二次函數與圖形幾何綜合（6個知識點）-中考復習講義及練習（解析版）

第三部分國數

專題11二次函數與圖形幾何綜合(6大考點)

核心考點一線段問題

核心考點二面積問題

核心考點三角度問題

核心考點

核心考點四特殊三角形判定問題

核心考點五特殊四邊形判定問題

核心考點六相似三角形判定問題

新題速遞

核心考點一線段問題

O氟趣悠究'

H(2020?吉林長春?統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,2),

點B的坐標為(4,2).若拋物線y=-；(x-/z)2+&(〃、k為常數)與線段AB交于C、。兩

【分析】根據題意，可以得到點C的坐標和h的值，然后將點C的坐標代入拋物線的解析式,

即可得到人的值，本題得以解決.

【詳解1解：?點A的坐標為(0,2),?B的坐標為(4,2),

.?.AB=4,

Q1

拋物線y=-3Xj)2+%(〃、%為常數)與線段AB交于C、。兩點，且CE>=jAB=2,

..?設點C的坐標為(c,2),則點。的坐標為(c+2,2),h=弩=c+l,

；?拋物線2=-∣[c-(c+l)f+%,

解得，女=7:

【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確

題意，利用二次函數的性質解答.

甌2(2020?山東濱州?中考真題)如圖，拋物線的頂點為A(〃，-1),與y軸交于點B(0,-g),

點F(2,1)為其對稱軸上的一個定點.

(1)求這條拋物線的函數解析式；

(2)已知直線/是過點C(0,-3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P("?,〃)

到直線/的距離為d,求證：PF=d;

(3)已知坐標平面內的點。(4,3),請在拋物線上找一點Q,使ADFQ的周長最小，并求

此時.。尸。周長的最小值及點Q的坐標.

2

【分析】(1)由題意拋物線的頂點A(2,-1),可以假設拋物線的解析式為產〃(Λ-2)-l,

把點B坐標代入求出“即可.

(2)由題意尸(m,,求出[2,∕ψ2(用表示)即可解決問題.

822ZW

(3)如圖，過點Q作。，，直線/于H,過點。作QN,直線/于M因為AQFQ的周長

=DF+DQ+FQ,是定值=JFlF=20，推出。。+。F的值最小時，△。尸。的周長最小,

再根據垂線段最短解決問題即可.

【詳解】解：(1)設拋物線的函數解析式為y=o(x-力/+匕

由題意,拋物線的頂點為A(2,T),

y=a^x-if-?.

又?.拋物線與y軸交于點β[o,-∣

1)

--=a(0-2)-1

?

8

?,?拋物線的函數解析式為y=J(χ-2)2-1

O

(2)證明：VP(m,〃)，

?小22

.?n=-1(,tn-2)-?I=-1m—1m—1,

8822

111

*.P(〃?，-tn2——m——),

822

β,l.llzαλIO15

822822

VF(2,1),

2∏^^432

.D17L^^Nn11IY17525

??PF=.(m-2)~+—/H-——m------1=J——m——nv+—tn——nι-?-—,

V(822J丫648824

..,1137.525,14137，52

?d~2=—m4——m+—In———zn+—,dPcF2~=—m——m-v-m~——機+一

64882464882/

C.d2=PF2,

：.PF=d.

(3)如圖，過點Q作。HJ_直線/于H,過點。作DVj"直線/于M

,."?DFQ的周長=。/+。。+尸。，。尸是定值=√F港=2√2，

.?.DQ+Q尸的值最小時，△力/Q的周長最小，

,.?QF=QH,

?DQ+DF=DQ+QH,

根據垂線段最短可知，當。，Q,H共線時，Q。+?！钡闹底钚。藭r點H與N重合，點。

在線段DN上,

.?.OQ+Q”的最小值為6,

.?.△。尸Q的周長的最小值為2應+6，此時。（4,-g）.

【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法，兩點間距離公式，垂線段最短等知

識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會用轉化的思想思考問題.

厚命題出麗

1.確定線段長關系式（根據已知線段關系求點坐標）：

①先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；

②再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數；

③繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標軸平行的話，則利用橫縱坐標相加減確

定；如果與坐標軸不平行的話，先轉化為有邊在與坐標軸平行的三角形中，再利用勾股

定理'銳角三角函數或相似確定）.

2.線段數量關系問題：

根據前面所得的線段長的關系式，結合題干列出滿足線段數量關系的方程，解方程求解

即可（注意排除不符合題意的數值）.

3.線段最值問題：

求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯想到“對稱性質”，

最常見的有以下模型：

（1）定直線與兩定點

①同側和最小值問題

②同側差最小值問題

③同側差最大值問題

④異側差最大值問題

（2）角與定點

①一定點與兩條直線上兩動點問題

②兩定點與兩條直線上兩動點問題

【變式1］（2020.貴州遵義.統考二模）如圖，二次函數圖象經過A（2,0）,O（0,0）且有最小

值T,若A點關于y軸的對稱點為B點，過8作y軸平行線交拋物線于點C,在Rt?ABC的

斜邊AC上有一動點￡>,過。作DELBC于E,于F,則EF的最小值為（）

C.2√5D.4√5

【答案】B

【分析】如圖所示，連接即，BD,先求出二次函數頂點坐標為(1,-1),進而利用待定系數

法求出二次函數解析式為y=χ2-2x,求出點B的坐標，進而求出點C的坐標，利用勾股定

理求出AC的長，證明四邊形BEDF是矩形，得到￡F=8D,則當BD_LAC時，BD有最小

值，即E尸有最小值，據此利用三角形面積法求出3。的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接EFBD,

Y二次函數圖象經過A(2,0),O(OQ)且有最小值T,

二次函數對稱軸為直線X=等=1,

二次函數頂點坐標為(1，-1),

設二次函數解析式為y="(x-l)2-l,

.?.a×(0-l)2-l=0,

「?a=1,

???二次函數解析式為y=(x—l)2-l=d-2x,

???A點關于y軸的對稱點為B點，A(2,0),

.?.8(-2,0),

/.AB=4,

當x=_2時，＞?=(-2)2-2×(-2)=8,

.*.C(-2,8),

/.BC=S1

在RIAABC中，由勾股定理得AC=JAB2+BC?=4小，

?/DE.LBC,DF1BF,BELBF,

，四邊形BF是矩形，

??.EF=BD,

，當BD最小時，E尸也最小，

當80,AC時，Bo有最小值，即EF有最小值,

.?.SZ^JkAZlDRCC=2-AB-BC2=-ACBD,

._ΛB?BC8√5

??BRDn-------------,

AC5

【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何綜合，矩形的性質與判定，勾股定理，三角形面積

等等，證明四邊形F是矩形，得到EF=如是解題的關鍵.

【變式2】（2021.浙江湖州?模擬預測）如圖，已知在平面直角坐標系元。），中，拋物線C/：

y=a∣x2（a∕≠0）與拋物線G：y=a2x2+bx（a2≠O）的交點P在第三象限，過點P作不軸的平

PM24

行線，與物線C/,C2分別交于點M,N.若=則」的值是（）

PNn%

21

A.-B.n-?C.nD.-----

nn-?

【答案】B

【分析】令《犬=//+法，求得尸的橫坐標，然后根據兩拋物線的對稱軸求得PM=-

2b

2hhhh2bPM2

―益淀）=工-----,由得到記

aaPN=22b一”

ι-2《一。2PN

al-a2

整理即可得到幺T=〃-2,,即可求得a=〃-1.

【詳解】解：令4∕x2=α2??+bx,

h

解得x∕=θ,X2=-----，

a?-a2

b

???尸的橫坐標為-----，

a?~a2

;拋物線C∣:￥=4?。?≠O）的對稱軸為y軸，拋物線G：y=生/工。）的對稱軸為直

bb

a2ax-a2

,?PM_2

?PN~n

,,b2h

a2%f

4一2

??=/

2a2aλ-a2

n12

q-a2a2%-a2

/2-21

=,

%一的a、

a<-a2C

---------=n-2,

a.

--1—n-2,

故選:B.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，求得P的橫坐標，

表示出PM、PN是解題的關鍵.

【變式3］（2022?山東聊城?統考二模）平面直角坐標系中，將拋物線y=-V平移得到拋物

線C,如圖所示，且拋物線C經過點A（-1,0）和3（0,3）,點P是拋物線C上第一象限內一

動點，過點P作X軸的垂線，垂足為。，則。Q+PQ的最大值為

【分析】求得拋物線C的解析式，設。(x,0),則P(x,-f+2x+3),即可得出OQ+PQ,

根據二次函數的性質即可求得.

【詳解】解：設平移后的解析式為y=-x2+bx+c?,

；拋物線C經過點A(-1,0)和8(0,3),

I-I-b+C=O[b=2

???a，解得「

[c=31c=3

/.拋物線C的解析式為y=-x2+lx+3,

設Q(X,0),則P(x,-√+2x+3),

?.?點P是拋物線C上第一象限內一動點，

OQ+PQ=x+(-X2+2X+3)

=-f+3x+3

/3、221

=-(X--)H---

24

71

.?.OQ+PQ的最大值為亍

91

故答案為：—

4

【點睛】本題考查了二次函數的性質，平移，二次函數圖象與幾何變換，根據題意得出

OQ+PQ=-X2+3X+3是解題的關鍵.

【變式4](2021?陜西西安?交大附中分校?？寄M預測)如圖，矩形ABC。中，AB=2,

BC=4,AE為NBA。的角平分線，尸為AE上一動點，M為QF的中點，連接BM,則BM

的最小值是.

【答案】2夜

【分析】建立平面直角坐標系，求出4七的解析式，設點F（4,-〃+2）,可求點M坐標,

由兩點距離公式和二次函數性質可求的最小值.

【詳解】解：以點3為原點，3C為X軸，為y軸，建立平面直角坐標系，

???點A(0,2),點C(4,0),點。(4,2),

YAE為NBAD的角平分線，

/.ZBAE=ZDAE=45%

，N8AE=/AE8=450,

：?AB=BE=2,

:?點、E（2,0）,

；?直線AE解析式為y=-x+2,

工設點/（小-α+2）,

為D/的中點,

4+。-?+4.

???點M

22

：?BM2=(*)2+(34)2片+16+8〃1片+16-8。=-∣-α2+8,

2244

V0≤a<2,

???當〃=O時，的最小值為2血，

故答案為：2√2.

【點睛】本題考查坐標與圖形，熟悉運用二次函數的性質求解線段的最值問題是解題關鍵.

核心考點二面積問題

D房題卷究

甌（2021?山東淄博?統考中考真題）己知二次函數y=2χ2-8χ+6的圖象交X軸于AB兩

點.若其圖象上有且只有R鳥,A三點滿足SAg=Sa鋁=S,%=，”，則機的值是()

3

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】C

【分析】由題意易得點兒6線的縱坐標相等，進而可得其中有一個點是拋物線的頂點，然

后問題可求解.

【詳解】解：假設點4在點8的左側，

???二次函數y=2∕-8x+6的圖象交X軸于A8兩點，

.?.令y=0時，則有0=2f-8x+6,解得：Xl=LX2=3,

.?.A(Lo),8(3,0),

AB=3-1=2,

m

V圖象上有且只有耳，6,W三點滿足SABPI=SAm=SABK=，

.?.點4￡,勺的縱坐標的絕對值相等，如圖所示：

Vγ=2x2-8x+6=2(x-2)3-2,

???點片(2,—2),

故選C.

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

甌(2021?浙江?統考中考真題)已知拋物線y=αr2+?r+c("O)與X軸的交點為A(l,0)和

B(3,0),點勺(公兇)，E(X2,必)是拋物線上不同于AB的兩個點，記B的面積為

5l,的面積為S?.有下列結論：①當x,>j+2時，S1>S2；②當演<2—%時，<S2；

③當歸一2|>區(qū)一2|>1時，Sl>S2i④當后―2∣>H+2∣>1時，S1<S2.其中正確結論的個

數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】通過王和々的不等關系，確定uα,y),2(程必)在拋物線上的相對位置，逐一

分析即可求解.

【詳解】解：：拋物線y=αr2+?r+c("0)與X軸的交點為A(LO)和8(3,0),

.?.該拋物線對稱軸為x=2,

當時與當占々時無法確定Λ鳥(七,％)在拋物線上的相對位置，

5>%+2<2-6(1,y),

故①和②都不正確；

當忱-2|>%-2|>1時，6(χ,yJ比6(々,%)離對稱軸更遠，且同在X軸上方或者下方，

，|川>|對’

/.S,>52,故③正確；

■-2∣>∣Λ?+2∣>I%即在X軸上々到2的距離比々到-2的距離大，且都大于1,

可知在X軸上4到2的距離大于1,巧到2的距離不能確定，

所以無法比較與鳥Λ誰離對稱軸更遠，故無法比較面積，故④錯誤；

Ua,y)(2,%)

故選：A.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，掌握二次函數的對稱性是解題的關鍵.

厚命題內南

中考數學，最后的三道壓軸題，一般都會有一題考察二次函數動點。本文只是針對?？嫉亩?/p>

次函數面積問題進行解析,其它類型在以后的文章中陸續(xù)上傳。解決二次函數動點面積問題,

常用的方法有三種。

1、鉛垂高法：一般用來求圖形中三角形的面積；

2、平行法：平行法最關鍵的知識點，是平行線之間高的問題，一般這種情況都是平移高到

與坐標軸交點處，最后用相似求值。

3、矩形覆蓋法：這是最容易想到的方法，但也是計算最麻煩的方法。利用面積的大減小去

解決，一般不太建議使用這種方法，龐大的計算量很容易出錯。

勤客就硼演

【變式1】(2022.陜西西安?校聯考二模)已知拋物線y=∕-20r-2α-1與無軸交于4、B

兩點，與y軸交負半軸于點C,AABC的面積為15,則該拋物線的對稱軸為()

A.直線x=2B.直線X=-(C.直線x=gD.直線X=T

【答案】A

【分析】先求出拋物線與坐標軸的交點坐標，根據。的取值范圍求出A8,OC,根據三角形

的面積求出。的值，再求出對稱軸即可.

【詳解】解：令)=0,則/-2以-2α-1=0,即[x—(2α+l)](x+l)=0,

解得玉=-1，W=2a+?,

.,.A(-1,O)B(2α+l,0)

令x=0,y=-2a-1,

/.C(O,-2α-l)

：點C與y軸交于負半軸，

Λ-2α-l<0

?

...a>、—9

2

AB=2a+1-(-1)=2tz÷2,

OC=24+1,

SABC=gABOC=gx(2a+2)x(2a+l)=(α+l)(2α+l)=2α2+3α+l=15,

7

解得4=2嗎=一,(舍去)，

??y=X?-4x—5,

4

，對稱軸為X=5=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸的交點，三角形的面積，關鍵是求出拋物線與坐標軸的交

點坐標.

【變式2](2022?江蘇常州??？家荒?拋物線y=f上有三個點A、呂、C,其橫坐標分別

為加、機+1、機+3,則ABC的面積為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】把橫坐標代入拋物線解析式，可得相應的縱坐標；設出直線AC的解析式，把A,

C兩點代入，即可求得直線AC的解析式，作8?！ǘ≥S，交直線AC于點。，可得6。的長

度，根據XBC的面積為一4)3和ASB的面積的和，把相關數值代入即可求解.

【詳解】解：?拋物線y=V上有三個點A、B、C,其橫坐標分別為〃？、根+1、機+3,

.,.A(m,m2),B(∕n÷l,(∕n+1)2),C(λn+3,(m÷3)2),

，2

mk+b=f∏

設直線AC的解析式為y=辰+3則有/.7…,、2,

解得：后=2"?+3,b=-m2-3/Z/，γ=(2w+3)x-w2-3/?/,

過點8作5。〃y軸，交AC于點。，

,?.30的長為(2m+3)(m+l)-4-3m-(m+l)2=2,

.?SARC=?BD×1+?BD×2=3.

AE。22

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的解析式，三角

形的面積，解題的關鍵是根據三角形面積公式得到S"C=gBZ)?l+gBO?2.

【變式3](2022?吉林長春??？级?己知拋物線y=f-2x-3與X軸交于A,B兩點(點

A在點B的左側)與y軸交于點C,點。(6,y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，

當BE十OE的值最小時，AACE的面積為是

【答案】6

【分析】解方程Y-2》-3=0得A(TO),以3,0),則拋物線的對稱軸為直線x=l,再確定

C(O,-3),0(6,21),連接Af)交直線x=l于E,交y軸于尸點，如圖，利用兩點之間線段最短

可判斷此時BE+DE的值最小，接著利用待定系數法求事出線A。的解析式為y=3x+3,則

F(OJ),然后根據三角形面積公式計算.

2

【詳解】解：當Y=O時，X-2X-3=0,解得XL-1,X2=3,則A(T,0),8(3,0),

拋物線的對稱軸為直線X=1，

當％=0時,y=f-2x-3=-3,則C(O,—3),

當x=6時，y=x2-2x-3=2?,則。(6,21),

連接AO交直線X=I于區(qū)交y軸于尸點，如圖，

?：BE+DE=EA+DE=AD,

，此時BE+DE的值最小，

設直線AZ）的解析式為V=米+/

-k+b=0

把4-1,0),0(4,5)代入得

6k+b=21'

k=3

解得《

b=3

.?.直線AD的解析式為V=3x+3,

當X=I時，y=3x+3=6,則E(l,6),

當X=O時，y=3x+3=3,則F(0,3),

Sace=Sacf+Secf=—×6×1+-×6×1=6.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸的交點:把求二次函數丫=公2+法+°（。也，是常數，4ν0）

與X軸的交點坐標問題轉化為解關于X的一元二次方程.也考查了二次函數的性質和最短路

徑問題.

【變式4］（2022.遼寧?統考二模）如圖，在二AfiC中，BC=S,ABC的面積是24,在二ABC

中截出一個矩形DEFG,其中E,F在BC邊上，D,G分別在邊AB,AC上.設。G=X,

那么，當X=時，矩形O￡FG的面積最大.

【答案】4

【分析】過點4作4"，BC于點H,交。G于點/,根據三角形的面積可以先求出AH的長,

然后證明ΔADGSΔA8C,根據三.角形相似的性質，用X表示出OE,再根據

S矩彩DEFG=DG*DE,用X表示出矩形。EFG的面積，根據二次函數的最值，即可求出結果.

【詳解】解：過點A作AH1?8C于點”，交。G于點/,如圖所示：

,.,BC=S,AABC的面積為24,

AH=^^=6,

8

?；四邊形DEFG為矩形,

：.DG//BC,NDEF=NEDG=90°,

：.ΔADG^ΔABC,

.Ai_DG

??----=-----,

AHBC

AH±BCf

：.ZAHE=/HED=ZEDI=90°,

???四邊形DE"/為矩形，

..HI=DE,

???AI=AH-Hl=AH-DE,

.AH-DEDG

--AH--BC

6-DEX

~6-^8,

則OE=6』,

4

,

??S矩形DEFG=DG×DE

(,3

=x?6——X

I4

=--x2+6x

4

=--(X-4)-+12

.?.X=4時，矩形DEFG的面積最大.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了：次函數的應用，最大面積問題，根據題意用X表示出矩形。EFG

的面積，是解題的關鍵.

核心考點三角度問題

O氟題悠究

例H(2020?黑龍江?統考中考真題)如圖，已知二次函數y=-/+云+c的圖象經過點

A(T,0),5(3,0),與V軸交于點C.

C,

AO

(I)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點尸，使N∕?B=N4BC,若存在請直接寫出點尸的坐標.若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)y=-∕+2x+3;(2)存在，＜(2,3),6(4,-5)

【分析】(1)把點AB的坐標代入y=-x°+?r+c即可求解；

(2)分點P在X軸下方和下方兩種情況討論，求解即可.

【詳解】(1):二次函數y=-∕+6x+c的圖象經過點A(-l,0),B(3,0),

?b=2

解得：，，

[c=3

拋物線的解析式為：y=T=+2x+3;

(2)存在，理由如下：

當點P在無軸下方時，

如圖，設AP與V軸相交于E,

y

令X=0,則y=3,

，點C的坐標為(0,3),

VA(-1,0),B(3,0),

JOB=OC=3,OA=L

ΛZABC=45o,

YNPAB=NABC=45。，

???△OAE是等腰直角三角形,

.?OA=OE=1,

點E的坐標為(O,-I),

設直線AE的解析式為y=履-1,

把A(-l,0)代入得：k=T,

直線AE的解析式為V=--I,

y=-x-?

解方程組

y=-x2+2x+3'

X,=-1X=4

得:(舍去)或2

n5

X=Oy2=~

二點P的坐標為(4,-5)；

當點P在X軸上方時,

如圖，設AP與y軸相交于D,

同理，求得點D的坐標為(O,1),

同理，求得直線AD的解析式為y=χ+l,

y=x+l

解方程組

y=-x2+2x+3

x=2

得:舍去)或2

卜2=3

...點P的坐標為(2,3)；

綜上，點P的坐標為(2,3)或(4,-5)

【點睛】本題是二次函數與幾何的綜合題，主要考查了待定系數法，等腰直角三角形的判定

和性質，解方程組，分類討論是解本題的關鍵.

甌(2021?江蘇連云港?統考中考真題)如圖，拋物線y=md+(m2+3)χ-(6機+9)與X軸

交于點A、B,與y軸交于點C,已知8(3,0).

(1)求相的值和直線BC對應的函數表達式；

(2)P為拋物線上一點，若SMBC=SAABC,請直接寫出點P的坐標;

(3)。為拋物線上一點，若NACQ=45。，求點。的坐標.

…八>f3+√17-7+√Γ7λ∣(3-√17-7-√I7^

【答案］(l)m=T,y=x-3；(2)P(2,l),Pr1—--,---J,尸［—--,―--J；

【分析】(1)求出A,8的坐標，用待定系數法計算即可；

(2)做點A關于8C的平行線A片，聯立直線Aa與拋物線的表達式可求出片的坐標，設出

直線AP1與y軸的交點為G,將直線BC向下平移,平移的距離為GC的長度,可得到直線PA,

聯立方程組即可求出P：

(3)取點。，連接C。，過點A作AOJ?C。于點。，過點。作DFLX軸于點尸，過點C作

CELDF十點E,得直線8對應的表達式為y=；x-3,即可求出結果；

【詳解】(1)將8(3,0)代入y=3h(W+3)x-(6m+9),

化簡得加2+帆=0,則機=0(舍)或ZM=T,

.*.∕w=-l,

得：y=-χ2+4χ-3,則C(O,-3).

設直線BC對應的函數表達式為y=后+。，

fθ=3?+?

將8(3,0)、C(O,-3)代入可得_3=°，解得k=l,

則直線BC對應的函數表達式為y=X-3.

(2)如圖，過點A作AR〃8C,設直線A《與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC個

單位，得到直線AA,

由(1)得直線8C的解析式為y=x-3,A(l,0),

.?.直線AG的表達式為y=X-I,

y=X-I

聯立

y=-x+4x-3

x=lx=2

解得:y=0（舍），或

y=ι

???田2,1）,

由直線AG的表達式可得G(-1,0),

/.GC=2,CH=2,

?門線牡的表達式為y=x-5,

y=x-5

聯立《

2,

y=-x+4χ-3

3+√Γ73-√Γ7

X=------工-2=?

2x2

解得:

-7+√Π`-7-√Π'

%=------------M=-----------

'3+√i7-7+√Γ7'，3-布-7-717^

-2-'-2-

"3+√Π-7+√∏''3-√Π-7-√∏?

：,P(2,l),

-2~^，-2-~2~^,~^2-

(3)如圖，取點。，連接CQ，過點A作A。?LCQ于點。,

過點D作。尸，X軸于點F,過點C作CELDF于點E.

,/ZACQ=45°,

：.AD=CD,

乂YZADC=90°,

.?.ΛADF+ACDE=90°,

'：ZCDE+ZDCE=90°,

：.NDCE=ZADF,

XVNE=ZAFD=90。,

：.?CDE^NDAF,則AF=OE,CE=DF.

設￡>E=AF=",

?.?Q4=1,OF=CE,

：.CE=DF=a+?.

由。C=3,則=3-々，即α+l=3-α,解之得，a=l.

所以。(2,-2),又C(0,-3),

可得直線8對應的表達式為y=；x-3,

設Q(m,g加一3),代入y=-Y+4x-3,

1?1

得一加一3=一根~+4機-3,-m=-m"+4m,病二哄0,

222

77_5

又"2Wθ,則〃?='.所以Q2,^4

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合題，結合一元二次方程求解是解題的關鍵.

厚命題線南

題型歸納：

1、角度相等問題

通過平行線，等腰等角，軸對稱、相似求解！

2、45°角問題

通過等腰直角三角形、同弧所對圓周角等于90°圓心角的一半、平分直角等解題！

3、二倍角問題

在求二倍角的問題中，先根據等腰三角形和外角定理構造二倍角，再利用三角函數（一般用

正切）計算。

勒曾就硼演

1Q

【變式1］（2022秋?浙江寧波?九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線y=jx2+§x-3與X軸

交于點A和點B兩點，與y軸交于點C,。點為拋物線上第三象限內一動點，當

NACE>+2ZABC=I80。時，點。的坐標為（）

【答案】B

1Q

【分析】根據二次函數y=：/+：》-3與坐標軸的交點坐標分別求出OB、OC的長度;

然后通過勾股定理逆定理判斷出NAC8=90°,得出2/84。+2//出7=180。；山

NACD+2NA8C=180。得出/4CD=2∕BAC；作點C關于X軸的對稱點E,連接AE；即可

構造出ZEAC=ZACD,從而得出AE//DC-,根據平行線的斜率相同以及點C的坐標求出

直線。C的表達式；最后聯立方程組求解即可；

1O

【詳解】解：令y=0,則42+2A3=0

33

解得：玉=-9,x2=1

.?.Λ(-9,0),僅1,0)

-9,OB=LAB=IO

當尢=O時，y=-3

???C(0,-3)

???OC=3

在A4C5中

BC2+AC2=(OB2÷OC2)÷(OC2+OA2)=100=AB2

???ZACB=90°

JZBAC+ZABC=90°

：.2ZBAC+2ZABC=I80°

?.?NAcr>+2NABC=I80。

.,.ZACD=IABAC

如圖，作點C關于X軸的對稱點E,連接AE；

則E(0,3),ZBAC=ZBAE

：?ZEAC=2ZBAC=ZACD

：.AE//DC

.,_OE

??噎=L=赤=5

設直線I)C的表達式為：y=gχ+6

將C(0,-3)代入得：b=-3

.?.直線DC的表達式為：y=gx-3

y=g(X=O卜=-7

解方程組:。得：，或｛16

?2,?γ=-3y=------

y=-x+-x-3o13

I33ID

???點。在第三象限

點D的坐標為(-7,-9)

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數圖像的性質、一次函數的性質、勾股定理逆定理、直角三角形

兩銳角互余等知識點；綜合運用上述知識求出直線OC的函數表達式是解題的關鍵.

【變式2](2021秋?河南?九年級河南省淮濱縣第一中學?？计谀?如圖,拋物線y=-V-2x+3

與X軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.若E為射線C4上一點，/⑺,〃)為拋物線上一點,

E、A是位于直線M同側的不同兩點，若SCTB=2∣"I,連接4尸，NFAE=ZAEB,則點E

的坐標為.

【答案】("4,T)

【分析】過點F作FHLX軸于點H,由題意易得點A(-3,0),8(1,0),C(0,3),則AB=4,進

而可得S..=Sftv,然后可求直線AC的解析式為y=x+3,直線FB的解析式為y=χ-l,

聯立二次函數及直線FB的解析式可求點F的坐標，進而可得^AFB^?EBF,最后根據兩

點距離公式可求解.

【詳解】解：過點F作FH_LX軸于點H,如圖所示：

?.?拋物線y=-x2-2x+3與X軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,

.?.A(—3,0),5(1,0),C(0,3),

ΛAB=4,

:點尸(〃?,〃)，

.?.FH=?n?,

-SBAF=^AB-FH^2\n\,

'?'SEFB=2時，

?q_q

??°EFB~?BAF?

???點A、E分別到FB的距離相等,

ΛAE√FB,

設直線AC的解析式為y=辰+。，則把點A、C代入得:

-3k+b=0A,k=1

b=3,解得:

b=3

?,?直線AC的解析式為y=H3,

???直線FB的解析式為y=X+J

把點B代入得：c=l,

???直線FB的解析式為y=χ-l,

y=~x2—2x÷3""I或X=Y

聯立,解得:

j=x-ly=0y=-5

???點F(T-5),

,：ZFAE=ZAEB,

：,ZAFB=ZEBF,

ΛEB=AF,

VFB=FB,

/.?AFB^?EBF(SAS),

ΛAB=EF=4,

設點E(m,，〃+3),

?,?EF=J(,W+4)2+(zn+8)2=4，

解得：弱=-4,,%=-8(不符合題意，舍去)，

二點E坐標為(T,-l);

故答案為(τ,τ).

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的性質及幾何知識點是解題的關

鍵.

【變式3](2021秋?河南?九年級河南省淮濱縣第一中學校考期末)如圖,拋物線y=-∕-2x+3

與X軸交于A,B兩點，與),軸交于點C.若E為射線C4上一點，"，”,〃)為拋物線上一點,

E、A是位于直線8尸同側的不同兩點，若S￡襁=2|〃|,連接AF,ZFAE=ZAEB,則點E

的坐標為.

【答案】(T,一1)

【分析】過點F作FHlx軸于點H,由題意易得點A(-3,O),B(1,O),C(O,3),則AB=4,進

而可得SEFB=SBAF，然后可求直線AC的解析式為y=x+3,直線FB的解析式為y=χ-ι,

聯立二次函數及直線FB的解析式可求點F的坐標，進而可得△AFB絲Z?EBF,最后根據兩

點距離公式可求解.

【詳解】解：過點F作FHJ_x軸于點H,如圖所示：

；拋物線y=-χ2-2x+3與X軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,

.?.A(-3,0),B(l,0),C(0,3),

ΛAB=4,

?.?點手(wι,w),

.?.FH=同,

?,?SBAF=3AB,FH=2時,

SEPB=2∣H

?q—?

,?0EFB~4BAF>

，點A、E分別到FB的距離相等,

ΛAE√FB,

設直線AC的解析式為y=履+"則把點A、C代入得:

-3k+h=0k=1

b=3,解得:

b=3,

，直線AC的解析式為y=x+3,

???直線FB的解析式為）'=x+J

把點B代入得：C=I,

?,?直線FB的解析式為y=X-I,

y=*一2：+3,解得:

聯立《

y=X-I仁;味二

點F(+5),

,/ZFAE=ZAEB，

ZAFB=NEBF、

EB=AF,

：FB=FB,

Λ?AFB^?EBF(SAS),

ΛAB=EFM,

設點E(w,w+3),

?'?EF=J(WI+4)2+(/77+8)-=4,

解得：叫=-4,嗎=-8（不符合題意，舍去），

二點E坐標為（T,一1）；

故答案為（τ,τ）.

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的性質及幾何知識點是解題的關

鍵.

【變式4］（2022?吉林?吉林省實驗?？家荒＃┤鐖D,在平面直角坐標系中,拋物線y=%x-3）2-l

的頂點為A,直線/過點P(O,,w)且平行于X軸，與拋物線交于點8和點C.若AB=AC,

NBAC=900,則〃?=.

【答案】3

【分析】設直線1與對稱軸的交點為點D,則根據等腰直角三角形的性質可得BD=AD,根

據韋達定理可表示出xι+X2與x∣X2,進而表示出BC的長度和BD的長度，根據BD=AD可

列出方程求出m的值.

【詳解】設直線1與對稱軸的交點為點D,則根據等腰直角三角形的性質可得BD=AD,拋

物線的頂點坐標為A(3,-1),

由題意得直線1的表達式為直線y=m,

當y=m時，可得方程"X-3)2-1=

原方程整理可得，x?-6x+5-4∕π=0

由一元二次方程根與系數的關系可得X1+X2=6,X∣X2=5-4m,

(X1-X2)2=(X1+X2)2-4xjX2=36-20+16m=16+16m

直線1與拋物線交于點B和點C,

故m>-l,

VBC2=16+16m,AD=m+l,BD=-y=AD,

BC=2AD,BC2=4AD2,

16+16m=4(m+l)2

整理得，m2-2m-3=0

解得m=3或m=-l(舍去)

即m=3.

故答案為3.

【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系和等腰三角形的性質，解題的關鍵是運用韋

達定理正確表示出BC的長度.

核心考點四特殊三角形判定問題

命氟題照熨

回1I（2022?內蒙古赤峰?統考中考真題）如圖，拋物線y=-∕-6x-5交X軸于A、B兩點,

交V軸于點C,點。（“，"+1）是拋物線上的點，則點。關于直線AC的對稱點的坐標為

【答案】（-5,-4）或（0,1）

【分析】先求出A、B、C、O的坐標，再將點。代入拋物線的解析式，得出〃?的值，確定。

的坐標，再根據點D的坐標分情況畫圖求解，即可求出點。關于直線AC的對稱點坐標.

【詳解】解：：拋物線y=-Y-6x-5交X軸于A、8兩點，交，軸于點C,

.?.當y=-χ2-6χ-5=0時，Xl=-1,X2=-5,

當X=O時，y=-5,

A(-5,O),8(-1,0),C(0,-5),

(M=OC=5,

ZACO=ZOAC=45°,

?.?￡>(〃?，加+1)是拋物線上的點，

?'?m+l=-m2-6m-5>

解得見=-1,W2=-6,

當，"=—1時，￡)(—1,0),

當“2=-6時，￡>(-6,-5),

①當仇-1,0)時，此時點O與點B重合，

如圖1,設點。關于直線AC對稱點為。，連接A。，

：點。與點。關于直線AC對稱，

AC是瓦7的垂直平分線，

.?.AB=AD,≈-l-(-5)=4,且N(MC=NC4/7=45。，

，NOAD=90。，

.?.D,(-5,-4);

②當以-6,—5)時，

.?.8〃X軸，

ZACD=ZOAC=45°

如圖2,設點。關于直線AC的對稱點為M,連接8,

；點D關于直線AC的對稱點為M,

.?.AC是DM的垂宜平分線，

ΛZACD=ZACM=45°,DC=CM,

.?.M在y軸上，且ADCM是等腰直角三角形，

.?.DC=CM=6,

：.OM=CM-OC=6-5=I,

：.M(OJ).

綜上可得：點D關于直線AC的對稱點的坐標為(-5,-4)或(0,1).

U

故答案為:(-5,-4)或(0,1)

【點睛】本題考查了二次函數的性質，等腰直角三角形的判定與性質，