新高考之函數(shù)四大性質(zhì)綜合壓軸

函數(shù)四大性質(zhì)綜合壓軸

例.(2022?新高考I卷)已知函數(shù)/⑶及其導(dǎo)函數(shù)八x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/g-2x],g(2+x)

均為偶函數(shù)，貝!I()(多選題)

A./(0)=0B.C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

1.(2022?全國(guó)乙(理)T12)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

V=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4,則￡//)=()

4=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=9,

22

若y=g(x)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，g⑵=4,則￡/(%)=()

*=1

A.-47B.-48C.-23D.-24

3.已知函數(shù)/(x)、g(x)的定義域均為R,〃x)為偶函數(shù)，且/(x)+g(2-x)=l,g(x)-/(x-4)=3,下列

說(shuō)法正確的有()

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(T-1)對(duì)稱

C.函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)D.函數(shù)g(x)是以6為周期的周期函數(shù)

4.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g[x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)+g，(x)-10=0,/(x)_g14-x)-10=0,

若g(x)為偶函數(shù)，則下列一定成立的有()

A./(1)+/(3)=20B./(4)=10C./(-1)=/(-3)D./-(2022)=10

5.設(shè)定義在R上的函數(shù)/⑴與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/"(X)和gU),若g(x)-/(3-x)=2,/'(x)=g,(x-D,且

g(x+2)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是()

20232023

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱B./(2)+/(4)=4C.⑹=0D.X/W=-4046

4=1hl

試卷第1頁(yè)，共15頁(yè)

課后練習(xí)

一、選擇題(本大題共5小題，共25.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知f(x),g(x)是定義在R上的函數(shù)，且均不恒為零.g(x)為偶函數(shù)，/(1O)=-3.若對(duì)任意的x€R,

都有f(x+4)+f(x)=af(x+2),設(shè)/r(x)=。一2)3(久)，若函數(shù)h(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列

說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為8B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=6對(duì)稱

C.函數(shù)g(x)的一個(gè)周期為4D.f(98)+5(98)=3

2.設(shè)定義在R上的函數(shù)人力與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/?)和g(x),若g(x)-/(3-x)=2,/<尤)=g-1),

且g(x+2)為奇函數(shù)，g(l)=1.現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①°(-1)=g(3);@/(2)+/(4)=-4；③g(2022)=

1;④X鑿2/⑻=一4043.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

3.設(shè)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為/。:)與g(x),若f(x+2)-g(l-尤)=2,f\x)=

g<x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是()

A.g(l)=0B.g⑺圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱C.2鑿】g㈤=0D.f(1)=0

4.已知函數(shù)f(x),g(%)都是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)任意的x6R,都有/(久+4)=/(久)+/(2),函數(shù)

/i(x)=g(x)cos7TX的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(0)=-1,貝葉(66)+g(88)=()

A.2B.1C.-1D.-2

5.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/(x)和g(x),若g(x)-/(3-x)=2,/tx)=gQ-1),

且g(x+2)為奇函數(shù)，g(l)=1.現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①g(—l)=g(3)；②f(2)+/(4)=-4；③g(2022)=

1;④￡鑿27(的=-4043.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、不定項(xiàng)選擇題

6.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且/(2-X)+g(尤)=5,g(x+2)-/(久-2)=7,若函數(shù)y=g(x+2)

為偶函數(shù)，g(2)=4,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f(x)為偶函數(shù)B.f(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)對(duì)稱

C."%)的周期為4D.Xfc^3/(fc)=-2023

試卷第2頁(yè)，共15頁(yè)

7.已知函數(shù)函x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(l-x)=3,g(x)+f函-3)=3.若y=g(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則

A.r(-x)=-/(x)B.g(-X)=gQ)C.f(k)=6066D.￡普°g(?=0

8.定義在R上的/(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為r(x)和g'(x),若g(x+1)-f(2-x)=2,f(x)=g)(,x-1),

且g(x+2)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是()

A.g(2)=0B.函數(shù)r(X)關(guān)于％=2對(duì)稱C.函數(shù)/⑶是周期函數(shù)D.g?=0

9,已知函數(shù)/Xx),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(l-x)=3,g(x)+/(*—3)=3.若y=g(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，貝")

A.r(-x)=-/(x)B.g(—x)=g(x)C.=6066D.2鑿°g?=0

10J(x)及其導(dǎo)數(shù)#(x)的定義域均為R,記g(x)=//(x).若f4-2x)為偶函數(shù)，g^+x)為奇函數(shù)，貝！J()

A./?=0B.5(1)=0C.5(1)+5(2)=0D.5(-1)+5?=0

11.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(%)與gO)的導(dǎo)函數(shù)分別為和g(x),若/(尤+2)—g(l—x)=2,/⑺=

g(x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是

A.5(1)=0B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于尤=2對(duì)稱

c.g(k)=。D.雪1f(k)g(k)=0

12.已知函數(shù)/(尤),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=2,g(x)-f(x-4)=2,

g(x+2)為偶函數(shù)，則()

A./(%)是偶函數(shù)B.g(x)是周期函數(shù)C./(2023)=2D.g(l)=2

13.f(x)及其導(dǎo)函數(shù)fG)的定義域均為R,記g(x)=/白).若f(3-x),一2%)均為奇函數(shù)，則()

A./(3)=0B.g(3)=0C./(jq)=f67)D.5(5)=-g(8)

14.已知函數(shù)/(久)及其導(dǎo)函數(shù)/Q)的定義域均為R,記g(x)=/G).若/(1+4)，9(2+為均為偶函數(shù)，則()

A./(1)=0B.g?)=0C./(x+1)=/(x)D.g(x+2)=g(x)

試卷第3頁(yè)，共15頁(yè)

函數(shù)四大性質(zhì)綜合壓軸

例.(2022?新高考I卷)已知函數(shù)/⑶及其導(dǎo)函數(shù)八x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/g-2x］,g(2+x)

均為偶函數(shù)，貝!I()(多選題)

A./(0)=0B.C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【詳解】|方法一對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/(X),因?yàn)榱藶榕己瘮?shù)，所以/e-2x)=/t+2x)即嗚-4=/(?)①，所以/(3-x)=〃x),

3

所以〃x)關(guān)于x對(duì)稱，則/(-1)=/(4),故C正確：

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，由①求導(dǎo)，

和g(x)=/(x),得=x)=g(；Tx)，所以

g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于§,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g《)=0,結(jié)合g(x)關(guān)于X=2對(duì)稱，從

而周期T=4x(2—1)=2,所以g(-g)=g(|)=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤：

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定“X)的函數(shù)值，故A

錯(cuò)誤.故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(Q),

/(x)=—Sin(7LX)4-C

則'兀，顯然A,D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.

［方法三］:因?yàn)間(2+x)均為偶函數(shù)，所以/(|-2，=/仁+2d即/［|-x)=/便+x)，

g(2+x)=g(2-x),所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線X=Q,X=2對(duì)稱，

又g(x)=/'(x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo)，所以g1|)=0,g(3-x)=-g(力，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-；)=g［lj=°，g(T)=g⑴=-g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定/a)的函數(shù)值，故A

錯(cuò)誤.故選：BC.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

試卷第4頁(yè)，共15頁(yè)

1.(2022?全國(guó)乙(理)T12)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且〃x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

/g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g⑵=4,則之")=()

*=i

A.-21B.-22C.-23D.-24

【解析】解法1(賦值消元)：賦值消元研究g(x).因?yàn)?'(x)+g(2-x)=5,得/(x-4)+g(6-x)=5①，又

g(x)-/(x-4)=7②,由①②相加得g(x)+g(6-x)=12,由此知g(x)的圖象關(guān)于(3,6)對(duì)稱，又因?yàn)間(x)的定義

域?yàn)镽,所以g(3)=6.賦值消元研究/㈤，因?yàn)間(x)-/(x—4)=7,得g(2-x)-f(-2-x)=7①，又

/(X)+g(2-x)=5②，由①②相減得“X)+/(-2-x)=-2.由此知f(x)的圖象關(guān)于(-1,-1)對(duì)稱，又因?yàn)榈亩?/p>

義域?yàn)镽,所以/(-1)=-L由上述結(jié)論得/⑶+/⑸+…+〃21)=(-2)X5=-10,

/(4)+/(6)+…+/(22)=(-2)x5=-10.其中缺少/⑴，,/\2),再通過(guò)特殊值進(jìn)行賦值得，

因?yàn)轵苂(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以g(2-x)=g(x+2),而〃x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,

即/(0)=1,所以〃2)=-2-/(0)=-3.

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因?yàn)椤▁)+g(27)=5,

聯(lián)立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,所

以g⑶=6因?yàn)?(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g⑶=-1.

22

所以，/㈤=〃1)+〃2)+[/(3)+/(5)+..+/2g+[1/(4+/$+...+X2^]=-1-3-10-10=-2.

〃=1

故選：D

解法2(性質(zhì)消元)：因?yàn)镻=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)—/(x-4)=7,所以g(x+2)—/(x—2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得〃x)+[7+/(x-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以〃3)+/⑸+…+/(21)=(-2)x5=-10,/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因?yàn)?(x)+g(2—x)=5,所以〃0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3.

因?yàn)間(x)-/*-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,所

以g(3)=6因?yàn)椤▁)+g(x+2)=5,所以/(l)=5-g(3)=-l.

所以為W=f⑴+/⑵+[/(3)+/(5)+…+?2打+[人J+/$+...+X2^]=-1-3-10-10=-2.

hl

故選：D

試卷第5頁(yè)，共15頁(yè)

解法3：因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以g(2-x)=g(x+2)①，由g(x)-/(x-4)=7,得

g(2+x)=7+f(x-2)?,又/(x)+g(2-x)=5,得g(2-x)=5-/(x)③，由①②③可知〃x+2)=-〃x)-2,則

/(x+4)=-f(x+2)-2=〃x),所以的周期為4.又〃0)=5-g(2)=5-4=l,由g(2)=7+f(-2)=7+/(2)=4,

所以八2)=-3,Xg(l)=5-/(I),g(l)=7+/(-3)=7+/(I),所以=再由g(3>=5-〃-1)=5-〃3),

g(3)=7+/(-1)=7+f(3),所以/(3)=7.所以/⑴+/(2)+,/(3)+/(4)=-4,則

22

Z/W=5X(T)+(-1)+(-3)=-24.，故選D.

k=l

【點(diǎn)評(píng)】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到

所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

2.(2023?全國(guó)福三專題練習(xí))已知函數(shù)/(工)，8(萬(wàn))的定義域均為區(qū)，且/(力+8(27)=5,8(幻-/(》-4)=9,

22

若了=8(口的圖象關(guān)于直線、=2對(duì)稱，g⑵=4,則￡>")=()

k=\

A.-47B.-48C.-23D.-24

【分析】由題設(shè)條件利用賦值法可得〃X)為周期函數(shù)且周期為4,再結(jié)合賦值法可求〃0)=1、/(1)=-2,

/⑶+/⑴=-4,從而可求￡>(左)的值.

k=\

【詳解】因?yàn)镹=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故g(x)=g(4-x),因?yàn)椤▁)+g(2-x)=5,故

/(2-x)+g(x)=5,因?yàn)間(x)-/(x-4)=9,故g(4-x)-〃r)=9,所以/(2-x)+/(-x)=-4,故

/(2+。+/(。=-4,所以〃4+f)+/(2+/)=-4,故〃4+f)=/(/),所以/(x)為周期函數(shù)且周期為4.

因?yàn)間(2)=4且/(2-2)+g(2)=5,故/⑼=1,又g(2)-/(-2)=9,故4一/(-2)=9即/(-2)=-5,

而/(2+1)+./?⑴=-4即”3)+/(1)=-4,故/?⑴+/(2)+/(3)+/(4)=-8,

而/(l)+g(l)=5且g(l)-/(-3)=9,故g(l)-/(l)=9,故/(l)=-2.

22

￡/(^)=5[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1>/^>-40-5-2=-47

故hl,

3.已知函數(shù)/⑺、g(x)的定義域均為R,為偶函數(shù)，且〃x)+g(2-x)=l,g(x)-/(x-4)=3,下列

說(shuō)法正確的有()

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱B.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于對(duì)稱

C.函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)D.函數(shù)g(x)是以6為周期的周期函數(shù)

試卷第6頁(yè)，共15頁(yè)

【來(lái)源】湖北省武漢市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題(五)

【分析】利用題中等式以及函數(shù)的對(duì)稱性、周期性的定義逐項(xiàng)推導(dǎo)，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?(力為偶函數(shù)，所以/(r)=/(x).由/G)+g(2-x)=l,可得/(-x)+g(2+x)=l,

可得g(2+x)=g(2-x),所以，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)間(x)-/(x-4)=3,則g(2-x)-/(-2-x)=3,又因?yàn)椤▁)+g(2-x)=1,可得

/(x)+/(-2-x)=-2,所以，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù)，且/(x)+/(-2-x)=-2,則/(x)+/(x+2)=—2,從而

/(x+2)+/(x+4)=-2,則/(x+4)=/(x),所以，函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)間(x)-/(x-4)=3,且f(x)=f(x-4),，g(x)-/(x)=3,又因?yàn)?'(x)+g(2-x)=1,所

以，g(x)+g(2-x)=4,又因?yàn)間(2-x)=g(2+x),貝i」g(x)+g(x+2)=4,所以，g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),因此，函數(shù)g(x)是周期為4的周期函數(shù)，D錯(cuò).故選：BC.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為T(mén)=2|a-b|；

(2)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)0,0)對(duì)稱，則函數(shù)“X)的周期為7=2|“-小

(3)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)色,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為7=4k-4

4.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g，(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)+g〈x)-10=0,/(x)-g'(4-x)-10=0,

若g(x)為偶函數(shù)，則下列一定成立的有()

A./⑴+/(3)=20B."4)=10C./(-1)=/(-3)D./(2022)=10

【來(lái)源】福建省莆田第二十五中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】由g(x)是偶函數(shù)得出g'(x)是奇函數(shù)，由已知兩條件推出g'(x)是以4為周期的函數(shù)，然后在已知式中對(duì)

自變量賦值求解.

【詳解】g(x)是偶函數(shù),則g(r)=g(x),兩邊求導(dǎo)得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函數(shù)，故g'(0)=0.

由+g'(x)-10=0,/(x)-g'(4-x)-10=0,得-10=-g'(x)=g('4-x),即g'(-x)=g'(-x+4),所以g，(x)

,,

是周期函數(shù)，且周期為4,g'(0)=g'(4)=0,g'(2)=g(2-4)=g(-2)=-g'(2),所以g'(2)=0.

對(duì)選項(xiàng)A：令x=l,/(l)+gf(l)-10=0,令x=3得，/(3)_g'(l)_10=0故/(1)+/(3)=20,所以選項(xiàng)A正確.

試卷第7頁(yè)，共15頁(yè)

對(duì)選項(xiàng)B：令x=4得，/(4)-g'(0)-10=0,故/(4)=10,所以B正確.

對(duì)選項(xiàng)C：令x=-l得，/(-l)+g,(-l)-10=0,令x=-3得，”-3)-g'(7)-10=0,即/(-3)-g'(-l)-10=0,

若〃-1)=/(-3),則g'(-l)=-g'(-l),所以g'(-l)=O,但g'(T)不一定為0,因此C錯(cuò)；

對(duì)選項(xiàng)D：/(2022)+^(2022)-10=0,由g，(x)是以4為周期得〃2022)+g12)-10=0,由g'(2)=0得

/(2022)=10,故D正確.故選：ABD.

5.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為了‘(X)和g'(x),若g(x)-/(3-x)=2,f\x)=g\x-Y),且

g(x+2)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是()

20232023

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于"1對(duì)稱B.〃2)+/(4)=4C.⑻=0D.⑹=-4046

*=1Jt=l

【來(lái)源】福建省福州第八中學(xué)2023屆高三上學(xué)期半期適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)g(x+2)為奇函數(shù)推出對(duì)稱中心(2,0),根據(jù)/'(x)=g'(x-l)逆向思維得到

/(x)+a=g(x-l)+b,代入/(x)=g(3-x)+2推出g(x)的對(duì)稱軸x=l,進(jìn)一步得出周期4入⑶周期也為

4,算出x=l,2,3,4時(shí)的函數(shù)值以及一個(gè)周期內(nèi)的值即可求解.

【詳解】因?yàn)閒'(x)=g'(x-l),則/(x)+a=g(x-l)+6,因?yàn)間(x)-/(3-x)=2,所以解x)=/(3-x)+2,

用3-x去替x,所以有/(x)=g(3-x)-2,所以有g(shù)(3-x)-2+a=g(x-l)+6,取x=2代入得到

g⑴-2+a=g(l)+6則”2=6,故g(3-x)=g(x-l),用x+1換x,可得g(2-x)=g(x),函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于

x=l對(duì)稱，故A正確；

g(x+2)在R上為奇函數(shù),則g(x+2)過(guò)(0,0),圖像向右移動(dòng)兩個(gè)單位得到g(x)過(guò)(2,0),故g(x)圖像關(guān)于(2,0)

對(duì)稱，g(2)=0；g(x+2)=-g(-x+2),而g(2-x)=g(x),所以有g(shù)(x+2)=-g(x),則g(x)的周期7=4;

又因?yàn)間(x)圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱，g(2)=0；函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱,，故g。)=-g⑶,g(2)=g(4)=0,

)(P3

￡g⑹=g(l)+g(2)+…+g(2023)=g(l)+g(2)+g⑶=0,故c正確.

A=1

f(x)=g(3-x)-2,是由g(x)的圖像移動(dòng)變化而來(lái),故/(x)周期也為4,因?yàn)間(D=-g(3),g(2)=g(4)=0,

所以f(2)=g(l)-2,〃4)=冢-1)-2=8(-1+4)-2=烈3)-2,所以〃2)+/(4)=86-2+8(3)-2=-4,故B錯(cuò)

誤；

/(x)=g(3-x)-2,/(x)周期為4,/(l)=g(2)-2=-2,

/⑵=g(l)-2J(3)=g(0)-2=-2J(4)=g(-l)-2=g(-l+4)-2=g(3)-2

2023

故=/(1)+/⑵+…+/(2023)=505x(-8)+/(1)+/(2)+/(3)=-4046+g(l),

&=】

2023

由于g(D的值未知，g(l)不一定為0,所以無(wú)法判斷2人幻的值為-4046,故D錯(cuò)誤;故選:AC.

k=]

試卷第8頁(yè)，共15頁(yè)

課后練習(xí)

一、選擇題(本大題共5小題，共25.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

15.已知f(x),g(x)是定義在R上的函數(shù)，且均不恒為零.g(x)為偶函數(shù)，/(1O)=-3.若對(duì)任意的x€R,

都有/0+4)+/(乃=魚(yú)/0+2),設(shè)％(嗎=。-2)3(久)，若函數(shù)h(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列

說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為8B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=6對(duì)稱

C.函數(shù)g(x)的一個(gè)周期為4D.f(98)+5(98)=3

【解答】因?yàn)閒(x+2)+f(x)=+1)，所以"x+2)=VJ/Yx+〃一"x).

所以/Q+3)=y[2f(x+2)-f(x+1)=\f2[V2f(x+1)-f(x)]-f(x+1)=f(x+1)-\[2f(x).

所以/Q+4)=f(x+2)—>f2f(x+〃=y[2f(x+1)—f(x)-42f(x+1)=-f(x)-

所以//x+8)=-//r+4)=//x).故函數(shù)/代，的一個(gè)周期為8,所以《錯(cuò)誤；

因?yàn)閷?duì)任意的都有g(shù)fk+4)=+g0,g勿為偶函數(shù)，

令％=—2,得g(-2+4)=g(-2)+g(2),解得g(-2)=0,g(2)=g(-2)=0,

所以g(x+4)=g切.因?yàn)間Q)不恒為0,所以函數(shù)的一個(gè)周期為4,所以8錯(cuò)誤；

令F(x)=f(x)+g(x),因?yàn)?/x)的一個(gè)周期為8,且周期不為4,的一個(gè)周期為4,

所以F(x+8)=f(x+8)+g(x+8)=?①).所以/的+的一個(gè)周期為8.所以C錯(cuò)誤；

f(66)+g(66)=f(8x8+2)+g(4xl6+2)=f(2)+g(2)=3,所以。正確.故選D

16.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/(尤)和gQ),若g(x)—/(3—x)=2,f(x)=g?-1),

且g(x+2)為奇函數(shù)，g⑴=1.現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①g(-1)=5(3)；②/(2)+/(4)=-4；③g(2022)=

1;④￡音2人的=一4043.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】因?yàn)槭琌)=g'(x-/),所以/1(X)+a=g(x-l)+b.因?yàn)間(x)-f(.3-x)=2,所以/'(無(wú))=g(3-x)-2,

所以g(3-x)-2+a=g(x—/)+b.因?yàn)間(/)=/,所以g(/)-2+a=g(/)+b,得a-2=b,所以g(3-x)=

g(x-/),所以g(2-x)=g(x),所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=/對(duì)稱，所以g(-/)=g(3),故①正確.

因?yàn)間(x+2)為奇函數(shù)，所以g(x+2)=-g(-x+2),且g(2)=0.因?yàn)間(2—x)=g(x),所以g(x+2)=-g(x),

g(x+4)=-g(x+2)=g(x),則g(x)的周期7=4,所以g(2022)=g(2)=0,故③t昔誤.

因?yàn)閒(x)=9(3-x)-2,所以/⑺的周期也為4,所以f(2)=g(/)-2=-1,f(4)=成一/)-2=g(3)-2=-

g(i)-2=-3,所以/'(2)+f(4)=-4,故②正確.

因?yàn)?(1)=g(2)—2=-2,f(2)=g(1)—2=一1,八3)=g(0)—2=-2,f⑷=-3,

所以E晉f(k)=fQ)+f⑵+…+f(2022)=505x(-8)+f⑴+f⑵=-4043,所以④正確.故選：C.

17.設(shè)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)/(久)與g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為fQ)與g(x),若f(x+2)-g(l-x)=2,f\x)=

試卷第9頁(yè)，共15頁(yè)

g(x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是()

A.g(l)=0B.g(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.2鑿%⑻=。D.八1)=0

【解答】解：莊1g仕+〃為奇函數(shù)得x+〃=0,?。?0,可得g(〃=0,故/正確；

因?yàn)?2)—g〃一勸=2,所以/Q+2)+g〃一切=0,所以廣(切+—切=0，又/⑺=g口+〃，所以

gr(x+〃+g'(3-x)=0,故gY2+%)+g，(2_x)=0,所以函數(shù)礦僅，的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,。對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?㈤=g，(x+1),所以//㈤—g(x+1)7=0,所以/㈤-g(x+〃=c,c為常數(shù)，

因?yàn)?代+2)-一勸=2,所以/同一g(3—=2,所以+〃-g(3-初=2-c,?。?/可得c=2,

所以gQ+〃=g(3—?jiǎng)瘢謌(x+1)=-g(—x+1),所以g仔一動(dòng)=-g/—x+〃，所以+2)=-gO，

所以g(x+4)=_g(x+2)=g(x),故函數(shù)為周期為4的函數(shù)，

因?yàn)?々+2)=-。閏，所以g，3)=-g(〃=0,g(4)=—g(2),所以+g0+g⑸+g4=0,

所以2雷9陽(yáng)=505x[g(l)+g⑵+g(3)+g(4)]+g(2021)=505x0+g(2021)=g(l)=0,

故￡雷g④的值為0,故C正確；

由B項(xiàng)分析知：f'(x)+g'(3-x)=0,所以(〃)=一9丫2),因?yàn)間。為常數(shù)，則g，⑵=0,即/化)=0,故。正確.

故選8.

18.已知函數(shù)f(x),g(x)都是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)任意的xeR,都有f(x+4)=f(x)+f(2),函數(shù)

h(x)=g(x)C0S7TX的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(0)=-l,貝!)/(66)+g(88)=()

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意的xeR,都有的+4)=f(x)+f(2),且外切為偶函數(shù)，令x=-2,得"-2+4)=f(-2)+

f(2),即"-2)=0,f(2)=f(-2)=0,所以對(duì)任意的都有/Yx+4)=/同+/⑵=〃%),即函數(shù)切的

一個(gè)周期為4,因?yàn)榫派镜膱D象關(guān)于久=2對(duì)稱，所以Zi(2+X)=h62—切，

所以g(2+X)COSIT(2+x)=g(2—x)cosn(2—x),即g(2+x)?COSTTX=g(2—xjcoswx對(duì)任意xeR恒成立，

則g(2+x)=g(2-x).因?yàn)?戊)是偶函數(shù)，所以g(-x)=g(x)=g(4-x),所以=g(4+x),所以函數(shù)

的一個(gè)周期為4,所以f(66)+g(88)=f(4X16+2)+g(4x22)=f(2)+g(0)=0-1=-1,故選C.

19.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為/Q)和gQ),若g(x)-/(3-x)=2,f{x)=gQ-1),

且g(x+2)為奇函數(shù)，g(l)=1.現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①以-1)=g(3);②f(2)+/(4)=一4;③g(2022)=

1:④2音2外的=一4043.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因?yàn)槭?x)=g，(x-1),所以f(x)+a=g(x-/)+b.

因?yàn)間(x)—/(3—X)=2,所以/(無(wú))=g(3-x)—2,所以g(3-x)—2+a=g(x—/)+b.

因?yàn)間(1)=/，所以g(/)-2+a=g(/)+b,得a—2=b,所以g(3—x)=g(x—

所以g(2—x)=g(x),所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=/對(duì)稱，所以g(—1)=g(3),故①正確.

試卷第10頁(yè)，共15頁(yè)

因?yàn)間(x+2)為奇函數(shù)，所以g(x+2)=-g(-x+2),且g(2)=0.

因?yàn)間(2—x)=g(x),所以g(x+2)=-g(x),+4)=-gQ+2)=g(x),則g(x)的周期T=4,

所以g(2022)=g(2)=0,故儂昔誤.

因?yàn)?(x)=9(3-％)-2,所以f(x)的周期也為4,

所以f(2)=g(l)-2=-I,f(4)=g(-i)-2=g(3)-2=-g(l)-2=-3,

所以八2)+/(4)=—4,故②正確.

因?yàn)?⑺=9(2)-2=-2,f(2)=g(/)-2=-l,/(3)=g(0)-2=-2,/(4)=-3,

所以￡鬻“卜)=/(/)+/(2)+…+/(2022)=505x(-8)+/(/)+/(2)=-4043,所以④正確.故選:C.

二、不定項(xiàng)選擇題(本大題共9小題，共45.0分)

20.已知函數(shù)/(尤),g(x)的定義域?yàn)镽,且“2-x)+fl(x)=5,g(x+2)-f(x-2)=7,若函數(shù)y=g(x+2)

為偶函數(shù)，g(2)=4,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f(x)為偶函數(shù)B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)對(duì)稱

C./(嗎的周期為4D.￡合3/⑻=_2023

解：y=g(x+2)為偶函數(shù)，貝Ug(x+2)=g(2-x)①由/'(2—x)+g(x)=5知/'(x)+g(2-x)=5②，

進(jìn)而/(-x)+g(2+x)=5③，將④弋入+g(2—x)=5④，由②◎□/(-x)=/(x),

所以/(x)為偶函數(shù)，/正確；

由條件g(x+2)—/(x-2)=7,③與此式作差得：/(-X)+/(%-2)=-2(§),

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一/,-/)對(duì)稱，8正確；

由/'(X)為偶函數(shù)，結(jié)合危式知：/(X)+/(%-2)=-2,所以/'(x-2)+/(x—4)=-2,

兩式作差得：f(x)=f(x-4),即f(x)的周期為4,C正確；

/(2-x)+g(x)=5中令x=2,則/'(0)=/,f(4)=f(0)=l,

在⑤中令x=1得2/(-7)=-2,/(-/)=-I,/(7)=-1,f(3)=/(-/)=-1,

在⑤中令x=0得f(-2)+f(0)=-2,/(-2)=-3,f⑵=-3,

??./(/)+f(2)+f(3)+K4)=(-/)+(-3)+(-/)+/=-4，

2023

由f(x)的周期為4知，￡/(fc)=一4x505+(-7)+(-3)+(-Z)=-2025,D錯(cuò)誤，故選：ABC.

k=I

21.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(l-x)=3,g(x)+/(尤-3)=3.若y=g(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則

A./(-*)=-/(x)B.g(-x)=g(x)C.漕/⑻=6066D.漕g?=0

【解答】解：因?yàn)閥=g㈤的圖象關(guān)于點(diǎn)(7,0)對(duì)稱，所以g〃一切+g(l+幻=0,g0的定義域均為R,故g(〃=0,

由/0+。〃一%)=3,得f(一x)+g(l+x)=3,所以f(x)+f(一初=6,故4錯(cuò)誤；

令％=0得，f(0)=3,因?yàn)樽寓?f(x-3)=3,所以+I)+f(x-2)=3與/㈤+g(l-x)=3聯(lián)立得，f(x)+

f(x-2)=6.

試卷第11頁(yè)，共15頁(yè)

則2)+fa-4)=6,所以/切=-4),即/㈤的其中一個(gè)周期為4,

因?yàn)間。)+/?—3)=3,所以ga+4)+/Y%+〃=3,即g優(yōu)+4)=g優(yōu)A

所以g.)的其中一個(gè)周期也為4,由gO+fa-3)=3,得g(x-1)+f(x-4)=3,

與f(x)+g(l-x)=3聯(lián)立,得g(x-1)=g(l-x),即=-初，所以8正確；

由/⑺+/代-2)=6,得"〃+"3)=6,但"〃與"3’的值不確定，又f(0)=3,*2)=3,

所以X鬻f(k)=f(l)+f(2)+505[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)]=6063+f(I)，故C錯(cuò)誤；

由g(x)+/x-3)=3,得g⑶+"0)=3,所以g(3)=0,又f(-1)+g(2)=3,

f(l)+g(4)=3,兩式相加得，g(2)+g(4)=0,所以

E胃g化)=0=505[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)J=0,故。正確，故選8D

22.定義在R上的函數(shù)/(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為r(x)和g，(x),若g(x+1)-/(2一x)=2,尸(乃=g'O-

1),且g(x+2)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是()

B.g(2)=0B.函數(shù)f'O)關(guān)于x=2對(duì)稱

C.函數(shù)/(*)是周期函數(shù)D.￡雷3g(?=0

【解答】解：由g(x+2)為奇函數(shù)得+2)+g(-x+2)=0,取x=0,可得g(2)=0,故/正確；

因?yàn)間(x+〃-/2-刈=2,所以g/x+〃+/丫2—幻=0，所以r(x)+—?jiǎng)?0,

又，(x)=g'(x-1)，所以/枕+2)+/72-刈=0,所以函數(shù)廣㈤的圖象關(guān)于點(diǎn)但,0)對(duì)稱，故8錯(cuò)誤；

因?yàn)?Yx)=g枕一〃，所以[f(x)-g(x-1)『=0,所以"切一g(x-〃=c,c為常數(shù)，

則g戊-1)=f(x)-c,g(x+1)=f(x+2)-c,

因?yàn)間(x+〃-f(2-x)=2,所以//x+2)-c-f(2-x)=2,所以"x+2)-f(2-x)=2+c,

取x=0可得c=—2,所以f(x+2)=f(2—x),

又+2)=-g(—x+2),所以/'(x+3)=-f(-x+3),所以//x+2)=—ffk+4),

所以/1伽+4)=-/Q+2)=f(切，故函數(shù)/㈤為周期為4的函數(shù)，故C正確；

因?yàn)?〃=g(3一切，又g(x+2)=-g(-x+2),所以g(3-幻=--x+〃，\^g(x+2)=-g(x),

所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故函數(shù)9?為周期為4的函數(shù)，

所以g?)=-g⑵=0,g(3)=-g(l)，所以g〈〃+g(2)+g㈤+g聞)=0,

所以渭g的=505x[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(202I)+g(2022)+g(2023)

=505xfl+g(2)=0,故Z)正確；

23.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,K/(x)+g(l-x)=3,g(x)+f(x-3)=3.若y=g(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，貝!)()

A./(-x)=-/(x)B.g(-%)=g(x)C.=6066D.溜。g?=0

【解答】解：因?yàn)閥=的圖象關(guān)于點(diǎn)(7,0)對(duì)稱，所以g〃一切+g(l+幻=0,g⑺的定義域均為R,故=0,

^if(x)+g(l-x)=3,得//-切+g〃+”=3,所以+//-切=6,故/錯(cuò)誤；

試卷第12頁(yè)，共15頁(yè)

令％=0得，f(0)=3,因?yàn)?切+/仁—3)=3,

所以g。+〃+f(x-2)=3與/㈤+g(l-X)=3聯(lián)立得，f(x)+f(x-2)=6,

^\f(x-2)+f(x-4)=6,所以"初=/戊-4),即"町的其中一個(gè)周期為4,

因?yàn)?化?+/7%-3)=3，所以自何+4)+/Yk+〃=3，即g"+4)=g3，

所以9＜初的其中一個(gè)周期也為4,由^㈤+//%—3)=3,得g(x—1)+f(x—4)=3,

與/信＞+9〃一勸=3聯(lián)立，得g(x-1)=g(l-x),即0仁)=9/一切，所以8正確；

由/⑺+"久一2)=6,得"〃+/⑶=6,但"〃與/⑸的值不確定，

又/仰=3,/⑵=3,所以工譽(yù)f化)=f(l)+f(2)+505[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)]=6063+f(l),故C錯(cuò)誤；

由g〈M+fa-3)=3,得g(3)+f(0)=3,所以g(3)=0,又"一〃+g⑵=3,

f(