2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題21.7 一元二次方程章末題型過關(guān)卷（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列第21章一元二次方程章末題型過關(guān)卷【人教版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．(3分)（2022春?溫州期中）若關(guān)于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣32．(3分)（2022春?張店區(qū)期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（）A．(x-14)2C．(x-12)3．(3分)（2022春?萊蕪區(qū)期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝04．(3分)（2022秋?沐川縣期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，則代數(shù)式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．20265．(3分)（2022春?淄川區(qū)期中）已知多項式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x為任意實數(shù)），試比較多項式A．無法確定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q6．(3分)（2022秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”．以下函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=7．(3分)（2022秋?香洲區(qū)期末）已知一個直角三角形的兩邊長是方程x2﹣9x+20＝0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長為（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或418．(3分)（2022?蜀山區(qū)一模）“穩(wěn)字當(dāng)頭”的中國經(jīng)濟是全球經(jīng)濟的“穩(wěn)定器”，穩(wěn)就業(yè)，保民生，防風(fēng)險，守住“穩(wěn)”的基礎(chǔ)，才有更多“進”的空間．2020，2021這兩年中國經(jīng)濟的年平均增長率為5.1%，其中2021年的年增長率為8.1%，若設(shè)2020年的年增長率為x，則可列方程為（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）9．(3分)（2022?周村區(qū)二模）已知a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣110．(3分)（2022?青縣二模）定義運算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若關(guān)于x的方程a※x＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a(chǎn)≥0或a≤﹣1 D．a(chǎn)＞0或a≤﹣1二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．(3分)（2022秋?鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一個為．12．(3分)（2022?成都模擬）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一個實數(shù)根，則(m213．(3分)（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是14．(3分)（2022秋?鹽湖區(qū)校級月考）如圖，點A在數(shù)軸的負半軸，點B在數(shù)軸的正半軸，且點A對應(yīng)的數(shù)是2x﹣1，點B對應(yīng)的數(shù)是x2+x，已知AB＝5，則x的值為．15．(3分)（2022?天府新區(qū)模擬）給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則我們稱這個矩形是給定矩形的“加倍矩形”，當(dāng)已知矩形的長和寬分別為3和1時，其“加倍矩形”的對角線長為．16．(3分)（2022秋?昌江區(qū)校級期末）若實數(shù)a，b，c滿足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，則a+b+c＝．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．(6分)（2022春?道里區(qū)期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．18．(6分)（2022秋?海淀區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＜0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為3，求m的值．19．(8分)（2022秋?安居區(qū)期末）為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，所以x=±2當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根為x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．運用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．20．(8分)（2022春?西湖區(qū)校級期中）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．（1）已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)”；（2）利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關(guān)系式；（3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．21．(8分)（2022春?南海區(qū)月考）閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2來求一些多項式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值問題．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值為﹣6．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣）2+；（2）代數(shù)式x2+x有最（填“大”或“小”）值為；（3）應(yīng)用：若A＝x2﹣1與B＝2x﹣3，試比較A與B的大小.22．(8分)（2022秋?黔江區(qū)期末）火鍋是重慶人民鐘愛的美食之一．解放碑某火鍋店為抓住“十一”這個商機，于九月第一周推出了A、B兩種火鍋套餐，5桌A套餐與10桌B套餐的總售價為1600元，其中A套餐比B套餐每桌貴20元．（1）求A套餐的售價是多少元？（2）第一周A套餐的銷售量為800桌，B套餐的銷售量為1300桌．為了更好的了解市場，火鍋店決定從第二周開始，對A，B套餐的銷售價格都進行調(diào)整，其中A套餐的銷售價格比第一周的價格下調(diào)a%，發(fā)現(xiàn)銷售量比第一周增加了13a%，B套餐的銷售價格比第一周的價格下調(diào)了12a%，發(fā)現(xiàn)銷售量比第一周增加了140桌，最終第二周A套餐的銷售總額比B套餐的銷售總額少了48000元．求23．(3分)（2022春?新昌縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，點P從點C開始沿射線CA方向以1cm/s的速度運動；同時，點Q也從點C開始沿射線CB方向以3cm/s的速度運動．（1）幾秒后△PCQ的面積為3cm2？此時PQ的長是多少？（結(jié)果用最簡二次根式表示）（2）幾秒后以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積為22cm2？第21章一元二次方程章末題型過關(guān)卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．(3分)（2022春?溫州期中）若關(guān)于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解關(guān)于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故選：B．2．(3分)（2022春?張店區(qū)期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（）A．(x-14)2C．(x-12)【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，整理得：x2﹣x=1配方得：x2﹣x+14=34，即（x故選：C．3．(3分)（2022春?萊蕪區(qū)期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0【分析】根據(jù)求根公式逐一判斷即可．【解答】解：A．此方程的根為x=4±B．此方程的根為x=-4±C．此方程的根為x=4±D．此方程的根為x=-4±故選：A．4．(3分)（2022秋?沐川縣期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，則代數(shù)式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整體代入所求的代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵實數(shù)m是關(guān)于x的方程x2+x﹣2＝0的一個根，∴m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．故選：A．5．(3分)（2022春?淄川區(qū)期中）已知多項式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x為任意實數(shù)），試比較多項式A．無法確定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性質(zhì)即可求出P與Q的大?。窘獯稹拷猓骸逷=12x﹣2，Q＝x2-∴Q﹣P＝x2-32x-12x+2＝x2﹣2x+2＝（∴P＜Q．故選：D．6．(3分)（2022秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”．以下函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=【分析】根據(jù)題意，令y1+y2＝0，若方程有解，則稱函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”，若無解，則稱函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”．【解答】解：A、令y1+y2＝0，則-1x整理得：x2﹣x+1＝0，此方程無解，∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，故A不符合題意；B、令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得：x2+x+1＝0，此方程無解，∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，故B不符合題意；C、A、令y1+y2＝0，則-1x整理得：x2+x+1＝0，此方程無解，∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，故C不符合題意；D、A、令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，整理得：x2+x﹣1＝0，解得：x1=-1+52，x∴函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”，故D符合題意；故選：D．7．(3分)（2022秋?香洲區(qū)期末）已知一個直角三角形的兩邊長是方程x2﹣9x+20＝0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長為（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或41【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情況討論求解即可．【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，則x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得x1＝4，x2＝5，若4、5均為直角邊長度，則斜邊長度為42若4、5有一邊是斜邊長度，則斜邊長度為5，故選：D．8．(3分)（2022?蜀山區(qū)一模）“穩(wěn)字當(dāng)頭”的中國經(jīng)濟是全球經(jīng)濟的“穩(wěn)定器”，穩(wěn)就業(yè)，保民生，防風(fēng)險，守住“穩(wěn)”的基礎(chǔ)，才有更多“進”的空間．2020，2021這兩年中國經(jīng)濟的年平均增長率為5.1%，其中2021年的年增長率為8.1%，若設(shè)2020年的年增長率為x，則可列方程為（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）【分析】增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．故選：B．9．(3分)（2022?周村區(qū)二模）已知a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】先把已知條件變形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，則可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到ab＝mn﹣2，從而得到ab﹣mn的值．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數(shù)根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故選：C．10．(3分)（2022?青縣二模）定義運算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若關(guān)于x的方程a※x＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a(chǎn)≥0或a≤﹣1 D．a(chǎn)＞0或a≤﹣1【分析】根據(jù)新定義運算法則列出關(guān)于x的方程，根據(jù)根的判別式進行判斷即可．【解答】解：由題意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，當(dāng)a＝0時，原來方程變形為﹣1＝0，方程無解；當(dāng)a≠0時，∵關(guān)于x的方程a※x＝0有實數(shù)根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．(3分)（2022秋?鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一個為﹣1．【分析】將x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左邊，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右兩邊相等，即x＝﹣1是方程的解．【解答】解：將x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左邊得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案為：﹣1．12．(3分)（2022?成都模擬）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一個實數(shù)根，則(m2【分析】將x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后將其代入所求的代數(shù)式進行化簡即可．【解答】解：依題意得：m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，∴(＝3×＝3×1＝3．故答案是：3．13．(3分)（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是3＜k【分析】根據(jù)原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+k4=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2【解答】解：由題意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k設(shè)x2﹣2x+k4=0的兩根分別是m、n（m≥n）；則m+n＝2，m﹣n=(m+n)根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即4-k＜∴4-k＜14-k≥0，解得3＜14．(3分)（2022秋?鹽湖區(qū)校級月考）如圖，點A在數(shù)軸的負半軸，點B在數(shù)軸的正半軸，且點A對應(yīng)的數(shù)是2x﹣1，點B對應(yīng)的數(shù)是x2+x，已知AB＝5，則x的值為1-172【分析】先根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式列出關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再結(jié)合A、B的位置取舍即可．【解答】解：根據(jù)題意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，則x=-b±∴x1=1+172，x∵點A在數(shù)軸的負半軸，∴2x﹣1＜0，即x＜1∴x=1-故答案為：1-1715．(3分)（2022?天府新區(qū)模擬）給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則我們稱這個矩形是給定矩形的“加倍矩形”，當(dāng)已知矩形的長和寬分別為3和1時，其“加倍矩形”的對角線長為213．【分析】設(shè)“加倍矩形”的長為x，則寬為[2×（3+1）﹣x]，根據(jù)矩形的面積計算公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)“加倍”矩形的長為x，則寬為[2×（3+1）﹣x]，依題意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，整理，得：x2﹣8x+6＝0，解得：x1＝4+10，x2＝4-當(dāng)x＝4+10時，2×（3+1）﹣x＝4-10＜當(dāng)x＝4-10時，2×（3+1）﹣x＝4+10＞∴“加倍矩形”的對角線長為(4+10)2故答案為：213．16．(3分)（2022秋?昌江區(qū)校級期末）若實數(shù)a，b，c滿足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，則a+b+c＝-52【分析】利用配方法將原式變形，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求得a，b，c的值，最后代入計算即可．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，∴2a-|b|=02b+|c|=0解得：a=1∴a+b+c=12-故答案為：-5三．解答題（共7小題，滿分52分）17．(6分)（2022春?道里區(qū)期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝4；（2）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，配方，得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，開方得：x﹣2=±5解得：x1＝2+5，x2＝2-18．(6分)（2022秋?海淀區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＜0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為3，求m的值．【分析】（1）利用根的判別式進行求解即可；（2）設(shè)方程的較大的實數(shù)根為x1，較小的實數(shù)根為x2，則有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，從而可進行求解．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，∴原方程有兩個相等的實數(shù)根或兩個不等的實數(shù)根，即該方程總有兩個實數(shù)根；（2）設(shè)方程的較大的實數(shù)根為x1，較小的實數(shù)根為x2，依題意得：x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，∴（x1﹣x2）2＝32，x12﹣2x1x2+x22＝9，x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，整理得：m2＝9，解得：m＝3或m＝﹣3，∵m＜0，∴m＝﹣3．19．(8分)（2022秋?安居區(qū)期末）為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，所以x=±2當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根為x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．運用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）設(shè)x2﹣x＝a，原方程可化為a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）設(shè)x2＝y(tǒng)，原方程化為y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y(tǒng)求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，設(shè)x2﹣x＝a，則原方程可化為a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，當(dāng)a＝2時，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，設(shè)x2＝y(tǒng)，則原方程化為y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，當(dāng)y＝3時，x2＝3，解得：x=±3當(dāng)y＝﹣4時，x2＝﹣4，無實數(shù)根，所以原方程的解是x1=3，x2=-20．(8分)（2022春?西湖區(qū)校級期中）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．（1）已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式b2﹣4ac＝0；判斷241不是“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)”121；（2）利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關(guān)系式；（3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鵲數(shù)；∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+∴將m、1n看成是方程ax2+bx+c∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有兩個相等的實數(shù)根，∴m=1n，即故答案為：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．故答案為：121，242，363，484．21．(8分)（2022春?南海區(qū)月考）閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2來求一些多項式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值問題．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值為﹣6．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）代數(shù)式x2+x有最小（填“大”或“小”）值為-14（3）應(yīng)用：若A＝x2﹣1與B＝2x﹣3，試比較A與B的大??；【分析】（1）利用配方法將多項式變形即可得出結(jié)論；（2）利用配方法將多項式變形，利用非負數(shù)的意義即可得出結(jié)論；（3）計算A﹣B的值，將結(jié)果利用配方法變形即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，故答案為：2；1；（2）∵x2+x＝x2+x+1又∵(x+1∴(x+1∴代數(shù)式x2+x有最小值為-1故答案為：??；-1（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．22．(8分)（2022秋?黔江區(qū)期末）火鍋是重慶人民鐘愛的美食之一．解放碑某火鍋店為抓住“十一”這個商機，于九月第一周推出了A、B兩種火鍋套餐，5桌A套餐與10桌B套餐的總售價為1600元，其中A套餐比B套餐每桌貴20元．（1）求A套餐的售價是多少元？（2）第一周A套餐的銷售量為800桌，B套餐的銷售量為1300桌．為了更好的了解市場，火鍋店決定從第二周開始，對A，B套餐的銷售價格都進行調(diào)整，其中A套餐的銷售價格比第一周的價格下調(diào)a%，發(fā)現(xiàn)銷售量比第一周增加了13a%，B套餐的銷售價格比第一周的價格下調(diào)了12a%，發(fā)現(xiàn)銷售量比第一周增加了140桌，最終第二周A套餐的銷售總額比B套餐的銷售總額少了48000元．求【分析】（1）設(shè)A套餐的售價是x元，則B套餐的售價是（x﹣20）元，根據(jù)5桌A套餐與10桌B套餐的總售價為1600元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)銷售總額＝銷售單價×銷售數(shù)量，結(jié)合第二周A套餐的銷售總額比B套餐的銷售總額少了48000元，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A套餐的售價是x元，則B套餐的售價是（x﹣20）元，依題意得：5x+10（x﹣20）＝1600，解得：x＝120．答：A套餐的售價是120元．（2）依題意得：（120﹣20）（1-12a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+整理得：3.2a2﹣80a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合題意，舍去）．答：a的值為25．23．(8分)（2022春?新昌縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，點P從點C開始沿射線CA方向以1cm/s的速度運動；同時，點Q也從點C開始沿射線CB方向以3cm/s的速度運動．（1）幾秒后△PCQ的面積為3cm2？此時PQ的長是多少？（結(jié)果用最簡二次根式表示）（2）幾秒后以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積為22cm2？【分析】（1）設(shè)出運動所求的時間，可將PC和CQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；（2）需要對點P的不同位置進行分類討論：①當(dāng)P在線段AC上，Q在線段BC上時，0＜t＜2S四邊形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12×6×8-1②當(dāng)P在線段AC上，Q在線段BC延長線上時，2＜t＜8，S四邊形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；③當(dāng)P在線段AC的延長線上，Q在線段BC延長線上時，t＞8，S四邊形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．【解答】解：（1）設(shè)t秒后△PCQ的面積為3平方厘米，則有PC＝tcm，CQ＝3tcm，依題意，得：12t×3tt2＝2t1由勾股定理，得：PQ=P答：2秒后△PCQ的面積為3平方厘米，此時PQ的長是25（2）①當(dāng)P在線段AC上，Q在線段BC上時，0＜t＜2S四邊形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12t2解得t1②當(dāng)P在線段AC上，Q在線段BC延長線上時，2＜t＜8，S四邊形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC129t＝22，解得t=22③當(dāng)P在線段AC的延長線上，Q在線段BC延長線上時，t＞8，S四邊形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC12t2=923（不符合題意，舍去），（或者得綜上：t=233答，經(jīng)過233秒或229秒，以A、B、P、Q專題22.1二次函數(shù)的定義【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【題型1二次函數(shù)的識別】 1【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】 2【題型3二次函數(shù)的一般形式】 2【題型4判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】 3【題型5列二次函數(shù)的關(guān)系式（增長率問題）】 4【題型6列二次函數(shù)的關(guān)系式（銷售問題）】 5【題型7列二次函數(shù)的關(guān)系式（幾何問題）】 6【知識點1二次函數(shù)的概念】一般地，形如y=ax是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax次函數(shù)的一般形式．【題型1二次函數(shù)的識別】【例1】（2022秋?香坊區(qū)校級月考）下列函數(shù)是二次函數(shù)的有（）①y＝（x+1）2﹣x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝x3﹣2x；④y＝x2-1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2022?新城區(qū)校級模擬）觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2-1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）下列各式中，一定是二次函數(shù)的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2-3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022秋?葫蘆島月考）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】【例2】（2022秋?天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【變式2-1】（2022?武山縣校級一模）若函數(shù)y＝（m2+m）xm2-2m-1A．2 B．﹣1或3 C．3 D．-1±【變式2-2】（2022秋?萊蕪區(qū)期中）若拋物線y=(m-3)xm2-5m+8+2x-3A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3【變式2-3】函數(shù)y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，當(dāng)a＝時，它是一次函數(shù)；當(dāng)【題型3二次函數(shù)的一般形式】【例3】（2022秋?遂溪縣校級期中）關(guān)于函數(shù)y＝（500﹣10x）（40+x），下列說法不正確的是（）A．y是x的二次函數(shù) B．二次項系數(shù)是﹣10 C．一次項是100 D．常數(shù)項是20000【變式3-1】（2022秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則b2﹣4ac0（填寫“＞”或“＜”或“＝”）【變式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2-2m-1+（m﹣3）x+m2【變式3-3】指出下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)，如果是二次函數(shù)，寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）y＝2x+1；（2）y＝2x2+1；（3）y＝x（2﹣x）（4）y=12（x﹣1）2（5）y=8（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．【題型4判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2021秋?龍鳳區(qū)期末）下列具有二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．正方形的周長y與邊長x B．速度一定時，路程s與時間t C．正方形的面積y與邊長x D．三角形的高一定時，面積y與底邊長x【變式4-1】（2022秋?紅山區(qū)校級月考）下列關(guān)系中，是二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．當(dāng)距離S一定時，汽車行駛的時間t與速度v之間的關(guān)系 B．在彈性限度時，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系 C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關(guān)系 D．正方形的周長C與邊長a之間的關(guān)系【變式4-2】（2022秋?沂源縣期中）在下列4個不同的情境中，兩個變量所滿足的函數(shù)關(guān)系屬于二次函數(shù)關(guān)系的有（）①設(shè)正方形的邊長為x面積為y，則y與x有函數(shù)關(guān)系；②x個球隊參加比賽，每兩個隊之間比賽一場，則比賽的場次數(shù)y與x之間有函數(shù)關(guān)系；③設(shè)正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x有函數(shù)關(guān)系；④若一輛汽車以120km/h的速度勻速行駛，那么汽車行駛的里程y（km）與行駛時間x（h）有函數(shù)關(guān)系．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2022秋?海淀區(qū)校級月考）邊長為5的正方形ABCD，點F是BC上一動點，過對角線交點E作EG⊥EF，交CD于點G，設(shè)BF的長為x，△EFG的面積為y，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．二次函數(shù) D．以上都不是【知識點2根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式的步驟】理解題意：找出實際問題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；列函數(shù)表達式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5列二次函數(shù)的關(guān)系式（增長率問題）】【例5】（2022秋?天津期末）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1﹣x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）【變式5-1】（2022秋?大興區(qū)期中）某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經(jīng)過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【變式5-2】（2022秋?西山區(qū)校級期中）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件60萬個，設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為x，如果第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，那么y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x）【變式5-3】（2022秋?金寨縣期末）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，若第二個月的增長率是x，第三個月的增長率是第二個月的兩倍，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a【題型6列二次函數(shù)的關(guān)系式（銷售問題）】【例6】（2022秋?肥城市期末）某商品的進價為每件60元，現(xiàn)在的售價為每件80元，每星期可賣出200件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件．則每星期售出商品的利潤y（單位：元）與每件漲價x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x） C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）【變式6-1】（2022秋?朝陽期中）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少10千克．設(shè)每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【變式6-2】（2022秋?西陵區(qū)期末）某文學(xué)書的售價為每本30元，每星期可賣出200本，書店準備在年終進行降價促銷．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，單價每下降2元，每星期可多賣出10本．設(shè)每本書降價x元后，每星期售出此文學(xué)書的銷售額為y元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝（30﹣x）（200+10x） B．y＝（30﹣x）（200+5x） C．y＝（30﹣x）（200﹣10x） D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）【變式6-3】（2022秋?阜陽月考）“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責(zé)處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降5元時，日銷售量會增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（200+x-995D．w＝（x﹣50）（200+99-x【題型7列二次函數(shù)的關(guān)系式（幾何問題）】【例7】（2022秋?交城縣期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周長為20cm，則△BCD的面積S（cm2）與AB的長x（A．S=14x2-10x+100 B．S＝2xC．S＝x2﹣20x+100 D．S＝x2+20x+100【變式7-1】（2022?江夏區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E為AC邊上的點且AE＝2EC，點D在BC邊上且滿足BD＝DE，設(shè)BD＝y(tǒng)，S△ABC＝x，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y=1810x2+52 B．y=C．y=1810x2+2 D．y=4【變式7-2】（2022秋?鄞州區(qū)期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如圖放置，點E在BC上滑動，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑動過程中始終保持EF＝DE．若MB＝4，設(shè)BE＝x，△EFC的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是（）A．y＝23x B．y＝23x+1 C．y＝x（43-x） D．y=12x（4【變式7-3】（2022?太原一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M為正方形ABCD的邊CD上的動點（與點C，D不重合），連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F．設(shè)CM＝x，△DFM的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．專題22.1二次函數(shù)的定義【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【題型1二次函數(shù)的識別】 1【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】 3【題型3二次函數(shù)的一般形式】 4【題型4判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】 5【題型5列二次函數(shù)的關(guān)系式（增長率問題）】 8【題型6列二次函數(shù)的關(guān)系式（銷售問題）】 9【題型7列二次函數(shù)的關(guān)系式（幾何問題）】 11【知識點1二次函數(shù)的概念】一般地，形如y=ax是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax次函數(shù)的一般形式．【題型1二次函數(shù)的識別】【例1】（2022秋?香坊區(qū)校級月考）下列函數(shù)是二次函數(shù)的有（）①y＝（x+1）2﹣x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝x3﹣2x；④y＝x2-1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：①該函數(shù)化簡后沒有二次項，是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；②該函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項符合題意；③該函數(shù)不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意．④該函數(shù)分母含有字母，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；故選：A．【變式1-1】（2022?新城區(qū)校級模擬）觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2-1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，判斷即可．【解答】解：觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2-1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．這六個式子中二次函數(shù)有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2所以，共有3個，故選：B．【變式1-2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）下列各式中，一定是二次函數(shù)的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2-3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】整理一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函數(shù)的定義，不是二次函數(shù)；②y＝4﹣3x+7x2，是二次函數(shù)；③y=1x2④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函數(shù)；⑤y＝ax2+bx+c，含有四個自變量，這里a可能等于0，不是二次函數(shù)；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函數(shù)；⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函數(shù)．∴只有②④⑥一定是二次函數(shù)．故選：C．【變式1-3】（2022秋?葫蘆島月考）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函數(shù)，故選：B．【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】【例2】（2022秋?天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故選：B．【變式2-1】（2022?武山縣校級一模）若函數(shù)y＝（m2+m）xm2-2m-1A．2 B．﹣1或3 C．3 D．-1±【分析】讓x的次數(shù)為2，系數(shù)不為0即可．【解答】解：根據(jù)題意得：m2解得：m=3或-1m≠0且m≠-1∴m＝3，故選：C．【變式2-2】（2022秋?萊蕪區(qū)期中）若拋物線y=(m-3)xm2-5m+8+2x-3A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最高指數(shù)是2，二次項系數(shù)不等于0列出方程求解即可．【解答】解：由題意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，所以，m＝2．故選：C．【變式2-3】函數(shù)y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，當(dāng)a＝時，它是一次函數(shù)；當(dāng)【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義解答．【解答】解：當(dāng)y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是一次函數(shù)時，a2+4解得a＝﹣2或a＝5，即當(dāng)a＝﹣2或5時，它是一次函數(shù)；當(dāng)y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是二次函數(shù)時，a2+4解得a＝﹣1或a＝﹣3．即當(dāng)a＝﹣1或﹣3時，它是二次函數(shù)．故答案是：﹣2或5；﹣1或﹣3．【題型3二次函數(shù)的一般形式】【例3】（2022秋?遂溪縣校級期中）關(guān)于函數(shù)y＝（500﹣10x）（40+x），下列說法不正確的是（）A．y是x的二次函數(shù) B．二次項系數(shù)是﹣10 C．一次項是100 D．常數(shù)項是20000【分析】根據(jù)形如y＝ax2+bx+c是二次函數(shù)，可得答案．【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，A、y是x的二次函數(shù)，故A正確；B、二次項系數(shù)是﹣10，故B正確；C、一次項是100x，故C錯誤；D、常數(shù)項是20000，故D正確；故選：C．【變式3-1】（2022秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則b2﹣4ac0（填寫“＞”或“＜”或“＝”）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac計算，判斷與0的大小即可．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案為＜．【變式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2-2m-1+（m﹣3）x+m2【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得m2-2m-1=2m【解答】解：根據(jù)題意可得m2解得：m＝﹣1或m＝3，當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)為y＝2x2﹣4x+1，其二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為﹣4，常數(shù)項為1；當(dāng)m＝3時，二次函數(shù)為y＝6x2+9，其二次項系數(shù)為6，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為9．【變式3-3】指出下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)，如果是二次函數(shù)，寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）y＝2x+1；（2）y＝2x2+1；（3）y＝x（2﹣x）（4）y=12（x﹣1）2（5）y=8（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義進行解答即可．【解答】解：（1）y＝2x+1不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)；（2）y＝2x2+1，是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是2、一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是1；（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是﹣1、一次項系數(shù)是2，常數(shù)項是0；（4）y=12（x﹣1）2-52=12x2﹣x+（5）y=8（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函數(shù)．【題型4判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2021秋?龍鳳區(qū)期末）下列具有二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．正方形的周長y與邊長x B．速度一定時，路程s與時間t C．正方形的面積y與邊長x D．三角形的高一定時，面積y與底邊長x【分析】根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式就可以判定．【解答】解：A、y＝4x，是一次函數(shù)，錯誤；B、s＝vt，v一定，是一次函數(shù)，錯誤；C、y＝x2，是二次函數(shù)，正確；D、y=12hx，故選：C．【變式4-1】（2022秋?紅山區(qū)校級月考）下列關(guān)系中，是二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．當(dāng)距離S一定時，汽車行駛的時間t與速度v之間的關(guān)系 B．在彈性限度時，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系 C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關(guān)系 D．正方形的周長C與邊長a之間的關(guān)系【分析】根據(jù)各選項的意思，列出個選項的函數(shù)表達式，再根據(jù)二次函數(shù)定義的條件判定則可．【解答】解：A、由題意可得：t=SB、y＝mx+b，當(dāng)m≠0時（m是常數(shù)），是一次函數(shù)，故此選項錯誤；C、S＝πR2，是二次函數(shù)，正確；D、C＝4a，是正比例函數(shù)，故此選項錯誤．故選：C．【變式4-2】（2022秋?沂源縣期中）在下列4個不同的情境中，兩個變量所滿足的函數(shù)關(guān)系屬于二次函數(shù)關(guān)系的有（）①設(shè)正方形的邊長為x面積為y，則y與x有函數(shù)關(guān)系；②x個球隊參加比賽，每兩個隊之間比賽一場，則比賽的場次數(shù)y與x之間有函數(shù)關(guān)系；③設(shè)正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x有函數(shù)關(guān)系；④若一輛汽車以120km/h的速度勻速行駛，那么汽車行駛的里程y（km）與行駛時間x（h）有函數(shù)關(guān)系．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，然后由二次函數(shù)的定義進行判斷．【解答】解：①依題意得：y＝x2，屬于二次函數(shù)關(guān)系，故符合題意；②依題意得：y=12x（x﹣1）=12x③依題意得：y＝6x2，屬于二次函數(shù)關(guān)系，故符合題意；④依題意得：y＝120x，屬于一次函數(shù)關(guān)系，故不符合題意；綜上所述，兩個變量所滿足的函數(shù)關(guān)系屬于二次函數(shù)關(guān)系的有3個．故選：C．【變式4-3】（2022秋?海淀區(qū)校級月考）邊長為5的正方形ABCD，點F是BC上一動點，過對角線交點E作EG⊥EF，交CD于點G，設(shè)BF的長為x，△EFG的面積為y，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．二次函數(shù) D．以上都不是【分析】先證明△BEF≌△CEG，可得CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，∵EF⊥EG，∴∠BEC＝∠FEG＝90°，∴∠BEF＝∠CEG，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，∵∠BEG＝90°，∴∠GEF＝90°，∴FG2＝2EF2，在Rt△CFG中，F(xiàn)G2＝CF2+CG2，即FG2＝x2+（5﹣x）2＝2x2﹣10x+25，∵y=12EG?EF=1∴y=14FG2=14（2x2﹣10x+25）=12∴y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)．故選：C．【知識點2根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式的步驟】理解題意：找出實際問題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；列函數(shù)表達式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5列二次函數(shù)的關(guān)系式（增長率問題）】【例5】（2022秋?天津期末）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1﹣x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）【分析】根據(jù)平均每個季度GDP增長的百分率為x，第二季度季度GDP總值約為2.4（1+x）元，第三季度GDP總值為2.4（1+x）2元，則函數(shù)解析式即可求得．【解答】解：根據(jù)題意得，y關(guān)于x的函數(shù)表達式是：y＝2.4（1+x）2．故選：C．【變式5-1】（2022秋?大興區(qū)期中）某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經(jīng)過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【分析】利用增長率公式得到y(tǒng)＝2（1﹣x）2．【解答】解：根據(jù)題意得y＝2（1﹣x）2，故選：B．【變式5-2】（2022秋?西山區(qū)校級期中）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件60萬個，設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為x，如果第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，那么y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x）【分析】設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為x，則五月份生產(chǎn)零件60（1+x）萬個，六月份生產(chǎn)零件60（1+x）2萬個，根據(jù)第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，即可找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為x，則五月份生產(chǎn)零件60（1+x）萬個，六月份生產(chǎn)零件60（1+x）2萬個，依題意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．故選：B．【變式5-3】（2022秋?金寨縣期末）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，若第二個月的增長率是x，第三個月的增長率是第二個月的兩倍，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a【分析】增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），然后根據(jù)已知條件可得出函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：由第二個月的增長率是x，則第三個月的增長率是2x，依題意得：第三個月投放單車a（1+x）（1+2x）輛，則y＝a（1+x）（1+2x）．故選：A．【題型6列二次函數(shù)的關(guān)系式（銷售問題）】【例6】（2022秋?肥城市期末）某商品的進價為每件60元，現(xiàn)在的售價為每件80元，每星期可賣出200件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件．則每星期售出商品的利潤y（單位：元）與每件漲價x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x） C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）【分析】由每件漲價x元，可得出銷售每件的利潤為（80﹣60+x）元，每星期的銷售量為（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利潤＝銷售每件的利潤×每星期的銷售量，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵每漲價1元，每星期要少賣出10件，每件漲價x元，∴銷售每件的利潤為（80﹣60+x）元，每星期的銷售量為（200﹣10x），∴每星期售出商品的利潤y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．故選：D．【變式6-1】（2022秋?朝陽期中）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少10千克．設(shè)每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【分析】直接利用銷量×每千克利潤＝總利潤，得出函數(shù)關(guān)系式即可．【解答】解：設(shè)每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式