2024年新高考數(shù)學選填壓軸題匯編（一）（解析版）

2024年新高考數(shù)學選填壓軸題匯編(一)

一、多頻

逾目一」1(2023?廣東深圳?高三虹冷中學校才階&練習)己知長方體的表面積為10,十二條棱長度之和為16,

則該長方體()

A.一定不是正方體B.外接球的表面積為67r

C.長、寬、高的值均屬于區(qū)間[1,2]D.體積的取值范圍為[瑞,2]

【答案】4BD

【解析】設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,c,則可得「Y1比111”，即代:Y=5,

(4(a+b+c)=16[a+b+c=4

222

又因為(a+b+c)2=(a+b-|-c)+2(ab+ac+bc)=16,所以Q2+/+C2=6,

由不等式可得，QZ+^+Cab+ac+bc,當且僅當a=b=c時，等號成立，

而(/+5'+02>ab+ac+b以取不到等號，所以得不到a=b=c,即該長方體一^不是正方體，故y1正確；

設(shè)長方體外接球的半徑為R,則2/?=Va2+62+c2=祈,即A=,則外接球的表面積為4兀(^^)~=6兀,

故8正確；

由a+b+c=4可得，c=4—(a+b),代入ab+ac+be=5可得，ab+[4—(a+b)](a+b)=5,即ab=

5—[4—(a+匕)](a+b),

因為a,b>0,由基本不等式可得abW叱g,

4

即5—[4—(Q+b)](a+b)&，設(shè)以+b=±，則t>0,

則5—(4一切《與,化簡可得3￡2—16￡+2040,即(31-10)(-2)<0,

所以羋，即24a+bW普，又因為(a+b)=4-c,

OO

則.4c《2,同理可得a,bw[.,2],故C錯誤;

OLJ」

設(shè)長方體的體積為V,則/=而，={5-[4—(<2+6)]3+5)}[4—(<1+6)],且&+6=￡,2<￡&￥，

O

即/=[5—(4一口燈(4一力)，其中1€[2,竽],

化簡可得，M=(4—￡)(5—4￡+〃)，re[2,#'],

且V——(5-41+/)+(4—t)(—4+2t)——(31—7)(t—3),tG[2,,

令7=0,則力=孑或3,

當￡€[2,曰]時，V'VO,即V單調(diào)遞減，

當[曰,3]時，V'>0,即V單調(diào)遞增，

當￡6[3,號]時，V'<0,即V單調(diào)遞減，

所以，當t時，/有極小值，且V傳)=(4一孑)(5—4X尹第=瑞，

當￡=3時，M有極大值，且V(3)=(4-3)(5—4X3+9)=2,

?1?

又因為V(2)=(4-2)(5-4x2+4)=2,

U(￥)=(4-%(5-4x學+*)=祟所以VC居,2],故。正確;

故選：ABD

題目21(2023?廣東.方三校取才階盤練習)對于數(shù)列｛%｝,若存在正數(shù)“，使得對一切正整數(shù)n,都有|七,|《

則稱數(shù)列｛4,｝是有界的.若這樣的正數(shù)”不存在，則稱數(shù)列｛%｝是無界的.記數(shù)列｛%｝的前九項和

為S”,下列結(jié)論正確的是()

A.若?,,=(,則數(shù)列｛%｝是無界的B.若?,?=(])"sig,則數(shù)列｛S,,｝是有界的

C.若%=(—1)",則數(shù)列｛a｝是有界的D.若%=2+]，則數(shù)列｛1｝是有界的

【答案】3。

【解析】對于力，：|a,J=|』='W1恒成立，

：.存在正數(shù)M=l,使得恒成立,

數(shù)列｛a“｝是有界的，4錯誤；

對于BfV—1<sinn1,<即=.sinr,

.?.S?=ai+a2+■?■+a?<-|-+(y)-+■■?+(y)"=----=1-(4.v1,

12

Sn=a,+a2+…+%>-[]++…+(1)”]=-l+

所以存在正數(shù)Af=l,使得SJ&M恒成立，

/.則數(shù)列｛SJ是有界的,B正確;

對于。，因為%=(-1)”,

所以當九為偶數(shù)時，Sn=0;當n為奇數(shù)時，S“=-l:

/.|SJ&1,；.存在正數(shù)M=1,使得|S“|VM恒成立,

數(shù)列｛SJ是有界的，C正確;

對于。—=<---------------=4(-----------),

'TL4n2(2n—l)(2n+1)2n—12n+1,

.?5=2"+1+/+%+“常=2門+4(1.+>春+.”+芬土?一詬匕)

=2…。--)=2。+缶=2(—熹+2);

???沙=￡-/7T在(0,+8)上單調(diào)遞增，??."一/丁任[[,+8),

不存在正數(shù)”,使得ISJ&M恒成立，

數(shù)列｛S,,｝是無界的，D錯誤.

故選：BC.

題目]萬(2023?廣東?高三和段才階盤練習)如圖,正方體ABCD—ABGR中，E為4R的中點，P為棱

BC上的動點,則下列結(jié)論正確的是()

-2■

A.存在點尸,使47」平面D、EP

B.存在點P,使PE=PR

C.四面體EPGR的體積為定值

D.二面角P—RE-G的余弦值取值范圍是［坐,看］

【答案】8。

【解析】（向量法）為簡化運算，建立空間直角坐標系如圖，設(shè)正方體棱長為2,

CP=2(04a42),則P(a,2,2),E(2,l,0),A(2,0,0)，G(0,2,2),

而=(-2,2,-2),D^E-ACt=一2=0,故AG與0E不垂直，故A錯誤.

由PE=PQ知/<?+22+22=J(a—2)2+1z+22,a=《€[0,2],故B正確.

w=》2?S“Q產(chǎn)》2?卷?2?2=白，為定值.故。正確.

又。1點=(2/1,0),DXP=(a,2,2),設(shè)平面"EP的法向量/=(x，n，z),

由]RE,式=0(2x+y=0

\D[P?或=0'卜了+2g+2z=0，

令N=2則“=—4,z=4—Q,???濟=(2,—4,4—a),

又平面REG的法向量(0,0,1),

二|cos㈤幾)|=1Q1==_],二,

/2~+(-4)+(4-a)'/14--

V(4-a)

又0&aW2,；?4&(4—a)?416,,|cos〈福，元)|E[

故。錯誤.

(幾何法)記棱中點分別為FGJ3H,

易知4G_L平面EFGJIH,而EFu平面EFGJIH

則4Gl.ER,若4G_L平面REP,DXEU平面REP,則AC[±D]Ef

由EF0RE=E,EF,D、EU平面。㈤尸，

?3?

所以4Gl.平面。/R,與已知矛盾，故4G不垂直于平面REP.

故人錯誤.

連接注3QQ,易知8。，&?,3。1,。。,設(shè)正方體棱長為2加EB=瓜,。]。=2—,

記BP=771(0Wm<2),

22

則EP=Vzrt+5,D}P=V(2-m)4-8,

由Vm24-5=J(2—7n)2+8,

得7n=乙￡[0,2].故B正確.

4

%-WQ,=%-CQE=%2?S-=:?2?J?2?2=1，為定值.故。正確.

過點P作PAf_LBG于點、M,易知PM_L"E,過點M作MN±RE于點N,

知。E_L平面PAW,所以PNJ_RE,則二面角P-RE-G的平面角為/PMVf,

-4?

現(xiàn)在"NM中求解cos/PNM.

NMx

設(shè)正方體棱長為2,做0=工,貝INP=竭+4,cos/PNM==

只需求7取值范圍即可:

記3P=m(04m42),則B}M=BP=m,

分析易知M在G時c取到最大值，此時x=C、N\,

M在8時2取至U最小值，此時土=BM,

又GN_2A即c、N尸2--^―=生⑤

CDDtE"小V55'

翳=墨即BM=2?+=等，

DyA.]D\Ev55

所以￥一4嗎5即言，w羋，

5555

故D錯誤.

故選：BC

題目1,(2023?廣東?高三校聯(lián)考階盤練習)已知/(力)=加'，。(％)=，lna.若存在ii￡R,(0,+8)，使得

/(為)=g(g)=￡成立，則下列結(jié)論中正確的是()

A.當￡>0時，x}x2=tB.當±>0時，e\ntWx}x2

C.不存在￡,使得/但)=g'(02)成立D./(x)>(y(x)+/nx恒成立，則

【答案】40

nr

【解析】選項A,v/(rz；i)=g(x-2)=t：.t=魴e?=x2\nx2=ln.T2e'>0,

則x}>(),x2>OJng>。，且t=J(T])=/(huz;2)>0,

由/(%)=ze",得/'(4)=e;r(x+1),

當c>0時J(c)>0,則/(x)在(0,+8)上遞增,

所以當t>()時，/(/)=t有唯一解，故％i=lna*

x]x2=re2lnx2=￡，故?1正確；

選項3,由A正確，得上次=—(i>0),

XYX-2t

設(shè)，則”⑴=上螞，

令d⑴=0,解得力=e

易知在(0,e]上單調(diào)遞增，在[c,+8)上單調(diào)遞減，

。(￡)W『(e)=—,/.,/.elnKcig,故，正確；

ee

選項。，由/(力)=e\x+1),g\x)=Ina;+1=0,

?5?

得/(-1)=~田=0,又驗證知f(T)=gg)=-1,

故存在力=一■―,使得/(T)=^(—)=0,。錯誤；

選項D,由x>0,/(3;)>g(x)+mx恒成立，即eJ-\nx>m恒成立，

令r(i)=6—kiz,則r(x)=ea:—―,

x

由r\x)在(0,+oo)上遞增，又=Ve—2<0,r(1)=e—1>0,

?,.存在④()W(B/)，使/(g)=0,

/.r(x)在(0,xo)上遞減，在(07(),+oo)上遞增(其中.滿足e"=’-,即Xo=~\nx()}.

的

r(z)>r(x)=e'lng=—+a;>2,

0的0

要使mVe'—In/恒成立，二館VT(W),存在2VmVT(N())滿足題意，故。錯誤.

故選：AB.

題目5(2023.廣東梅州.高三大埔縣虎山中學校才開學才就)己知/(⑼是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意

①eR,有/(1+2)=—/(1—c),當a；e[0,1]時,f(z)=/+工—2,則()

A.f⑸是以4為周期的周期函數(shù)B./(2021)+/(2022)=-2

C.函數(shù)？/=/3)-1。82(?+1)有3個零點D.當，e[3,4]時，/(；r)=/-9工+18

【答案】力8

[解析】依題意，/Q)為偶函數(shù)，且“1+乃=-,/,(1-x)=>f(x)關(guān)于(1,0)對稱,

則/(￡+4)=/(1+/+3)=-/(1-(^+3))=-f(-2-⑼

=-/(-(2+2))=-/(2+x)=-/(1H-l+rc)=/(1-(1+x))=/(-rr)=/(x),

所以/(rc)是周期為1的周期函數(shù)，A正確.

因為fQ)的周期為4,則/(2021)=/(1)=0,/(2022)=/(2)=—/(0)=2,

所以.”2021)+/(2022)=2,B錯誤;

作函數(shù)y—log2(x+1)和y—f(x)的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點，。正確；

當；rC[3,4]時，4—a;€[0,1],則/(/)=/(—/)=/(4—x)=(4—I)2+(4—rr)-2=x2—9x+18,。正確.

故選：ACD

題目642023?廣東梅州?高三大埔縣虎山中學校才開學考試)如圖，正方形716co中,E、尸分別是

?6?

的中點將△ADEACD尸,ABEF分別沿DE、￡＞尸、ER折起,使43、。重合于點P.則下列結(jié)論正確的是

A.PD±EFB.平面PDE±平面PDF

C.二面角P—EF—D的余弦值為!D.點P在平面DEF上的投影是ADER的外心

【答案】43。

【解析】對于/選項，作出圖形，取E尸中點H,連接PH,DH,又原圖知\BEF和\DEF為等腰三角形，故

PHA.EF.DHA.EF,所以EF_L平面PDH,所以PD±E尸，故A正確；根據(jù)折起前后，可知PE,PF,PD

三線兩兩垂直，于是可證平面PDE_L平面PD尸，故6正確：根據(jù)4選項可知NPHD為二面角P-EF-

。的平面角，設(shè)正方形邊長為2,因此PE=PF=1,PH=^，。8=22一孚=#Z,PD=

y/DF2-PF2=2,由余弦定理得：cos/PHD=叫'”富、=!，故C正確：由于PE=PFrPD,故

點尸在平面DEF上的投影不是^DEF的外心，即。錯誤；故答案為ABC.

題目7(2023?廣東?商三校聯(lián)考階段練習)在正方體4BCD—ABC.中，E,尸，G分別為

的中點，則()

A.直線DQ與EF所成的角為30

B.直線AG與平面力E斤平行

C.若正方體棱長為1,三棱錐A—AEF的體積是"

-7■

D.點8和B到平面AEF的距離之比是3:1

【答案】3CD

【解析】對于選項4由圖可知CC、與DD,顯然平行，所以4EFC=45°即為所求，故選項力不正確;

對于選項3,取的中點M,連接4A/、GM,如圖所示，

易知4E,且平面AEF,AE<z平面4EF,所以AyM//平面AEF.

又易知GM〃ER,GMD平面AEF,EFu平面所以GM//平面AEF.

又GM=M,GMc：面AA/G,所以平面AA/G〃平面AEF.

又4Gu平面4A1G,所以4G〃平面AER,故選項8正確：

對于選項C,由選項B知，A\G//平面4EF,所以4和G到平面AE尸的距離相等,

XXX1xl=

所以VA[_AEF=VG_AEr=VA_FEG=444rT-故選項。正確；

對于選項。，平面AEF過BC的中點E,即平面AEF將線段平分，

所以。與3到平面4卯的距離相等，

連接B.C交EF于點〃，如圖所示，

顯然B〃："C=3:1,

所以8與8到平面AE9的距離之比為3:1,故選項￡)正確.

故選：BCD.

廊1J8；(2023?廣東?商三校腰壽階代練習)已知數(shù)列｛4｝滿足a尸1Q=3,S”是前n項和，若"(Se-SJ

22

-1=(n+1)(S?—Sn_1),(n€N*且2),若不等式a?<n[—2t—(a+l)t+a—a+2]對于任意的“G

N*,te[1,2]恒成立，則實數(shù)a的值可能為()

A.-4B.0C.2D.5

【答案】AD

【解析】由n(Sn+1-Sn)-l=(n+l)(S?-S?1),n>2,

則nan+1—1=(n+l)an,n>2,

z?71_?T+1,、1____2

仔---=-----a“、n22;a-~—=2=—a,

nn211]

?8?

日t'/巴什11—11、i

所以----：-----=---------=---------->n》1,

n+1nn(n+1)nn-f1

則___Q。-1_]1_a.i_____。口-2_]]曳=］_工

nn—1n-1n9n—1n—2n-2n-1,1F~一萬

上述式子累加可得以-5=1—工，所以%=2—工<2.

nnnn

所以—2以—(Q+1)￡+d~—a+2>2對于任意的tG[1,2]恒成工,

整理得[2￡—(a—1)](￡+Q)<0對于任意的tG[1,2]恒成立.

方法一：

對選項A,當a=—J時，不等式為(2t+5)?-4)4(),其解集［一年,4］包含［1,2］,故選項A正確；

對選項B,當a=0時，不等式為(2%+1兌40,其解集［一—,。］不包含［1,2］,故選項B錯誤：

對選項。，當a=2時，不等式為⑵一l)(t+2)W0,其解集［—2,［］不包含［1,2］,故選項。錯誤;

對選項D,當a=5時，不等式為(2t-4)(t+5)40,其解集［一5,2］包含［1,2］,故選項。正確.

方法二：令/(土)=［2t—(a—l)］(t+a),

若［2￡—(a—l)］(t+a)V0對于任意的16口⑵恒成立,

只需匕累：即OH譽魯，解得Q5或2.

((5—a)(2+Q)W()

故選：4。.

題目9(2023?廣東?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)/3)=而%+85爾工€川),則()

A.對任意正奇數(shù)n,/(工)為奇函數(shù)

B.對任意正整數(shù)出/⑺的圖像都關(guān)于直線工=與對稱

C.當n=3時，〃功在［o,1］上的最小值(

D.當n=4時，/(*;)的單調(diào)遞增區(qū)間是［一￡+上，版］(K6Z)

【答案】8。

【解析】取九=1,則/(1)三敏i血:+6OS5T,從而f(0)=140,此時/(①)不是奇函數(shù)，則4錯誤；

因為=$"(］■—c)+cos"(］—1)=cosnx+sinnx=f(x)，所以/(i)的圖象關(guān)于直線i二；

對稱，則石正確；

當n=3時，/(x)=3sin2.7；cos.T-3(:os\/：sin；z：—3sin；rc()s；z;(siii,7；—cosz),當/G［°，j")時，/'(”)V。；當

cE(與，目時JQ)＞。.所以/(⑼在［。，年)上單調(diào)遞減，在(與，目上單調(diào)遞增，所以/⑺的最小值為

嗚H李丫+(三六哈故。正確;

當n=4時，/(x)=sinZ+cos%=(sin%+cos2x)2—2sin2xcos2x=1——sin22x

=i_1一嚴r=±cos4j.+；,則f3的遞增區(qū)間為|■一與+與，等［依GZ),則D錯誤.

444L42zJ

故選：BC.

題目10(2023.廣東.高三統(tǒng)考階段練習)若實數(shù)a,b滿足2"+3a=3"+2b,則下列關(guān)系式中可能成立的是

)

-9■

A.0<a<6<lB.b<a<0C.1<a<bD.a=b

【答案】ABD

【解析】設(shè)/(z)=2，+3a;,g(a;)=3x+2x,則f(x)—2T+'3x,g(x)—3"+2a;都為增函數(shù)，

作出兩函數(shù)的圖象，兩個函數(shù)圖象有2個交點，分別為(0,1),(1,5),

對于力，作直線y=m(l<m<5)分別與/(rr),g(c)圖象相交，交點橫坐標為a,b,且0VaVb<1,此時

/(a)=g(b)=m,即2°+3a=3〃+2b能成立，故A正確；

對于B,作直線y=m(7i<0)分別與/(;r),g(a;)圖象相交，交點橫坐標為b,a,且bVaVO,此時f(a)=g(b)

=zz,即2a+3a=3'+2b能成立，故B正確；

對于。，a=2,/(a)=/■⑵=10,因為2=aVb,所以盤嬉=3，+2b>32+4=13,所以此時2"+3a=34+26

不可能成立，故。不正確；

對于￡5,a=b=O或a=b=l,2"+3a=3'+2b成立，所以。正確.

故選：A3D

-10?

題目I「（2023?廣東信三統(tǒng)考階盤練習）已知正方體ABCD—4BGA的棱長為4,M為DR的中點，N

為4BCD所在平面上一動點，N、為45GR所在平面上一動點，且NNj_L平面ABCD,則下列命題正確

的是（）

A.若MN與平面ABCD所成的角為4，則點N的軌跡為圓

B.若三棱柱NAD-N4Q的表面積為定值,則點N的軌跡為橢圓

C.若點N到直線與直線。。的距離相等,則點N的軌跡為拋物線

D.若RN與所成的角為￡，則點N的軌跡為雙曲線

【答案】ACD

【解析】4:連接/）N,因為A/D_L平面ABCD,所以ZMND是MN與平面ABCD所栽的角,

即NMND=j因為M為DD的中點，所以在直角三角形M/VD中，

tanNACVD=%gnl=17=?？?2,因此點N的軌跡為以。為圓心半徑為2的圓，所以本選項命題

是真命題；

B:過N做EN_L,設(shè)三棱柱M40—N/Qi的表面積為S,

所以S=2X}x4?7VE+（AD+DN+AN）?4=4（4+￡W+A/V+AE）=定值，

顯然有N到4、￡）、直線4D的距離之和為定值，這與橢圓的定義不符合，故本選項命題是假命題：

C:連接BN,因為平面ABCD,BNu平面ABCD,所以B5_LBN,

即點N到直線BBi與NB相等,所以點N的軌跡為點N到點B與直線的距離相等的軌跡，即拋物線，

所以本選項命題是真命題；

。：以。為空間坐標系的原點，34、DC、所在的直線分別為力、沙、z,

0（000）、44,0,0）、8（440）、N（H,y,0）、D"0,0,4）,

則有ZS=（0,4,0）、取=（土,0,一4）,因為。N與4B所成的角為日，

所以cos：=■,~>n[=---,"4。==>3y2—x2—16,所以點N的軌跡為雙曲線，故本選項命

3\AB\■|D^|2擊J-+/+16

題是真命題，

故選：A8

題團衛(wèi)〕（2023?廣東江門*三臺山市第一中學校才階段練習）已知函數(shù)f3）=e，T+e~+/—2為若不等

式/（2—g）V/（二+3）對任意wWR恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（）

■11?

A.-4C.V2D.3A/2

【答案】3。

【解析】由函數(shù)f(x)=ex'+elx+x2-2x,

令t=rr—1,則2=￡+1,可得g⑴=e'+e1,

可得g(-t)-6'+e'+(―t)J—1-e'+e'-\-t"—1-g(t),

所以g?)為偶函數(shù)，即函數(shù)/(⑼的圖象關(guān)于；/：=1對稱，

又由g(t)=e'—e-'+2t,令$(t)=g'(t)=e'—e'+2t,

可得/⑴--e'+e'+2>0,所以<p(t)為單調(diào)遞增函數(shù)，且0(0)=0,

當t>0時，g'⑴>0,g⑴單調(diào)遞增，即立>1時，/(z)單調(diào)遞增；

當￡V()時，。'⑴V0,g⑴單調(diào)遞減，即uV1時，/Q)單調(diào)遞減,

由不等式/(2-ax)<_/5+3),可得|2-ax-l|<W+3—1|,即|1一ax\<x2+2

所以不等式|1一ar|<X2+2恒成立，即一一一2<ax-1<x2+2恒成立，

所以1+1〉"的解集為R,所以/一4<0且(-a)2-12<0,

1工—ax+3>0

解得一2<aV2,結(jié)合選項，可得BC適合.

故選：BC.

[直可亙(2023?廣東?高三河濠市河源中學校賽才階段練習)已知三次函數(shù)八口=/+&/+=+d有三個不

同的零點我播以㈱佃vx2<43)，若函數(shù)gQ)=/(M—1也有三個不同的零點t[9t2,t3(tx<t2<益)，則下列等

式或不等式一定成立的有()

2

A.b<3cB.t:i>g

C.Gi+g+g=ti+Az+GsD.Nigg—￡也￡3=1

【答案】BC

[解析]/(0)=3/+2b。+g因為原函數(shù)有三個不同的零點，則/(，)=0有兩個不同的實根，

即3x2+2bx+0=0,則△=4b2—i2c>0,即b2>3c,所以人錯誤;

因為三次函數(shù)/(,)=+d有三個不同的零點0],g,g(i]V]2Vg),

4

所以r'+l)：r~+cx+d=(°—為)(①一x2)(x—g)=x—(x(—x}x)x^-0,

所以i]+g+g=—b,g]gg=—d,

同理曲十七+打二一1-d,

所以21+g+g=t|+f，2+"4]gg—￡也￡：尸一I，故C正確，D錯誤；

由/(力)的圖象與直線y=1的交點可知上3>x-s,B正確.

故選：8。.

題目川(2023?廣東信三河濠市河源中學校底考階&練習)已知直線Z過拋物線E:峭=4宓的焦點F,與拋

物線相交于4(如功)、口(羯出)兩點,分別過4B作拋物線的準線4的垂線，垂足分別為4,8,以線段4

8為直徑作圓M,O為坐標原點，下列正確的判斷有()

?12?

A"i+g>2B.△403為鈍角三角形

C.點F在圓M外部D.直線4R平分ZOFA

【答案】AB。

【解析】如圖所示：

對選項4,由拋物線的焦半徑公式可知|4B|=4；i+g+2>2p=4,所以g+g>2,

故4正確；

對于選項B,OA-OB-xxx2+y}y2-里圖-+y}y.,

16

令直線/的方程為rr=my+1,代入y2=4x得y'—lmy—1=(),所以功伙;=—4,

所以O(shè)D=-3<0,所以△403是鈍角三角形，故B正確：

對選項C,D,由|A4i|=|4月可知乙441P=ZAFAlt

又AA〃OF,所以N44尸=NOFA尸NAFA,所以直線RA平分角AAFO,

同理可得平分角ZBFO,所以AFLBF,即N4F8=90",

所以圓M經(jīng)過點F,故。錯誤，D正確.

故選：ABD

.題目6](2023?廣東?商三河蠹市河源中學校戚才階盤練習)已知圓。/+/=4和圓C-.(x-3>+(y-3)2

=4,P,Q分別是圓O,圓。上的動點，則下列說法錯誤的是()

A.圓。與圓。相交

B.\PQ的取值范圍是[3——4,3—+4]

C.z—y=2是圓。與圓C的一條公切線

D.過點Q作圓。的兩條切線，切點分別為M,N,則存在點Q,使得乙MQN=90°

【答案】AC

【解析】對于力選項，由題意可得，圓。的圓心為0(0,0)，半徑n=2,圓。的圓心。(3,3),半徑4=2,

因為兩圓圓心距QC|=3，^>2+2=n+r：,所以兩圓外離，故A錯誤；

對于B選項，|PQ|的最大值等于0。|+9+小=32+4,最小值為|0。|一口一4=32一4,故5正確；

對于。選項，顯然直線大一?/=2與直線OC平行，因為兩圓的半徑相等，

則外公切線與圓心連線平行，由直線0。？=工,設(shè)外公切線為y=/+t,

則兩平行線間的距離為2,即,L=2,故y=]士2/5,

?v2

故。錯誤：

對于“選項，易知當/MQN=90°時，四邊形OA/QN為正方形，故當|QO|=22時，NMQN=90°,故。

正確.

?13?

選項。：當7n>0時，

則根據(jù)圖象可得/（c）=7H的4個解所在大致范圍為Ti<0,0<x2<<x:i<1,g>1,

所以,Vmv1,

o

所以年Vlog.詈一看）<1，解得號V2（打+年，

所以6<9g—7V18（B）1

由二次函數(shù)的對稱性可知，3X2—2X+1=rn的解x>>g滿足g+n產(chǎn)二,

M

因為函數(shù)0=/（④）為奇函數(shù)，且當方>1時解析式為g=log1（義—1）,

J'2187

所以當X<—1時解析式為7/=—logi（―

3'2春）

所以log.L-擊)=-logj(—y-2),

3'/1O73'乙1O7

所以有（一號一擊）居一擊）=1，即工產(chǎn)-367_

9叫一79

—9a「736

所以為十%.產(chǎn)必十1

999g—7

設(shè)90一7=力6<WV18（；尸,

又因為函數(shù)9=!-*在（6,18（；）［單調(diào)遞增,

yL'J'/

6-、/￡36、6362r16

所以％】+①尸---------->----------=------()=------,

119I9633

所以Ni+g+e+g>一■+q——?,

所以選項。正確，

故選：BD

題目G1（2023?廣東揖用?高三校才階盤練習）若定義在（-1,1）上的函數(shù)/⑺滿足/㈤+/⑻=

/（井幺），且當c>0時，fQ）<0,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.若出］,/2七（-1,1），］2>由I，則/（①1）+/（曲）>0

B.若/（1）=/,則/（空）=-2

C.若f（2—乃+9（=）=4,則。3）的圖像關(guān)于點（2,4）對稱

?17?

遞增，故4正確；

對于B:9(于)=—2cos(2x=—2cos^-=0,故(々,0)是。3)的一個對稱中心,故B正確；

對于/):因為工€?，亨所以2/€?，專■],所以cos2rr€[―if所以g(z)G[―1,2],故/)錯誤;

故選：AB

題目2rl(2023.廣東東莞.商三校取考階段練習)對于函數(shù)/㈤=^,下列說法正確的是()

A./(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e.+oo)上單調(diào)遞減

B.若方程/(上|)=上有4個不等的實根，則/c>e

C.當0VXi<x2<1時，Njnc2Vcjn/i

D.設(shè)g(a)=42+m若對VR,3x2E(L+oo),使得g(6J=f(x2)成立，則a>e

【答案】0。

【解析】函數(shù)/(/)=7^—的定義域為(0,1)U(1,4-oo),f(x)=!口工/,當OV/Vl或lV/Ve時J(i)

Inrc(Inx)-

V0,當/>c時，/(x)>0,

/(T)在(0,1),(l,e)上都單調(diào)遞減，在(e,+oo)上單調(diào)遞增，A不正確；

當①G(L+8)時，/(%)的圖象在c軸上方，且在x=eBf,/1(x),,,,,=e,f(x)在(0,1)上的圖象在力軸下方，

顯然/(㈤)是偶函數(shù)，在方程/(㈤)=k中，kVO或k=e時，方程有兩個不等實根，0MkVe時，方程無

實根，k>e時，方程有4個不等的實根，6正確；

因0Vi]VcV1,則有/(￡))V/(/i)V0,即“2v<0,于是得LiiVcJiiM。不正確；

"lnx>Irrz：1~~

當zCH時，g(o)的值域為[Q,+8),當：r￡(L+8)時，/3)的值域為[e,+co),

因?qū)電￡A,3x)E(L+oo),使得g(%i)=/(x2)成立，從而得[a,+8)Q[e?H-co)，即得a>e,O正確.

故選：BO

二、單M

畫1]絲I(2023?廣東深圳?高三紅冷中學校才院盤練習)過直線y=c上的一點作圓(x-5)2+(y-1)2=2的

兩條切線。，的當直線4，為關(guān)于y=/對稱時，它們之間的夾角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】。

【解析】圓(x-5產(chǎn)+(y—1尸=2的圓心(5,1),過(5,1)與y=z垂直的直線方程為z+y—6=0,

它與夕=c的交點N(3,3),

N到(5,1)距離是2方，圓的半徑為方，兩條切線。，。，它們之間的夾角為2x30°=60°.

故選C.

〔題目2屋[(2023.廣東.高三柢取才階盤練習)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中

點，將△AEO,ABEF,ADCF分別沿DE,EF,DR折起，使得ABC三點重合于點4,若三棱錐H

-EFD的所有頂點均在球。的球面上，則球。的表面積為()

BC

FF

?19?

A.27tB.3TLC.6兀D.87r

【答案】。

【解析】根據(jù)題意可得4。，4E,AD±AF,4E，4尸，且4E=1,AN=1,4。=2,

所以三棱錐D-4EF可補成一個長方體，則三棱錐D-AEF的外接球即為長方體的外接球,

設(shè)長方體的外接球的半徑為片，可得2H=Vl2+l2+22=?,所以凡=乎，

所以外接球的表面積為S=4兀&=4TC-()=6元，

故選：C

題目](2023?廣東?方三校聯(lián)考階段練習)已知/(力)=2sin(si+年)+(a—l)sinc/ja;(a>0,s>0)在

(0,元)上存在唯一實數(shù)工；使/(為))又0(，)=/(0一2一,且有0(.z)max=。，則實數(shù)的取值范圍是

()

A.1V04日B.C.D.

JoI)Z

【答案】4

【解析】由題意可得/(n)=sinor+A/5COSS6+(a—l)sin①i,

=asincox+V3coscox=Va2+3sin(cdX+0),其中夕滿足tanp=-,

又8(%))nax=0,即/(t)mx=2V3,

所以Va2+3=2V3,又a>0,解得a=3,

所以/(力)=2，3sin(0N+寧)，

又()V①V冗，所以三?V+￡V①冗+,

000

因為/(1)在上存在唯一實數(shù)為)使/⑶)=—V3,即sin(a)x04--^-)=一~

所以手■Vsx+￡&1〉,解得1V。,

故選：4

(題目|25](2023?廣東梅州?高三大埔縣虎山中學校才開學考試)在4ABe中，角BC的邊長分別為b,。,點

O為4ABe的外心,若/+/=2b,則片方?的取值范圍是()

A.[—B.(0,2)C.[-^~,+8)D.[—

【答案】。

【解析】取8。的中點。，則0。_￡6。,所以萬方天5=后方?(而+方8)=后苕渴+弱?方心=后方?而=

.20?

(^AC-AB)?+AB)=(AC72—AB2)=-^-(b2—c2)=-^-[62—(2b—b2)]=b2—b=(b——y.

因為c2=2b-b->0,則b(b-2)V0,即0VbV2.

所以一J《配?才[<2,

4

題目26（2023.廣東.商三校取才階&練習）已知等腰直角乙45。中，NC為直角，邊AC=，^,P,Q分別

為AC,AB上的動點（P與。不重合），將△月PQ沿PQ折起，使點A到達點A'的位置，且平面APQ±

平面BCPQ.若點4,B,C,P,Q均在球。的球面上，則球O體積的最小值為（）

A^5.BC8—兀D4淄n

■"F'"T'3'3

【答案】。

【解析】顯然P不與A重合，由點4,3,。，P,Q均在球。的球面上，得3,C,P,Q共圓，則ZC+

NPQB=n,

又△ABC為等腰直角三角形，43為斜邊，即有PQ_LA3,

將△APQ翻折后,PQ±AQ,PQ±BQ,又平面APQ±平面BCPQ,

4Qu平面APQ,BQu平面BCPQ,于是4Q，平面BCPQ,BQ，平面APQ,

顯然A'P,BP的中點。，E分別為ZVl'PQ,四邊形BCPQ外接圓圓心，

則DOJ.平面APQ,EO_L平面B