惠州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第14頁/共14頁惠州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)2024.07全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上．2．作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效．3．非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】由，得，即，由，得，即，所以.故選：D2.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D3.在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42 C.43 D.45【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，則.故選：B.4.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.14 B. C.42 D.【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，由，得，那么展開式中常數(shù)項(xiàng)是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題.5.在正三棱柱中，若，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】因?yàn)樵谡庵校簦?，，所以，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A6.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．向量．若，則角C的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理求解即得.【詳解】在中，由，，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.故選：C7.設(shè)點(diǎn)A,B在曲線上．若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意，利用對數(shù)的運(yùn)算，求得的值，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，可得，整理得，解得或，不妨設(shè)，所以.故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間恰有6個(gè)零點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求得從左到右的零點(diǎn)依次為：，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由，得或，解得的正零點(diǎn)為或，則函數(shù)從左到右的零點(diǎn)依次為：，為了使得在區(qū)間恰有6個(gè)零點(diǎn)，只需，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.現(xiàn)有甲、乙兩家檢測機(jī)構(gòu)對某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測評，具體打分如下表（滿分100分）．設(shè)事件M表示“從甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過平均分”，事件N表示“從甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，恰有2個(gè)超過平均分”．下列說法正確的是（）機(jī)構(gòu)名稱甲乙分值90989092959395929194A.甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)平均分小于乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的平均分B.甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的方差C.乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為92.5D.事件互為對立事件【答案】BD【解析】【分析】直接由平均數(shù)、方差、百分位數(shù)及對立事件的概念，逐一對各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的平均分，乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的平均分，A錯(cuò)誤；對于B，甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的方差，乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的方差，B正確；對于C，乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)從小排到大為：91，92，93，94，95，乙機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為93，C錯(cuò)誤；對于D，由甲機(jī)構(gòu)測評分?jǐn)?shù)中有且僅有2個(gè)測評分?jǐn)?shù)超過平均分，事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，因此事件互為對立事件，D正確.故選：BD10.設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)和應(yīng)用判斷ABC，根據(jù)基本不等式的應(yīng)用判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以A不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，，則，所以，所以，所以B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，所以C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．所以D正確．故選：BCD．11.在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)的軌跡為曲線C，且動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于3．則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于y軸對稱 B.曲線C的方程為C.面積的最大值 D.的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的信息，列式求出曲線C的方程，再逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對于B，依題意，，整理得，因此曲線C的方程為，B正確；對于A，方程中的換成方程不變，因此曲線C關(guān)于軸對稱，A正確；對于C，顯然，則，解得：，令，則，即，的面積，C錯(cuò)誤；對于D，，因此的取值范圍為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：曲線C的方程為，①如果，則曲線C關(guān)于y軸對稱；②如果，則曲線C關(guān)于x軸對稱；③如果，則曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則_______．【答案】【解析】【分析】化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出值.【詳解】雙曲線方程為，依題意，，所以.故答案為：13.若點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為___．【答案】（滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱，，則，當(dāng)時(shí)，可取的一個(gè)值為.故答案為：（滿足即可）.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對于，恒有，且滿足，則_______．【答案】##0.03125【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得當(dāng)時(shí)，，再借助變形即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，即，又，由，得，解得，則，于是，由對于，恒有，得當(dāng)時(shí)，，因此，而，即有，所以故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)題意求得，，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線相互垂直．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為，極小值，無極大值.【解析】分析】（1）根據(jù)，代值計(jì)算即可求得參數(shù)值；（2）根據(jù)（1）中所求參數(shù)值，求得，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性和極值.【小問1詳解】因?yàn)椋邳c(diǎn)處的切線斜率為，又在點(diǎn)處的切線與直線相互垂直，所以，解得.【小問2詳解】由（1）得，，，令，得，令，得，即增區(qū)間為，減區(qū)間為．又，所以在處取得極小值，無極大值．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬綜合中檔題.16.某企業(yè)舉行招聘考試，共有1000人參加，分為初試和復(fù)試，初試成績總分100分，初試通過后參加復(fù)試．（1）若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布，其中，試估計(jì)初試成績不低于75分的人數(shù)；（精確到個(gè)位數(shù)）（2）復(fù)試共三道題，每答對一題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績?yōu)閅，求Y的分布列及期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，．【答案】（1）159；（2）分布列見解析，期望為19.5.【解析】【分析】（1）分析可知，計(jì)算出的值，乘以可得結(jié)果；（2）分析可知隨機(jī)變量的取值分別為、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問1詳解】由學(xué)生初試成績服從正態(tài)分布，其中，，得，因此，所以估計(jì)初試成績不低于的人數(shù)為人.【小問2詳解】的可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望為.17.在三棱錐中，平面．分別為線段上的點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面并結(jié)合的形狀，利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解出平面、平面的法向量，再用面面角的向量求法求解即得..【小問1詳解】由平面，平面，得，由得為等腰直角三角形，即，又，且面，面，所以平面．【小問2詳解】在三棱錐中，取中點(diǎn)，連接，由（1）知，，，而，于是，，則顯然直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得．由平面，則平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.如圖，已知橢圓和拋物線，的焦點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，連接、并延長之，分別交于、兩點(diǎn)，連接，設(shè)、的面積分別為、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求的值；（2）設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求的值；（3）設(shè)直線、的方程，與橢圓聯(lián)立方程組表示出，由，化簡并結(jié)合基本不等式求取值范圍.【小問1詳解】橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的焦點(diǎn)為，故.【小問2詳解】若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，聯(lián)立可得，恒成立，則，.【小問3詳解】設(shè)直線、的斜率分別為、，其中，，聯(lián)立可得，解得，點(diǎn)在第三象限，則，點(diǎn)在第四象限，同理可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19.如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)，，求正整數(shù)k的最大值；（3）已知項(xiàng)數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項(xiàng)的和等于k，若，，證明：.【答案】（1）是，理由見解析（2）（3）證明見