專題05 五大類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項訓練（新高考新題型專用）含解析

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（原卷版）【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題】【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】【題型5圓錐曲線中的極點與極線】題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點的坐標為；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍．求軌跡方程的方法：定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點的坐標表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點，點坐標為，當點坐標為時，點坐標為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)當點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動點的軌跡方程；(2)設(shè)是點軌跡上不同的兩點且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.在平面直角坐標系中，已知點，點的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點在直線上，為的左右頂點，直線交于點（異于），直線交于點（異于），交于，過作軸的垂線分別交?于，問是否存在常數(shù)，使得.1．M是一個動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求動點M的軌跡方程E；(2)設(shè)，，過點的直線l與曲線E交于A，B兩點（點A在x軸上方），P為直線，的交點，當點P的縱坐標為時，求直線l的方程．2．在平面直角坐標系中，已知雙曲線經(jīng)過點，點與點關(guān)于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動點的軌跡方程.3．已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.4．已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點，是其右焦點．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)是橢圓上一點，的角平分線與直線交于點．①求點的軌跡方程；②若面積為，求．5．已知點和直線，點到的距離.(1)求點的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點的直線與點的軌跡交于，兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.6．已知動圓過定點，且截軸所得的弦長為4.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)若點，過點的直線交的軌跡于兩點，求的最小值.7．在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求點的軌跡的方程；(2)求的外心的縱坐標的取值范圍；(3)設(shè)直線與的另一個交點為，記與的面積分別為，是否存在實數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.8．已知，，為平面上的一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題：已知點是橢圓上的一個定點，是橢圓上的兩個動點。若直線，則直線過定點且定點為；當時，為定值；證明:重新建系將橢圓上的成為新的坐標原點按得橢圓又點在橢圓上，所以，代入上式可得①橢圓上的定點和動點分別對應(yīng)橢圓上的定點和動點，設(shè)直線的方程為，代入①得。當時，兩邊除以得．，因為點的坐標滿足這個方程，所以是這個關(guān)于的方程的兩個根．若，由平移斜率不變可知，故，當時，所以，由此得。所以的斜率為定值，為定值；即，由此知點在直線上，從而直線過定點．：已知點是平面內(nèi)一個定點，橢圓：上有兩動點若直線，則直線過定點．證明：重新建系將橢圓上的成為新的坐標原點按橢圓：，展開得：．平面內(nèi)的定點和橢圓上的動點分別對應(yīng)橢圓上的定點和動點、，設(shè)直線的方程為，代入展開式得（構(gòu)造齊次式），當時，兩邊同時除以整理得，因為點的坐標滿足這個方程，所以和是關(guān)于的方程的兩根．若，由平移斜率不變可知所以整理可得到和的關(guān)系，從而可知直線過定點，由平移規(guī)律可得直線過定點．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點是橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；（3）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，探究：直線是否過定點，并說明理由.已知橢圓的左、右焦點分別是，，點在橢圓上，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且不過點的直線交橢圓于，兩點，求證：直線與的斜率之和為定值．如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．1．已知橢圓經(jīng)過點，下頂點為拋物線的焦點．(1)求橢圓的方程；(2)若點均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過定點；（ⅱ）當時，求直線的方程．2．已知橢圓：（）中，點，分別是的左、上頂點，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．3．已知橢圓E：經(jīng)過點，右焦點為，A，B分別為橢圓E的上頂點和下頂點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知過且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.4．在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．5．焦點在軸上的橢圓的左頂點為，，，為橢圓上不同三點，且當時，直線和直線的斜率之積為．(1)求的值；(2)若的面積為1，求和的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)的中點為，求的最大值．6．已知，分別是橢圓的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點為，且的方程為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若是直線上一點，過點的兩條不同直線分別交于點，和點，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，右頂點為，的面積為，.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率大于的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.8．已知P為圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點.M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B.直線與曲線E交于C，D兩點，若直線直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為.證明：為定值．題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）三角形面積問題直線方程：焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).范圍問題應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當且僅當時，等號成立（3）當且僅當時等號成立.（4）當且僅當時，等號成立(5)當且僅當時等號成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線的實半軸長為2，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.(1)若軸時，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.設(shè)拋物線方程為，過點的直線分別與拋物線相切于兩點，且點在軸下方，點在軸上方.(1)當點的坐標為時，求；(2)點在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點，直線交軸于點，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）已知橢圓C：過點A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l交C于不同于點A的M，N兩點，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.1．設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為．(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓的外切矩形的面積的最大值．2．在橢圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，點在線段上，且滿足.(1)當點在橢圓上運動時，求點的軌跡的方程；(2)若曲線與，軸的正半軸分別交于點，，點是上第三象限內(nèi)一點，線段與軸交于點，線段與軸交于點，求四邊形的面積.3．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點和下頂點分別為，且，設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）且直線.(1)證明：，的交點在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.4．已知橢圓的方程，右焦點為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點，過的直線交于兩點（其中點在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.5．已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．點在直線上運動，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點A、B在橢圓上，為坐標原點，且，求面積的最小值．6．已知橢圓的下、上頂點分別為，左、右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于（異于兩點，設(shè)直線與直線交于點，探究三角形的面積是否為定值，請說明理由.7．已知橢圓經(jīng)過，兩點．(1)求的方程；(2)若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標軸垂直，且直線分別與相交于點A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．8．已知橢圓的方程為，由其個頂點確定的三角形的面積為，點在上，為直線上關(guān)于軸對稱的兩個動點，直線與的另一個交點分別為.(1)求的標準方程；(2)證明：直線經(jīng)過定點；(3)為坐標原點，求面積的最大值.題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示，然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準線與x軸的交點，過點M的直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的坐標為（4，y0）時，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點P，證明：直線BP過定點，并求出該定點坐標．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點．(1)求線段中點縱坐標的值；(2)已知點，直線分別與拋物線相交于兩點（異于）．求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．已知雙曲線，點是雙曲線的左頂點，點坐標為.(1)過點作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點.求直線的方程；(2)過點作直線與橢圓交于點，，直線，與雙曲線的另一個交點分別是點，.試問：直線是否過定點，若是，請求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.1．已知橢圓的左?右焦點分別為過點，且的長軸長為8.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點為點，過點的直線與交于兩點（異于），直線與軸分別交于點，試問線段的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.2．已知橢圓的上下頂點分別為，左右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點，設(shè)直線與直線交于點，證明：點在定直線上.3．如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.4．已知橢圓的左?右焦點分別為，過點，且.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點為點，過點的直線與交于兩點（異于），直線與軸分別交于點，試問線段的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.6．已知橢圓的左頂點和下頂點B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點）兩點，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標準方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點P在一條定直線上運動.7．在平面直角坐標系xOy中，動點M到點的距離與到直線的距離之比為．(1)求動點M軌跡W的方程；(2)過點F的兩條直線分別交W于A，B兩點和C，D兩點，線段AB，CD的中點分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．8．已知動圓經(jīng)過定點，且與圓：內(nèi)切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點為，，點為軌跡上異于，的動點，設(shè)交直線于點，連接交軌跡于點，直線，的斜率分別為，.①求證：為定值；②證明：直線經(jīng)過軸上的定點，并求出該定點的坐標.題型5圓錐曲線中的極點與極線圓錐曲線的極點與極線已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線．極點和極線是成對出現(xiàn)的．我們先從幾何的角度來研究圓錐曲線的極點與極線．從幾何角度看極點與極線如圖，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點，過點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點，，，，連接，交于，連接，交于，則直線為點對應(yīng)的極線．若為圓錐曲線上的點，則過點的切線即為極線．由圖同理可知，為點對應(yīng)的極線，為點所對應(yīng)的極線．因而將稱為自極三點形．設(shè)直線交圓錐曲線于點，兩點，則，恰為圓錐曲線的兩條切線．定理：（1）當在圓錐曲線上時，則點的極線是曲線在點處的切線；（2）當在外時，過點作的兩條切線，設(shè)其切點分別為，，則點的極線是直線（即切點弦所在的直線）；（3）當在內(nèi)時，過點任作一割線交于，，設(shè)在，處的切線交于點，則點的極線是動點的軌跡．已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值4．(1)求；(2)若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．已知F為拋物線的焦點，直線與C交于A，B兩點且.（1）求C的方程.（2）若直線與C交于M，N兩點，且與相交于點T，證明：點T在定直線上.若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．1．設(shè)分別是橢圓的左?右頂點，點為橢圓的上頂點.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.2．已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.3．已知橢圓與軸的交點（點A位于點的上方），為左焦點，原點到直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)，直線與橢圓交于不同的兩點，求證：直線與直線的交點在定直線上.4．已知橢圓的離心率，長軸的左、右端點分別為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：當變化時，點是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.5．已知橢圓C：經(jīng)過點，其長半軸長為2.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)經(jīng)過點的直線與橢圓C相交于D，E兩點，點E關(guān)于x軸的對稱點為F，直線DF與x軸相交于點G，求的面積的取值范圍.6．已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓上的兩點(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.（1）求橢圓的方程；（2）證明:直線恒過定點.7．橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.8．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點．專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（解析版）【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題】【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】【題型5圓錐曲線中的極點與極線】題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點的坐標為；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍．求軌跡方程的方法：定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點的坐標表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點，點坐標為，當點坐標為時，點坐標為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)當點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.破解：（1）第一步：設(shè)點設(shè)線聯(lián)立化解韋達判別由題設(shè)，，令，則，令，則，所以，，故，所以，可得，即且過，則，所以，代入并整理得，第二步：判別式等于0則，即，又，所以，，故.（2）第一步：設(shè)點設(shè)線聯(lián)立化解韋達判別由（1）聯(lián)立雙曲線與直線，則，所以，則，整理得，第二步：多元合一元故，，而，令，則，令，則，所以，顯然，故點的軌跡方程為，即且（注意：的斜率存在），所以軌跡是去掉頂點的雙曲線.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動點的軌跡方程；(2)設(shè)是點軌跡上不同的兩點且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.破解：（1）直接法設(shè)，則直線的斜率是，直線的斜率是，所以，化簡整理得：，所以動點的軌跡方程是.（2）第一步：設(shè)點設(shè)線聯(lián)立化解韋達判別設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，直線的方程為，即，直線的方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線兩支各交于一點，直線與雙曲線右支交于兩點，則有，且，于是，由消去化簡整理得：，設(shè)點，則，解得，有，由消去化簡整理得：，設(shè)點，則，解得，有，第二步：含參點表示向量，，于是，設(shè)直線上任意一點，則，顯然，因此，即，整理得，顯然直線恒過定點，所以直線經(jīng)過定點.在平面直角坐標系中，已知點，點的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點在直線上，為的左右頂點，直線交于點（異于），直線交于點（異于），交于，過作軸的垂線分別交?于，問是否存在常數(shù)，使得.破解：（1）定義法因為、，，所以點的軌跡以為焦點的橢圓，這里，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）第一步：設(shè)點設(shè)線聯(lián)立化解韋達判別設(shè)，代入，得，即，得：，設(shè)，代入，得，即，得：，第二步：含參點表示向量，由得，得，得.代入，得，代入，得，因為，所以.所以存在常數(shù)，使得.1．M是一個動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求動點M的軌跡方程E；(2)設(shè)，，過點的直線l與曲線E交于A，B兩點（點A在x軸上方），P為直線，的交點，當點P的縱坐標為時，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，直線的傾斜角為，則為鈍角，，所以由于位于第一象限，位于第四象限，所以的軌跡方程（2）設(shè)聯(lián)立：，化簡得：則，直線，直線聯(lián)立消去得：又故點，直線的斜率為：聯(lián)立，消去化簡得：故，故,直線的方程為2．在平面直角坐標系中，已知雙曲線經(jīng)過點，點與點關(guān)于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動點的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)（去除點）.【詳解】（1）因為雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，所以的離心率，（2）易知.設(shè).因為△的重心為，所以,解得,因為，所以，即.因為不共線，所以且，所以的軌跡不含兩點.故，當且僅當時，等號成立，即的最小值為.（3）因為為△的垂心，所以，設(shè)，當直線或的斜率為0時，點的坐標為或，此時點與點重合，不合題意，舍.當直線或的斜率不為0時，直線與的斜率存在，則，由（2）知，則，則.因為，所以，，則，得，則，因為構(gòu)成三角形，故不能在軌跡上，綜上，動點的軌跡方程為（去除點）.3．已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，則，又圓與直線相切，故，于是，化簡得，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，根據(jù)可得為的中點，則，得，即，所以直線.聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.設(shè)，因為互相垂直，易知直線，聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.則四邊形的面積為.令，化簡得，解得（舍）或，符合，所以.4．已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點，是其右焦點．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)是橢圓上一點，的角平分線與直線交于點．①求點的軌跡方程；②若面積為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）①：由（1）知，，設(shè)，則，易知當時，，，此時，由，解得，即；當時，，，設(shè)直線的斜率為，則，所以直線方程為，又直線方程為，由，得，即，解得，將代入直線方程，得，即，又，所以，故點的軌跡方程為；②：由，得，又，所以，得，整理得，又，所以，整理得，即，由，解得.5．已知點和直線，點到的距離.(1)求點的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點的直線與點的軌跡交于，兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）設(shè)點，由，當時，，不成立，所以，則，即；（2）設(shè)，，則，，又點在橢圓上，則，則，同理，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，則，則，所以當時，為定值，即面積為定值.

6．已知動圓過定點，且截軸所得的弦長為4.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)若點，過點的直線交的軌跡于兩點，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)動圓圓心為，到軸距離為，動圓截軸所得半弦長為2，則，化簡得；所以動圓圓心的軌跡方程為.（2）

設(shè)，當直線斜率存在時，由題易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，與的軌跡方程聯(lián)立得消去得，由在拋物線內(nèi)部，故，所以.由（1）知，為軌跡的焦點，由拋物線定義得，，所以當時，的最小值為；當直線斜率不存在時，.由拋物線定義知.綜上，的最小值為.7．在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求點的軌跡的方程；(2)求的外心的縱坐標的取值范圍；(3)設(shè)直線與的另一個交點為，記與的面積分別為，是否存在實數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【詳解】（1）設(shè)，則的重心.，，則，為垂心，故因為存在使，故，所以，，而，由垂心定義得，即，整理得，所以點的軌跡的方程為.（2）

由外心的定義知點在軸上，則，的中點，，所以，整理得.與的方程為聯(lián)立，得.因為，所以.（3）由對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，，直線：，聯(lián)立方程得，，整理得；，又，所以.由條件知，，，所以三點共線且所在直線平行于軸，由，知，所以.令，解得（舍去）.又點在直線：上，所以，即，所以.又，聯(lián)立得，所以.又，所以，即，所以.所以，當點在第一、四象限時，；當點在第二、三象限時，.故存在實數(shù)使.8．已知，，為平面上的一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，12【詳解】（1）由題意設(shè)點，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當時，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題：已知點是橢圓上的一個定點，是橢圓上的兩個動點。若直線，則直線過定點且定點為；當時，為定值；證明:重新建系將橢圓上的成為新的坐標原點按得橢圓又點在橢圓上，所以，代入上式可得①橢圓上的定點和動點分別對應(yīng)橢圓上的定點和動點，設(shè)直線的方程為，代入①得。當時，兩邊除以得．，因為點的坐標滿足這個方程，所以是這個關(guān)于的方程的兩個根．若，由平移斜率不變可知，故，當時，所以，由此得。所以的斜率為定值，為定值；即，由此知點在直線上，從而直線過定點．：已知點是平面內(nèi)一個定點，橢圓：上有兩動點若直線，則直線過定點．證明：重新建系將橢圓上的成為新的坐標原點按橢圓：，展開得：．平面內(nèi)的定點和橢圓上的動點分別對應(yīng)橢圓上的定點和動點、，設(shè)直線的方程為，代入展開式得（構(gòu)造齊次式），當時，兩邊同時除以整理得，因為點的坐標滿足這個方程，所以和是關(guān)于的方程的兩根．若，由平移斜率不變可知所以整理可得到和的關(guān)系，從而可知直線過定點，由平移規(guī)律可得直線過定點．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點是橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；（3）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，探究：直線是否過定點，并說明理由.解：（1）由點是橢圓的一個頂點，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）設(shè)，線段的中點坐標，可得，即又點是橢圓上一動點，所以，整理得所以線段的中點的軌跡方程是：齊次化方法第一步：明確定點第二步：重新建系第三步：聯(lián)立齊次式設(shè)直線方程為，故第四步：同時除以得故故定點為第五步：還原成原直角坐標系的定點故定點為已知橢圓的左、右焦點分別是，，點在橢圓上，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且不過點的直線交橢圓于，兩點，求證：直線與的斜率之和為定值．解：（1）根據(jù)點在橢圓上，得．由，得．因為，所以，所以橢圓的標準方程為．齊次化方法第一步：明確定點第二步：重新建系第三步：聯(lián)立齊次式設(shè)直線方程為，故第四步：同時除以得過故如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．解：（1）由題意知，，結(jié)合，解得，橢圓的方程為；齊次化方法第一步：明確定點第二步：重新建系第三步：聯(lián)立齊次式設(shè)直線方程為，故第四步：同時除以得過故1．已知橢圓經(jīng)過點，下頂點為拋物線的焦點．(1)求橢圓的方程；(2)若點均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過定點；（ⅱ）當時，求直線的方程．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）拋物線的焦點為，所以橢圓的下頂點，則，又橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓方程為；（2）（?。┊斨本€的斜率不存在時，設(shè)，則，所以，則，與矛盾，所以直線的斜率存在，由已知直線斜率同號，因此直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，由，可得，所以，，則，，所以，即，所以，解得或，當時直線方程為，令，可得，所以直線恒過定點，不合題意，當時直線方程為，令，可得，所以直線恒過定點，符合題意．綜上可得直線恒過定點.（ⅱ）設(shè)直線恒過定點為，此時，解得，由，可得，又，，所以，，所以，解得，滿足，所以，所以直線方程為.

2．已知橢圓：（）中，點，分別是的左、上頂點，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可得，，可得，，可得，可得，，解得，，所以離心率，所以橢圓的方程為，離心率；（2）由（1）可得，由題意設(shè)直線的方程為，則，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得，顯然，且，，直線，的斜率，，則，因為，即，解得，所以直線的斜率．即的值為3．

3．已知橢圓E：經(jīng)過點，右焦點為，A，B分別為橢圓E的上頂點和下頂點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知過且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由，，，橢圓的標準方程為．（2）設(shè)直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，，，記，，則，由題意知和．則，，則，所以．

4．在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）由方程，得，因為，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點對稱，所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點對稱；

（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點代入得，解得，所以橢圓的方程為，，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立，則，因為的中點為，所以直線的中垂線的方程為，同理直線的中垂線的方程為，設(shè)，則是方程的兩根，即是方程的兩根，所以，又因，所以，兩式相比得，所以，所以，所以直線與的斜率之積為定值．

5．焦點在軸上的橢圓的左頂點為，，，為橢圓上不同三點，且當時，直線和直線的斜率之積為．(1)求的值；(2)若的面積為1，求和的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)的中點為，求的最大值．【答案】(1)(2)，；(3)【詳解】（1）因為，所以三點共線，則必有點和點關(guān)于點對稱，所以，設(shè)直線和直線的斜率分別為，，因為點為橢圓的左頂點，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，即；（2）設(shè)過兩點的直線為，當直線的斜率不存在時，兩點關(guān)于對稱，所以，，因為在橢圓上，所以，又，所以，即，結(jié)合可得，此時，，所以；當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，消去得，其中①，所以，所以因為到直線的距離，所以，所以，整理的，符合①式，此時，；（3）因為，所以，即，當且僅當時等號成立，此時為直角三角形且為直角，故，解得，從而，此時等號可成立.所以的最大值為.

6．已知，分別是橢圓的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點為，且的方程為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若是直線上一點，過點的兩條不同直線分別交于點，和點，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為的方程為，可知，可知，所以橢圓的標準方程為.（2）由可得，

因為點P在直線上，可設(shè)點，由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在．所以直線DE的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，整理可得，且，則，，又因為，，則，同理可得，又因為，則，可知，則，整理可得，又因為，則，所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0．7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，右頂點為，的面積為，.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率大于的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因為，則，所以，因為的面積為，所以，即，解得（負值舍去），所以，故橢圓的標準方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，顯然，所以．從而，故點的坐標為．因為，所以．因為直線的斜率，所以，當且僅當時，等號成立，即直線與直線斜率之積的最小值為．

8．已知P為圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點.M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B.直線與曲線E交于C，D兩點，若直線直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為.證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意可知，作出圖形如圖所示

設(shè)點的坐標為，點的坐標為，則.因為點在圓上，所以.把代入中，得，即.所以曲線E的軌跡方程為.（2）由題意可知，,,直線AB的斜率為,作出圖形如圖所示

設(shè)直線的方程為，則，消去化簡整理，得，，解得，所以.所以所以.故為定值.題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）三角形面積問題直線方程：焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).范圍問題應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當且僅當時，等號成立（3）當且僅當時等號成立.（4）當且僅當時，等號成立(5)當且僅當時等號成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線的實半軸長為2，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.(1)若軸時，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.破解：（1）如圖所示，：因為，所以，令得，所以，解得，所以的方程為，顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當時，，設(shè)，則.因為，所以.：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）：因為，所以，又因為，所以，即，將代入得，因為在軸上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.：設(shè)，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.設(shè)拋物線方程為，過點的直線分別與拋物線相切于兩點，且點在軸下方，點在軸上方.(1)當點的坐標為時，求；(2)點在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點，直線交軸于點，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）破解：（1）：設(shè)，，，由，可得，當，當，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，，所以，又，所以，同理可得，∴，∴；：設(shè)，，，由，可得，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，故，即，因為，所以，同理可得，故直線的方程為，聯(lián)立消去，得，故，故（2）設(shè)，由條件知，∴，∵

∴，∴當時，取得最大值.已知橢圓C：過點A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l交C于不同于點A的M，N兩點，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.破解：（1）因為C過點A（2，），所以設(shè)C的焦距為2c，由得，所以，.代入上式，解得，所以C的方程為.（2）設(shè)，易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，由得，則，，由得，，又，所以，則，由題意知直線AM，AN的斜率存在，所以，則0，..所以，則即，整理得，又知l不過點A（2，），則，所以，所以直線l的方程為，則，所以則點A（2，）到直線l的距離為|則，當且僅當，即時取等號.故面積的最大值為2.1．設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為．(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓的外切矩形的面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)點，則，其中，，，所以，，故當時，取最小值，可得，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點，當直線、的斜率都存在時，設(shè)直線、的斜率分別為、，設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，整理可得，即，則、是關(guān)于的方程的兩根，因為，則，整理可得；當、分別與兩坐標軸垂直時，則，滿足.所以，點的軌跡方程為，由對稱性可知，矩形的四個頂點都在圓，該圓的半徑為，由勾股定理可得，由基本不等式可得，即，當且僅當時，即當時，等號成立，故，即矩形的面積的最大值為.2．在橢圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，點在線段上，且滿足.(1)當點在橢圓上運動時，求點的軌跡的方程；(2)若曲線與，軸的正半軸分別交于點，，點是上第三象限內(nèi)一點，線段與軸交于點，線段與軸交于點，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由得，設(shè)，，則所以，∵，得，所以點的軌跡的方程為；（2）由題知，，設(shè)，則，所以，

令，解得，同理，，所以

又因為所以所以四邊形的面積為23．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點和下頂點分別為，且，設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）且直線.(1)證明：，的交點在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）根據(jù)題意，蒙日圓的半徑為，所以.因為，可知，則，所以橢圓的標準方程為，因為直線過點，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：因為，可得直線，直線，所以即，解得，所以直線的交點在直線上.（2）設(shè)直線與直線的交點分別為，則由（1）可知：直線，直線.聯(lián)立方程和，解得因為，又因為點到直線的距離，可得，只需求的最小值.由弦長公式可得令，則.可得，當且僅當，即時等號成立.即的最小值為，可得面積的最小值為.故直線圍成的三角形面積的最小值為.

4．已知橢圓的方程，右焦點為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點，過的直線交于兩點（其中點在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，由題意可得，故橢圓方程為（2）當斜率不存在時，易知；②當斜率存在時，設(shè)，,，,，由，得，顯然，所以，，因為，，所以，因為，所以，又，設(shè)，則，，解得且，所以，綜上可得的取值范圍為．

5．已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．點在直線上運動，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點A、B在橢圓上，為坐標原點，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，所以，由直線的斜率與直線的斜率之商為2，可得，所以，又離心率，所以，則，所以的標準方程為.（2）

當直線，直線其中一條直線斜率不存在時，不妨令，此時面積為；

當直線，直線的斜率均存在時，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程可得，所以，聯(lián)立方程可得，所以，所以，因為，又，所以，又，所以面積的最小值為，當且僅當，即時等號成立.6．已知橢圓的下、上頂點分別為，左、右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于（異于兩點，設(shè)直線與直線交于點，探究三角形的面積是否為定值，請說明理由.【答案】(1)(2)三角形的面積是定值，理由見詳解【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的方程為.（2）三角形的面積是定值，理由如下：由（1）可知：，因為在橢圓的內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，由題意可設(shè)：直線，聯(lián)立方程，消去x得，，則，可知，又因為直線，直線，聯(lián)立方程，解得，即點在直線上，所以三角形的面積為.7．已知橢圓經(jīng)過，兩點．(1)求的方程；(2)若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標軸垂直，且直線分別與相交于點A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）因為過點，，所以解得故的方程為．（2）由題知的斜率存在且不為0．設(shè)．因為與圓相切，所以，得．聯(lián)立與的方程，可得，設(shè)，，則，．所以，將代入，可得．用替換，可得．四邊形的面積．令，則，可得，再令，，則，可得，即四邊形面積的最小值為．8．已知橢圓的方程為，由其個頂點確定的三角形的面積為，點在上，為直線上關(guān)于軸對稱的兩個動點，直線與的另一個交點分別為.(1)求的標準方程；(2)證明：直線經(jīng)過定點；(3)為坐標原點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)最大值為【詳解】（1）由題意知，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線的斜率必存在，設(shè)其方程為.消去得，由得.設(shè)，則，（*）直線的方程為，令，得，同理，由，又，代入整理得，將（*）式代入并整理得.因為直線不過，故不成立，所以，此時直線的方程為，經(jīng)過定點.（3）由，，所以又點到直線的距離為，所以令，則，當，即時取等，所以的面積的最大值為.題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示，然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準線與x軸的交點，過點M的直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的坐標為（4，y0）時，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點P，證明：直線BP過定點，并求出該定點坐標．破解：（1）如圖，設(shè)，由，得B為線段MA的中點．因為，所以，所以，即，把代入中，得，把代入中，得，所以．又p>0，所以p=4，所以拋物線C的方程為.（2）由題意，知直線l的斜率存在且不為0，因為M（-2，0），所以可設(shè)直線l的方程為x=my-2．設(shè)，，則點．由，消去x，得，所以，,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，．直線BP的斜率，所以直線BP的方程為，所以，即直線BP的方程可表示為．所以直線BP過定點，且定點坐標為（2，0）．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點．(1)求線段中點縱坐標的值；(2)已知點，直線分別與拋物線相交于兩點（異于）．求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．破解：（1）設(shè)，其中，由，得，化簡得，，即，線段中點縱坐標的值為；（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，化簡可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過定點．已知雙曲線，點是雙曲線的左頂點，點坐標為.(1)過點作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點.求直線的方程；(2)過點作直線與橢圓交于點，，直線，與雙曲線的另一個交點分別是點，.試問：直線是否過定點，若是，請求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.破解：（1）由題意，得雙曲線的漸近線方程為，過與平行的直線方程為，由，解得，過與平行的直線方程為，由，解得，∴直線的方程為.（2）直線過定點.由已知，易知過的直線斜率存在且不為，直線，斜率存在且不為，設(shè)直線，的直線方程分別為和，.由，得，解得，則.同理，則.又，，三點共線，而，故，解得.設(shè)，，則，，∴，即化簡整理，得（*），易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程，由，消去整理，得，∴當且時，有，，代入（*）化簡，解得，即，故或.當時，，經(jīng)過點，不合題意，當時，，經(jīng)過點，滿足題意.因此直線過定點.1．已知橢圓的左?右焦點分別為過點，且的長軸長為8.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點為點，過點的直線與交于兩點（異于），直線與軸分別交于點，試問線段的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定點，定點坐標為【詳解】（1）因為的長軸長為8，所以，所以.又，所以，所以的方程為.（2）易知，則直線的斜率存在，設(shè)其方程為.聯(lián)立得，，因為點在直線上，所以，，直線，令，得，直線，令，得，，所以線段的中點為，為定點.2．已知橢圓的上下頂點分別為，左右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點，設(shè)直線與直線交于點，證明：點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)右焦點坐標為，橢圓上的一點，則，故，即，則到右焦點的距離，因為，所以，，故，即橢圓上的點到右焦點距離的最大值為，最小值為，故，解得，又四邊形的面積為，故，所以，橢圓方程為；（2）當過點且斜率不存在時，直線方程為，中，令得，，不妨設(shè)，直線，即，同理可得，聯(lián)立得，，故點在直線上，當過點的直線斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程設(shè)為，聯(lián)立得，設(shè)，則，兩式相除得，直線，直線，聯(lián)立得，，故，解得，將代入上式中，得，要想恒成立，則，故點在定直線上，綜上，點在定直線上.3．如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.【答案】(1)，(2)①證明過程見解析②證明過程見解析，定點坐標為【詳解】（1）由題意焦點在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達定理有，此時要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點.4．已知橢圓的左?右焦點分別為，過點，且.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點為點，過點的直線與交于兩點（異于），直線與軸分別交于點，試問線段的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定點，定點為【詳解】（1），，整理可得：，，，，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由（1）可得：，則直線的斜率存在，可設(shè)，，由得：，，，，直線過點，，直線方程為：，令得：，即；同理可得：；，線段的中點為定點.5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.【答案】(1)；(2)證明見解析，定直線為.【詳解】（1）由題可得：，，又；解得；故橢圓的方程為：.（2）設(shè)直線與的交點為，根據(jù)題意，作圖如下：由題可知，直線的斜率存在，又過點，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，可得，顯然其，設(shè)兩點坐標為，則；因為都垂直于軸，故，則方程為：，方程為：，聯(lián)立方程可得：，故，也即直線與的交點在定直線上.6．已知橢圓的左頂點和下頂點B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點）兩點，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標準方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點P在一條定直線上運動.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由已知得：，所以，所以橢圓（2）設(shè)直線的斜率為.則直線，直線，得聯(lián)立得，易知.由，得，于是.同理：由于，所以，即，得①，同理②，由①②得，故點在直線上運動.7．在平面直角坐標系xOy中，動點M到點的距離與到直線的距離之比為．(1)求動點M軌跡W的方程；(2)過點F的兩條直線分別交W于A，B兩點和C，D兩點，線段AB，CD的中點分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線PQ過定點．【詳解】（1）設(shè)點M的坐標為，由題意可知，，化簡整理得，W的方程為．（2）由題意知，設(shè)直線AB的方程為，與W的方程聯(lián)立可得，，設(shè)，，由韋達定理得，，則，所以，點P的坐標為．同理可得，Q的坐標為．所以，直線PQ的斜率為，所以，直線PQ的方程為，即，又，則，所以直線PQ的方程即為，所以，直線PQ過定點．8．已知動圓經(jīng)過定點，且與圓：內(nèi)切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點為，，點為軌跡上異于，的動點，設(shè)交直線于點，連接交軌跡于點，直線，的斜率分別為，.①求證：為定值；②證明：直線經(jīng)過軸上的定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析；【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑，所以，，則，所以動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.因此動圓圓心的軌跡的方程為.（2）①設(shè)，，.由（1）可知，，如圖所示，所以，，又因為，即，于是，所以，又，則，因此為定值.②設(shè)直線的方程為，由①中知，，由得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得由①可知，，即，代入化簡得，解得或(舍去)，所以直線的方程為，所以直線經(jīng)過軸上的定點，定點坐標為.題型5圓錐曲線中的極點與極線圓錐曲線的極點與極線已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線．極點和極線是成對出現(xiàn)的．我們先從幾何的角度來研究圓錐曲線的極點與極線．從幾何角度看極點與極線如圖，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點，過點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點，，，，連接，交于，連接，交于，則直線為點對應(yīng)的極線．若為圓錐曲線上的點，則過點的切線即為極線．由圖同理可知，為點對應(yīng)的極線，為點所對應(yīng)的極線．因而將稱為自極三點形．設(shè)直線交圓錐曲線于點，兩點，則，恰為圓錐曲線的兩條切線．定理：（1）當在圓錐曲線上時，則點的極線是曲線在點處的切線；（2）當在外時，過點作的兩條切線，設(shè)其切點分別為，，則點的極線是直線（即切點弦所在的直線）；（3）當在內(nèi)時，過點任作一割線交于，，設(shè)在，處的切線交于點，則點的極線是動點的軌跡．已知拋物線的焦點為，