2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專(zhuān)題 524個(gè)題型專(zhuān)題65 兩點(diǎn)間的距離公式-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專(zhuān)題65兩點(diǎn)間的距離公式題型一求平面兩點(diǎn)間的距離1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被兩條平行直線：和：截得的線段長(zhǎng)為，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)與、的交點(diǎn)分別為，，截得的線段的長(zhǎng)，符合題意，若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，解得，解得，由，得，解得，即所求的直線方程為，綜上可知，所求直線的方程為或，故選：BC.2．某地街道呈現(xiàn)東-西?南-北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)，，，，為報(bào)刊零售點(diǎn).為使5個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.發(fā)行站應(yīng)確定在格點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)發(fā)行站的位置為，零售點(diǎn)到發(fā)行站的距離為，則，這五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的平均值分別為：..記，.畫(huà)圖可知發(fā)行站的位置應(yīng)該在點(diǎn)附近，代入附近的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較可知，在處取得最小值.故答案為.故選：D.3．坐標(biāo)原點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)，若點(diǎn)，那么的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線，可化為，故直線過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)，故，所以在以為直徑的圓上，圓的圓心為，即，半徑為，根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系，，故，故選：A.4．在直角坐標(biāo)系中，已知射線，過(guò)點(diǎn)作直線分別交射線，軸正半軸于點(diǎn)?.（1）當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí)，求直線的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，設(shè)，，，，且，；當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí)，有，解得，，，，直線的方程為，化為一般式為；（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：.直線與相交：可得，，直線與軸正半軸相交與，可得，那么：，令，可得，當(dāng)時(shí)，由于，的最小值為：；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即.當(dāng)時(shí)，由于，的最小值為：；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即.；故得的最小值為：(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即.題型二由頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷三角形的形狀1．已知點(diǎn)，，，求證：是等腰三角形．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：由題可知，，，，，，，，又由坐標(biāo)可知，，，三點(diǎn)不共線，是等腰三角形．2．在中，D是邊上任意一點(diǎn)（D與不重合），且.求證：為等腰三角形.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】作，垂足為O，以所在直線為x軸，以所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）.設(shè).因?yàn)椋?，由距離公式可得，即.又，故，即.所以，即為等腰三角形.題型三由距離求點(diǎn)的坐標(biāo)1．（多選）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得即解得或所以或.故選：AC．2．已知點(diǎn)A(－3，4)，B(2，)在x軸上有一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)P(x，0)，則有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－，即所求點(diǎn)P為.故答案為：3．在直線x－y＋4＝0上取一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)M(－2，－4)，N(4,6)的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)直線上一點(diǎn)，則到點(diǎn)，的距離相等，∴，解得，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為.4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這條直線稱(chēng)為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，其“歐拉線”的直線方程為，則的頂點(diǎn)的坐標(biāo)__________.【答案】【解析】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得的重心為，代入歐拉線方程得整理得①，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，所以AB的中垂線的斜率為，所以AB的中垂線方程為即，聯(lián)立，解得，∴的外心為，則②，聯(lián)立①②得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、C兩點(diǎn)重合，舍去；∴即的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.5．已知直線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與直線相交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________，直線的方程為_(kāi)__________.【答案】或或.【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)在直線上，設(shè)的坐標(biāo)為，又由，則，解可得：或5，時(shí)，的坐標(biāo)為，直線的方程為，時(shí)，的坐標(biāo)為，此時(shí)直線的斜率，直線的方程為，變形可得，則的坐標(biāo)為或，直線的方程為或，故答案為：或；或.題型四用兩點(diǎn)間的距離公式求函數(shù)最值1．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的最小值為（）A．6 B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)系軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，.故選：B.2．已知，．（1）求證：，并求使等式成立的條件．（2）說(shuō)明上述不等式的幾何意義．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和不小于兩條對(duì)角線的和.【解析】（1）證明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設(shè)P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖：則|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC|∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方形的對(duì)角線AC與OB的交點(diǎn)是取等號(hào)），即x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)．∴．（2）對(duì)于（1）中不等式，它的幾何意義是：邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和不小于兩條對(duì)角線的和.3．（1）已知點(diǎn)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)P的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)的最小值．【答案】（1）最小值為5，此時(shí)；（2）．【解析】（1）設(shè)，則，，即P到距離最小時(shí)，最小當(dāng)，時(shí)，的值最小．故的最小值為5，此時(shí)．（2）設(shè)，，，如圖，則上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值．點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，即可轉(zhuǎn)化為P在x軸移動(dòng)過(guò)程最短問(wèn)題的最小值為．4．已知兩定點(diǎn)，及兩平行直線，，試在直線，上分別求出點(diǎn)P，Q，使得，且折線段APQB的長(zhǎng)度最短，并寫(xiě)出此時(shí)三條折線所在直線的方程．【答案】，，直線AP，PQ，QB的方程分別為，，．【解析】（如圖）作點(diǎn)B關(guān)于L2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，作點(diǎn)A關(guān)于L1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再在AA′的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使得A′M等于兩平行線L1、L2之間的距離d，連結(jié)B′M與L2的交點(diǎn)為Q，過(guò)Q作QP垂直L1于點(diǎn)P，可得圖中的點(diǎn)P、Q就是所求作的點(diǎn)．結(jié)合已知可求得P（2，﹣4），Q（5，0），可得直線的方程分別為AP：4x﹣5y﹣28＝0PQ：4x﹣3y﹣20＝0，QB：4x﹣5y﹣20＝0題型五距離新定義1．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)之間的“折線距離”，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若點(diǎn)在線段上，則有B．若是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則有C．到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡是直線D．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)A，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則在之間，在之間，則，故A正確；對(duì)B，在中，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故C正確；對(duì)D，設(shè)，則，即的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.2．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，記，其中為正整數(shù)，稱(chēng)為點(diǎn)，間的距離．下列說(shuō)法正確的是（）．A．若，則點(diǎn)的軌跡是正方形B．若，則與重合C．D．【答案】A【解析】由得，所以點(diǎn)的軌跡是以為中心的正方形，故A正確；記，，則，，若，則，顯然有，滿足此等式，可取點(diǎn)，，顯然與不重合，故B錯(cuò)誤；取點(diǎn)，，，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤，也可得D錯(cuò)誤．故選：A.3．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作.（1）求證：對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；（2）已知點(diǎn)和直線，求；（3）定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（），請(qǐng)求出點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）證明：設(shè)，則，同理可得，所以，（2）解：設(shè)為直線上一點(diǎn)，則，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，