2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)練05圓錐曲線大題提高練（解析版）

【一專三練】專題05圓錐曲線大題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練(新高考通用)

1.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知雙曲線C：￡-1=l(a>0,b>0)的離心率為應(yīng)，且

a~b

點(diǎn)42,1)在雙曲線C上.

(I)求雙曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)M,N在雙曲線C上，旦AML4V,直線MN不與y軸平行，證明：直線MV的

斜率上為定值.

【答案】⑴號-(=1

(2)直線MN的斜率k為定值-L

2

【分析】(1)根據(jù)離心率公式確定c="i,再根據(jù)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)42,1)即可求解:

(2)利用韋達(dá)定理用坐標(biāo)表示出AAf?AN=O,進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)由題可得離心率￡=應(yīng)，所以C=&”，

a

又因?yàn)閏2=/+〃，所以九=宜,

所以雙曲線方程為4-工=1,

aa

41

又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)A(2,l),所以三一==1,解得"=3,

aa"

所以雙曲線方程為與-1=1.

(2)設(shè)直線MN的方程為y=丘+，居M(5,*N(∕,必)，

y=kx+m

聯(lián)立(χ2y2^(↑-k2)x2-2kmx-m1-3=0,

-----------=1

33

貝打一公*0得公Xl,

Δ=4?2∕π2+4(l-?2)(∕n2+3)>0,得以>3^2-3,

2km-m2-3

X.+X=----7-,xx=-------Z-,

?-2?-k2'22i-?2

,/、-IlcmCIm

yl+y2=k{xl+x2)+2m=γ-^+2m=^-^,

加23人2

yy=(Ax+∕n)(fcr+m)=k2xx+?∕w(x÷x)+ιrr-------

}2l2l212I-At

因?yàn)?M"L4V,所以AM?AN=O,

χ

所以(ι~2)(W-2)+(yl-l)(y2-1)=O,

即xtx2-2(xl+x2)+4+ylγ2-(yl+y2)+l=O,

-m2-3-4km.m2-3k2-Im

所以-------H----------T+4+-------r—■F--------+1=0,

l-?2?-k2?-k2?-k1

所以l—2km—4k'—m=()即(1一2%一加)(2%+1)=0,

得1-2左一W=O或2&+1=0,

若l-2Z-m=0,則直線MV的方程為y=h+l-2%,

即y-1=Z(X-2)過點(diǎn)A(2,1),不符合題意，

若2Z+l=0,則Z=-！，滿足AWLATV,

2

綜上直線MN的斜率后為定值-g.

22

2.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模)已知橢圓「:與+4=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為R-1,0),

a^b^

左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為A、B、C,且CF-CB=I.

⑴求橢圓「的方程；

(2)設(shè)過/的直線PQ交橢圓「于AQ兩點(diǎn)，若直線24、QA與直線/：χ+4=0分別交

于M、N兩點(diǎn)，/與X軸的交點(diǎn)為K,則IMKHKM是否為定值？若為定值，請求出該定

值；若不為定值，請說明理由.

【答案】⑴工+q=1

43

(2)為定值9

【分析】(D首先表示C,B的坐標(biāo)，即可得到CF,CB，根據(jù)CkCB=I及〃=〃—C?,

求出。，即可求出從，從而得解；

(2)設(shè)直線PQ的方程為x=1,Pa,χ),β(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓方程，消

元、列出韋達(dá)定理，即可得到直線的方程為V=蘭^(x+2),令X=T求出%,同

理得到后,則IMKHMVI=H,代入計(jì)算可得.

【詳解】(1)解：依題意C(O力)，B(α,0),尸(To),所以CR=(T,-?),CB=(a,-b),

由OCB=1,可得〃一4=1,即/—α-2=0,解得α=2或Q=-I(舍去)，

故/=4,從=3,

所以橢圓r的方程為三+《=1.

43

(2)解：設(shè)直線PQ的方程為X=1,尸(不乂)，。(%，%)，

聯(lián)立千+：=1,消去X整理得（3病+4）/一6陽一9=0,

b<6m-9

所以y+%==），y>2=22>，

3m+43m+4

直線A4的方程為y=-?7（x+2）,令X=Y,得VM=二?=二?,

x1+2x1+2myλ+1

同理可得Zv=3、，

my2+1

所以IMKHKM=I%%∣=.二——史盧——

團(tuán)弘+i加%+1|ImKy2+m（%+%）+ι

一36

_____3病+4_____=9

—9m26trΓ

-----------1------------F11

3“i2+43m2+4

故IAfKHKNl為定值9.

3.（2023?廣東江門?統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，直線M4與直

線V=X垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線J7=-X垂直，B為垂足且位于

第四象限，四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為8,動點(diǎn)M的軌跡為C

（1）求軌跡C的方程；

（2）已知T（5,3）是軌跡C上一點(diǎn)，直線/交軌跡C于尸，。兩點(diǎn)，直線7P,7。的斜率之

和為1,tanNP7Q=1,求.7PQ的面積.

【答案】(I)X2-V=16(X≥4)

55

⑵5

【分析】（1）設(shè)動點(diǎn)”伍，兒），由題意知IAM=E”，IBM卜色也由題意

√2√2

叫兄?叫對=8,化簡可得軌跡C的方程；

√2√2

（2）設(shè)宜線TP的傾斜角為α,斜率為直線TQ傾斜角為夕，則7Q斜率為1-&,

tanα=htan∕=l-3由過點(diǎn)7直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)確定人的范圍，由

tanNPTQ=tan（b-0=1,解得無=3,從而可得直線7P、70的方程，與曲線C的方

程聯(lián)立解得P,Q的坐標(biāo)，求出IPTl及點(diǎn)。到直線TP的距離d,即可求出-TPQ的面積.

【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)"（分，幾），由題意知M只能在直線V=X與直線>=-X所夾的范

圍內(nèi)活動.

MM=區(qū)割，忸例I=嗎陽，

11√211√2

動點(diǎn)"（與,幾）在y=χ右側(cè)，有Xo-%>o,同理有χ0+%>o,

?.?四邊形Q4Λ仍的面積為8,.??k^q.H?=8,即片-y：=16,

√2√2

所以所求軌跡C方程為f-y?=16（x≥4）.

（2）如圖，設(shè)宜線TP的傾斜角為a,斜率為k,直線T0傾斜角為β,則TQ斜率為I-Jt,

tana=k,tanβ=?-k,T（5,3）在曲線C上，過點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),

貝∣]A>1或k<-l,同時(shí)1一女>1或1一&<一1,解得A>2或Z<-l.

,CEC(C?tanβ-tana?-k-kY

tanNPT2=tan(夕一α)=ι+ra而,ana==1，解得人3或Z=O(舍去).

4=3時(shí)，直線TP的方程為y=3x-12,

聯(lián)立H=T=消y得：χ2-9x+20=0,則X=4或X=5,得尸(4,0).

[x-y=16

直線TQ的方程為y=-2x+i3,

、fy=-2x+13,37(3735、

聯(lián)??消y得：3χ2-52%+185=0,貝!∣x=~?^或x=5,得。刀,一-二，

[x2-y=?ι6r3V3?√

∣P7,∣=√(5-4)2+(3-0)2=√10,

35

37+--12

點(diǎn)。到直線TP的距離,一3__110,

,√32+l2^3√10

S△“=LlmXd=LMx-4=生

^tpq21123√103,

方法二：IPTI=J(5-4)2+(3-0)2=M,

tanNPTQ=I,則SinNP7Q=孝,

S“加=；IrPllTQkinNPTQ=JXwX竿X*=]?

4.(2023?浙江?永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知雙曲線E的頂點(diǎn)為A(T0),8(1,0),

過右焦點(diǎn)F作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點(diǎn)G,且SAOR=逑.

點(diǎn)P為X軸正半軸上異于點(diǎn)6的任意點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線/交雙曲線于C,。兩點(diǎn)，直線AC

與直線8。交于點(diǎn)H.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：OP.OH為定值.

【答案】⑴--工=1

2

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意表示出G點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)，表示面積即可求解;

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理證明求解.

r22

【詳解】⑴設(shè)雙曲線"W等v"易知

由題意可知：AOFG為等腰三角形，則%=；C，代入y=bZχ得:

2a

%嗯若,則S-K吟=

又C?=.?+/="從，貝懈得〃=&,

則雙曲線E￠=1.

2

(2)設(shè)直線/的方程為：χ=ty+^f(^>0M∕n≠l),C(%,χ),θ(?,y2)?

X=ty+m

聯(lián)立V2,消X得:y2+2mty+???2-1=0,

x2---=1

2

-2mtm2-1

y+%=—r二一W2-I/、

產(chǎn),Xy22?,、跖二與小+、2).

22

AUy=-^(X+1),(T)BDty=

?%2(—?1-i).②

聯(lián)立①②，??

乂為2=%(*+加)=。2必+6%，同理，MX2=以必+加必，

把它們代入/，得

XH=2電％+m(χ+%)+%f=-展(…)+皿…)+%-必

用(必一%)+%+必'"(3-%)+%+%

=如盧%)+…=?y∣+y2+m(必-M)=L

機(jī)(%-%)+必+%mm(y2-yi)+y2+ylm

故OP?O"=∕n7=SXL=1,得證.

m

22

5.(2023?江蘇徐州?徐州市第七中學(xué)?？家荒?已知雙曲線C:當(dāng)■-與=l(α力＞0)的實(shí)

ab

軸長為4,左、右頂點(diǎn)分別為A，A2,經(jīng)過點(diǎn)3(4,0)的直線/與C的右支分別交于M,N兩

點(diǎn)，其中點(diǎn)”在X軸上方.當(dāng)口X軸時(shí)，?MN?=2√6

⑴設(shè)直線MA,%的斜率分別為K,心，求￥的值；

Kl

(2)若NBA2N=2ZBAtM,求..A1MN的面積.

【答案】(1)-3；

⑵苧.

【分析】(1)法一：根據(jù)實(shí)軸長，求得。值，根據(jù)題意，求得IMM=2回，可得匕值，

即可得曲線C方程，設(shè)直線方程為x=)+4,與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得

%+%，％為表達(dá)式，代入*■,化簡整理，即可得答案.

法二：由題意，求得。，人的值，即可得曲線C方程，設(shè)MN方程為x=∕ny+4,與雙曲

線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得％+力，〉跖表達(dá)式，代入與，化簡整理，即可得答案.

(2)法一：因?yàn)镹BA2N=2∕8A,M,根據(jù)二倍角的正切公式，結(jié)合

k∣=ZBAtM,k2=Tan∕%N及々=-3勺，化簡計(jì)算，可得/=B,進(jìn)而可得MA方程，

3

與曲線C聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線心V的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.

法二：設(shè)/%〃=。,，/%%=2。，由存=-3,結(jié)合二倍角正切公式，可得tane的

Kl

值，進(jìn)而可得直線AM方程，與曲線C聯(lián)立，可得X，同理可得必，代入面積公式，

即可得答案.

【詳解】(1)法一：

因?yàn)?4=4,所以α=2,令χ=4得丁=3/戶，

所以IMM=2屏=2而，解得6=

22

所以C的方程為土r-匕=1

42

顯然直線MN與y軸不垂直，設(shè)其方程為x="+4,

x=fy+4

聯(lián)立直線MN與C的方程f2,消去X得(/一2b2+8)+12=0,

142

當(dāng)*#2時(shí)，A=16—+96>0,

Qf12

設(shè)M(x∣,yj,N(w,%),則M+%=-yr：PyM=^TJ1-

y_1x+2

因?yàn)镵=----，八。-----2-------2-

x∣+2^x2-22y2

&=(x∣+2)(w+2)6+6)(4+6)

所以

K2jly227%

12r48r,必

∕y%+6f(y+必)+36_7一尸一？+、

2%%24

產(chǎn)一2

法二:

2α=4

4=2

由題意得從=2忖解得

2?=√2,

???雙曲線C的方程為j*l

設(shè)MN方,程為X=，政+4,M(Xl,X),N(Λ2,%),4(-2,0),A(2,0),

:,乙，可得(加一2)丁+8叩+12=0,加、2,

聯(lián)立

8/7?

2212

?=64w-4(∕n-2)x12=M+6>0,>?∣+y2=~

k[=

xl+2

.?=%,西+2=乃(沖|+6)=，明%+6、2

2

??-y∣W%+2)y∣myty2+2(y,+y2)-2y2

12U

m?F?+6%

m—2=.m.-2--------=-3

~12-16m-4m

m`2J2「2%?-2),2

m-2m-2m-2

(2)法一:

因?yàn)椋?,

a

所以tan/B&N=Un2ZBA,M=EtInf,

1-tan/BA1M

又因?yàn)锳l=tan∕8A]M,A2=-ta∏z×BA27V,

_,2k、,2k.

所以一"=］二J'即B二萬一7?（※）

1"""＜c∣K、1

2k

1

將七=-3ki代入（※）得一3仁二—■,

Kl--?

因?yàn)锳f在X軸上方，所以K=更，所以直線MA方程為y=

+2),

y=-x+2)

聯(lián)立C與直線MA方程,消去V得，X2-8X-20=0,

X2y2

=1

彳一2

解得x=10或x=-2(舍),所以M(IO,46),

代入…,得γ,所以直線MN方程為X=孝y+4，

f6，

X=——y+4

,2,,消去X得，5∕-16√3>?-48=0,

聯(lián)立C與直線MN方程

-X-------y--=11

42

解得尸或y=-生叵，

所以AMN的面積為:內(nèi)即|必-刃=36XgG=，G?

法二:

設(shè)NBAM=aNBA,N=2。，由餐=-3,可得=3,

K1tan。

.,「2=3,解得tan”走，

l-tan26>3

?'?AM方程:X=Wy-2,

：=嚴(yán):一：，可得丫2-4百y=°，解得％=46，

聯(lián)立

X-2y=4

同理聯(lián)立卜=Fy+2,解得y，=一還，

x2-2y2=45

.°IAl|_a24√3_72√3

3-

??SAIMN=-?6?∣Λ-y2∣=?7-=$?

6.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）已知雙曲線（7吞-與=1（々＞0,。＞0）的左頂點(diǎn)為人，過左

a-b2

焦點(diǎn)F的直線與C交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)尸Q?Lx軸時(shí)，|P4∣=J而，ZV5AQ的面積為3.

（1）求C的方程；

（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).

【答案】⑴，P

(2)證明見解析

+(c-α)2=(Tio)

h2?”

【分析】(1)根據(jù)題意，可得IPFI=c-a')=3,進(jìn)而求解;

2a

c2=a^+b2

(2)設(shè)PQ方程為X=陽-2,尸(與,*),。仇,必)，聯(lián)立宜線和雙曲線方程組，可得

(3〃/-1)/-12/y+9=0,以PQ為直徑的圓的方程為

(X-XJ(X-w)+(y-y)(y-%)=0，由對稱性知以PQ為直徑的圓必過X軸上的定點(diǎn),

進(jìn)而得到d-(玉+x1)x+xyx2+y^2=0,進(jìn)而求解.

【詳解】(1)當(dāng)PQ?Lx軸時(shí)?，RQ兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為-c,

序F

代入雙曲線方程，可得%,=(,%=-?，即IPFI=Y，

(τ^)+(c-√=(Vio)2

?9?2

由題意，可得----(c-a)=3,解得。=],/?=百，c=2?

2a

c1=a2+?2

(2)方法一：設(shè)PQ方程為X=吟2,P(xi,yi),Q(x2,y2),

X=my-22

3f-y2=303仙2,2_4沖+4)-y2=3=>(3M-1)y-12∕nγ÷9=0,

以PQ為直徑的圓的方程為(x—x)(x—w)+(y—y)(y—%)=。，

22

x-(xt+x2)x+xfx2+y-(yt+y2)y+yty2^O,

由對稱性知以PQ為直徑的圓必過X軸上的定點(diǎn)，令y=0,可得

2

X-(x1+Λ2)X+X∣X2+yly2=0,

一12機(jī)24

ffijx,+x=ffl(y+j)-4=-?--4=?,

2l23m-13m-1

-3∕TZ2-4

XIX2=(my-2)(∕ny-2)=w2γγ-2∕π(y+y)+4=；,,,

t2l2125m~-1

.?.x2-----Y—X+二嗎二」+—2—=On(3??-1)X2-4X+5-3m2=0

3m2-l3m2-l3m2-lv,

=[(3>一1卜+3，"2-5](X-I)=O對TMeR恒成立，:.x=\,

以尸。為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(LO)；

方法二：設(shè)尸。方程為χ=∕κy-2,P(XQ),。(七,力)，

j???n(3"，-1)y2^12陽+9=0,

由對稱性知以P。為直徑的圓必過X軸上的定點(diǎn).

設(shè)以PQ為直徑的圓過E(∕,0),

2

EP-EQ=0=>(x1-∕)(?-z)+y1y2=0=>xλx2-f(x1+x2)+r+y1y2=0,

而AiW=(mχ-2)(沖2-2)=nryxy2-2∕∕z(y1+y2)+4

-?-2,r-^÷4=-w-4

3∕W2-13療-13/-1

/、12療4

X+Λ=m(K+V)-4ZI=——------4=--——

,20v1273∕n2-l3zn2-l

—3∕∏2—44/)9C

/.-----?------------∑——+/'+一∑——=0,

3m~-13∕n~—I3∕n2—1

(W-l)r-4r+5-3濟(jì)=0,即[(3m2-l)r+3/-5](r-1)=0對VmeR恒成立,

：.t=1,即以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(1,0).

7.(2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-2,0),8(2,0),直線

3

Rl與直線PB的斜率乘積為-二，點(diǎn)P的軌跡為

4

(1)求用的方程；

(2)分別過耳(-1,0),K(1,0)做兩條斜率存在的直線分別交M于C,。兩點(diǎn)和E,尸兩點(diǎn),

117

且兩+兩二五,求直線CO的斜率與直線E尸的斜率之積?

22

【答案】(1)—r+Lv=l(y≠O)

43

⑵±1

【分析】(1)設(shè)P(X,y),利用題意得到上;=-：，化簡即可；

',x-2x+24

(2)設(shè)直線CQ為：y=4(χ+l),直線E/為：y=A2(x-l),分別與M聯(lián)立，利用韋

117

達(dá)定理和弦長公式可求得18∣,IEFl,代入77W+;而=百即可求解

ICD?IErI12

【詳解】(1)設(shè)P(χ,y),因?yàn)橹本€出與直線尸8的斜率乘積為

所以一??-?=-

X—2x+24

22

整理得點(diǎn)P的軌跡為M為工+二=l(y≠O)

43

(2)設(shè)直線CD為：y={(x+l)①

設(shè)直線EF為：y=%(xT)②

22

將①與曲線M聯(lián)立得：(3+4?1)x+80+需—12=0,

設(shè)Ca,y),。(芻,必)‘，χ∣+χ2=31:,，中2=”二：

所以?CD?=Jl+J：??(?,+x)^-4XX

2I2=M?-4×≡=?S1

將②與曲線M聯(lián)立得：(3+4￡卜2-8居》+4居-12=0,

，

設(shè)E(Λ3,%),F(X4,%)毛+匕=言百,鼻七=受;占，

_4?-12-12(1÷≤)

24x

所以I=7i+^^7(?+χ4)-4?χ4

3+4片3+4代

所以—L+-L=3+嵋+3+優(yōu)=附后+7(將+?+6」

?CD?IEFj120+片)12(1+J?)12(1+。+片+片卮)12

解得好片=1,所以椎2=±1

8.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知A(XQj8(孫％)，C(W,%)三個(gè)點(diǎn)在橢圓

2

-+y2=?,橢圓外一點(diǎn)尸滿足。P=2AO,BP=2CP,(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

2

⑴求卬?+2%%的值;

(2)證明：直線AC與OB斜率之積為定值.

【答案】⑴孑

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)P(χ,y),根據(jù)向量關(guān)系用玉，七，%，%表示多，為，代入橢圓方程即可求

解;

(2)用》,孫如月表示不，必，代入斜率公式即可求解.

X=-2x

【詳解】(1)設(shè)P(χ,y),因?yàn)镺P=2A0,所以(χ,y)=2(fX)解得1

J=

1

￡=一%+產(chǎn)

又因?yàn)锽P=2CP，所以(一2玉一Λ,-2yI-%)=2(-2毛一毛,一2X-%)解得，

21

%=一弘+］必

因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,

2

2

所以x2“I1.

+(-%+(%=1=>-lL÷V^÷-1

2142

即XX2+2y∣%=g?

(2)設(shè)直線Ae與。8斜率分別為3c，自2,

一M+3必-Mv-2%必+：貨

-------2X三=-------2—

~2xix2~l~^x2

112

1xx

中2-5Λ~^21

442^------J=是定值.

1

xC?22

-2χ%+22-ZX1X2+2

9.(2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知拋物線C：y2=2pχ(p>o)和

22

橢圓E：A[+?=1.〉。)有共同的焦點(diǎn)F

(1)求拋物線C的方程，并寫出它的準(zhǔn)線方程

(2)過/作直線/交拋物線C于P,。兩點(diǎn)，交橢圓E于M,N兩點(diǎn),證明：當(dāng)且僅當(dāng)

?PQ?

/'X軸時(shí)，瑞取得最小值

【答案】(1)拋物線方程為>2=4X,準(zhǔn)線為X=-L

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)橢圓中“。，"c”的關(guān)系求出焦點(diǎn)，根據(jù)共焦點(diǎn)即可求解；

(2)利用韋達(dá)定理分別表示出∣PQ,IMNl,即可證明.

22

【詳解】(I)根據(jù)橢圓E：工+L=l(a>0)可得c2=a+i-a=ι,所以c=l,

則橢圓的右焦點(diǎn)F(Lo)也為拋物線的焦點(diǎn)，所以5=1,解得P=2,

所以拋物線方程為V=4x,準(zhǔn)線為X=-L

(2)由題可得，直線/的斜率不等于0,所以設(shè)/：X=沖+1,

設(shè)P(Xl,%),。(馬，力)，

聯(lián)立∣y=j整理得y2-4∕ny-4=0,

所以％+%=4見y%=-4,

222

所以I尸0=?∣l+my∣(yl+y2)-4γ1y2=4∕M+4,

設(shè)MQ,%)，N(X4,丫4)，

X=my+\

聯(lián)立，X2y2整理得(〃〃/+々+Dy?+2a∕πy-/=O,

------÷-=1

.a+?a

2ama2

所以為+為

嬴EW一藐E

4a2m2+4a2

所以IMM=√I+^2√(Λ+Λ)2-4>,3Λ=

(≡2+a+l)2am2+a+?

所以IMNl=眸也回,

am+6Z+1

所以盥(J""=+2，因?yàn)椤盀槌?shù)，

∣M7V∣a?Ja+?

?PQ?

所以當(dāng)病=O，即M=O時(shí)，端取得最小值，

此時(shí)/的方程為X=1垂直于X軸,所以命題得證.

22

10.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模)已知點(diǎn)P(4,3)在雙曲線C?-?=l(a>0,b>O)

a^b~

上,過P作X軸的平行線,分別交雙曲線C的兩條漸近線于M,N兩點(diǎn)，I尸MI?I/WI=4.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵若直線/:y="+機(jī)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)直線∕?,P8的斜率分別

為K,k2,從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)(多選只按先做給分)，證明：直線/過定點(diǎn).

①k}+k2=??(2)k`k?—1.

【答案】⑴￡-4=1

43

、43

(2)選①直線/過定點(diǎn)(z-2,3)；選②直線/過定點(diǎn)g,/)

【分析】(1)求出雙曲線的漸近線，得到例,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用IPMl?∣PN∣=4及點(diǎn)在

雙曲線上可得方程；

(2)選擇兩個(gè)條件都是先聯(lián)立方程，得出韋達(dá)定理，結(jié)合斜率之和或者之積得到左,〃?的

關(guān)系式，從而可得定點(diǎn).

【詳解】(I)由題意可知：點(diǎn)p(4,3)在雙曲線上，所以與-3=1；

過「做X軸的平行線y=3,與y=±2χ相交于M,N兩點(diǎn)，那么M,N兩點(diǎn)可求：

a

M(￥，3),N(-半,3)；

bb

C一3。彳3α∣L9a2169,C

所以4一7?4+了=16--育=Q2=cι2=4y1,所trrι以。=2；

代入學(xué)-??=1,可知6=6所以雙曲線的方程為(-4=1.

ab43

(2)選①：由題意可知，直線/與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)48,

ELX=I

設(shè)Aa,乂),3(々,必)，聯(lián)立方程:彳43,

y=kx+m

得(3-4%2)χ2-8hnχ-4∕√-12=0,

所以3-4%2/0,△=(Skm)2-4(3-4k2)(-4∕n2-12)>0,BP∕n2+3-4it2>0；

8km-4∕n2-12

百+“百莊=Er-

由條件占+《=1，所以J+2?=1,

所以U2-4)(g+w-3)+(x1-4)(AX2+〃?-3)=(Xl-4)(9-4),

整理可得2例/÷(^-3-4?)(x1+x2)-8(zn-3)=x1x2?~4(x1+x2)+16,

代入韋達(dá)定理得m2+2knι-Sk2—6k—6m+9=O,

gp(m-2k-3)(W÷4?-3)=0,

解得，”=2%+3或m=TA：+3；

當(dāng)m=2A+3時(shí)，y=kx+m=kx+2k+3>=k[x+T)+3,則直線/過定點(diǎn)(一2,3)；

當(dāng)機(jī)=T%+3時(shí)，y="+%=H-4Z+3="(x-4)+3,則直線/過定點(diǎn)P(4,3),不合題

意；

綜上可得，直線/過定點(diǎn)(-2,3).

選②：由題意可知，直線/與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,8,

E上=1

設(shè)Aα,χ),8(Λ2,%),聯(lián)立方程:43-,

y=kx-?-m

得(3-)/-8hnr-4>-12=O,

所以3-4/*0,△=(-8fan)2—4(3-4Λ*2)*47(-4∕M2-12)>0,即/+3-4A>O；

Skm-4m2—12

國+”2=彳記當(dāng)々=3—4公，

由條件發(fā)他=1，得”,瀉=1，

X1-4W-4

(fcv+m)(kx2+m)-3[(fcv+m)+(Ax+〃?)]+9

即ll2

-

(?i4)(xl—4)

k2xx+km(x+x)+m2-3k(x+x)-6m+9

整理可得l2l2l2=1.

xlx2-4(ΛI(xiàn)+Λ2)+16

代入韋達(dá)定理，整理可得Im2+32km+16?2-18^-9=O,

4*+3

即(7m+4Z+3)(,,+4%—3)=0,解得m=—"上或W=TA+3,

7

4Z-+34"+34343

當(dāng)加=------時(shí)，y=kx+m=kx-------=k(x一一)一一，則直線/過定點(diǎn)(一,--)；

777777

當(dāng)機(jī)=y4+3∏寸，y="+m="-4∕+3=Z(x-4)+3,則直線/過定點(diǎn)P(4,3),不合題

意；

43

綜上可得，直線/過定點(diǎn)(三,-9).

77

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理把4+占=1或々向=1進(jìn)行轉(zhuǎn)化,

然后把求解方程得出玄機(jī)的關(guān)系式，從而可得定點(diǎn)，定點(diǎn)問題雖然運(yùn)算過程繁瑣，但是

求解思路較為明確.

22

U.(2023?福建漳州?統(tǒng)考二模)已知橢圓c:二+4=1(“>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K,

Crbt-

6,且內(nèi)閭=4.過右焦點(diǎn)K的直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，AB耳的周長為80.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)。作一條與垂直的直線交C于尸，。兩點(diǎn)，求踹的取值范圍；

（3）記點(diǎn)A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為“（異于B點(diǎn)），試問直線是否過定點(diǎn)？若是，請求

出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是請說明理由.

22

【答案】（1）1+—=1

84

⑵;,夜

（3）過定點(diǎn),定點(diǎn)為（4,0）

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解a，。，c，即可得結(jié)果：

（2）根據(jù)題意設(shè)直線AB,PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求卜瓦伊。，即可得

?^l?,換元結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解，注意討論直線/是否與X軸重合；

（3）根據(jù)題意求直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡整理即可得結(jié)果，注意討論直線/

是否與X軸重合.

2c=4L=2√2

【詳解】（1）由題意可得在a=8&,解得6=2,

a2=b2+c2c=2

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程J+2=1.

84

（2）由（1）可知:瑪（2,0）,則有:

1lmx

當(dāng)直線/不與X軸重合時(shí)，設(shè)/:x=，政+2,A（Xl,乂）,8（々,力），WJ'-y=->

X=my+2

聯(lián)立直線/與橢圓C的方程,消去工得（W+2）V+4/敵—4=0,

184

4

貝IJΔ=(4〃?)一+16(W2+2)=32(m2+1)>0,y∣+%=----VM=

m2+2

2

故IM=標(biāo)后q164√2(W+1)

∕n2÷2∕n2+2

y=-mx

8

聯(lián)立直線r與橢圓C的方程X2y2消去），得V=

—+—=12W2+1

184

設(shè)P(Xo,?o)'則ΛO=?^^Γ~T,

'2m+1

故=2?OF↑=2收+尤=2m

令'=±e(°T'則八=:2,

?.?》=3/—5/+2的對稱軸為/=：,則了=3/—5，+2在（0，4上單調(diào)遞減，且

6I2-

.?,1

yl,=o=2,y∣=-,

.l4

2

.?.γ=3∕-5r+2eΓl2Y故嗡=G?-5r+21今⑸；

當(dāng)直線/與X軸重合時(shí)，則/：y=O,r：X=0,故鋁瞿=某=血；

?PQ?2b

綜上所述：嗡的取值范圍為夜.

I?UILZ.

（3）過定點(diǎn)，理由如下:

當(dāng)直線/不與X軸重合時(shí)，設(shè)/:》=帆+2（切*0）,4（5,）1）,8&,丫2），則Ma,-y），

4/?i4

由（2）可得：y+y=---≠0,y,y=---,

l2mr+22mr+2

則直線BM的斜率即M=上±匹，

X\~X2

故宜線BM的方程y+%="也（X—%）,即X=,

%一9y+%y+必

8/7?

對XJ2+々M=（，孫+2）%+（沖2+2））1=2叫%+2=一，/+2+2=4