因子分析原理

關(guān)于因子分析原理12

§1引言因子分析(factoranalysis)是一種數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化的技術(shù)。它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴(lài)關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)假想變量來(lái)表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)假想變量能夠反映原來(lái)眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量，而假想變量是不可觀測(cè)的潛在變量，稱(chēng)為因子。例如，在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費(fèi)者可以通過(guò)一個(gè)有24個(gè)指標(biāo)構(gòu)成的評(píng)價(jià)體系，評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的24個(gè)方面的優(yōu)劣。第2頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天3

但消費(fèi)者主要關(guān)心的是三個(gè)方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價(jià)格。因子分析方法可以通過(guò)24個(gè)變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價(jià)格的三個(gè)潛在的因子，對(duì)商店進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。而這三個(gè)公共因子可以表示為：

稱(chēng)是不可觀測(cè)的潛在因子。24個(gè)變量共享這三個(gè)因子，但是每個(gè)變量又有自己的個(gè)性，不被包含的部分，稱(chēng)為特殊因子。第3頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天4注：

因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個(gè)比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實(shí)際意義；

主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。主成分分析:原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分；因子分析：潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線性組合表示原始變量。第4頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天5§2因子分析模型

一、數(shù)學(xué)模型

設(shè)個(gè)變量，如果表示為第5頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天6

稱(chēng)為公共因子，是不可觀測(cè)的變量，他們的系數(shù)稱(chēng)為因子載荷。是特殊因子，是不能被前m個(gè)公共因子包含的部分。并且滿(mǎn)足：即不相關(guān)；即互不相關(guān)，方差為1。第6頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天7即互不相關(guān)，方差不一定相等，。第7頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天8用矩陣的表達(dá)方式第8頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天9二、因子分析模型的性質(zhì)1、原始變量X的協(xié)方差矩陣的分解D的主對(duì)角線上的元素值越小，則公共因子共享的成分越多。第9頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天102、模型不受計(jì)量單位的影響

將原始變量X做變換X*=CX,這里C＝diag(c1,c2,…,cn),ci>0。第10頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天11第11頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天123、因子載荷不是惟一的

設(shè)T為一個(gè)p×p的正交矩陣，令A(yù)*=AT，F(xiàn)*=T’F，則模型可以表示為且滿(mǎn)足條件因子模型的條件第12頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天13

三、因子載荷矩陣中的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)特征1、因子載荷aij的統(tǒng)計(jì)意義

因子載荷是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)

模型為

在上式的左右兩邊乘以

,再求數(shù)學(xué)期望

根據(jù)公共因子的模型性質(zhì)，有

（載荷矩陣中第i行，第j列的元素）反映了第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)重要性。絕對(duì)值越大，相關(guān)的密切程度越高。第13頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天142、變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義定義：變量的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為統(tǒng)計(jì)意義：兩邊求方差

所有的公共因子和特殊因子對(duì)變量的貢獻(xiàn)為1。如果非?？拷?，非常小，則因子分析的效果好，從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)好。第14頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天153、公共因子方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣中各列元素的平方和稱(chēng)為所有的對(duì)的方差貢獻(xiàn)和。衡量的相對(duì)重要性。第15頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天16§3因子載荷矩陣的估計(jì)方法

設(shè)隨機(jī)向量的均值為

，協(xié)方差為

,

為的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，則（一）主成分分析法第16頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天17

上式給出的

表達(dá)式是精確的，然而，它實(shí)際上是毫無(wú)價(jià)值的，因?yàn)槲覀兊哪康氖菍で笥蒙贁?shù)幾個(gè)公共因子解釋?zhuān)事匀ズ竺娴膒-m項(xiàng)的貢獻(xiàn)，有第17頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天18

上式有一個(gè)假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而從

的分解中忽略了特殊因子的方差。第18頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天19注：殘差矩陣其中S為樣本的協(xié)方差矩陣。第19頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天20

（二）主因子法

主因子方法是對(duì)主成分方法的修正，假定我們首先對(duì)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。則

R=AA’+DR*=AA’=R-D稱(chēng)R*為約相關(guān)矩陣，R*對(duì)角線上的元素是,而不是1。第20頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天21直接求R*的前p個(gè)特征根和對(duì)應(yīng)的正交特征向量。得如下的矩陣：第21頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天22

當(dāng)特殊因子的方差不為且已知的，問(wèn)題非常好解決。第22頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天23第23頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天24

在實(shí)際的應(yīng)用中，個(gè)性方差矩陣一般都是未知的，可以通過(guò)一組樣本來(lái)估計(jì)。估計(jì)的方法有如下幾種：

首先，求的初始估計(jì)值，構(gòu)造出

1）取，在這個(gè)情況下主因子解與主成分解等價(jià)；

2）取，為xi與其他所有的原始變量xj的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，即xi對(duì)其余的p-1個(gè)xj的回歸方程的判定系數(shù)，這是因?yàn)閤i

與公共因子的關(guān)系是通過(guò)其余的p-1個(gè)xj

的線性組合聯(lián)系起來(lái)的；第24頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天252）取，這意味著取xi與其余的xj的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值最大者；4）取，其中要求該值為正數(shù)。5）取，其中是的對(duì)角元素。第25頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天26

（三）極大似然估計(jì)法（略）

如果假定公共因子F和特殊因子

服從正態(tài)分布，那么可以得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計(jì)。設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體Np(,)的隨機(jī)樣本。

第26頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天27

它通過(guò)

依賴(lài)

和

。上式并不能唯一確定

,為此可添加一個(gè)唯一性條件：

這里

式一個(gè)對(duì)角矩陣，用數(shù)值極大化的方法可以得到極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì)將使為對(duì)角陣，且似然函數(shù)達(dá)到最大。相應(yīng)的共同度的似然估計(jì)為：第J個(gè)因子對(duì)總方差的貢獻(xiàn)：第27頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天28

例假定某地固定資產(chǎn)投資率，通貨膨脹率，失業(yè)率，相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主成分分析法求因子分析模型。第28頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天29

特征根為：第29頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天30

可取前兩個(gè)因子F1和F2為公共因子，第一公因子F1物價(jià)就業(yè)因子，對(duì)X的貢獻(xiàn)為1.55。第一公因子F2為投資因子，對(duì)X的貢獻(xiàn)為0.85。共同度分別為1，0.706，0.706。第30頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天31

假定某地固定資產(chǎn)投資率，通貨膨脹率，失業(yè)率，相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的。。第31頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天32

特征根為：

對(duì)應(yīng)的非零特征向量為：第32頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天33第33頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天34

§4因子旋轉(zhuǎn)（正交變換）

建立了因子分析數(shù)學(xué)目的不僅僅要找出公共因子以及對(duì)變量進(jìn)行分組，更重要的要知道每個(gè)公共因子的意義，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析，如果每個(gè)公共因子的含義不清，則不便于進(jìn)行實(shí)際背景的解釋。由于因子載荷陣是不惟一的，所以應(yīng)該對(duì)因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。目的是使因子載荷陣的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，使載荷矩陣每列或行的元素平方值向0和1兩極分化。有三種主要的正交旋轉(zhuǎn)法。四次方最大法、方差最大法和等量最大法。（一）為什么要旋轉(zhuǎn)因子第34頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天35

百米跑成績(jī)跳遠(yuǎn)成績(jī)鉛球成績(jī)跳高成績(jī)

400米跑成績(jī)百米跨欄鐵餅成績(jī)撐桿跳遠(yuǎn)成績(jī)標(biāo)槍成績(jī)

1500米跑成績(jī)

奧運(yùn)會(huì)十項(xiàng)全能運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目得分?jǐn)?shù)據(jù)的因子分析

第35頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天36第36頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天37

因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有較大的正載荷，可以稱(chēng)為一般運(yùn)動(dòng)因子。其他的3個(gè)因子不太容易解釋。似乎是跑和投擲的能力對(duì)比，似乎是長(zhǎng)跑耐力和短跑速度的對(duì)比。于是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表

第37頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天38第38頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天39

通過(guò)旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。百米跑，跳遠(yuǎn)和400米跑，需要爆發(fā)力的項(xiàng)目在有較大的載荷，可以稱(chēng)為短跑速度因子；鉛球，鐵餅和標(biāo)槍在上有較大的載荷，可以稱(chēng)為爆發(fā)性臂力因子；百米跨欄，撐桿跳遠(yuǎn)，跳遠(yuǎn)和為跳高在上有較大的載荷，爆發(fā)腿力因子；長(zhǎng)跑耐力因子。第39頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天40變換后因子的共同度設(shè)正交矩陣，做正交變換變換后因子的共同度沒(méi)有發(fā)生變化！（二）旋轉(zhuǎn)方法第40頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天41變換后因子貢獻(xiàn)設(shè)正交矩陣，做正交變換變換后因子的貢獻(xiàn)發(fā)生了變化！第41頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天421、方差最大法

方差最大法從簡(jiǎn)化因子載荷矩陣的每一列出發(fā)，使和每個(gè)因子有關(guān)的載荷的平方的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)幾個(gè)變量在某個(gè)因子上又較高的載荷時(shí)，對(duì)因子的解釋最簡(jiǎn)單。方差最大的直觀意義是希望通過(guò)因子旋轉(zhuǎn)后，使每個(gè)因子上的載荷盡量拉開(kāi)距離，一部分的載荷趨于

1，另一部分趨于0。第42頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天43第43頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天44第44頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天45第45頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天461、四次方最大旋轉(zhuǎn)

四次方最大旋轉(zhuǎn)是從簡(jiǎn)化載荷矩陣的行出發(fā)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)初始因子，使每個(gè)變量只在一個(gè)因子上又較高的載荷，而在其它的因子上盡可能低的載荷。如果每個(gè)變量只在一個(gè)因子上又非零的載荷，這是的因子解釋是最簡(jiǎn)單的。四次方最大法通過(guò)使因子載荷矩陣中每一行的因子載荷平方的方差達(dá)到最大。第46頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天47第47頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天48

3、等量最大法

等量最大法把四次方最大法和方差最大法結(jié)合起來(lái)求Q和V的加權(quán)平均最大。

權(quán)數(shù)等于m/2，因子數(shù)有關(guān)。第48頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天49

§5因子得分

（一）因子得分的概念

前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來(lái)表示一組觀測(cè)變量的有關(guān)問(wèn)題。如果我們要使用這些因子做其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來(lái)做回歸分析，對(duì)樣本進(jìn)行分類(lèi)或評(píng)價(jià)，這就需要我們對(duì)公共因子進(jìn)行測(cè)度，即給出公共因子的值。第49頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天50

人均要素變量因子分析。對(duì)我國(guó)32個(gè)省市自治區(qū)的要素狀況作因子分析。指標(biāo)體系中有如下指標(biāo)：X1：人口（萬(wàn)人）X2：面積（萬(wàn)平方公里）X3：GDP（億元）X4：人均水資源（立方米/人）X5：人均生物量（噸/人）X6：萬(wàn)人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬(wàn)人擁有科學(xué)家、工程師數(shù)（人）RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.21522-0.273970.89092X20.63973-0.28739-0.28755X3-0.157910.063340.94855X40.95898-0.01501-0.07556X50.97224-0.06778-0.17535X6-0.114160.98328-0.08300X7-0.110410.97851-0.07246第50頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天51

高載荷指標(biāo)

因子命名

因子1X2；面積（萬(wàn)平方公里）X4:人均水資源（立方米/人）X5:人均生物量（噸/人）自然資源因子

因子2X6：萬(wàn)人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬(wàn)人擁有的科學(xué)家、工程師數(shù)（人）

人力資源因子

因子3

X1;人口（萬(wàn)人）X3:GDP(億元)經(jīng)濟(jì)發(fā)展總量因子

X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3第51頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天52StandardizedScoringCoefficients

FACTOR1

FACTOR2

FACTOR3X10.05764

-0.06098

0.50391X20.22724

-0.09901

-0.07713X30.14635

0.12957

0.59715X40.47920

0.11228

0.17062X50.45583

0.07419

0.10129X60.05416

0.48629

0.04099X70.05790

0.48562

0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7第52頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天53REGIONFACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing?-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三個(gè)因子得分第53頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天54

因子分析的數(shù)學(xué)模型為：

原變量被表示為公共因子的線性組合，當(dāng)載荷矩陣旋轉(zhuǎn)之后，公共因子可以做出解釋?zhuān)ǔ５那闆r下，我們還想反過(guò)來(lái)把公共因子表示為原變量的線性組合。

因子得分函數(shù)：可見(jiàn)，要求得每個(gè)因子的得分，必須求得分函數(shù)的系數(shù)，而由于p>m，所以不能得到精確的得分，只能通過(guò)估計(jì)。第54頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天551、巴特萊特因子得分(加權(quán)最小二乘法）

把看作因變量；把因子載荷矩陣看成自變量的觀測(cè)；把某個(gè)個(gè)案的得分看著最小二乘法需要求的系數(shù)。1)巴特萊特因子得分計(jì)算方法的思想第55頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天56由于特殊因子的方差相異，所以用加權(quán)最小二乘法求得分，每個(gè)各案作一次，要求出所有樣品的得分，需要作n次。第56頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天57

用矩陣表達(dá)：滿(mǎn)足上式的F是相應(yīng)個(gè)案的因子得分。第57頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天58第58頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天592）得分估計(jì)的無(wú)偏性如果將f和

不相關(guān)的假定加強(qiáng)為相互獨(dú)立，則第59頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天603）第60頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天612、回歸方法

1)思想第61頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天62

則，我們有如下的方程組：第62頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天63j=1,2,…,m第63頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天64

注：共需要解m次才能解出所有的得分函數(shù)的系數(shù)。第64頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天65矩陣表示方法

在因子模型中，假設(shè)服從（m+p)元的正態(tài)分布，有第65頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天66第66頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天67第67頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天682）估計(jì)的有偏性3）平均預(yù)報(bào)誤差第68頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天69國(guó)民生活質(zhì)量的因素分析國(guó)家發(fā)展的最終目標(biāo)，是為了全面提高全體國(guó)民的生活質(zhì)量，滿(mǎn)足廣大國(guó)民日益增長(zhǎng)的物質(zhì)和文化的合理需求。在可持續(xù)發(fā)展消費(fèi)的統(tǒng)一理念下，增加社會(huì)財(cái)富，創(chuàng)自更多的物質(zhì)文明和精神文明，保持人類(lèi)的健康延續(xù)和生生不息，在人類(lèi)與自然協(xié)同進(jìn)化的基礎(chǔ)上，維系人類(lèi)與自然的平衡，達(dá)到完整的代際公平和區(qū)際公平(即時(shí)間過(guò)程的最大合理性與空間分布的最大合理化)。從1990年開(kāi)始，聯(lián)合國(guó)開(kāi)發(fā)計(jì)劃署(UYNP)首次采用“人文發(fā)展系數(shù)”指標(biāo)對(duì)于國(guó)民生活質(zhì)量進(jìn)行測(cè)度。人文發(fā)展系數(shù)利用三類(lèi)內(nèi)涵豐富的指標(biāo)組合，即人的健康狀況(使用出生時(shí)的人均預(yù)期壽命表達(dá))、人的智力程度(使用組合的教育成就表達(dá))、人的福利水平(使用人均國(guó)民收入或人均GDP表達(dá))，并且特別強(qiáng)調(diào)三類(lèi)指標(biāo)組合的整體表達(dá)內(nèi)涵，去衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的社會(huì)發(fā)展總體狀況以及國(guó)民生活質(zhì)量的總水平。第69頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天70在這個(gè)指標(biāo)體系中有如下的指標(biāo)：X1——預(yù)期壽命X2——成人識(shí)字率X3——綜合入學(xué)率X4——人均GDP（美圓）X5——預(yù)期壽命指數(shù)X6——教育成就指數(shù)X7——人均GDP指數(shù)第70頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天71

旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu)

RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X10.381290.417650.81714X20.121660.848280.45981X30.648030.618220.22398X40.904100.205310.34100X50.388540.432950.80848X60.282070.853250.43289X70.900910.206120.35052

FACTOR1為經(jīng)濟(jì)發(fā)展因子

FACTOR2為教育成就因子

FACTOR3為健康水平因子第71頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天72

被每個(gè)因子解釋的方差和共同度

VarianceexplainedbyeachfactorFACTOR1FACTOR2FACTOR32.4397002.2763172.009490FinalCommunalityEstimates:Total=6.725507X1X2X3X4X50.9875300.9457960.8523060.9758300.992050

X6X70.9949950.976999

第72頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天73StandardizedScoringCoefficients標(biāo)準(zhǔn)化得分系數(shù)

FACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.18875-0.343970.85077X2-0.241090.60335-0.10234X30.354620.50232-0.59895X40.53990-0.17336-0.10355X5-0.17918-0.316040.81490X6-0.092300.62258-0.24876第73頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天74生育率的影響因素分析

生育率受社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、計(jì)劃生育政策等很多因素影響，但這些因素對(duì)生育率的影響并不是完全獨(dú)立的，而是交織在一起，如果直接用選定的變量對(duì)生育率進(jìn)行多元回歸分析，最終結(jié)果往往只能保留兩三個(gè)變量，其他變量的信息就損失了。因此，考慮用因子分析的方法，找出變量間的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在信息損失最少的情況下用新生成的因子對(duì)生育率進(jìn)行分析。選擇的變量有：多子率、綜合節(jié)育率、初中以上文化程度比例、城鎮(zhèn)人口比例、人均國(guó)民收入。下表是1990年中國(guó)30個(gè)省、自治區(qū)、直轄市的數(shù)據(jù)。第74頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天75第75頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天76EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.0201

1.0000特征根與各因子的貢獻(xiàn)第76頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天77

Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962沒(méi)有旋轉(zhuǎn)的因子結(jié)構(gòu)第77頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天78Factor1可解釋方差Factor2可解釋方差2.99754292.1642615各旋轉(zhuǎn)后的共同度0.884540230.911439980.859770610.877894530.93006369第78頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天79

在這個(gè)例子中我們得到了兩個(gè)因子，第一個(gè)因子是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平因子，第二個(gè)是計(jì)劃生育因子。有了因子得分值后，則可以利用因子得分為變量，進(jìn)行其他的統(tǒng)計(jì)分析。

Factor1Factor2x1-0.35310-0.87170x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728

Factor1Factor2x1-0.05897-0.49252x2-0.058050.58056x30.330420.03497x40.35108-0.02506x50.36366-0.03493方差最大旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化得分函數(shù)第79頁(yè),共87頁(yè)，2024年2月25日，星期天80§6因子分析的步驟、展望和建議

計(jì)算所選原始變量的相關(guān)系數(shù)矩陣

相關(guān)系數(shù)矩陣描述了原始變量之間的相關(guān)關(guān)系?？梢詭椭袛嘣甲兞恐g是否存在相關(guān)關(guān)系，這對(duì)因子分析是非常重要的，因?yàn)槿绻x變量之間無(wú)關(guān)系，做因子分析是不恰當(dāng)?shù)?。并且相關(guān)系數(shù)矩陣是估計(jì)因子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。

選擇分析的變量用定性分析和定量分析的方法選擇變量，因子分析的前提條件是觀測(cè)變量間有較強(qiáng)的相關(guān)性，因?yàn)槿绻兞恐g無(wú)相關(guān)性或相關(guān)性較小的話(huà)，他們不會(huì)有共享因子