2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題11.5 角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【八大題型】（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題11.5角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【八大題型】【人教版】TOC\o"1-2"\h\u【題型1雙垂直模型】 1【題型2A字模型】 4【題型38字模型】 7【題型4飛鏢模型】 10【題型5風(fēng)箏模型】 14【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 18【題型7兩外角角平分線模型】 21【題型8內(nèi)外角角平分線模型】 24【知識(shí)點(diǎn)1雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型1雙垂直模型】【例1】（2022春?建鄴區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）∴∠ADC＝90°（）∴CD⊥AB．（2）如圖②，若∠BAC的平分線分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：∠AEC＝∠CFE；（3）如圖③，若E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．①求S△CEF﹣S△ADF的值；②四邊形BDFE的面積是．【變式1-1】（2022春?潤州區(qū)期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC邊上的高，AE平分∠BAC，分別交BC、BD于點(diǎn)E、F．求證：∠BFE＝∠BEF．【變式1-2】（2022?綏棱縣校級(jí)期中）（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD、CE相交于點(diǎn)H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關(guān)系；（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)H，把圖②補(bǔ)充完整，并指出此時(shí)（1）中的等量關(guān)系是否仍然成立？【變式1-3】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖1，線段AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點(diǎn)H，EH的反向延長(zhǎng)線交AF于點(diǎn)G．①求證EG⊥AF；②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】【知識(shí)點(diǎn)2A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【題型2A字模型】【例2】（2022?江陰市校級(jí)月考）如圖是某建筑工地上的人字架．這個(gè)人字架夾角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度數(shù)為．【變式2-1】（2022春?道里區(qū)期末）如圖，△ABC中∠A＝115°，若圖中沿虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于（）A．180° B．230° C．290° D．295°【變式2-2】（2022武功縣期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DC、DE，在CD上取一點(diǎn)F，連接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．【變式2-3】（2022春?新野縣期末）舊知新意：我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝50°；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案．拓展提升：（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由．）【知識(shí)點(diǎn)38字模型】【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【題型38字模型】【例3】（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【變式3-1】（2022春?靖江市校級(jí)月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點(diǎn)O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【變式3-2】（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究?jī)?nèi)容一利用平行線有關(guān)知識(shí)探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個(gè)內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角來解決，也就是可以過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線來證明．請(qǐng)將下面（1）中的證明補(bǔ)充完整（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點(diǎn)A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請(qǐng)利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請(qǐng)判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式3-3】（2022春?石家莊期中）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC＝α°，點(diǎn)D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)E；BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點(diǎn)G．特例感悟：（1）如圖1，延長(zhǎng)AB交DG于點(diǎn)F，若BM∥DG，∠F＝30°．解決問題：①∠ABC＝°；②求證：AC⊥AB；深入探究；（2）如圖2，當(dāng)α＜90，DG與BM反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD＝；拓展延伸：（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上移動(dòng)時(shí)，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點(diǎn)為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．【知識(shí)點(diǎn)4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.【題型4飛鏢模型】【例4】（2022春?三明期末）探究與思考：（1）如圖①，∠BPC是△ABP的一個(gè)外角，則有結(jié)論：∠BPC＝∠A+∠B成立．若點(diǎn)P沿著線段PB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接PC形成圖形②，我們稱之為“飛鏢”圖形，那么請(qǐng)你猜想“飛鏢”圖形中∠BPC與∠A、∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（2）利用（1）的結(jié)論，請(qǐng)你求出五角星（如圖③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，說明你的理由；（3）若五角星中的點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)，形成如圖④⑤形狀，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)從圖④⑤中任選一個(gè)圖形說明理由．【變式4-1】（2022春?井研縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．【變式4-2】（2022春?深圳校級(jí)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）已知AB平行于CD，如a圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB、CD外部時(shí)，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，為什么？請(qǐng)說明理由．如b圖，將點(diǎn)P移動(dòng)到AB、CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【變式4-3】（2022?吉州區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)5風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【題型5風(fēng)箏模型】【例5】（2022春?南通期末）如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．【變式5-1】（2022春?銅山區(qū)期中）（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，請(qǐng)直接寫出∠1+2與∠A的關(guān)系：．（2）如圖2，把△ABC分別沿DE、FG折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠C＝°（3）如圖3，在銳角△ABC中，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，BM、CN交于點(diǎn)H，把△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，則∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系是．A．∠BHC＝180°-1B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+1D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如圖4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度數(shù)．【變式5-2】（2022春?常州期中）已知△ABC是一張三角形的紙片．（1）如圖①，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊AC上點(diǎn)A′的位置，∠DA′E與∠1的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）如圖②所示，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？（3）如圖③，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【變式5-3】（2022春?姜堰市期中）△ABC，直線DE交AB于D，交AC于E，將△ADE沿DE折疊，使A落在同一平面上的A′處，∠A的兩邊與BD、CE的夾角分別記為∠1，∠2如圖①，當(dāng)A落在四邊形BDEC內(nèi)部時(shí)，探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．如圖②，當(dāng)A′落在BC下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系．如圖③，當(dāng)A′落在AC右側(cè)時(shí)，探索∠A與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【知識(shí)點(diǎn)6兩內(nèi)角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（2022春?靖江市校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O．則∠BOC＝．【變式6-1】（2022春?昌平區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD，CE，AF分別是△ABC的角平分線，且相交于點(diǎn)O，OH⊥BC于H，試問∠1＝∠2？請(qǐng)說明理由．【變式6-2】（2022春?秀英區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BD，CE相交于點(diǎn)O．（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（2）求證：∠BOC＝90°+12∠【變式6-3】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)G為落在直線AB和直線CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點(diǎn)，則∠EGF＝；（2）若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點(diǎn)，有如下結(jié)論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．（3）進(jìn)一步探索，若EF⊥CD，且點(diǎn)G不在線段EF上，記∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點(diǎn)Pn，是否存在某一正整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°？說明理由．【知識(shí)點(diǎn)7兩外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（2022?平湖市模擬）如圖，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分線相交于點(diǎn)O，若∠A＝74°，則∠O＝度．【變式7-1】（2022春?新北區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠A＝40°，求∠BOC的度數(shù)；（2）如圖②，△A′B′C′的外角平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)；（3）上面（1）、（2）兩題中的∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的關(guān)系？這個(gè)結(jié)論你是怎樣得到的？【變式7-2】（2022春?江夏區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延長(zhǎng)BA至E，連接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分線相交于點(diǎn)P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，則∠D的度數(shù)是（）A．80° B．75° C．70° D．60°【變式7-3】（2022春?豐縣月考）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝45°，請(qǐng)直接寫出α，β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關(guān)系，并說明理由．【知識(shí)點(diǎn)8內(nèi)外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點(diǎn)P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.【題型8內(nèi)外角角平分線模型】【例8】（2022春?榕城區(qū)期末）如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長(zhǎng)線與∠MNO的平分線交于點(diǎn)F，在M、N的運(yùn)動(dòng)過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于45° D．等于30°【變式8-1】（2022春?海陵區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①求證：BE∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度數(shù)；③若∠F＝∠ABC＝50°，將△BOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，B′D′所在直線與FC平行，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α的值．【變式8-2】（2022?平湖市模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1＝；∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2010BC的平分線與∠A2010CD的平分線交于點(diǎn)A2011，得∠A2011，則∠A2011＝．【變式8-3】（2022春?東?？h期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對(duì)有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問題我們常將其作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型加以識(shí)記，以積累和豐富自己的問題解決經(jīng)驗(yàn)【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點(diǎn)，則有∠E=12∠A理由如下：因?yàn)椤螮BC+∠EBD＝180°，又因?yàn)樵凇鱁BC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD＝∠E+∠（理由是：等式性質(zhì)）同理可得∠ABD＝∠A+∠．又因?yàn)锽E和CE分別是∠ABD和∠ACB的角平分線，所以∠EBD=12∠ABD，∠=1所以12∠ABD＝∠E+1即∠E=12∠ABD-12∠ACB=1所以∠E=12∠請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延長(zhǎng)BA至G，延長(zhǎng)AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫出∠E+∠F與∠A+∠D的關(guān)系．專題11.5角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【八大題型】【人教版】TOC\o"1-2"\h\u【題型1雙垂直模型】 1【題型2A字模型】 7【題型38字模型】 10【題型4飛鏢模型】 16【題型5風(fēng)箏模型】 23【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 29【題型7兩外角角平分線模型】 35【題型8內(nèi)外角角平分線模型】 39【知識(shí)點(diǎn)1雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型1雙垂直模型】【例1】（2022春?建鄴區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（直角三角形兩銳角互余）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）∴∠ADC＝90°（三角形內(nèi)角和定理）∴CD⊥AB．（2）如圖②，若∠BAC的平分線分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：∠AEC＝∠CFE；（3）如圖③，若E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．①求S△CEF﹣S△ADF的值；②四邊形BDFE的面積是21．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠CAE＝∠BAE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，證明結(jié)論；（3）①根據(jù)三角形的面積公式分別求出S△ACD、S△ACE，結(jié)合圖形計(jì)算即可；②連接BF，設(shè)S△ADF＝x，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，求出x，把x代入計(jì)算得到答案．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（直角三角形兩銳角互余）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）∴∠ADC＝90°（三角形內(nèi)角和定理），∴CD⊥AB．故答案為：直角三角形兩銳角互余；三角形內(nèi)角和定理；（2）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∴∠AEC＝∠CFE；（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，∴S△ACD=14S△ABC＝9，S△ACE=13∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；②連接BF，設(shè)S△ADF＝x，則S△CFE＝3+x，∵AB＝4AD，∴S△BDF＝3x，∵BC＝3CE，∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，∴x+3+2x+6+3x=3解得，x＝3，∴四邊形BDFE的面積＝3x+2x+6＝21，故答案為：21．【變式1-1】（2022春?潤州區(qū)期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC邊上的高，AE平分∠BAC，分別交BC、BD于點(diǎn)E、F．求證：∠BFE＝∠BEF．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE＝∠CAE，再根據(jù)等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代換即可得解．【解答】證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，∴∠BEF＝∠AFD，∵∠BFE＝∠AFD（對(duì)頂角相等），∴∠BEF＝∠BFE【變式1-2】（2022?綏棱縣校級(jí)期中）（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD、CE相交于點(diǎn)H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關(guān)系；（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)H，把圖②補(bǔ)充完整，并指出此時(shí)（1）中的等量關(guān)系是否仍然成立？【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠BHC與∠EHD的關(guān)系，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理，可得答案；（2）根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠BHC與∠EHD的關(guān)系，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理，可得答案．【解答】解：（1）由∠BHC與∠EHD是對(duì)頂角，得∠BHC＝∠EHD．由高BD、CE相交于點(diǎn)H，得∠ADH＝∠AEH＝90°．由四邊形內(nèi)角和定理，得∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠BHC+∠A＝180°；（2）如圖，由∠BHC與∠EHD是對(duì)頂角，得∠BHC＝∠EHD．由高BD、CE相交于點(diǎn)H，得∠ADH＝∠AEH＝90°．由四邊形內(nèi)角和定理，得∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，∠H+∠DAE＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠BHC+∠BAC＝180°．【變式1-3】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖1，線段AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點(diǎn)H，EH的反向延長(zhǎng)線交AF于點(diǎn)G．①求證EG⊥AF；②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；（2）①想辦法證明∠EAG+∠AEG＝90°即可解決問題；②利用∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=1【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠∵EH平分∠CED，∴∠HED=12∠∵∠EAB＝∠CED，∴∠HED＝∠EAG，∴∠HED+∠AEG＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∴∠EGA＝90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD．∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM＝∠CDF=12∠CDE，∠AFM＝∠FAB=1∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠CDE+∠EAB＝90°，∴∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=1【知識(shí)點(diǎn)2A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【題型2A字模型】【例2】（2022?江陰市校級(jí)月考）如圖是某建筑工地上的人字架．這個(gè)人字架夾角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度數(shù)為60°．【分析】根據(jù)平角的定義求出∠4，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；【解答】解：如圖∵∠1+∠4＝180°，∠1＝120°，∴∠4＝60°，∵∠3＝∠2+∠4，∴∠3﹣∠2＝∠4＝60°，故答案為60°．【變式2-1】（2022春?道里區(qū)期末）如圖，△ABC中∠A＝115°，若圖中沿虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于（）A．180° B．230° C．290° D．295°【分析】根據(jù)題意由三角形內(nèi)角和可得出∠B+∠C＝65°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可求出∠1+∠2．【解答】解：∵∠A＝115°，∴∠B+∠C＝65°，∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣65°＝295°．故選：D．【變式2-2】（2022武功縣期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DC、DE，在CD上取一點(diǎn)F，連接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．【分析】先利用平行線的判定定理判定AB∥EF，利用平行線的性質(zhì)定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代換得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，兩直線平行判定即可．【解答】證明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE．∴AB∥EF．∴∠3＝∠ADE．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．故答案為：240°．【變式2-3】（2022春?新野縣期末）舊知新意：我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝50°；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案∠P＝90°-12∠A拓展提升：（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由．）【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計(jì)算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結(jié)論整理即可得解．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=1在△PBC中，∠P＝180°-12（180°+∠A）＝90°-1即∠P＝90°-12∠故答案為：50°，∠P＝90°-12∠（4）延長(zhǎng)BA、CD于Q，則∠P＝90°-12∠∴∠Q＝180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，＝180°+180°﹣2∠P，＝360°﹣2∠P．【知識(shí)點(diǎn)38字模型】【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【題型38字模型】【例3】（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根據(jù)角平分線的定義，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，進(jìn)而推斷出∠A+∠C＝2∠P，從而解決此題．【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B．【變式3-1】（2022春?靖江市校級(jí)月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點(diǎn)O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【分析】根據(jù)“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分線的定義可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得結(jié)論．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如圖，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【變式3-2】（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究?jī)?nèi)容一利用平行線有關(guān)知識(shí)探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個(gè)內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角來解決，也就是可以過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線來證明．請(qǐng)將下面（1）中的證明補(bǔ)充完整（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點(diǎn)A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請(qǐng)利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請(qǐng)判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）通過作平行線把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到同一個(gè)頂點(diǎn)，然后利用平角的定義解決問題；（2）利用（1）的結(jié)論即可求解；（3）利用（2）的結(jié)論即可求解．【解答】（1）證明：過A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根據(jù)（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根據(jù)（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【變式3-3】（2022春?石家莊期中）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC＝α°，點(diǎn)D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)E；BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點(diǎn)G．特例感悟：（1）如圖1，延長(zhǎng)AB交DG于點(diǎn)F，若BM∥DG，∠F＝30°．解決問題：①∠ABC＝60°；②求證：AC⊥AB；深入探究；（2）如圖2，當(dāng)α＜90，DG與BM反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD＝45°-12拓展延伸：（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上移動(dòng)時(shí)，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點(diǎn)為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得答案；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DGC＝∠CBM＝30°，再根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義可得結(jié)論；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；（3）分情況討論，分別畫出對(duì)應(yīng)圖形，再整理即可．【解答】解：（1）①∵BM∥DG，∴∠ABM＝∠F＝30°，∵BM為△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，故答案為：60°；②證明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，∵BM∥DG，∴∠DGC＝∠CBM＝30°，∵DE⊥BC，∴∠EDG＝60°，∵DG平分∠ADE，∴∠ADF＝60°，∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AC⊥AB；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG=12∠ADE+90°﹣（180°-12∠ABC）=12故答案為：45°-1（3）①如圖，由八字模型可得，△ABM和△NMD中，∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN=12∠ABC+α-12（90°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠②如圖，由四邊形的內(nèi)角和得，∠BND＝360°﹣90°-12∠ABC-12∠ADE＝270°③如圖，由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，∴∠BND=12∠ADE+（180°﹣α）-12∠ABC=12（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α綜上，∠BND＝45°+12α【知識(shí)點(diǎn)4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.【題型4飛鏢模型】【例4】（2022春?三明期末）探究與思考：（1）如圖①，∠BPC是△ABP的一個(gè)外角，則有結(jié)論：∠BPC＝∠A+∠B成立．若點(diǎn)P沿著線段PB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接PC形成圖形②，我們稱之為“飛鏢”圖形，那么請(qǐng)你猜想“飛鏢”圖形中∠BPC與∠A、∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（2）利用（1）的結(jié)論，請(qǐng)你求出五角星（如圖③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，說明你的理由；（3）若五角星中的點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)，形成如圖④⑤形狀，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)從圖④⑤中任選一個(gè)圖形說明理由．【分析】（1）連接AP并延長(zhǎng)至F，將“飛鏢”圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；（2）兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)得到∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝180°．【解答】解：（1）如圖②，∠BPC＝∠A+∠B+∠C，連接AP并延長(zhǎng)至F，則有∠B+∠BAP＝∠BPF，∠C+∠CAP＝∠CPF，所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP＝∠BPF+∠CPF＝∠BPC，即∠B+∠C+∠A＝∠BPC，（2）如圖③，∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．（3）如圖④，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝∠AGE+∠DFE+∠E＝180°．【變式4-1】（2022春?井研縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝150°；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為90°+α；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．【分析】（1）由平角的定義得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四邊形CDPE的內(nèi)角和是360°即可求得∠1+∠2．（2）同（1）的方法．（3）利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（4）利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由平角的定義知，∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，在四邊形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．當(dāng)α＝60°時(shí)，∠1+∠2＝150°．故答案為：150°．（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．故答案為：90°+α．（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠DMC＝∠2+∠α，∠1＝∠C+∠DMC，∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），即∠1＝90°+∠2+∠α．（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠2＝∠CFE+∠C，∠1＝∠PFD+∠α，∵∠CFE＝∠PFD，∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，即∠2＝90°+∠1﹣∠α．【變式4-2】（2022春?深圳校級(jí)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）已知AB平行于CD，如a圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB、CD外部時(shí)，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，為什么？請(qǐng)說明理由．如b圖，將點(diǎn)P移動(dòng)到AB、CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可；②利用平行線的特點(diǎn)作出平行線，再利用平行線的性質(zhì)即可；（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形CDHM中，用四邊形的內(nèi)角和即可．【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，結(jié)論：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如圖b，過點(diǎn)P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如圖c，連接QP并延長(zhǎng)，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如圖d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【變式4-3】（2022?吉州區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠③根據(jù)∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴12（∠ADB+∠AEB∴∠DCE=12（∠ADB+∠AEB＝45°+40°＝85°；③∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴110（133﹣x）+x∴13.3-110x+解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【知識(shí)點(diǎn)5風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【題型5風(fēng)箏模型】【例5】（2022春?南通期末）如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：360．【變式5-1】（2022春?銅山區(qū)期中）（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，請(qǐng)直接寫出∠1+2與∠A的關(guān)系：∠1+∠2＝2∠A．（2）如圖2，把△ABC分別沿DE、FG折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠C＝70°（3）如圖3，在銳角△ABC中，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，BM、CN交于點(diǎn)H，把△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，則∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系是A．A．∠BHC＝180°-1B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+1D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如圖4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，進(jìn)而求出∠A=1（4）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠HBC+∠HCB＝90°-12∠A，得出∠【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由如下：由折疊的性質(zhì)得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，由①②得：∠1+∠2＝2∠A；故答案為：∠1+∠2＝2∠A；（2）由（1）可得，∠A=12（∠1+∠2），∠B∴∠A+∠B=12（∠1+∠2+∠3+∠4）∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，故答案為：70°；（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．∴∠A=1∴∠BHC＝180°-1故選A；（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°，∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，∴∠HBC+∠HCB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠A）＝90°-1∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（90°-12∠＝90°+12∠A＝90°＝115°．【變式5-2】（2022春?常州期中）已知△ABC是一張三角形的紙片．（1）如圖①，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊AC上點(diǎn)A′的位置，∠DA′E與∠1的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）如圖②所示，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？（3）如圖③，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A＝∠DA′E，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可；（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A＝∠DA′E，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠A＝∠DA′E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠DA′E＝2∠DA′E，即∠1＝2∠DA′E；（2）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠A+12（180°﹣∠1）整理得，2∠A＝∠1+∠2；（3）如圖③，∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠A＝∠A′，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠3＝∠2+∠A′，∠1＝∠A+∠3，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′＝∠2+2∠A，即∠1＝∠2+2∠A．【變式5-3】（2022春?姜堰市期中）△ABC，直線DE交AB于D，交AC于E，將△ADE沿DE折疊，使A落在同一平面上的A′處，∠A的兩邊與BD、CE的夾角分別記為∠1，∠2如圖①，當(dāng)A落在四邊形BDEC內(nèi)部時(shí)，探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．如圖②，當(dāng)A′落在BC下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系．如圖③，當(dāng)A′落在AC右側(cè)時(shí)，探索∠A與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)圖①中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論2∠A＝∠1+∠2；（2）與（1）的證明過程完全相同；（3）根據(jù)圖③中由于折疊∠A與∠A′是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論2∠A＝∠1﹣∠2．【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2．理由如下：如圖①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（2）2∠A＝∠1+∠2．理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）2∠A＝∠1﹣∠2．理由如下：如圖③，設(shè)DA′交AC于點(diǎn)F．∵∠1＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，∴∠A+∠A′＝∠1﹣∠2，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1﹣∠2．【知識(shí)點(diǎn)6兩內(nèi)角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（2022春?靖江市校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O．則∠BOC＝115°．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再利用角平分線的定義即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC的角平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠OBC=12∠ABC，∠ACO＝∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．【變式6-1】（2022春?昌平區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD，CE，AF分別是△ABC的角平分線，且相交于點(diǎn)O，OH⊥BC于H，試問∠1＝∠2？請(qǐng)說明理由．【分析】根據(jù)角平分線定義得∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1＝∠ABO+∠BAO，則∠1=12（∠ABC+∠BAC），然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，所以∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°-12∠ACB；再由【解答】解：∠1＝∠2．理由如下：∵BD，CE，AF分別是△ABC的角平分線，∴∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB∵∠1＝∠ABO+∠BAO，∴∠1=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°-1又∵OH⊥BC，∴∠OHC＝90°，∴∠2＝90°﹣∠OCH＝90°-12∠∴∠1＝∠2．【變式6-2】（2022春?秀英區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BD，CE相交于點(diǎn)O．（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（2）求證：∠BOC＝90°+12∠【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)求出∠2+∠4的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理便可求出∠BOC；（2）方法同（1）．【解答】（1）解：∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．（2）證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）＝90°-1故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣（90°-12∠A）＝90°+1【變式6-3】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)G為落在直線AB和直線CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點(diǎn)，則∠EGF＝90°；（2）若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點(diǎn)，有如下結(jié)論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結(jié)論的序號(hào)為②③．（3）進(jìn)一步探索，若EF⊥CD，且點(diǎn)G不在線段EF上，記∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點(diǎn)Pn，是否存在某一正整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°？說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及三角形內(nèi)角和定理來完成．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及三角形內(nèi)角和定理，另外角的等分來判斷．（3）按題意添加輔助線，畫出相應(yīng)的EM、FN、點(diǎn)Pn，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及三角形內(nèi)角和定理、角的n等分，通過分類別討論推測(cè)出n是否存在，存在的值．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點(diǎn)，∴∠FEG+∠EFG=1∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．故答案為：90°．（2）若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點(diǎn)，∴∠FEG+∠EFG=13×180°或者∠FEG+∠∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，∴①錯(cuò)誤，②正確，當(dāng)∠EGF為直角，只有13∠BEF+23∠DFE＝90°或23∠BEF不妨假設(shè)13∠BEF+23∴23∠BEF+13∴13（∠BEF﹣∠DFE）+23（∠DFE∴∠BEF＝∠DFE，∵∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠BEF＝∠DFE＝90°，∴EF⊥CD，故③正確．故答案為：②③．（3）不存在某一整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：∵EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2），∴∠AEM=n-1nα，∠CFM=①當(dāng)點(diǎn)G在EF的左側(cè)，此時(shí)α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左側(cè)，如圖2所示，過點(diǎn)Pn作PnQ∥AB，∵AB∥CD，∴PnQ∥CD，∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN=n-1nα+1nβ②當(dāng)點(diǎn)G在右側(cè)，此時(shí)α＞90°，β＞90°．若n-1nα＜90°，則Pn在EF同理可得∠EPnF=n-1nα+若n-1nα＝90°，則Pn與F重合，不存在∠EPnF若n-1nα＞90°，則Pn在EF過點(diǎn)Pn作PnQ∥AB，∵AB∥CD，∴PnQ∥CD，∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°-n-1nα）-∵n-1nα＞90°，1n∴（180°-n-1nα）-即∠EPnF＜90°，綜上所述，不存在某一整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°．【知識(shí)點(diǎn)7兩外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（2022?平湖市模擬）如圖，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分線相交于點(diǎn)O，若∠A＝74°，則∠O＝53度．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°；再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，得兩個(gè)角的鄰補(bǔ)角的和是360°﹣106°＝254°；再根據(jù)角平分線的定義，得∠OCB+∠OBC＝127°；最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠O＝53°．【解答】解：∵∠A＝74°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°，∴∠BOC＝180°-1【變式7-1】（2022春?新北區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠A＝40°，求∠BOC的度數(shù)；（2）如圖②，△A′B′C′的外角平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)；（3）上面（1）、（2）兩題中的∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的關(guān)系？這個(gè)結(jié)論你是怎樣得到的？【分析】（1）（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義解答；（3）由前兩問提供的思路，進(jìn)一步推理．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，則∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=1=12（180°﹣∠A）故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因?yàn)椤螦的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的兩外角平分線相交于點(diǎn)O′，根據(jù)三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2=1∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC與∠B′O′C′互補(bǔ)；證明：當(dāng)∠A＝n°時(shí)，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°-n°∴∠A+∠A′＝90°+n°2+90°-n°2=180°，∠BOC與∠所以當(dāng)∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′還具有互補(bǔ)的關(guān)系．【變式7-2】（2022春?江夏區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延長(zhǎng)BA至E，連接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分線相交于點(diǎn)P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，則∠D的度數(shù)是（）A．80° B．75° C．70° D．60°【分析】由角平分線的定義可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得：∠E+∠1＝∠P+∠3，進(jìn)而∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，同理∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，從而求出∠D的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠E＝60°，∠P＝70°，在△AME和△PMC中，由三角形的內(nèi)角和定理得：∠E+∠1＝∠P+∠3，∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，同理：∠P+∠2＝∠D+∠4，∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，∴∠D＝80°．故選：A．【變式7-3】（2022春?豐縣月考）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝45°，請(qǐng)直接寫出α，β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用四邊形的內(nèi)角和和平角的定義推導(dǎo)即可；（2）利用角平分線的定義，四邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化即可；（3）利用角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)即可解答．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），＝α+β＝105°；（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正確）．理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=1∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α（3）BE∥DF．理由：如圖2，過點(diǎn)C作CP∥BE，則∠EBC＝∠BCP，∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCP＝β﹣∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，∵α＝β，∴∠MBC+∠NDC＝2β，又∵BE、DF分別平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）＝∴∠FDC＝β﹣∠EBC，又∵∠DCP＝β﹣∠EBC，∴∠FDC＝∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．【知識(shí)點(diǎn)8內(nèi)外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點(diǎn)P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.【題型8內(nèi)外角角平分線模型】【例8】（2022春?榕城區(qū)期末）如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長(zhǎng)線與∠MNO的平分線交于點(diǎn)F，在M、N的運(yùn)動(dòng)過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于45° D．等于30°【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分線，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，從而得到∠F=12∠【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵M(jìn)E平分∠AMN，F(xiàn)N平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故選：D．【變式8-1】（2022春?海陵區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①求證：BE∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度數(shù)；③若∠F＝∠ABC＝50°，將△BOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，B′D′所在直線與FC平行，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案．（2）①根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案．②結(jié)合角平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．③求出∠ODB的度數(shù)即可解決【解答】解：（1）∵三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=1∵∠OBC=12∠∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+12∠ABC＝90°+∠∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC