2023-2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題13.6 等腰三角形的證明及計算大題專項訓練（50道）（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題13.6等腰三角形的證明及計算大題專項訓練（50道）【人教版】考卷信息：本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學生對等腰三角形工具的應用及構(gòu)造等腰三角形！一．解答題（共50小題）1．（2022秋?勃利縣期末）如圖：△ABC的邊AB的延長線上有一個點D，過點D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求證：△ABC為等腰三角形．2．（2022秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E，求∠DBC的度數(shù)．3．（2022秋?林州市期末）已知△ABC的兩邊長a和b滿足a-9+（b﹣4）2（1）若第三邊長為c，求c的取值范圍．（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長．4．（2022秋?河東區(qū)校級期中）如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求證：AC＝BC；（2）如圖2，點C的坐標為（4，0），點E為AC上一點，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的長．5．（2022秋?武岡市期中）已知如圖，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分線交EF于O點．（1）求證：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求證：OC平分∠ACB．6．（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)．7．（2022秋?大石橋市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點E，使CE=12BC，若D是AC的中點，連接ED并延長交AB于點（1）若AF＝3，求AD的長；（2）證明：DE＝2DF．8．（2022春?大埔縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F(xiàn)為BC中點，連接AF．（1）直接寫出∠BAE的度數(shù)為；（2）判斷AF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．9．（2022秋?寧明縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于點D，且DE＝DC．求證：△CEB為等邊三角形．10．（2022春?二七區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是；②若線段BC＝2，點A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是；（2）如圖（2），點D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是．11．（2022秋?臺江區(qū)期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠ACD；（2）過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．12．（2022春?市南區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，BD＝BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，求證：BE垂直平分CD．13．（2022秋?平房區(qū)期末）如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．14．（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．15．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動，點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，設P、Q分別從點B、A同時出發(fā)，運動的時間為ts．（1）用含t的式子表示線段AP、AQ的長；（2）當t為何值時，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形？（3）當t為何值時，PQ∥BC？16．（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？17．（2022春?渠縣校級期末）已知：如圖，AB＝AC，D是AB上一點，DE⊥BC于點E，ED的延長線交CA的延長線于點F．求證：△ADF是等腰三角形．18．（2022秋?北侖區(qū)期中）（1）如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．①求證：OE＝BE；②若△ABC的周長是25，BC＝9，試求出△AEF的周長；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點P，連接AP，試探求∠BAC與∠PAC的數(shù)量關(guān)系式．19．（2022秋?余干縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求證：BC＝DC．20．（2022春?焦作期末）如圖，在等邊三角形ABC中∠B，∠C的平分線相交于點O，作BO，CO的垂直平分線分別交BC于點E和點F．小明說：“E，F(xiàn)是BC的三等分點．”你同意他的說法嗎？請說明理由．21．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點．（1）求證：△BED是等腰三角形：（2）當∠BCD＝°時，△BED是等邊三角形．22．（2022春?梅州校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F(xiàn)，且使DE始終與AB垂直．（1）△BDF是什么三角形？請說明理由；（2）設AD＝x，CF＝y(tǒng)，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不用寫出自變量x的取值范圍）（3）當移動點D使EF∥AB時，求AD的長．23．（2022秋?陽新縣校級期末）如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1點D為AC上一動點，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長線交BC的延長線于F，設CD＝n，（1）當n＝1時，則AF＝；（2）當0＜n＜1時，如圖2，在BA上截取BH＝AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．24．（2022?寧德一模）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點D，E，連接BD，ED．（1）寫出圖中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數(shù)．25．（2022秋?平輿縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點P為邊BC上的一點，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，點C關(guān)于直線PA的對稱點為D，連接BD，又△APC的PC邊上的高為AH（1）求∠BPD的大?。唬?）判斷直線BD，AH是否平行？并說明理由；（3）證明：∠BAP＝∠CAH．26．（2022春?本溪縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC周長為20cm，AC＝8cm，求DC長．27．（2022秋?澧縣期末）如圖，一只船從A處出發(fā)，以18海里/時的速度向正北航行，經(jīng)過10小時到達B處．分別從A、B處望燈塔C，測得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B處與燈塔C距離．28．（2022春?西安期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5cm，△ABD的周長為17cm，求△ABC的周長．29．（2022春?嵩縣期末）如圖所示．點P在∠AOB的內(nèi)部，點M、N分別是點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點，線段MN交OA、OB于點E、F．（1）若MN＝20cm，求△PEF的周長．（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度數(shù)．30．（2022秋?沂南縣期末）如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點O．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，寫出DO與AD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．31．（2022秋?張家港市校級期末）如圖：AD為△ABC的高，∠B＝2∠C，用軸對稱圖形說明：CD＝AB+BD．32．（2022春?錦江區(qū)校級期末）操作實驗：如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個三角形成軸對稱．所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．歸納結(jié)論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：思考驗證：如圖（4），在△ABC中，AB＝AC．試說明∠B＝∠C的理由；探究應用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A．E為AB的中點，AB＝BC，CE⊥BD．（1）BE與AD是否相等，為什么？（2）小明認為AC是線段DE的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由；（3）∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．33．（2022?海豐縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E在AD上．求證：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）34．（2022春?余杭區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D為AC的中點，E為BC延長線上一點，且CE=12（1）求ME的長；（2）求證：△DMC是等腰三角形．35．（2022?白城校級模擬）在△ABC中，AB＝AC，點D是線段BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝；（2）如圖2，設∠BAC＝α，∠BCE＝β．當點D在線段BC上移動時，請寫出α，β之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．36．（2022秋?樂亭縣期末）若a、b是△ABC的兩邊且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）試求a、b的值，并求第三邊c的取值范圍．（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．（3）若另一等腰△DEF，其中一內(nèi)角為x°，另一個內(nèi)角為（2x﹣20）°試求此三角形各內(nèi)角度數(shù)．37．（2022秋?盂縣期末）將一副直角三角板如圖擺放，等腰直角板ABC的斜邊BC與含30°角的直角三角板DBE的直角邊BD長度相同，且斜邊BC與BE在同一直線上，AC與BD交于點O，連接CD．求證：△CDO是等腰三角形．38．（2022秋?龍門縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）求證：∠B＝∠DEF；（3）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．39．（2022春?靜安區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求證：AC﹣AB＝2BE．40．（2022秋?秦淮區(qū)校級期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC＝2BE．41．（2022秋?滑縣校級期末）已知△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，∠EDF＝120°，DE交線段AB于E，DF交直線BC于F．（1）如圖（1），求證：DE＝DF；（2）如圖（2），若BE＝3AE，求證：CF=14（3）如圖（3），若BE=13AE，則CF＝BC；在圖（1）中，若BE＝4AE，則CF＝42．（2022春?嶧城區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求證：△CEF是等腰三角形；（2）若CD＝2，求DF的長．43．（2022秋?紅山區(qū)期末）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．44．（2022?南京模擬）數(shù)一數(shù)甲圖中有幾個角（小于平角）？乙圖中有幾個等腰三角形？丙圖中有幾對全等三角形？丁圖中有幾對等邊三角形？45．（2022秋?五河縣期末）如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）求證：PD＝DQ；（2）若△ABC的邊長為1，求DE的長．46．（2022?南京模擬）如圖，∠BAC＝30°，點P是∠BAC的平分線上的一點，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10cm，求PD的長度．47．（2022春?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的兩側(cè)，D在A，E之間，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：BD＝DE+CE．48．（2022秋?龍華區(qū)期末）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，點E、F分別在l3、l1上，Rt△ABC的直角頂點C在直線l1上，點B在直線l2上，點A在直線l3上，l2與AC交于點D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BCF的度數(shù)．49．（2022春?電白區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s），則（1）BP＝cm，BQ＝cm．（用含t的代數(shù)式表示）（2）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？50．（2022?南京模擬）如圖，在等邊△ABC的三邊上分別取點D、E、F，使AD＝BE＝CF．（1）試說明△DEF是等邊三角形；（2）連接AE、BF、CD，兩兩相交于點P、Q、R，則△PQR為何種三角形？試說明理由．專題13.6等腰三角形的證明及計算大題專項訓練（50道）【人教版】考卷信息：本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學生對等腰三角形工具的應用及構(gòu)造等腰三角形！一．解答題（共50小題）1．（2022秋?勃利縣期末）如圖：△ABC的邊AB的延長線上有一個點D，過點D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求證：△ABC為等腰三角形．【分析】要證△ABC為等腰三角形，須證∠A＝∠C，而由題中已知條件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通過角的加減求得∠A與∠C相等，從而判斷△ABC為等腰三角形．【詳解】證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC為等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2022秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E，求∠DBC的度數(shù)．【分析】分別求出∠ABC，∠ABD，可得結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠∵AB的垂直平分線MN交AC于D，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題．3．（2022秋?林州市期末）已知△ABC的兩邊長a和b滿足a-9+（b﹣4）2（1）若第三邊長為c，求c的取值范圍．（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得c的范圍；（2）分腰長為9或4兩種情況進行計算；【詳解】解：（1）∵a-9+（b﹣4）2∴a﹣9＝0，b﹣4＝0，解得a＝9，b＝4，∵9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13；（2）當腰長為9時，此時三角形的三邊為9、9、4，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為22；當腰長為4時，此時三角形的三邊長為4、4、9，4+4＜9，不滿足三角形三邊關(guān)系．綜上可知，△ABC的周長為22．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?河東區(qū)校級期中）如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求證：AC＝BC；（2）如圖2，點C的坐標為（4，0），點E為AC上一點，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的長．【分析】（1）由題意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB與y軸交于D點，所以可由AAS定理證明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BC；（2）過D作DN⊥AC于N點，可證明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的長．【詳解】（1）證明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中∠ACD=∠BCD∠CAO=∠CBD∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC；（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，過D作DN⊥AC于N點，如右圖所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中BD=DEDO=DN∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∠DOC=∠DNC=90°∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，做題時添加了輔助線，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022秋?武岡市期中）已知如圖，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分線交EF于O點．（1）求證：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求證：OC平分∠ACB．【分析】（1）利用平行線以及角平分線的定義證明∠EOB＝∠EBO即可．（2）想辦法證明∠OCF＝∠OCB即可．【詳解】證明：（1）∵EF∥BC，交AB、AC于E、F．∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，∵∠B的平分線交EF于O點，∴∠EBO＝∠CBO，∴∠EBO＝∠BOE，∴EO＝BE．（2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，∴OE+OF＝BE+CF，∵EO＝BE，∴OF＝CF，∴∠COF＝∠FCO，∵∠COF＝∠BCO，∴∠BCO＝∠FCO，∴OC平分∠ACB．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識．進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠C，利用“邊角邊”證明△BDE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE＝EF，再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，再利用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠B＝∠DEF．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，BD=CE∠B=∠C∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，∴∠B＝∠DEF，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B=1∴∠DEF＝65°．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?大石橋市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點E，使CE=12BC，若D是AC的中點，連接ED并延長交AB于點（1）若AF＝3，求AD的長；（2）證明：DE＝2DF．【分析】（1）根據(jù)已知條件，易證CD＝CE，從而求出∠E＝∠CDE＝30°，然后再根據(jù)∠B＝60°，求出∠AFD＝90°，最后放在直角三角形AFD中，即可解答；（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到連接BD，易證BD＝DE，然后放在直角三角形BFD中，即可解答．【詳解】（1）解：∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∵D為AC中點，∴CD＝AD=12∵CE=12∴CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠ADF＝∠CDE＝30°，∵∠A＝60°∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝90°，∵AF＝3∴AD＝2AF＝6；（2）證明：連接BD，∵△ABC為等邊三角形，D為AC中點，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD=12∠∵∠BFD＝90°∴BD＝2DF∵∠DBC＝∠E＝30°∴BD＝DE∴DE＝2DF．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的三線合一添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?大埔縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F(xiàn)為BC中點，連接AF．（1）直接寫出∠BAE的度數(shù)為90°；（2）判斷AF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）分別求出∠BAC，∠CAE即可解決問題．（2）證明AF⊥BCEC⊥BC即可判斷．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案為90°．（2）結(jié)論：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．（2022秋?寧明縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于點D，且DE＝DC．求證：△CEB為等邊三角形．【分析】根據(jù)CE⊥AB于點D，且DE＝DC得出BC＝BE，根據(jù)角的關(guān)系得出∠ECB＝60°，即可證得△CEB為等邊三角形．【詳解】證明：∵CE⊥AB于點D，且DE＝DC，∴BC＝BE，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于點D，∴∠ECB＝60°，∴△CEB為等邊三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?二七區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α+β＝180°；②若線段BC＝2，點A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是8；（2）如圖（2），點D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是CE＝BC+CD．【分析】（1）①先證∠CAE＝∠BAD，再證明△ABD≌△ACE，得出對應角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①如圖2，根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案為：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，當AD⊥BC時，AD最短，即四邊形ADCE周長的值最小，∵點A到直線BC的距離是3，∴AD＝AE＝3，∴四邊形ADCE周長的最小值是2+3+3＝8，故答案為：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案為：CE＝BC+CD．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等得出對應角相等、對應邊相等是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022秋?臺江區(qū)期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠ACD；（2）過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．【分析】（1）證明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；（2）①證明△NEC≌△NPC（SAS）即可；②延長PD、ME交于Q點，結(jié)合①推導出∠EPD＝∠DQE＝30°，則PE＝EQ，則ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時ME+PE的值最小，再由點O是直線AE上的動點，可得當MO+PO的值最小時，E點與O點重合．【詳解】證明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中點，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②延長PD、ME交于Q點，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時ME+PE的值最小，∵點O是直線AE上的動點，∴當MO+PO的值最小時，E點與O點重合．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱求最短距離是解題的關(guān)鍵．12．（2022春?市南區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，BD＝BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，求證：BE垂直平分CD．【分析】證明Rt△BDE≌Rt△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED＝EC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明．【詳解】證明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，BD=BCBE=BE∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的判定，掌握到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?平房區(qū)期末）如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．【分析】（1）首先過點A作AF⊥BC于點F，由AD＝AE，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AB＝AC．（2）根據(jù)等腰三角形的判定解答即可．【詳解】證明：（1）過點A作AF⊥BC于點F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形為：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．14．（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．【分析】設∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．【詳解】解：設∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；利用了三角形的內(nèi)角和定理得到相等關(guān)系，通過列方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．15．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動，點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，設P、Q分別從點B、A同時出發(fā)，運動的時間為ts．（1）用含t的式子表示線段AP、AQ的長；（2）當t為何值時，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形？（3）當t為何值時，PQ∥BC？【分析】（1）由題意，可知∠B＝30°，AC＝6cm．BP＝2t，AP＝AB﹣BP，AQ＝t．（2）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，則有AP＝AQ，即12﹣2t＝t，求出t即可．（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠QPA的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；（2）∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，∴當t＝4時，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形；（3）當PQ⊥AC時，PQ∥BC．∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°∵PQ∥BC，∴∠QPA＝30°∴AQ=12∴t=12（12﹣2t），解得∴當t＝3時，PQ∥BC．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵．16．（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代數(shù)式表示）（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當點Q在邊BC上運動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t=16∴出發(fā)163秒后，△PQB（3）①當△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當t為11或12時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應用．17．（2022春?渠縣校級期末）已知：如圖，AB＝AC，D是AB上一點，DE⊥BC于點E，ED的延長線交CA的延長線于點F．求證：△ADF是等腰三角形．【分析】根據(jù)等邊對等角得出∠B＝∠C，再利用等角的余角相等和對頂角相等得出∠EFC＝∠ADF，進而證明即可．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對等角），∵DE⊥BC于E，∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），∵∠EDB＝∠ADF（對頂角相等），∴∠EFC＝∠ADF，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．【點睛】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是利用等角的余角相等和對頂角相等得出∠EFC＝∠ADF．18．（2022秋?北侖區(qū)期中）（1）如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．①求證：OE＝BE；②若△ABC的周長是25，BC＝9，試求出△AEF的周長；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點P，連接AP，試探求∠BAC與∠PAC的數(shù)量關(guān)系式．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)三角形的周長公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周長＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠FAP＝∠PAC，∴∠FAC＝2∠PAC，∵∠FAC+∠BAC＝180°，∴2∠PAC+∠BAC＝180°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?余干縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求證：BC＝DC．【分析】連接BD，根據(jù)AB＝AD，可得∠ABD＝∠ADB，再根據(jù)∠ABC＝∠ADC，可證∠CBD＝∠CDB即可．【詳解】證明：連接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD，∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC【點睛】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，連接BD，求證△ABD是等腰三角形，這是解答此題的關(guān)鍵．20．（2022春?焦作期末）如圖，在等邊三角形ABC中∠B，∠C的平分線相交于點O，作BO，CO的垂直平分線分別交BC于點E和點F．小明說：“E，F(xiàn)是BC的三等分點．”你同意他的說法嗎？請說明理由．【分析】連接OE、OF，根據(jù)等邊三角形角平分線的性質(zhì)，可得∠OBC＝∠OCB＝30°，由BC的垂直平分線，可知BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∠OEF＝60°，再證，∠OFE＝60°，得出△OEF為等邊三角形，從而可知EF＝OE＝BE＝OF＝FC，得出結(jié)論．【詳解】解：連接OE、OF，∵E為BO垂直平分線上的點，且∠OBC＝30°，∴BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∴∠OEF＝∠EBO+∠EOB＝60°，同理，∠OFE＝∠FCO+∠FOC＝60°，∴△OEF為等邊三角形，即EF＝OE＝BE，EF＝OF＝FC，故E、F為BC的三等分點，故該說法正確．【點睛】本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，考查了垂直平分線的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理求BE、CF的值是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點．（1）求證：△BED是等腰三角形：（2）當∠BCD＝150°時，△BED是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=12AC，DE=12AC，從而得到（2）利用等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)得出12∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB【詳解】證明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC邊的中點，∴BE=12AC，DE=∴BE＝DE，∴△BED是等腰三角形；（2）∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠EDA，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，∠EAB+∠EBA＝∠BEC，∴∠DAB=12∠∵△BED是等邊三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．故答案為：150．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定以及三角形外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出12∠DEB＝∠DAB22．（2022春?梅州校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F(xiàn)，且使DE始終與AB垂直．（1）△BDF是什么三角形？請說明理由；（2）設AD＝x，CF＝y(tǒng)，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不用寫出自變量x的取值范圍）（3）當移動點D使EF∥AB時，求AD的長．【分析】（1）由已知可得∠FDB＝60°，∠B＝60°，從而可得到△BDF是等邊三角形．（2）由∠A＝30°，∠ACB＝90°可得AB＝2BC＝2，再將CF＝y(tǒng)，BF＝1﹣y，代入即可得出x，y的關(guān)系；（3）當EF∥AB時，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，CF=12EF，EF=12【詳解】解：（1）△BDF是等邊三角形，證明如下：∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠DFB＝60°，∴△BDF是等邊三角形．（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，∵CF＝y(tǒng)，∴BF＝1﹣y，又△BDF是等邊三角形，∴BD＝BF＝1﹣y，∴x＝2﹣（1﹣y）＝1+y，∴y＝x﹣1，（3）當EF∥AB時，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，∴CF=12EF，EF=∵DF＝BF＝1﹣y，∴y=14（1﹣y），∴y∴x＝y(tǒng)+1=65，即AD【點睛】本題考查的知識點比較多，難度較大，要熟練地掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)．23．（2022秋?陽新縣校級期末）如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1點D為AC上一動點，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長線交BC的延長線于F，設CD＝n，（1）當n＝1時，則AF＝2；（2）當0＜n＜1時，如圖2，在BA上截取BH＝AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝60°，再根據(jù)平角等于180°求出∠FAC＝60°，然后求出∠F＝30°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可；（2）根據(jù)三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和利用∠CBD表示出∠ADE＝30°+∠CBD，又∠HBE＝30°+∠CBD，從而得到∠ADE＝∠HBE，然后根據(jù)邊角邊證明△ADE與△HBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE＝HE，對應角相等可得∠AED＝∠HEB，然后推出∠AEH＝∠BED＝60°，再根據(jù)等邊三角形的判定即可證明．【詳解】（1）解：∵△BDE是等邊三角形，∴∠EDB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴FAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠F＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝180°﹣90°，∴AF＝2AC＝2×1＝2；（2）證明：∵△BDE是等邊三角形，∴BE＝BD，∠EDB＝∠EBD＝60°，在△BCD中，∠ADE+∠EDB＝∠CBD+∠C，即∠ADE+60°＝∠CBD+90°，∴∠ADE＝30°+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD＝60°，∠CBD+∠ABD＝30°，∴∠HBE＝30°+∠CBD，∴∠ADE＝∠HBE，在△ADE與△HBE中，BH=AD∠ADE=∠HBE∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE＝HE，∠AED＝∠HEB，∴∠AED+∠DEH＝∠DEH+∠HEB，即∠AEH＝∠BED＝60°，∴△AEH為等邊三角形．【點睛】本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，（2）中求出∠ADE＝∠HBE是解題的關(guān)鍵．24．（2022?寧德一模）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點D，E，連接BD，ED．（1）寫出圖中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，兩底角相等或兩條邊相等的三角形是等腰三角形，即可找出圖中所有的等腰三角形；（2）根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°﹣2∠BED＝48°，設∠ACB＝x°，則∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°﹣2x°，又根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BDC＝∠A+∠ABD，則x＝180﹣2x+48，求得∠ACB＝76°．【詳解】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵BE＝BD＝BC，∴△BCD，△BED是等腰三角形；∴圖中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；（2）解：∵∠AED＝114°，∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝66°．∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．解法一：設∠ACB＝x°，∴∠ABC＝∠ACB＝x°．∴∠A＝180°﹣2x°．∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝x°．又∵∠BDC為△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD．∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．∴∠ACB＝76°．（10分）解法二：設∠ACB＝x°，∴∠ABC＝∠ACB＝x°．∴∠DBC＝x°﹣48°．∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝x°．又∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，∴x﹣48+x+x＝180，解得：x＝76．∴∠ACB＝76°．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，難度一般．25．（2022秋?平輿縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點P為邊BC上的一點，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，點C關(guān)于直線PA的對稱點為D，連接BD，又△APC的PC邊上的高為AH（1）求∠BPD的大小；（2）判斷直線BD，AH是否平行？并說明理由；（3）證明：∠BAP＝∠CAH．【分析】（1）根據(jù)點C關(guān)于直線PA的對稱點為D，即可得到△ADP≌△ACP，進而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；（2）先取PD中點E，連接BE，則△BEP為等邊三角形，△BDE為等腰三角形，進而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根據(jù)△APC的PC邊上的高為AH，可得AH⊥BC，進而得出BD∥AH；（3）過點A作BD、DP的垂線，垂足分別為G、F．根據(jù)∠GBA＝∠CBA＝45°，可得點A在∠GBC的平分線上，進而得到點A在∠GDP的平分線上．再根據(jù)∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，進而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP＝∠CAH．【詳解】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，∴∠APC＝15°+45°＝60°，∵點C關(guān)于直線PA的對稱點為D，∴PD＝PC，AD＝AC，∴△ADP≌△ACP，∴∠APC＝∠APD＝60°，∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；（2）直線BD，AH平行．理由：∵BC＝3BP，∴BP=12PC=如圖，取PD中點E，連接BE，則△BEP為等邊三角形，△BDE為等腰三角形，∴∠BEP＝60°，∴∠BDE=12∠∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．又∵△APC的PC邊上的高為AH，∴AH⊥BC，∴BD∥AH；（3）如圖，過點A作BD、DP的垂線，垂足分別為G、F．∵∠APC＝∠APD，即點A在∠DPC的平分線上，∴AH＝AF．∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，∴∠GBA＝∠CBA＝45°，即點A在∠GBC的平分線上，∴AG＝AH，∴AG＝AF，∴點A在∠GDP的平分線上．又∵∠BDP＝30°，∴∠GDP＝150°，∴∠ADP=1∴∠C＝∠ADP＝75°，∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，∴∠BAP＝∠CAH．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對稱的性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．26．（2022春?本溪縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC周長為20cm，AC＝8cm，求DC長．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根據(jù)已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C=12∠（2）∵△ABC周長20cm，AC＝8cm，∴AB+BE+EC＝12cm，即2DE+2EC＝12cm，∴DE+EC＝DC＝6cm．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?澧縣期末）如圖，一只船從A處出發(fā)，以18海里/時的速度向正北航行，經(jīng)過10小時到達B處．分別從A、B處望燈塔C，測得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B處與燈塔C距離．【分析】本題的關(guān)鍵是利用題中給出的角的度數(shù)，求得BC＝AB，再速度乘時間就是路程，從而求出BC的長．【詳解】解：∵∠NBC是△ABC的外角∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°∴∠C＝∠BAC∴BC＝BA＝18×10＝180（海里）因此B處與燈塔C距離是180海里．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；利用數(shù)學知識來解決特殊的實際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．28．（2022春?西安期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5cm，△ABD的周長為17cm，求△ABC的周長．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，根據(jù)三角形的周長公式計算．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，∵△ABD的周長為17cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝17cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝27cm．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．29．（2022春?嵩縣期末）如圖所示．點P在∠AOB的內(nèi)部，點M、N分別是點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點，線段MN交OA、OB于點E、F．（1）若MN＝20cm，求△PEF的周長．（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出ME＝PE，NF＝PF，再由MN＝20cm即可得出結(jié)論；（2）要求∠EPF的度數(shù)，要在△EPF中進行，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)找出與∠MPN的關(guān)系，利用已知∠AOB＝35°可求出∠EPF，答案可得【詳解】解：（1）∵點M、N分別是點P關(guān)于OA、OB的對稱點，∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周長是20cm．（2）如圖，∵點M、N分別是點P關(guān)于直線0A、OB的對稱點，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴∠PRE＝∠PTF＝90°，∴在四邊形OTPR中，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，即∠MPN+∠M+∠N＝180°，∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，在計算的過程中運用了四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和定理及其推論．30．（2022秋?沂南縣期末）如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點O．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，寫出DO與AD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，證明Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，DE=DFAD=AD∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∴點A、D都在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF；（2）DO=1證明：∵AD為△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE=12∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，∴∠DEO＝30°，∴OD=12∴DO=14【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?張家港市校級期末）如圖：AD為△ABC的高，∠B＝2∠C，用軸對稱圖形說明：CD＝AB+BD．【分析】作出關(guān)于AD對稱的圖形，借助軸對稱的性質(zhì)，得到BD＝DE，借助∠B＝2∠C，得到AE＝EC．根據(jù)題意有CD＝DE+EC，將等量關(guān)系代入可得CD＝DE+EC＝AB+BD．【詳解】證明：在CD上取一點E使DE＝BD，連接AE．∵BD＝DE，且∠AED為△AEC的外角，∠B＝2∠C，∴∠B＝∠AED＝∠C+∠EAC＝2∠C，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝EC；則CD＝DE+EC＝AB+BD．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用．對應點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．32．（2022春?錦江區(qū)校級期末）操作實驗：如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個三角形成軸對稱．所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．歸納結(jié)論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：思考驗證：如圖（4），在△ABC中，AB＝AC．試說明∠B＝∠C的理由；探究應用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A．E為AB的中點，AB＝BC，CE⊥BD．（1）BE與AD是否相等，為什么？（2）小明認為AC是線段DE的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由；（3）∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．【分析】思考驗證：作等腰三角形底邊上的高，構(gòu)造全等三角形．（1）BE與AD在兩個直角三角形中，證這兩個直角三角形全等即可；（2）可證點A，C在線段DE的垂直平分線上．注意結(jié)合（1）的結(jié)論，利用全等證明即可；（3）由第二問的垂直平分線的性質(zhì)，得到CD＝CE，由第一問的全等得到DB＝CE，那么CD＝BD，所以∠DBC＝∠DCB．【詳解】解：思考驗證：過A點作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=ACAD=AD∴△ABD≌△ACD（HL），∴∠B＝∠C；探究應用：（1）說明：因為BD⊥EC，∴∠CEB+∠1＝90°，∠1+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠BEC，在△ADB和△BEC中∠ADB=∠BEC∠DAB=∠EBC=90°∴△DAB≌△EBC（AAS）．∴DA＝BE．（2）∵E是AB中點，∴AE＝BE．∵AD＝BE，∴AE＝AD．在△ABC中，因為AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∴∠BAC＝∠DAC．在△ADC和△AEC中，AD=AE∠DAC=∠EAC∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC＝CE．∴C在線段DE的垂直平分線上．∵AD＝AE，∴A在線段DE的垂直平分線上．∴AC垂直平分DE．（3）∵AC是線段DE的垂直平分線，∴CD＝CE．∵△ADB≌△BEC，∴DB＝CE．∴CD＝BD．∴∠DBC＝∠DCB．【點睛】做等腰三角形的底邊上的高是常用的輔助線方法．當線段在兩個三角形中時，一般要證明這兩條線段所在的三角形全等；證明在同一個三角形中的兩個角相等時，要利用等邊對等角這個知識點．33．（2022?海豐縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E在AD上．求證：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AB＝AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BE＝CE．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2022春?余杭區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D為AC的中點，E為BC延長線上一點，且CE=12（1）求ME的長；（2）求證：△DMC是等腰三角形．【分析】（1）由條件可知M是BC的中點，可知BM＝CM＝CE＝3；（2）由條件可知DM為Rt△AMC斜邊上的中線，可得DM＝DC，則可證得△DMC是等腰三角形．【詳解】（1）解：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴BM＝CM=12BC＝∴ME＝MC+CE＝3+3＝6；（2）證明：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D為AC中點，∴DM＝DC，∴△DMC是等腰三角形．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，由條件得到M為BC的中點及AM⊥BC是解題的關(guān)鍵．35．（2022?白城校級模擬）在△ABC中，AB＝AC，點D是線段BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝90°；（2）如圖2，設∠BAC＝α，∠BCE＝β．當點D在線段BC上移動時，請寫出α，β之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【分析】（1）問要求∠BCE的度數(shù)，可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形中對應角相等，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）問在第（1）問的基礎上，將α+β轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）90°．理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°∴∠BCE＝90°；（2）α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性質(zhì)；兩者綜合運用，促進角與角相互轉(zhuǎn)換，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵．36．（2022秋?樂亭縣期末）若a、b是△ABC的兩邊且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）試求a、b的值，并求第三邊c的取值范圍．（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．（3）若另一等腰△DEF，其中一內(nèi)角為x°，另一個內(nèi)角為（2x﹣20）°試求此三角形各內(nèi)角度數(shù)．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得c的范圍；（2）分腰長為3或4兩種情況進行計算；（3）分這兩個內(nèi)角一個為頂角和兩個都是底角三種情況，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得x，可得出三個角的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，∴a＝3b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；（2）當腰長為3時，此時三角形的三邊為3、3、4，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為10；當腰長為4時，此時三角形的三邊長為4、4、3，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為11；綜上可知等腰三角形的周長為10或11；（3）當?shù)捉菫閤°、頂角為（2x﹣20）°時，則根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此時三個內(nèi)角分別為50°、50°、80°；當頂角為x°、底角為（2x﹣20）°時，則根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此時三個內(nèi)角分別為44°、68°、68°；當?shù)捉菫閤°、（2x﹣20）°時，則等腰三角形性質(zhì)可得x＝2x﹣20，解得x＝20，此時三個內(nèi)角分別為20°、20°、140°；綜上可知三角形三個內(nèi)角為50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關(guān)鍵．37．（2022秋?盂縣期末）將一副直角三角板如圖擺放，等腰直角板ABC的斜邊BC與含30°角的直角三角板DBE的直角邊BD長度相同，且斜邊BC與BE在同一直線上，AC與BD交于點O，連接CD．求證：△CDO是等腰三角形．【分析】根據(jù)BC＝DB和∠DEF＝30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根據(jù)∠ACB＝45°即可求得∠DOC的值，即可解題．【詳解】證明：∵在△BDC中，BC＝DB，∴∠BDC＝∠BCD．∵∠DBE＝30°，∴∠BDC＝∠BCD＝75°，∵∠ACB＝45°，∴∠DOC＝30°+45°＝75°．∴∠DOC＝∠BDC，∴△CDO是等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，本題中求證∠DOC＝∠BDC是解題的關(guān)鍵．38．（2022秋?龍門縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）求證：∠B＝∠DEF；（3）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）首先根據(jù)條件證明△DBE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE＝FE，進而可得到△DEF是等腰三角形；（2）根據(jù)△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B即可得出結(jié)論；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠DEF的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE∠B=∠C∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B=180-40°【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關(guān)鍵．39．（2022春?靜安區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求證：AC﹣AB＝2BE．【分析】延長BE交AC于M，利用三角形內(nèi)角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形對邊相等，CM＝BM利用等量代換即可求證．【詳解】證明：延長BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【點睛】此題考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是作好輔助線，延長BE交AC于M，利用三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，考查的知識點較多，是一道難題．40．（2022秋?秦淮區(qū)校級期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC＝2BE．【分析】首先過點A作AF∥BC，交BD的延長線于點F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易證得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三線合一，可證得BF＝2BE，即可證得AC＝2BE．【詳解】證明：過點A作AF∥BC，交BD的延長線于點F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，∴AD＝DF，AB＝AF，∵AE⊥BD，∴BE＝EF=12∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，∴AC＝2BE．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．41．（2022秋?滑縣校級期末）已知△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，∠EDF＝120°，DE交線段AB于E，DF交直線BC于F．（1）如圖（1），求證：DE＝DF；（2）如圖（2），若BE＝3AE，求證：CF=14（3）如圖（3），若BE=13AE，則CF＝14BC；在圖（1）中，若BE＝4AE，則CF＝3【分析】（1）如圖1中，連接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，只要證明△DME≌△DN