華東師大版七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略專題07二元一次方程組的應(yīng)用(年齡,分配,古代,行程,工程,和差倍分)壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題07二元一次方程組的應(yīng)用(年齡,分配,古代,行程,工程,和差倍分)壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二元一次方程組的應(yīng)用——年齡問題】 1【考點二二元一次方程組的應(yīng)用——分配問題】 3【考點三二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題】 6【考點四二元一次方程組的應(yīng)用——行程問題】 8【考點五二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題】 10【考點六二元一次方程組的應(yīng)用——和差倍分問題】 13【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一二元一次方程組的應(yīng)用——年齡問題】例題：(2023·江蘇·七年級）今年(2023年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【變式訓(xùn)練】1．(2023·甘肅酒泉·八年級期末）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【考點二二元一次方程組的應(yīng)用——分配問題】例題：(2023·重慶市萬盛經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)溱州中學(xué)七年級期中）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？(2)目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元，請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少，最少費用為多少元．【變式訓(xùn)練】1．(2023·福建泉州·七年級期末）某學(xué)校現(xiàn)有若干間學(xué)生宿舍，準備安排給若干名學(xué)生住宿．原計劃每間住8人，則有10間宿舍無人居?。捎谝咔榉揽匦枰?，每間宿舍只能住5人，則有10人無法入?。畣栐撔，F(xiàn)有多少間學(xué)生宿舍？有多少名學(xué)生？2．(2023·河南·鄭州中原一中實驗學(xué)校八年級期末）一方有難，八方支援．鄭州暴雨牽動數(shù)萬人的心，眾多企業(yè)也伸出援助之手．某公司購買了一批救災(zāi)物資并安排兩種貨車運往鄭州．調(diào)查得知，2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運輸1800件；3輛小貨車與4輛大貨車一次可以滿載運輸2500件．(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運輸多少件物資？(2)現(xiàn)有3100件物資需要再次運往鄭州，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案?(3)在（2）的條件下，若1輛小貨車需租金400元/次，1輛大貨車需租金500元/次．請選出費用最少的租車方案，并求出最少的租車費用．【考點三二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題】例題：(2023·河南·南陽市第四完全學(xué)校七年級期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設(shè)木長x尺，繩長y尺，可列方程組為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．(2023·河南·漯河市實驗中學(xué)七年級期末）在《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一個問題：甲乙二人各有一定數(shù)目的錢．甲若獲得乙錢的二分之一，則錢數(shù)為50；乙若獲得甲錢的三分之二，則錢數(shù)也是50；問甲乙原來各有多少錢？設(shè)甲、乙原來錢數(shù)分別是x、y，可列方程組________________2．(2023·新疆·克拉瑪依市第九中學(xué)七年級期末）我國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有“雞兔同籠”問題，“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”若設(shè)雞有只，兔有只，則列出的方程組為______（列出方程組即可，不求解）．【考點四二元一次方程組的應(yīng)用——行程問題】例題：(2023·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）甲乙二人分別從相距千米的A，兩地出發(fā)，相向而行．如果甲比乙早出發(fā)半小時，那么在乙出發(fā)后小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么小時后兩人還相距千米，求甲乙二人每小時各走多少千米？【變式訓(xùn)練】1．(2023·廣東·廣州市番禺執(zhí)信中學(xué)七年級期末）列方程組解應(yīng)用題：(1)有48支隊520名運動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊有10人，每支排球隊12人，每名運動員只能參加一項比賽，籃球、排球隊各有多少支參賽？(2)小方、小程兩人相距6km，兩人同時出發(fā)相向而行，1h相遇；同時出發(fā)同向而行，小方3h可追上小程．兩人的平均速度各是多少？2．(2023·安徽·肥西縣嚴店初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）小北同學(xué)早晨騎車去上學(xué)，半小時可到達學(xué)校，媽媽發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)書丟在家中，在小北出發(fā)小時后乘上出租車去學(xué)校送書，出租車每小時的速度比小北騎車的速度快20千米，由于市政建設(shè)，出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1千米，恰好與小北同時到達學(xué)校．求小北需要騎行多少千米到學(xué)校？【考點五二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題】例題：(2023·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結(jié)論）【變式訓(xùn)練】1．(2023·福建·廈門市蓮花中學(xué)七年級期中）杭州某公司準備安裝完成5700輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車？(2)若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務(wù)，已知工人們安裝的共享單車中不能正常投入運營的占5%，求m的值．2．(2023·湖南·通道侗族自治縣教育科學(xué)研究室七年級期末）通道縣政府為把雙江鎮(zhèn)建設(shè)成國家級文明縣城,現(xiàn)有一段長為180m的街道需要整治，甲、乙兩個工程隊先后接力完成：甲工程隊每天整治12m,乙工程隊每天整治8m,共用時20天.問甲、乙兩工程隊分別整治了多少米？【考點六二元一次方程組的應(yīng)用——和差倍分問題】例題：(2023·江蘇·贛榆匯文雙語學(xué)校七年級階段練習(xí)）一玻璃廠熔煉玻璃液，其原料由石英砂和長石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．經(jīng)過化驗，石英砂中含二氧化硅95%，長石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，長石粉各多少？【變式訓(xùn)練】1．(2023·陜西·西工大附中分校八年級期末）用二元一次方程組解應(yīng)用題：一家超市中，杏的售價為10元/kg，桃的售價為8元/kg，小菲在這家超市買了杏和桃共7kg，共花費61元．求小菲這次買的杏、桃各多少千克？2．(2023·新疆吐魯番·七年級階段練習(xí)）2021年7月21日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔和校外培訓(xùn)負擔的意見》．某學(xué)校積極響應(yīng)“雙減”政策，為了豐富學(xué)生校園生活，經(jīng)研究決定準備購買一批體育健身器材．已知購買2個籃球和3個排球共花費440元，購買4個籃球和1個排球共花費480元．求籃球和排球的單價．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．(2023秋·八年級單元測試）某校運動員分組訓(xùn)練，若每組6人，余3人；若每組7人，則缺5人；設(shè)運動員人數(shù)為人，組數(shù)為組，則列方程組為（

）A．B．C．D．2．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）10年前，小明媽媽的年齡是小明的6倍，10年后，小明媽媽的年齡是小明的2倍，小明和他媽媽現(xiàn)在的年齡分別是多少歲？若設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，根據(jù)題意可列方程組為（）A．B．C．D．3．（2023秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思是：走路快的人走100步時，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？設(shè)走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了y步，則可列方程組為（

）A． B． C． D．4．(2023秋·八年級課時練習(xí)）A和B同學(xué)每人都有若干本課外讀物．A對B說：“你若給我2本書，我的書數(shù)將是你的n倍”；B對A說：“你若給我n本書，我的書數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．65．(2023秋·七年級課時練習(xí)）甲乙丙三人做一項工作，三人每天的工作效率分別為a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列結(jié)論正確的是（）A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：26．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知某橋長850米，一列火車從橋上通過，測得火車開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整列火車在橋上的時間為40秒，設(shè)火車的速度為x米/秒，車長為y米，下面所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題7．（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）小明問數(shù)學(xué)老師的年齡，數(shù)學(xué)老師微笑著說：“我像你這么大的時候，你剛好3歲；你到我這么大時，我就42歲了，”那么數(shù)學(xué)老師今年的年齡是______歲．8．（2023春·七年級課時練習(xí)）一旅行團游客入住一家賓館，如果每一間客房住5人，那么有3人無房可??；如果每一間客房住6人，那么就空出2間客房．設(shè)該賓館有客房x間、房客y人，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組______．9．(2023·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃端惴ńy(tǒng)宗》里記載了一道趣題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？如果設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，那么根據(jù)題意可列方程組為_____．10．（2023春·七年級課時練習(xí)）一次越野賽跑中，當小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過小剛追上小明，時小剛到達終點，時小明到達終點．這次越野賽跑的全程為_______．11．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）一水池有一個進水管和三個完全相同的出水管，現(xiàn)水池中有一定量的水，打開進水管（注水速度一致），若只打開一個出水管，則1小時正好能把水池中的水放完；若打開兩個出水管，則20分鐘正好能把水池中的水放完；問若打開三個出水管，則需要__________分鐘恰好能把水池中的水放完．12．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在《張丘建算經(jīng)》中有一道百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞．問雞翁、雞母、雞雛各幾何？翻譯為：1只公雞價值5文錢，1只母雞價值3文錢，三只小雞值一文錢，一個人用100文錢買了100只雞，問買的公雞、母雞、小雞各__只？三、解答題13．（2023秋·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）、兩地相距千米，一列慢車從地開出，一列快車從地開出．如果兩車同時開出相向而行，那么小時后相遇；如果兩車同時開出同向（沿方向）而行，那么快車小時可追上慢車，求快車與慢車的速度各是多少？14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）小明和小紅各有一些巧克力，如果小紅把她巧克力數(shù)量的一半分給小明，那么小明就有40顆巧克力；如果小明把他巧克力數(shù)量的分給小紅，那么小紅也有40顆巧克力，求小明、小紅原本各有多少顆巧克力．15．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）學(xué)校6名教師和234名學(xué)生集體外出活動，準備租用45座大客車或30座小客車，若租用1輛大客車、2輛小客車共需租車費1000元；若租用2輛大客車、1輛小客車共需租車費1100元．(1)求每輛大、小客車的租車費各是多少元？(2)怎樣租車，正好坐滿？寫出所有的可能性．（請列方程解答）．16．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設(shè)獸有x個，鳥有y只，可列方程組為；(2)求獸、鳥各有多少．17．（2023秋·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）目前，近幾年來，新能源汽車在中國已然成為汽車工業(yè)發(fā)展的主流趨勢，某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝288輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動汽車；3名熟練工和2名新工人每月可安裝16輛電動汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？(2)如果工廠抽調(diào)n（0＜n＜5）名熟練工，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？18．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）工作人員從倉庫領(lǐng)取如圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒若干個，恰好使領(lǐng)取的紙板用完．(1)若工作人員領(lǐng)取正方形紙板560張，長方形紙板940張，請問利用領(lǐng)取的紙板做了豎式與橫式紙盒各多少個？(2)若工作人員某次領(lǐng)取的正方形紙板數(shù)與長方形紙板數(shù)之比為1：3，請你求出利用這些紙板做出的豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值．專題07二元一次方程組的應(yīng)用(年齡,分配,古代,行程,工程,和差倍分)壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二元一次方程組的應(yīng)用——年齡問題】 1【考點二二元一次方程組的應(yīng)用——分配問題】 3【考點三二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題】 6【考點四二元一次方程組的應(yīng)用——行程問題】 8【考點五二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題】 10【考點六二元一次方程組的應(yīng)用——和差倍分問題】 13【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一二元一次方程組的應(yīng)用——年齡問題】例題：(2023·江蘇·七年級）今年(2023年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．(1)設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．．解得：答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；(2)（年）（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023·甘肅酒泉·八年級期末）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【答案】母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲【分析】設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，然后根據(jù)5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，則解得答：母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意列出方程求解．【考點二二元一次方程組的應(yīng)用——分配問題】例題：(2023·重慶市萬盛經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)溱州中學(xué)七年級期中）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？(2)目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元，請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少，最少費用為多少元．【答案】(1)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸(2)共有3種運輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛；安排A貨車8輛，B貨車2輛費用最少，最少費用為4800元【分析】（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸，列出方程求解即可；（2）設(shè)安排A貨車輛，B貨車輛，根據(jù)目前有190噸貨物需要運輸，列出方程求解即可．（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸．根據(jù)題意得解得．答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸．（2）設(shè)安排A貨車輛，B貨車輛，依題意，得，即，又因為均為正整數(shù)，所以或或，所以共有3種運輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛．方案1所需費用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需費用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需費用：500×2+400×10=5000（元）；因為4800<4900<5000，所以安排A貨車8輛，B貨車2輛費用最少，最少費用為4800元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出方程求解．【變式訓(xùn)練】1．(2023·福建泉州·七年級期末）某學(xué)校現(xiàn)有若干間學(xué)生宿舍，準備安排給若干名學(xué)生住宿．原計劃每間住8人，則有10間宿舍無人居?。捎谝咔榉揽匦枰块g宿舍只能住5人，則有10人無法入?。畣栐撔，F(xiàn)有多少間學(xué)生宿舍？有多少名學(xué)生？【答案】有30間學(xué)生宿舍，有160名學(xué)生【分析】設(shè)該?，F(xiàn)有x間學(xué)生宿舍，共安排y名學(xué)生住宿，根據(jù)“原計劃每間住8人，則有10間宿舍無人居?。捎谝咔榉揽匦枰块g宿舍只能住5人，則有10人無法入住”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該校現(xiàn)有x間學(xué)生宿舍，共安排y名學(xué)生住宿，依題意，得：，解得：．答：該?，F(xiàn)有30間學(xué)生宿舍，有160名學(xué)生．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．(2023·河南·鄭州中原一中實驗學(xué)校八年級期末）一方有難，八方支援．鄭州暴雨牽動數(shù)萬人的心，眾多企業(yè)也伸出援助之手．某公司購買了一批救災(zāi)物資并安排兩種貨車運往鄭州．調(diào)查得知，2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運輸1800件；3輛小貨車與4輛大貨車一次可以滿載運輸2500件．(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運輸多少件物資？(2)現(xiàn)有3100件物資需要再次運往鄭州，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案?(3)在（2）的條件下，若1輛小貨車需租金400元/次，1輛大貨車需租金500元/次．請選出費用最少的租車方案，并求出最少的租車費用．【答案】(1)1輛小貨車一次滿載運輸300件物資，1輛大貨車一次滿載運輸400件物資(2)共有3種租車方案，方案1：租用9輛小貨車，1輛大貨車；方案2：租用5輛小貨車，4輛大貨車；方案3：租用1輛小貨車，7輛大貨車(3)租用1輛小貨車，7輛大貨車，最少租車費為3900元【分析】（1）設(shè)1輛小貨車一次滿載運輸x件物資，1輛大貨車一次滿載運輸y件物資，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)題意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根據(jù)a、b均為整數(shù)進行列舉即可解答；（3）將小貨車和大貨車每次的租金代入300a+400b里計算，然后比較即可．（1）解：設(shè)1輛小貨車一次滿載運輸x件物資，1輛大貨車一次滿載運輸y件物資，依題意得：解得：

答：1輛小貨車一次滿載運輸300件物資，1輛大貨車一次滿載運輸400件物資．（2）接：設(shè)租用小貨車a輛，大貨車b輛，依題意得：300a+400b=3100，∴．又∵a，b均為非負整數(shù)，∴或或，∴共有3種租車方案，方案1：租用9輛小貨車，1輛大貨車；方案2：租用5輛小貨車，4輛大貨車；方案3：租用1輛小貨車，7輛大貨車．（3）解：方案1所需租車費為400×9+500×1=4100（元）；方案2所需租車費為400×5+500×4=4000（元）；方案3所需租車費為400×1+500×7=3900（元）．∴費用最少的租車方案為：租用1輛小貨車，7輛大貨車，最少租車費為3900元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用以及代數(shù)式求值等知識點，認真審題、明確題意、弄清量與量之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【考點三二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題】例題：(2023·河南·南陽市第四完全學(xué)校七年級期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設(shè)木長x尺，繩長y尺，可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可直接進行求解．【詳解】解：由題意可列方程組為；故選A．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023·河南·漯河市實驗中學(xué)七年級期末）在《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一個問題：甲乙二人各有一定數(shù)目的錢．甲若獲得乙錢的二分之一，則錢數(shù)為50；乙若獲得甲錢的三分之二，則錢數(shù)也是50；問甲乙原來各有多少錢？設(shè)甲、乙原來錢數(shù)分別是x、y，可列方程組________________【答案】【分析】根據(jù)甲、乙兩人錢數(shù)的數(shù)量關(guān)系，分別列出兩個二元一次方程，組成方程組即可．【詳解】解：∵甲若獲得乙錢的二分之一，錢數(shù)為50∴∵乙若獲得甲錢的三分之二，錢數(shù)也為50∴根據(jù)題意可列方程組為：故答案為：【點睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握用數(shù)學(xué)語言表達實際應(yīng)用中的數(shù)量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．2．(2023·新疆·克拉瑪依市第九中學(xué)七年級期末）我國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有“雞兔同籠”問題，“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”若設(shè)雞有只，兔有只，則列出的方程組為______（列出方程組即可，不求解）．【答案】【分析】一只雞有一個頭和二條腿，一只兔有一個頭和四條腿，根據(jù)上有三十五頭，下有九十四足，即可列出方程組．【詳解】解：由題意，可列出的方程組為，故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是仔細審題，正確找出等量關(guān)系，難度一般．【考點四二元一次方程組的應(yīng)用——行程問題】例題：(2023·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）甲乙二人分別從相距千米的A，兩地出發(fā)，相向而行．如果甲比乙早出發(fā)半小時，那么在乙出發(fā)后小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么小時后兩人還相距千米，求甲乙二人每小時各走多少千米？【答案】甲每小時走千米，乙每小時走千米【分析】設(shè)甲每小時走千米，乙每小時走千米，根據(jù)題意列出方程組解答即可．【詳解】解：設(shè)甲每小時走千米，乙每小時走千米，根據(jù)題意，得．整理，得．解得．答：甲每小時走千米，乙每小時走千米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．(2023·廣東·廣州市番禺執(zhí)信中學(xué)七年級期末）列方程組解應(yīng)用題：(1)有48支隊520名運動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊有10人，每支排球隊12人，每名運動員只能參加一項比賽，籃球、排球隊各有多少支參賽？(2)小方、小程兩人相距6km，兩人同時出發(fā)相向而行，1h相遇；同時出發(fā)同向而行，小方3h可追上小程．兩人的平均速度各是多少？【答案】(1)籃球有28支隊參賽，排球有20支隊參賽；(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【分析】（1）設(shè)籃球、排球隊各有x支、y支參賽，根據(jù)有48支隊520名運動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊有10人，每支排球隊12人，每名運動員只能參加一項比賽列出方程組求解即可；（2）設(shè)小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根據(jù)小方、小程兩人相距6km，兩人同時出發(fā)相向而行，1h相遇；同時出發(fā)同向而行，小方3h可追上小程列出方程組求解即可．（1）解：設(shè)籃球、排球隊各有x支、y支參賽，由題意得：解得，答：籃球有28支隊參賽，排球有20支隊參賽；（2）解：設(shè)小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，由題意得：，解得，答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的方程組是解題的關(guān)鍵．2．(2023·安徽·肥西縣嚴店初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）小北同學(xué)早晨騎車去上學(xué)，半小時可到達學(xué)校，媽媽發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)書丟在家中，在小北出發(fā)小時后乘上出租車去學(xué)校送書，出租車每小時的速度比小北騎車的速度快20千米，由于市政建設(shè)，出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1千米，恰好與小北同時到達學(xué)校．求小北需要騎行多少千米到學(xué)校？【答案】5千米【分析】設(shè)小北每小時騎行x千米，騎行y千米到達學(xué)校，利用小北同學(xué)早晨騎車去上學(xué)，半小時可到達學(xué)校和出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1千米，恰好與小北同時到達學(xué)校列出方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)小北每小時騎行x千米，騎行y千米到達學(xué)校，由題意可得，解得，答：小北需要騎行5千米到達學(xué)校．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找出題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點五二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題】例題：(2023·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結(jié)論）【答案】(1)甲組工作一天，商店應(yīng)付300元，乙組工作一天，商店應(yīng)付140元(2)單獨請乙組，商店所需費用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組并求解；（2）將單獨請甲乙組的費用計算出來，再進行比較，得出答案；（3）將三種方案損失費用計算出來進行比較，得出答案．（1）設(shè)甲組工作一天，商店應(yīng)付x元，乙組工作一天，商店應(yīng)付y元，依題意得：，解得：．答：甲組工作一天，商店應(yīng)付300元，乙組工作一天，商店應(yīng)付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴單獨請乙組，商店所需費用少．（3）選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際運用，熟練掌握方程組的實際運用是本題解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023·福建·廈門市蓮花中學(xué)七年級期中）杭州某公司準備安裝完成5700輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車？(2)若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務(wù)，已知工人們安裝的共享單車中不能正常投入運營的占5%，求m的值．【答案】(1)每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．(2)m的值為12．【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)“1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)抽調(diào)m名熟練工人，由工作總量=工作效率×工作時間，即可得出關(guān)于n，m的二元一次方程，再根據(jù)n，m均為正整數(shù)且，即可求出m的值．（1）解：設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意得：解得：．答：每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．（2）（2）根據(jù)題意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均為正整數(shù)，且，∴（舍），（舍），，∴m的值為12．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．2．(2023·湖南·通道侗族自治縣教育科學(xué)研究室七年級期末）通道縣政府為把雙江鎮(zhèn)建設(shè)成國家級文明縣城,現(xiàn)有一段長為180m的街道需要整治，甲、乙兩個工程隊先后接力完成：甲工程隊每天整治12m,乙工程隊每天整治8m,共用時20天.問甲、乙兩工程隊分別整治了多少米？【答案】【分析】設(shè)甲、乙兩工程隊分別整治了米和米，根據(jù)總共整治180米，與甲工程隊每天整治12m,乙工程隊每天整治8m,共用時20天，列出關(guān)于和的二元一次方程，解出即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩工程隊分別整治了米和米，根據(jù)題意列方程得，解得，答：甲工程隊整治了60米，乙工程隊整治了120米．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．【考點六二元一次方程組的應(yīng)用——和差倍分問題】例題：(2023·江蘇·贛榆匯文雙語學(xué)校七年級階段練習(xí)）一玻璃廠熔煉玻璃液，其原料由石英砂和長石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．經(jīng)過化驗，石英砂中含二氧化硅95%，長石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，長石粉各多少？【答案】需石英砂，長石粉【分析】設(shè)需石英砂xt，長石粉yt，根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，解出即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)需石英砂xt，長石粉yt，根據(jù)題意，可得：，解得：，答：需石英砂，長石粉．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在正確找出等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．(2023·陜西·西工大附中分校八年級期末）用二元一次方程組解應(yīng)用題：一家超市中，杏的售價為10元/kg，桃的售價為8元/kg，小菲在這家超市買了杏和桃共7kg，共花費61元．求小菲這次買的杏、桃各多少千克？【答案】小菲這次買杏2.5千克，桃4.5千克．【分析】設(shè)小菲這次買杏x千克，桃y千克，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合“小菲在這家超市買了杏和桃共7kg，共花費61元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小菲這次買杏x千克，桃y千克，依題意得：，解得：．答：小菲這次買杏2.5千克，桃4.5千克．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．(2023·新疆吐魯番·七年級階段練習(xí)）2021年7月21日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔和校外培訓(xùn)負擔的意見》．某學(xué)校積極響應(yīng)“雙減”政策，為了豐富學(xué)生校園生活，經(jīng)研究決定準備購買一批體育健身器材．已知購買2個籃球和3個排球共花費440元，購買4個籃球和1個排球共花費480元．求籃球和排球的單價．【答案】籃球的單價是100元，排球的單價是80元．【分析】設(shè)籃球的單價是x元，排球的單價是y元，根據(jù)“購買2個籃球和3個排球共花費440元，購買4個籃球和1個排球共花費480元”列二元一次方程組，求解即可；【詳解】解：設(shè)籃球的單價是x元，排球的單價是y元，根據(jù)題意，得，解得，∴籃球的單價是100元，排球的單價是80元．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，理清題中的等量關(guān)系，根據(jù)題意列方程組是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．(2023秋·八年級單元測試）某校運動員分組訓(xùn)練，若每組6人，余3人；若每組7人，則缺5人；設(shè)運動員人數(shù)為人，組數(shù)為組，則列方程組為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)鍵語句“若每組6人，余3人”可得方程；“若每組7人，則缺5人”可得方程，聯(lián)立兩個方程可得方程組．【詳解】解：設(shè)運動員人數(shù)為人，組數(shù)為組，由題意得．故選：D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，抓住關(guān)鍵語句，列出方程．2．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）10年前，小明媽媽的年齡是小明的6倍，10年后，小明媽媽的年齡是小明的2倍，小明和他媽媽現(xiàn)在的年齡分別是多少歲？若設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，根據(jù)題意可列方程組為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，分別表示出十年前和十年后他們的年齡，根據(jù)題意列方程組即可．【詳解】解：設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲．由題意得，，故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．3．（2023秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思是：走路快的人走100步時，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？設(shè)走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了y步，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)設(shè)走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人又走了y步，根據(jù)走路快的人走100步的時候，走路慢的才走了60步可得走路快的人與走路慢的人速度比為100：60，利用走路快的人追上走路慢的人時，兩人所走的步數(shù)相等列出方程組，然后根據(jù)等式的性質(zhì)變形即可求解．【詳解】解：設(shè)走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人又走了y步，根據(jù)題意，得．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是理解題意找到等量關(guān)系．4．(2023秋·八年級課時練習(xí)）A和B同學(xué)每人都有若干本課外讀物．A對B說：“你若給我2本書，我的書數(shù)將是你的n倍”；B對A說：“你若給我n本書，我的書數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】首先設(shè)A同學(xué)有x本課外讀物，B同學(xué)有y本課外讀物，x，y均為非負整數(shù)，根據(jù)題意可得方程組：，消去x，可整理得：，由n為正整數(shù)分析，即可求得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)A同學(xué)有x本課外讀物，B同學(xué)有y本課外讀物，x，y均為非負整數(shù)，由題意可得方程組：，將代入②中得，消去x得：即：∵為正整數(shù)∴的值分別為1，3，5，15，∴y的值只能為4，5，6，11，∴當時，，當時，，當時，，當時，，綜上可得：n的值分別為8，3，2，1；即n的可能值有4個．故答案選：B．【點睛】本題考查了二元一次不定方程的運用，難度較大，解題關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意求方程組，注意消元思想和分類討論思想的運用．5．(2023秋·七年級課時練習(xí)）甲乙丙三人做一項工作，三人每天的工作效率分別為a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列結(jié)論正確的是（）A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2【答案】D【分析】將兩式相減可得，從而判斷C；然后求出，從而判斷A、B和D．【詳解】解：由題意可得：①－②，得解得：，故C錯誤；將代入①，得解得：∴b＞c＞a∴乙的工作效率最高，故A、B錯誤；b：c=3a：2a=3：2，故D正確．故選D．【點睛】此題考查的是用代數(shù)式表示實際意義，掌握實際問題中的各個量之間的關(guān)系和消元法是解決此題的關(guān)鍵．6．(2023秋·八年級課時練習(xí)）已知某橋長850米，一列火車從橋上通過，測得火車開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整列火車在橋上的時間為40秒，設(shè)火車的速度為x米/秒，車長為y米，下面所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過理解題意可知本題存在兩個等量關(guān)系，即整列火車過橋通過的路程=橋長+車長，整列火車在橋上通過的路程=橋長-車長，根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組求解．【詳解】解：設(shè)火車的速度為每秒x米，車長為y米，由題意得：，故選：C．【點睛】此題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題關(guān)鍵是弄清題意，合適的等量關(guān)系，列出方程組．弄清橋長、車長以及整列火車過橋通過的路程，整列火車在橋上通過的路程之間的關(guān)系．二、填空題7．（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）小明問數(shù)學(xué)老師的年齡，數(shù)學(xué)老師微笑著說：“我像你這么大的時候，你剛好3歲；你到我這么大時，我就42歲了，”那么數(shù)學(xué)老師今年的年齡是______歲．【答案】29【分析】設(shè)小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：老師今年的年齡?學(xué)生今年的年齡=學(xué)生今年的年齡；老師42歲?老師今年的年齡=老師今年的年齡?學(xué)生今年的年齡，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，即可解答．【詳解】解：設(shè)小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，由題意得：，解得：，故數(shù)學(xué)老師今年的年齡是29歲，故答案為：29．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．8．（2023春·七年級課時練習(xí)）一旅行團游客入住一家賓館，如果每一間客房住5人，那么有3人無房可?。蝗绻恳婚g客房住6人，那么就空出2間客房．設(shè)該賓館有客房x間、房客y人，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組______．【答案】【分析】設(shè)該店有客房x間，房客y人；每一間客房住5人，那么有3人無房可??；如果每一間客房住6人，那么就空出2間客房．再得出方程組即可．【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組．9．(2023·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃端惴ńy(tǒng)宗》里記載了一道趣題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？如果設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，那么根據(jù)題意可列方程組為_____．【答案】【分析】設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)“有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完”列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準確列出方程組是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·七年級課時練習(xí)）一次越野賽跑中，當小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過小剛追上小明，時小剛到達終點，時小明到達終點．這次越野賽跑的全程為_______．【答案】2050【分析】根據(jù)兩人的全程的距離相同可得出，再由當小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過時小剛追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．【詳解】解：解：根據(jù)題意，得，解得：所以m故答案為：2050【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準確根據(jù)題意列出方程求解．11．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）一水池有一個進水管和三個完全相同的出水管，現(xiàn)水池中有一定量的水，打開進水管（注水速度一致），若只打開一個出水管，則1小時正好能把水池中的水放完；若打開兩個出水管，則20分鐘正好能把水池中的水放完；問若打開三個出水管，則需要__________分鐘恰好能把水池中的水放完．【答案】12【分析】設(shè)進水管的進水速度為x，每一個出水管的出水速度為y，水池中原有水量為a，根據(jù)題意列方程組求解【詳解】解：設(shè)進水管的進水速度為x，每一個出水管的出水速度為y，水池中原有水量為a，由題意可得：，解得：設(shè)打開三個出水管需要b小時能把水池中的水放完，則時=12分故答案為：12【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，正確列出等量關(guān)系求解是關(guān)鍵．12．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在《張丘建算經(jīng)》中有一道百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞．問雞翁、雞母、雞雛各幾何？翻譯為：1只公雞價值5文錢，1只母雞價值3文錢，三只小雞值一文錢，一個人用100文錢買了100只雞，問買的公雞、母雞、小雞各__只？【答案】0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84【分析】設(shè)買了x只公雞，y只母雞，則買了只小雞，利用總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y，均為自然數(shù)，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)買了x只公雞，y只母雞，則買了只小雞，依題意得：，∴．又∵x，y，均為自然數(shù)，∴或或或，∴買的公雞、母雞、小雞各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只．故答案為：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2023秋·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）、兩地相距千米，一列慢車從地開出，一列快車從地開出．如果兩車同時開出相向而行，那么小時后相遇；如果兩車同時開出同向（沿方向）而行，那么快車小時可追上慢車，求快車與慢車的速度各是多少？【答案】快車和慢車的速度分別為千米/時和千米/時【分析】設(shè)快車和慢車的速度分別為千米/時和千米/時，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程即可求解．【詳解】設(shè)快車和慢車的速度分別為千米/時和千米/時．根據(jù)題意，得，解得答：快車和慢車的速度分別為100千米/時和60千米/時．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）小明和小紅各有一些巧克力，如果小紅把她巧克力數(shù)量的一半分給小明，那么小明就有40顆巧克力；如果小明把他巧克力數(shù)量的分給小紅，那么小紅也有40顆巧克力，求小明、小紅原本各有多少顆巧克力．【答案】小明原有巧克力30顆，小紅原有巧克力20顆【分析】設(shè)小明原有巧克力x顆，小紅原有巧克力y顆，由小明原來有的加上小紅分給的共40顆，小紅原來有的加上小明分給的共40顆，再列方程組即可．【詳解】解：設(shè)小明原有巧克力x顆，小紅原有巧克力y顆根據(jù)題意，可列方程組，解得答：小明原有巧克力30顆，小紅原有巧克力20顆．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系列方程是解本題的關(guān)鍵．15．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）學(xué)校6名教師和234名學(xué)生集體外出活動，準備租用45座大客車或30座小客車，若租用1輛大客車、2輛小客車共需租車費1000元；若租用2輛大客車、1輛小客車共需租車費1100元．(1)求每輛大、小客車的租車費各是多少元？(2)怎樣租車，正好坐滿？寫出所有的可能性．（請列方程解答）．【答案】(1)每輛大車的租車費是400元，每輛小車的租車費是300元(2)①租用30座小客車8輛；②租用45座大客車2輛，30座小客車5輛；③租用45座大客車4輛，30座小客車2輛【分析】（1）設(shè)大車每輛的租車費是元，小車每輛的租車費是元，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可；（2）設(shè)租用45座大客車輛，30座小客車輛，根據(jù)題意列出二元一次方程，并求出非負整數(shù)解，即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)大車每輛的租車費是元，小車每輛的租車費是元，由題意得：，解得：，答：大車每輛的租車費是400元，