a≠b)是函數(shù)f(x)的兩條對稱軸,則f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|為它的一個周期.②一般地:若(a,0),(b,0)(a≠b)是函數(shù)f(x)的兩個對稱中心,則f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|為它的一個周期.

③一般地:若x=a和(b,0)(a≠b)分別是函數(shù)f(x)的一條對稱軸和一個對稱中心,則f(x)為周期函數(shù)且4|a-b|為它的一個周期.

(結(jié)論不需記，以三角函數(shù)y=sinx為模型加以理解)第9頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【例4】已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2008)＋f(2009)的值為(

)A．－2B．－1

C．1D．2第10頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【解】∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2008)＝f(2008)，當(dāng)x≥0時，f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為2，則f(2009)＝f(1)．又x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)因此f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.【答案】

C思維啟迪緊緊抓住題目的條件關(guān)系——奇偶性與周期性，這是解題的關(guān)鍵，并注意體會本題中轉(zhuǎn)化化歸思想的運用。

點撥當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)已知，欲求f(－2008)＋f(2009)的值，只需轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間[0,2)上，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，問題可解．第11頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【練習(xí)】設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為R且f(x+2)=f(-x),當(dāng)x∈[4,6]時