垂徑定理課件北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊

*3.3垂徑定理第三章圓問題:趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

探究一

如圖，AB

是⊙O

的一條弦，作直徑

CD，使CD⊥AB，垂足為

M.1垂徑定理及其推論ABOCDM(1)右圖是軸對稱圖形嗎？

如果是，其對稱軸是什么？圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線，圓的對稱軸有無窮多條.連接

OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)

A和點(diǎn)

B關(guān)于

CD對稱.ABOCDM合作證明圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.ABOCDM證明：連接

OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴∠AOD=180°－∠AOC，

∠BOD=180°－∠BOC.∴∠AOD=∠BOD.ABOCDM垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，(條件)推導(dǎo)格式：你能用幾何語言表示嗎？定義總結(jié)∴AM=BM，

，.(結(jié)論)例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm.·OABE解析：連接

OA.∴AB=2AE=16(cm).16

∵OE⊥AB，典例精析想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直.是不是，因?yàn)?/p>

AB，CD都不是直徑.OABCABOEABDCOEABOCDE一條直線：⑤平分弦所對的劣?、龠^圓心

②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)弧思考探索

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？垂徑定理ABOCDM探究二

如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB

的直徑CD，交AB

于點(diǎn)M

．ABOCDM(1)這個(gè)圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.ABOCDM解：(1)連接

AO、BO，則

AO=BO.又∵AM=BM，∴∠AMO=∠BMO=90°.∴

CD⊥AB.∴△AOM≌△BOM(SSS).證明舉例由垂徑定理可得歸納總結(jié)垂徑定理的逆定理

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.·OABCD“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？

如果不能，請舉出反例.圓的兩條直徑是互相平分的.特別說明：垂徑定理的本質(zhì)是：滿足其中任兩條，必定同時(shí)滿足另三條（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所

對的優(yōu)弧（5）這條直線平分不是直徑的弦所

對的劣弧知二推三ABCDOhrd趙州橋中，弦長

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r

之間有以下關(guān)系：指圓心

O

到弦的距離

d+h=r數(shù)量關(guān)系總結(jié)垂徑定理往往轉(zhuǎn)化成應(yīng)用勾股定理解直角三角形回顧導(dǎo)入解得R≈27.3.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.3m.∴R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如圖，過橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點(diǎn)

C，交弦

AB于點(diǎn)

D，則

CD=7.23.由垂徑定理，得

AD=AB=18.5，設(shè)⊙O的半徑為

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得

例2如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧

CD，點(diǎn)

O

是弧

CD

的圓心)，其中

CD=600m，E

為弧

CD

上的一點(diǎn)，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接

OC.●

OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為

Rm,則

OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為

545m.1.如圖

a、b，一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿_(dá)＿＿_(dá)___cm.C圖b

DCBOADOAB圖a2或

12

指弦中點(diǎn)到弦所對的弧中點(diǎn)的距離練一練垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造

Rt△

利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形圓心到弦的距離1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

cm.14或23.(朝陽區(qū)期末)

圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，且構(gòu)造簡單、施工方便.某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為

1m

的圓，如圖所示，若水面寬

AB

=

0.8

m，求水的最大深度.AB0.8解：如圖，作

OC⊥AB于點(diǎn)

C，連接

OA，∴∠ACO

=

90