概率第7章課件

第七章隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望重點理解數(shù)學(xué)期望的概念，掌握它的性質(zhì)與計算了解二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望這個名詞由賭博而來。甲乙兩人賭技相同，各出賭金100元，約定先勝三局者為勝，取得全部200元?，F(xiàn)在甲勝2局乙勝1局的情況下中止，問賭本該如何分？若繼續(xù)賭下去而不中止，則甲有3/4的機會(概率)取勝，而乙勝的機會為1/4。所以，在甲勝2局乙勝1局這個情況下，甲能“期望”得到的數(shù)目，為：乙能“期望”得到的數(shù)目為：若引入一個隨機變量X，X等于在上述局面之下繼續(xù)賭下去甲的最終所得，那么甲的“期望”所得，等于“X的可能值與其概率之積的累加”這就是“數(shù)學(xué)期望”(簡稱期望)這個名詞的由來。這個名詞源出賭博，聽起來不大通俗化，本不是一個很恰當(dāng)?shù)拿诟怕收撝幸言催h流長獲得公認(rèn)，也就站住了腳跟。例某服裝公司生產(chǎn)兩種套裝，一種是大眾裝，每套200元，生產(chǎn)900套，另一種是高檔裝，每套1800元，生產(chǎn)100套，該公司生產(chǎn)套裝平均價格是多少？這種平均稱為加權(quán)平均。定義給定權(quán)，滿足，則稱為關(guān)于權(quán)的加權(quán)平均。例某服裝公司生產(chǎn)兩種套裝，一種是大眾裝，每套200元，生產(chǎn)900套，另一種是高檔裝，每套1800元，生產(chǎn)100套，該公司生產(chǎn)套裝平均價格是多少？若利用隨機變量的觀點，設(shè)X為該公司生產(chǎn)套裝的單價，有平均價格是該公司生產(chǎn)套裝單價X的加權(quán)平均，在概率論中稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望。離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)設(shè)離散型隨機變量的概率分布為

MathematicalExpectation定義離散型隨機變量稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。它是隨機變量X的取值以概率為權(quán)的加權(quán)平均。連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機變量定義數(shù)學(xué)期望——

它是一個數(shù)不再是r.v.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),則稱積分為X的數(shù)學(xué)期望，X有分布XP011-pp兩點分布例2

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若X~B(1,p),則E(X)

二項分布例3X～，求E(X)。解泊松分布的分布律為：泊松分布例4

X~N(,2),求E(X)

.解正態(tài)分布常見r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP(

)

分布期望概率密度N(,2)隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：一維情形設(shè)是隨機變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型

概率密度為Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．例1設(shè)隨機變量X的分布律為XP-2020.40.30.3求。服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。例2例設(shè)隨機變量X的分布律為XP-2020.40.30.3求。解服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因為

所以

例

解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).相互獨立時當(dāng)隨機變量C為常數(shù)..特別地，例一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車。如果到達一個車站，沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)，求E(X)。（設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨立）解引入隨機變量，則由題意，任一旅客在第i站不下車的概率為20位旅客都不在第i站下車的概率為在第i站有人下車的概率為即所以將X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望之和來求。這種處理方法具有一定的普遍意義。例(課本)將n個球隨機地放入M個盒子中去，設(shè)每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。練習(xí)獨立地操作兩臺儀器，它們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+

p2Step1.設(shè)隨機變量X設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為XStep2.求X的分布律I.找出X的所有可能取值X=0,1,2II.計算每個取值的概率P(X=0)=(1-p1)(1-p2)P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2P(X=2)=p1p2E(X)=[p1(1-p2)+(1-p1)p2]+2p1p2=

p1+

p2Step3.計算E(X)解第二節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差重點理解方差的概念，掌握它的性質(zhì)與計算了解二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等的方差期望反映了隨機變量的平均值,是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征。但是，在許多實際問題中，僅僅知道均值是不夠的，常常還需要了解隨機變量與其均值的偏離程度。如，測量兩種手表，得知它們的日走時誤差(分鐘)的分布律分別為P-1010.20.60.2P-2-1120.30.20.20.3那一種手表的精確度高？為描述隨機變量X偏離其均值E(X)的情況，可以考慮考察的平均值。是否三個都能較好的描述偏離情況呢？方差Variance定義

設(shè)是一隨機變量，如果

的方差，記為存在，

則稱為或D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——

數(shù)均方差/標(biāo)準(zhǔn)差它與X有相同的度量單位(量綱相同)，在實際應(yīng)用中經(jīng)常使用。原點矩與中心矩一般地，我們稱為X的k階原點矩，稱為X的k階中心矩，其中k是正整數(shù)。例如，期望是一階原點矩，方差是二階中心矩。一維隨機變量的方差設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為離散型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)方差計算公式Proof.方差的計算步驟Step1:計算期望E(X)Step2:計算E(X2)Step3:計算D(X)兩點分布的方差XP011-pp分布律方差D(X)=pqq=1-p泊松分布的方差方差和期望值相等？！分布律方差正態(tài)分布的方差密度函數(shù)方差方差的性質(zhì).C為常數(shù).特別地，若X,Y相互獨立，則.性質(zhì)1的證明：性質(zhì)2的證明：性質(zhì)3的證明：當(dāng)X,Y相互獨立時，注意到，

例2

設(shè)X~B(n,p)，求D(X).解引入隨機變量相互獨立，故二項分布的方差P011-pp常見隨機變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p

的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P(

)

分布方差概率密度N(,2)例

已知

X的密度函數(shù)為其中

A,B

是常數(shù)，且E(X)=0.5.求

A,B.(2)設(shè)Y=X2,求

E(Y),D(Y)解

(1)(2)第三節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對多維隨機變量，隨機變量的期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒能反映出隨機變量之間的關(guān)系。本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機變量之間相互依賴關(guān)系的一個重要特征。在證明方差的性質(zhì)時，我們得到，當(dāng)X與Y相互獨立時，有：反之說明，當(dāng)，X與Y一定不相互獨立。這說明，量在一定程度上反映了隨機變量X與Y之間的關(guān)系。稱為X,Y的協(xié)方差.記為定義利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可將協(xié)方差的計算簡化：特別地，當(dāng)X與Y相互獨立時，有。注：當(dāng)X與Y不相互獨立時，也有可能。例(課本)設(shè)~顯然X與Y不相互獨立。意義：協(xié)方差可以幫助我們了解兩個變量之間的關(guān)系。如果X取值比較大時(如X大于其期望E(X))，Y也取值比較大(也大于它的期望E(Y)),這時cov(X,Y)>0；如果X取值比較小時(如X小于E(X))，Y也取值比較小(也小于E(Y)),這時也有cov(X,Y)>0?？梢娬膮f(xié)方差表示兩個隨機變量傾向于同時取較大值或較小值。反過來，負(fù)的協(xié)方差反映了兩個隨機變量有相反方向的變化趨勢。性質(zhì)第五節(jié)中心極限定理定理一林德伯格-列維中心極限定理[獨立同分布的中心極限定理]定理二棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項分布以正態(tài)分布為極限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)前面學(xué)習(xí)正態(tài)分布時提到，若隨機變量X受眾多相互獨立隨機因素影響，每一因素的影響都是微小的，且這些正、負(fù)影響可以疊加，那么這樣的隨機變量X接近正態(tài)分布。若將各因素作用用表示，那么，X將服從或近似服從正態(tài)分布。如何從理論上、數(shù)學(xué)上給予解釋？由此引發(fā)中心極限定理的研究。粗略地說，所謂中心極限定理就是討論在什么條件下，獨立隨機變量之和的分布可用正態(tài)分布近似。獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量序列獨立同一分布,且有期望和方差：則對于任意實數(shù)x,定理1注即n

足夠大時，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量的分布函數(shù)記近似近似服從中心極限定理的意義

在第二章曾講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為X

，是由于許多彼次沒有什么相依關(guān)系、對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用則它可被看成為許多相互獨立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結(jié)果.高爾頓釘板03—釘子層數(shù)常常在賭博試驗中見到。莊家常常在兩邊放置值錢的東西來吸引顧客。可用中心極限定理來解釋。棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace

）Yn

~N(np,np(1-p))(近似)定理2設(shè)是一個獨立同分布的隨機變量序列，且

~