2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題84 導(dǎo)數(shù)證明復(fù)習(xí)12種歸類-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練（解析版）

專題84導(dǎo)數(shù)證明題復(fù)習(xí)十二種歸類【題型一】基礎(chǔ)證明【例1】.已知函數(shù)，．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的最大值；（3）當時，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可得最大值；（3）若證，需證，分別計算函數(shù)與的最值.（1）由，得，所以曲線在處的切線方程：；（2）由，可知：當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；所以當時，函數(shù)取得最大值是；（3）由（1）知，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，由（2）知，時，取得最大值，故，取最小值時與取最大值時值不同，故．【例2】已知函數(shù)的圖象在原點處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由原點處的切線方程有，，即可求參數(shù)a、b，進而寫出的解析式；（2）由題設(shè)只需證恒成立，令利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而確定各單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)符號，即可證結(jié)論.（1）由在原點處的切線方程為且，∴，，解得，，∴.（2）證明：要證，即證，令，則，，，令，則，，當時，，∴在上是增函數(shù)，，即.∴在上是增函數(shù)，則.當時，，，∴，在上的增函數(shù)，.即，∴在上單調(diào)遞減，則.當時，.綜上，在定義域R上恒有，即.【例3】已知函數(shù)(其中常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意，當時，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，解得，，討論的取值，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，令，求出，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而得出，即證.（1）由，令，解得，，①當，由，解得或，由，解得，故在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，②當，，在上單調(diào)遞增;③當，由，解得或，由，解得故在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，當，在上單調(diào)遞增;當，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）證明：對任意，當時，要證，需證，，令，則，令，則，因為，，所以，所以，所以時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，原不等式成立【題型二】利用第一問結(jié)論構(gòu)造證明【例1】已知是函數(shù)的一個極值點.（1）求的值；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，令可得，結(jié)合定義域可得，代入導(dǎo)函數(shù)檢驗，令，分析可得恒成立，繼而分析正負即可驗證；（2）結(jié)合（1）中檢驗過程，可得單調(diào)性，分析可得，即得證【詳解】（1）解：，因為是函數(shù)的一個極值點，所以，解得.又因為，所以檢驗：當時，定義域令，當時，；當時，，所以.故當，恒成立，又當時，取得極小值，成立.（2）證明：由（1）可知所以當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增.所以，即得證.【例2】已知函數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若正數(shù)m，n滿足，求證．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)得到，再對分兩種情況討論得解；（2）由（1）得時，恒成立，即得，化簡即得證.解：（1）易知的定義域為，且由得，或1°當時，恒成立，∴在上是增函數(shù)；2°當時，由得。記，，當或時，，當時，，∴在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)綜上所示，當時，在上是增函數(shù)；當時，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）解：取，由（1）知在上是增函數(shù)，且，∴時，，即時，恒成立，由，且，知，∴，即，又由，得即.【例3】已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）證明：.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【分析】（1）當時，求得，令，求得，結(jié)合，的單調(diào)性，求得的符號，即可求解；（2）求得，且在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意得到，得出函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，設(shè)設(shè)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值，即可求解.解：（1）當時，函數(shù)，可得，令，可得，又由函數(shù)，可得當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.（2）解：由題意，函數(shù)，可得，且在上單調(diào)遞增，又由，，所以存在唯一的，使得，即，所以，可得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，可得.設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即.【題型三】常規(guī)構(gòu)造函數(shù)型【例1】已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）求證.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題中條件，得到恒成立，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出的最大值，即可得出結(jié)果；（2）先將證明轉(zhuǎn)化為證明，根據(jù)（1）中的單調(diào)性，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）的定義域為，若恒成立，則恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，時，，則單調(diào)遞增；時，，則單調(diào)遞減；所以，解得：.（2）要證明，只需證明，即，即只需證明，由（1）可知：在單調(diào)遞減，所以，故得證.從而得證.【例2】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-mx)ln(1+x).(1)若當時，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=x上方，求實數(shù)m的取值范圍；（2）求證：。解：（Ⅰ）令，則，，…2分①當時，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即；…3分②當時，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即不符…4分③當時，令，當時，，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有不符.綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是.…6分(Ⅱ)對要證明的不等式等價變形如下：對于任意的正整數(shù)，不等式恒成立，等價變形相當于（2）中，的情形，…8分在上單調(diào)遞減，即；…10分取，得：都有成立；令得證.…12分【例3】設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；（Ⅲ）證明：當m>n>0時，.解析：（Ⅰ）①時，∴在（—1，+）上是增函數(shù)……1分②當時，在上遞增，在單調(diào)遞減.……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又∴∴當時，方程有兩解……8分（Ⅲ）要證：只需證只需證：設(shè)，則………………10分由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減…12分∴，即是減函數(shù)，而m>n∴，故原不等式成立?！?4分【題型四】極值點函數(shù)值代換型【例1】已知函數(shù)，其中a為正實數(shù)．（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求a的值；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：．【答案】（1）1；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，然后求得；（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究有兩個極值點的條件，得到的取值范圍，同時利用韋達定理得到兩極值點的和與積的值，然后得到兩極值的和關(guān)于的函數(shù)表達式，將要證不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于實數(shù)的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理研究最值，從而證明原不等式.解：因為，所以，則，所以a的值為，函數(shù)的定義域為，若，即，則，此時的單調(diào)減區(qū)間為；若，即，則的兩根為，此時的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為當時，函數(shù)有兩個極值點，，且，．因為，要證，只需證構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點存在定理，可知在上唯一實根，且在上遞減，上遞增，所以的最小值為，因為，當時，，所以，所以恒成立．所以，所以.【例2】已知.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，證明.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分、、和四種情況，分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知，故當，且時，有兩個極值點和1，代入計算得，構(gòu)造函數(shù)（，且），可證明，從而可得，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1），定義域為，求導(dǎo)得，①當時，恒成立，令，則；令，則；令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，令，則或；令，則或；令，則，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當時，，當時，，則；當時，，則，當時，，所以恒成立，即在上單調(diào)遞增；④當時，令，則或；令，則或；令，則，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有2個極值點，分別為和1；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有2個極值點，分別為和1.故當，且時，有兩個極值點和1，則，則，構(gòu)造函數(shù)（，且），則，當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，所以，故，所以，即.【例3】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)兩個極值點分別為，，且，證明：.【答案】（1）；（2）證明過程見詳解.【分析】（1）先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，接著令，再將條件“函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的極值點”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不同的零點”，接著利用導(dǎo)函數(shù)分和兩種情況討論求實數(shù)的取值范圍；（2）先由（1）得方程組將“”轉(zhuǎn)化為“”，再構(gòu)造新函數(shù)，最后利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，證明.解：（1）由題意可知，的定義域為，且，令，則函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的極值點在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不同的零點，由可知，當時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)，不符合題意，舍去；當時，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；故要滿足題意，必有，解得，（2）證明：由（1）可知，，則，同理所以，因為，兩式相減得，所以，不妨設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)：，其中由，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，則所以【題型五】數(shù)列不等式型【例1】已知函數(shù)，且函數(shù)在點處的切線為軸．（1）當時，證明：；（2）已知，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)條件求出，然后利用的導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性可得，將換成可證出；（2）將，2，…，代入（1）中不等式，將這些不等式相加可證出.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，由，得，解得，所以．于是，當時，；當時，．故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故的最大值為，即．化簡得（當且僅當時不等式取等號）．于是，當時，由，得；由，得．故當時，有．（2）證明：由（1）可知，取，2，…，，將所得各式相加，得，故．【例2】已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，對于任意的，且，證明：不等式.【答案】（1）當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù).（2）證明見解析【分析】（1）先求定義域，求導(dǎo)后分，與分類討論出函數(shù)單調(diào)性；（2）構(gòu)造（），得到，即，利用裂項相消法求和，證明出不等式.（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)函數(shù)可得當時，，令可得，令，∵，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當時，令得：，解得或（舍去），令得：，解得：，此時函數(shù)在上增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當時，令得：，解得：，令，得：，解得：或，此時函數(shù)在上是增函數(shù)，在和，上是減函數(shù).綜上：當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù).（2）證明：由（1）知：時，在上是增函數(shù)，時，，設(shè)（），則恒成立，時，，在上單調(diào)遞減時，，即∵，∴不等式得證【例3】已知函數(shù).（1）若，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：；（3）證明：當時，.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）參變分離得，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得到答案；（2）對分三種情況討論，分別證明，即可得到答案；（3）根據(jù)不等式成立，利用放縮法，進行不等式的證明；（1）恒成立，，即，令，.時，在上是單調(diào)減函數(shù)；當時，在上是單調(diào)增函數(shù).（2）證明：（2）由（1）得，，.當時，顯然成立；當時，顯然成立故.（3）由（2）得，，即，時，，則.又，當時，.【題型六】同構(gòu)型【例1】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的最大值．解：（1）當時，，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，，所以在上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）任意，，即恒成立,即恒成立；令,則任意，,因為，存在正實數(shù)，滿足：,且，所以，所以.下證：當時成立：即證：,因為,所以：顯然成立；所以實數(shù)的最大值為.【例2】當時，證明解析：要證，即證：構(gòu)造函數(shù)易證：由于故當且僅當且即時等號成立所以當時，【例3】已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）的定義域為，求出，分別討論，，時不等式和的解集即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，即可求解；（2）的定義域為，不等式等價于，，令，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值即可求證.解（1）的定義域為，由可得：，當時，令，解得；令，解得或；此時在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減：當時，，此時在和上單調(diào)遞減；當時，令，解得，令，解得或，此時在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減：綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.（2）因為，的定義域為，所以即，即證：，令，只需證，令，則，令，解得：；，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以，所以，即成立.【題型七】含三角函數(shù)求導(dǎo)型【例1】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）已知過點能作曲線的三條切線，求的取值范圍；（2）證明：，．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的零點問題；（2）將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．（1），設(shè)直線過點且與曲線在點處相切，設(shè)直線：，則消去，得．因為過點能作曲線的三條切線．所以方程有三個不等實根．設(shè)，則有三個零點．又，當和時，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為．又有三個零點，所以即所以，即的取值范圍為．（2）設(shè)，因為，故函數(shù)是偶函數(shù)．問題可轉(zhuǎn)化為證明，，只需證時．因為，當時，設(shè)，，顯然在上單調(diào)遞增，因為，，由零點存在性定理，存在唯一的，使得，從而當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增．又因為，所以時，恒成立，在上單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增．所以，即證得．【例2】已知函數(shù)，.（1）求證：在上恒成立；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）求出，設(shè)，然后可得在上單調(diào)遞增，然后可證明；（2）分、兩種情況討論，當時，構(gòu)造函數(shù)，然后得其單調(diào)性，然后可證明，然后對應(yīng)可得到時，即可得到答案.（1）證明：因為，設(shè)，則，令，則所以在上單調(diào)遞增，，即所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以（2）當時，，設(shè)，即，由（1）可得所以，從而在上單調(diào)遞增，，于是當任意的實數(shù)，在上恒成立；當時，在上恒成立，因為，于是，故不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【例3】已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而證得不等式成立.（1），，，故曲線在點處的切線方程為.即．（2）設(shè)，則．由（1）知，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，，．【題型八】雙函數(shù)水平線隔離型（凸凹翻轉(zhuǎn)）【例1】已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求的最小值；（3）當時，證明：.【答案】(1)當時,的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間;當時,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;(2);(3)證明見解析;【分析】（1）求出，由和兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出的單調(diào)區(qū)間．（2）由，得，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出的最小值．（3）令，則，令，得，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能證明．解：（1）函數(shù)，，．①當時，，在上單調(diào)遞減；②當時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2），則，令，得，當時，，當時，，當時，取得最小值，．證明：（3）令，則，令，得．當時，，在，上單調(diào)遞增，，所以，【例2】已知．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：對一切，都有成立．【答案】（1）極小值為，無極大值（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，令f′(x)=0，解得，分別討論和時，的正負，可得的單調(diào)區(qū)間，即可得答案.（2）問題等價于證明，x∈(0，＋∞)．設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極值，分析即可得答案.解（1）由，x>0，得f′(x)=lnx＋1，令f′(x)=0，得．當時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．所以的極小值為，無極大值．（2）證明：問題等價于證明，x∈(0，＋∞)．由（1）可知，x∈(0，＋∞)，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．易知，當且僅當時取到．從而對一切x∈(0，＋∞)，成立，當且僅當時等號成立．即對一切，都有成立．【例3】已知函數(shù)f(x)=lnxx（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）對一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）證明：對一切x∈(0,+∞)，都有l(wèi)nx<【答案】(1)遞增區(qū)間是0,e，遞減區(qū)間是e,+∞；(2)?∞,4；(3)證明見解析.詳解：（1），得由，得∴的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（2）對一切，恒成立，可化為m<2lnx+x+3x對一切恒成立，令，?'(x)=2x+1?當x∈(0,1)時，，即在遞減當時，，即在遞增，∴，∴m≤4，即實數(shù)的取值范圍是（3）證明：等價于，即f(x)<2e?xex由（1）知，（當令，則，易知在遞減，在遞增∴（當時取等號）∴對一切都成立。則對一切，都有成立.【題型九】零點型偏移【例1】已知為自然對數(shù)的底．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個不同零點，，求證：．【答案】（1）見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；（2），設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，則實數(shù)的取值范圍可求；（3）由有兩個不同零點，，得，，兩式作差可得，即，要證，只要證明，即證，不妨設(shè)，記，則，，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明成立即可．解：（1），當時，所以在上是增函數(shù)，當，當時，，當時，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）解：對恒成立可化為對恒成立，故對恒成立，令，則，因為函數(shù)時減函數(shù)，且，則當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，故F在處有最大值所以；（3）證明：有兩個不同零點，，則，因此，即．要證，只要證明，即證，不妨設(shè)，記，則，，因此只要證明，即．記，，令，則，當時，，所以函數(shù)在上遞增，則，即，則在上單調(diào)遞增，，即成立，．【例2】已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；（2）若存在，，使不等式對于，恒成立，求的取值范圍；（3）若方程有兩個不等的實數(shù)根、，試證明.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在處的切線與軸平行，得，從而可得出答案；（2）不等式化為：，存在，，使不等式對于，恒成立，即恒成立，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案；（3）方程，即，，令，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得方程兩零點的分布，不妨設(shè)，則，要證明：，只要證明：即可，只要證明：，設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得證.（1）解：，函數(shù)在處的切線與軸平行，（1），解得；（2）解：，，不等式化為：，存在，，使不等式對于，恒成立，，化為：，令，則，令，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1），，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，，的取值范圍是；（3）證明：方程，即，，令，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)取得極大值即最大值，，方程有兩個不等的實數(shù)根、，，要證明：，只要證明：即可，不妨設(shè)，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此只要證明：，即可得出，設(shè)函數(shù)，，可得在上，所以函數(shù)在上遞減，又，，所以，即，即，，.【例3】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）若恰有一個解，求的值；（2）若函數(shù)，其中為常數(shù)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；若恰有兩個零點，，求證：．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增；證明見解析【分析】（1）通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值（1），討論三種情況下函數(shù)的零點個數(shù)，進而得出結(jié)果.（2）由已知可得，求導(dǎo)可判斷恒成立，即可得出結(jié)論；恰有兩個零點，等價于，有兩解，.由，可得（記．進而可得，由單調(diào)遞增．可得，則有，化簡可得，同理．化簡計算可證得結(jié)果.（1），令，解得：，當時，，在遞增，當時，，在遞減，（1），①當，解得：，此時最大值點唯一，符合題意，②當，即時，恒成立，不符合題意，③當，即時，，，，，（易證，有2個零點，不符合題意，綜上：；（2）由，得：，函數(shù)的定義域是，且，，在單調(diào)遞增；，故，也是的兩個零點．由，得（記．可知，是的唯一最大值點，故有，由可知，單調(diào)遞增．當時，；當時，．于是，．整理，得，即．同理．故，即，于是．【題型十】利用韋達定理代換消去型【例1】若．（1）當，時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且有兩個極值點，，證明．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意方程有兩個正根，利用韋達定理得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；解（1）因為當時，所以，令，解得或2，當時，則當或時，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，當或時，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：當時，．函數(shù)有兩個極值點方程有兩個正根，且，解得，由題意得，令．則在上單調(diào)遞椷，，．【例2】已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的兩個極值點，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，分，討論導(dǎo)函數(shù)的符號，可得出原函數(shù)的單調(diào)性.（2）由極值點的定義得是方程的兩根，設(shè)，得出根與系數(shù)的關(guān)系，所證明的不等式運用分析法即證，令，即證，令，求導(dǎo)函數(shù)，得出的符號，得的單調(diào)性和最值，不等式可得證.（1）解：，令，，當時，，所以有2個根：，所以當或時，，當時，，所以當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增.綜上得：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增.（2）解：因為是函數(shù)的兩個極值點，所以是方程的兩根，設(shè)，則，，要證明，即證，即證，即證，令，則，即證，即證，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故結(jié)論成立.【例3】已知函數(shù)．（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個極值點，，證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求出，分、、討論f(x)在上單調(diào)性可得答案；（2），轉(zhuǎn)化為證不等式，設(shè)，即證，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值可得答案．（1）由題可知f(x)的定義域為，．若的最小值，即，則恒成立，即，f(x)在上單調(diào)遞減；若，即，當或時，，f(x)單調(diào)遞減，當時，，f(x)單調(diào)遞增；若，即，當時，，f(x)單調(diào)遞減，當時，，f(x)單調(diào)遞增．綜上，若，f(x)在上單調(diào)遞減；若，f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知，且，，則，欲證不等式即，設(shè)，則，即證，設(shè)，則，顯然在在（0，1）上單調(diào)遞增，因為，，所以在（0，1）內(nèi)有唯一根，即，當時，，h（t）單調(diào)遞減，當時，，h（t）單調(diào)遞增，所以，，故原命題得證．【題型十一】比值代換構(gòu)造型【例1】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）判斷的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變化即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將證成立，轉(zhuǎn)化為證成立，即證成立，即證成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明.解：（1），令，由，可得在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增；（2）解：依題意，，相減得，令，則有，，欲證成立，只需證成立，即證成立，即證成立，令，只需證成立，令，即證時，成立，令，則，可得在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以成立，故原不等式成立.【例2】已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若兩個不相等正數(shù)滿足，證明：.【答案】（1）極大值為1，無極小值（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，令f′（x）=0得x=1，列出當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況求解；（2）不妨設(shè)x1>x2>0，f（x1）=f（