2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題94 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（解析版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題94一元線性回歸模型及其應(yīng)用題型一求回歸直線方程例1．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知變量和正相關(guān)，則由如下表所示的觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出樣本的中心點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入選項(xiàng)檢驗(yàn)即得正確答案.【詳解】由題得，所以樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0），代入選項(xiàng)檢驗(yàn)得選B.故答案為B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查回歸方程直線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)稱為樣本點(diǎn)的中心，回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心.這是回歸方程的一個(gè)重要考點(diǎn),要理解掌握并靈活運(yùn)用.規(guī)律方法求線性回歸方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出)．(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(3)把數(shù)據(jù)制成表格xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(4)計(jì)算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi.(5)代入公式計(jì)算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，公式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).))(6)寫出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).例2．（2019·新疆·烏魯木齊市第二十中學(xué)高二期中）隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長(zhǎng)，個(gè)人購(gòu)買家庭轎車已不再是一種時(shí)尚車的使用費(fèi)用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長(zhǎng)多少，一直是購(gòu)車一族非常關(guān)心的問(wèn)題某汽車銷售公司作了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計(jì)得出某款車的使用年限與所支出的總費(fèi)用（萬(wàn)元）有如表的數(shù)據(jù)資料：使用年限23456總費(fèi)用2.23.85.56.57.0(1)

在給出的坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖；（2）求線性回歸方程中的、；（3）估計(jì)使用年限為年時(shí)，車的使用總費(fèi)用是多少？（最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式，.）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）估計(jì)使用12年時(shí)，支出總費(fèi)用是14.84萬(wàn)元．.【解析】【分析】（1）在坐標(biāo)系中描點(diǎn)可得散點(diǎn)圖；（2）代入公式可求；（3）根據(jù)方程代入x=12可得費(fèi)用.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖，由圖知與間有線性相關(guān)關(guān)系．（2）∵，，，，∴；．（3）線性回歸直線方程是，當(dāng)（年）時(shí)，（萬(wàn)元）．即估計(jì)使用12年時(shí)，支出總費(fèi)用是14.84萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸直線在生活中的應(yīng)用，明確所給公式中各個(gè)模塊的含義，代入公式可求.題目難度不大，側(cè)重于應(yīng)用性.例3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）有一位同學(xué)家里開了一個(gè)小賣部,他為了研究氣溫對(duì)熱茶銷售的影響,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表如下:氣溫x/℃-504712151923273136熱茶銷售杯數(shù)y/杯15615013212813011610489937654(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱茶的銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律嗎?(3)如果近似成線性關(guān)系的話,請(qǐng)畫出一條直線來(lái)近似地表示這種線性關(guān)系;(4)試求出回歸直線方程;(5)利用(4)的回歸方程,若某天的氣溫是2℃,預(yù)測(cè)這一天賣出熱茶的杯數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）；（5）143【解析】【詳解】分析：（1）以x軸表示氣溫,以y軸表示熱茶杯數(shù),可作散點(diǎn)圖；（2）從圖中可以看出,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此熱茶的銷售杯數(shù)與氣溫是相關(guān)的,氣溫越高,賣出去的熱茶杯數(shù)越少；（3）從散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近,根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以畫出不同的直線來(lái)近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系；（4）由題中所給的數(shù)據(jù)求得回歸方程即可；（5）結(jié)合回歸方程的預(yù)測(cè)作用和（4）中的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：(1)以x軸表示氣溫,以y軸表示熱茶杯數(shù),可作散點(diǎn)圖如下圖所示.(2)從圖中可以看出,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此熱茶的銷售杯數(shù)與氣溫是相關(guān)的,氣溫越高,賣出去的熱茶杯數(shù)越少.(3)從散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近,根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以畫出不同的直線來(lái)近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系,如圖所示.(4)因335,778.所≈-2.35,所以回歸直線方程(5)由(4)的方程,當(dāng)x=22℃,這一天大約可以賣出143杯熱茶.點(diǎn)睛：(1)正確運(yùn)用計(jì)算，的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵．(2)分析兩變量的相關(guān)關(guān)系，可由散點(diǎn)圖作出判斷，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．題型二利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例4．（2022·江西撫州·高二期末（理））保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110(1)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬(wàn)輛汽車，用樣本估計(jì)總體來(lái)預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年有多少新能源汽車．參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)(2)27900【解析】【分析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問(wèn)的結(jié)果，帶入方程即可算出預(yù)估的結(jié)果.(1)，，，因?yàn)椋?，所?2)預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年抽樣1000汽車調(diào)查中新能源汽車數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該地區(qū)2022年共有30萬(wàn)輛汽車，所以新能源汽車.規(guī)律方法本題已知y與x是線性相關(guān)關(guān)系，所以可求出回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．否則，若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系或它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也毫無(wú)意義.例5．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中（理））偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差，在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科班平均分的差叫某科偏差（實(shí)際成績(jī)平均分偏差）.在某次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，某老師為了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差（單位：分）與物理偏差（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下：學(xué)生序號(hào)12345678數(shù)學(xué)偏差20151332-5-10-18物理偏差6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5(1)若與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)若該次考試該數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為91.5分，試由（1）的結(jié)論預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?28分的同學(xué)的物理成績(jī).（下面是參考數(shù)據(jù)和參考公式），回歸直線方程為，其中【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?，則物理偏差為，數(shù)學(xué)偏差為，根據(jù)回歸方程可知，，即可解出．(1)由題意可得，，，，所以，故線性回歸方程為.(2)由題意，設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)椋瑒t物理偏差為：.而數(shù)學(xué)偏差為128-120=8，∴，解得，所以，可以預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?4.例6．（2022·廣東揭陽(yáng)·高二期末）從2018年1月1日起，廣東、等18個(gè)保監(jiān)局所轄地區(qū)將納入商業(yè)車險(xiǎn)改革試點(diǎn)范圍，其中最大的變化是上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，具體關(guān)系如下表：

上一年的出險(xiǎn)次數(shù)次以上（含次）下一年保費(fèi)倍率連續(xù)兩年沒(méi)有出險(xiǎn)打折，連續(xù)三年沒(méi)有出險(xiǎn)打折有評(píng)估機(jī)構(gòu)從以往購(gòu)買了車險(xiǎn)的車輛中隨機(jī)抽取1000輛調(diào)查,得到一年中出險(xiǎn)次數(shù)的頻數(shù)分布如下(并用相應(yīng)頻率估計(jì)車輛每年出險(xiǎn)次數(shù)的概率)：一年中出險(xiǎn)次數(shù)012345次以上（含5次）頻數(shù)5003801001541（1）求某車在兩年中出險(xiǎn)次數(shù)不超過(guò)2次的概率；（2）經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，估計(jì)其回歸直線方程為：.（其中（萬(wàn)元）表示購(gòu)車價(jià)格，（元）表示商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)）.李先生2016年1月購(gòu)買一輛價(jià)值20萬(wàn)元的新車.根據(jù)以上信息，試估計(jì)該車輛在2017年1月續(xù)保時(shí)應(yīng)繳交的保費(fèi)，并分析車險(xiǎn)新政是否總體上減輕了車主負(fù)擔(dān).(假設(shè)車輛下一年與上一年都購(gòu)買相同的商業(yè)車險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行續(xù)保）【答案】（1）0.8744；（2）3846元，減輕了車主負(fù)擔(dān).【解析】【分析】(1)利用互斥事件的概率公式列式計(jì)算即得；(2)求出下一年車險(xiǎn)保費(fèi)倍率X的分布列，并求出期望，即可得出車主下一年的保費(fèi)，并根據(jù)期望是否大于1得出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)某車在兩年中出險(xiǎn)次數(shù)為N，則，所以某車在兩年中出險(xiǎn)次數(shù)不超過(guò)2次的概率為；(2)設(shè)該車輛2017年的保費(fèi)倍率為X，則X為隨機(jī)變量，X的取值為0.85，1，1.25，1.5，1.75，2，X的分布列為：X0.8511.251.51.752P0.500.380.100.0150.0040.001下一年保費(fèi)倍率X的期望為：，該車輛估計(jì)2017年應(yīng)繳保費(fèi)為：元，因，則車險(xiǎn)新政總體上減輕了車主負(fù)擔(dān).題型三線性回歸分析例7．（2022·山東·日照青山學(xué)校高二期末）共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚，某市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某站點(diǎn)6天的使用單車用戶的數(shù)據(jù)如下，用兩種模型①；②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程，，進(jìn)行殘差分析得到如表所示的殘差值及一些統(tǒng)計(jì)量的值：日期x（天）123456用戶y（人）132243455568模型①的殘差值－1.1－2.87.5－1.2－1.90.4模型②的殘差值0.3－5.44.3－3.2－1.63.8(1)殘差值的絕對(duì)值之和越小說(shuō)明模型擬合效果越好，根據(jù)殘差，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個(gè)模型？并說(shuō)明理由；(2)殘差絕對(duì)值大于3的數(shù)據(jù)認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求出（1）中所選模型的回歸方程.（參考公式：，）【答案】(1)該選模型①，理由見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）求出兩模型的殘差值的絕對(duì)值之和進(jìn)行比較即可，（2）先剔除異常數(shù)據(jù)，然后利用回歸方程的公式結(jié)合已知數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可(1)應(yīng)該選擇模型①模型①的殘差值的絕對(duì)值之和為1.1+2.8+7.5+1.2+1.9+0.4＝14.9模型②的殘差值的絕對(duì)值之和為0.3+5.4+4.3+3.2+1.6+3.8＝18.6.∵14.9<18.6，∴模型①的擬合效果較好，應(yīng)該選模型①.(2)剔除異常數(shù)據(jù)，即剔除第3天的數(shù)據(jù)后，得，，，.∴，.∴y關(guān)于x的回歸方程為.規(guī)律方法(1)解答線性回歸問(wèn)題，應(yīng)通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析．(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適．②殘差平方和法：殘差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．③決定系數(shù)法：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)越接近1，表明回歸的效果越好．例8．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））2022年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為．(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)(1)中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益(直接收益＋國(guó)家補(bǔ)貼)的大小．附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好．用最小二乘法求線性回歸方程的截距：．【答案】(1)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為(億元)；(2)投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.【解析】【分析】(1)根據(jù)模型和相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算比較即可，然后將x＝17代入較好的模型即可預(yù)測(cè)直接收益；(2)根據(jù)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)()求出，再令x＝20算出預(yù)測(cè)的直接收益，即可算出投入20億元時(shí)的總收益，與(1)中的投入17億元的直接收益比較即可.(1)對(duì)于模型①，對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合精度更高、更可靠.故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為(億元).另解：本題也可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，直接比較79.13和20.2的大小，從而說(shuō)明模型②擬合精度更高、更可靠.(2)當(dāng)時(shí)，后五組的，，由最小二乘法可得，故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益(直接收益＋國(guó)家補(bǔ)貼)的大小為：，故投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.例9．（2022·陜西·高新一中高三階段練習(xí)（理））2022年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將型材料更好地投入商用，擬對(duì)型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入（億元）與產(chǎn)品的直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456723468101315222740485460當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為.回歸模型模型①模型②79.1320.2(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小.附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好..用最小二乘法求線性回歸方程的截距：.【答案】(1)，模型②擬合精度更高?更可靠，收益為；(2)投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得，再根據(jù)的計(jì)算公式，即可分別求得，則可判斷不同模型的擬合度；（2）根據(jù)題意，求得回歸直線方程，即可代值計(jì)算，求得預(yù)測(cè)值.(1)對(duì)于模型①，對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合精度更高?更可靠.故對(duì)型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為.(2)當(dāng)時(shí)，后五組的，由最小二乘法可得，故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小為：，故投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.題型四殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用例10．（2022·河北·藁城新冀明中學(xué)高二階段練習(xí)）假定產(chǎn)品產(chǎn)量x（千件）與單位成本y（元/件）之間存在相關(guān)關(guān)系.數(shù)據(jù)如下：x234345y737271736968(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸直線方程，對(duì)于單位成本70元/件時(shí)，預(yù)報(bào)產(chǎn)量為多少；(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；【答案】(1)散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；(2)，千件；(3)各組殘差見(jiàn)解析，殘差平方和為.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出，，，，代入公式求出線性回歸方程的系數(shù)，進(jìn)而求出即可得回歸直線方程；（3）根據(jù)殘差的定義及殘差平方和公式即可求解.(1)解：散點(diǎn)圖如下：(2)解：因?yàn)?，，，，所以，，所以回歸直線方程為，令，則，解得，所以單位成本70元/件時(shí)，預(yù)報(bào)產(chǎn)量約為千件.(3)解：各組殘差分別為：，，，，，，殘差的平方和為.規(guī)律方法(1)利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)，然后通過(guò)殘差eq\o(e,\s\up6(^))1，eq\o(e,\s\up6(^))2，…，eq\o(e,\s\up6(^))n來(lái)判斷模型擬合的效果．(2)若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高．例11．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.華為技術(shù)有限公司擬對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入x（億元）與科技升級(jí)直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為.（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，，）（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小.附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：【答案】（1）回歸模型②，72.93（億元）；（2）投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)比較和可判斷擬合效果，進(jìn)而求出預(yù)測(cè)值；（2）求出，進(jìn)而求出，得出回歸方程得求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，∴，∴可見(jiàn)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù).所以回歸模型②的擬合效果更好.所以當(dāng)億元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為（億元）.（2）當(dāng)時(shí)，由已知可得，.∴.∴當(dāng)時(shí)，y與x滿足的線性回歸方程為.當(dāng)時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為億元.當(dāng)億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元億元，∴技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大.題型五非線性回歸分析例12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：x1234567y611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷在推廣期內(nèi)，與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及題干中表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數(shù)據(jù)：62.141.54253550.123.47其中，.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.(3)推廣期結(jié)束后，為更好地服務(wù)乘客，車隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了100人次的乘車支付方式，得到如下結(jié)果：支付方式現(xiàn)金公交卡掃碼人次106030已知該線路公交車票價(jià)2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠，使用公交卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)：使用掃碼支付的乘客中有5人次乘客享受7折優(yōu)惠，有10人次乘客享受8折優(yōu)惠，有15人次乘客享受9折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有1萬(wàn)人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)該車隊(duì)一輛車一年的總收入.【答案】(1)適宜(2)，活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為347(3)199200元【解析】【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷回歸方程類型；(2)根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出，進(jìn)而求出，即可得出回歸方程，令求解即可；(3)根據(jù)題意分別求出享受7折優(yōu)惠、8折優(yōu)惠、9折優(yōu)惠的收入，進(jìn)而加起來(lái)即可.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型.(2)∵，∴兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得.設(shè)，，則.∵，，，∴，，∴，∴，把代入上式，得，∴y關(guān)于x的回歸方程為，活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為347.(3)由題意，可知一個(gè)月中使用現(xiàn)金的乘客有1000人次，共收入（元）；使用公交卡的乘客有6000人次，共收入（元）.使用掃碼支付的乘客有3000人次，其中，享受7折優(yōu)惠的有500人次，共收入（元），享受8折優(yōu)惠的有1000人次，共收入（元），享受9折優(yōu)惠的有1500人次，共收入（元），故該車隊(duì)一輛車一個(gè)月的收入為（元）.∴估計(jì)該車隊(duì)一輛車一年的收入為（元）.規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算決定系數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．例13．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國(guó)的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長(zhǎng)，居世界前列現(xiàn)收集我國(guó)近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表年份20152016201720182019編號(hào)x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224注：參考數(shù)據(jù)，，，（其中）.附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來(lái)幾年我國(guó)區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程；(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷y關(guān)于x的回歸方程為非線性方程；（2）令，將y關(guān)于x的非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為z關(guān)于x的線性關(guān)系，利用最小二乘法求解；（3）利用相互獨(dú)立事件的概率相乘求求解；(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預(yù)測(cè)未來(lái)幾年我國(guó)區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量.(2)，，令，則，，由公式計(jì)算可知，即，即所以y關(guān)于x的回歸方程為(3)設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件.則所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為.例14．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1-9，不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．(1)賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過(guò)50天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？(2)小明和小紅在數(shù)獨(dú)APP上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若每局不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率．參考數(shù)據(jù)（其中）18450.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，），（，），…，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【答案】(1)；150秒(2)【解析】【分析】（1）首先換元，令，設(shè)y關(guān)于t的線性回歸方程為，利用參考公式，即可求解；（2）首先根據(jù)題意寫出隨機(jī)變量，,再利用獨(dú)立事件概率公式，即可求解.(1)由題意，，令，設(shè)y關(guān)于t的線性回歸方程為，則，則．∴，又，∴y關(guān)于x的回歸方程為，故時(shí)，．∴．經(jīng)過(guò)50天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為150秒．(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局小明最終贏得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，由題意知，最多再進(jìn)行4局就有勝負(fù)．當(dāng)時(shí)，小明勝，∴當(dāng)時(shí)，小明勝，∴；當(dāng)時(shí)，小明勝，∴．∴小明最終贏得比賽的概率為．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（文））某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）4235銷售額（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售額為（

）A．73萬(wàn)元 B．81.4萬(wàn)元 C．77.1萬(wàn)元 D．74.9萬(wàn)元【答案】D【解析】【分析】先求樣本中心點(diǎn)為，進(jìn)而得，回歸方程為，再代入計(jì)算即可得答案.【詳解】解：由題知，，因?yàn)榛貧w方程過(guò)定點(diǎn)，所以，即所以回歸方程為，所以當(dāng)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售額為萬(wàn)元.故選：D2．（2022·四川·高三階段練習(xí)（文））某制衣品牌為使成衣尺寸更精準(zhǔn)，選擇了10名志愿者，對(duì)其身高（單位：）和臂展（單位：）進(jìn)行了測(cè)量，這10名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示．已知這10名志愿者身高的平均值為，根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展關(guān)于身高的線性回歸方程為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．這10名志愿者的身高和臂展呈正相關(guān)關(guān)系C．這10名志愿者臂展的平均值為176.2cmD．根據(jù)回歸方程可估計(jì)身高為160cm的人的臂展為158cm【答案】C【解析】【分析】利用平均值、極差、線性回歸方程的特征進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)檫@10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以這10名志愿者的身高和臂展呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檫@10名志愿者身高的平均值為176cm，所以這10名志愿者臂展的平均值為，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D：若一個(gè)人的身高為160cm，則由回歸方程，可得這個(gè)人的臂展的估計(jì)值為158cm，故D正確．故選：C3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某公司為了解某產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）對(duì)銷售量y（單位：百件）的影響，收集了該公司以往的5組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)用函數(shù)模型（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合比較合適．令，得到，經(jīng)計(jì)算，x，z對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如下表所示：研發(fā)費(fèi)x581215204.55.25.55.86.5則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)求出的值，從而得到回歸方程，再利用得出，的值，從而可得出答案．【詳解】解：，，所以，，解得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：B.4．（2022·天津?yàn)I海新·高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是：（

）A．線性回歸直線一定過(guò)點(diǎn)B．?dāng)?shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，則，，…，的平均數(shù)為C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的第百分位數(shù)為D．隨機(jī)變量，其正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線性回歸直線的性質(zhì)，平均值的定義，百分位數(shù)的概念，正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)，【詳解】線性回歸直線一定過(guò)其中心點(diǎn)，A正確；由得，B正確；數(shù)據(jù)，，，，，應(yīng)重新排列為，其第百分位數(shù)為3，C錯(cuò)；由正態(tài)曲線的性質(zhì)知D正確．故選：C．5．（2022·廣西百色·高二期末（理））某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說(shuō)法正確的是（

）x23456y1925★4044A．看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B．回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實(shí)際增加6.3噸C．據(jù)此模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量為8噸時(shí)，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D．回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)（4，★）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，將代入，故，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯(cuò)誤；對(duì)，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)，因?yàn)?，故必?jīng)過(guò)，故正確.故選：.6．（2022·廣西玉林·高二期末（文））如果在一實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn)，由樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，將其代入各選項(xiàng)的回歸方程驗(yàn)證即可.【詳解】由題設(shè)，，．因?yàn)榛貧w直線方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B．7．（2022·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（文））新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來(lái)源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動(dòng)力裝置），綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車．新能源汽車包括混合動(dòng)力電動(dòng)汽車（HEV）、純電動(dòng)汽車（BEV，包括太陽(yáng)能汽車）、燃料電池電動(dòng)汽車（FCEV）、其他新能源（如超級(jí)電容器、飛輪等高效儲(chǔ)能器）汽車等．非常規(guī)的車用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2022年我國(guó)某地區(qū)新能源汽車的前5個(gè)月銷售量與月份的統(tǒng)計(jì)表：月份代碼x12345銷售量y（萬(wàn)輛）0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為，則的值是（

）．A．0.28 B．0.32 C．0.56 D．0.64【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，，再根據(jù)樣本中心點(diǎn)適合方程解得的值即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，將代入，即，解得．故選:A．8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.為了弘揚(yáng)中國(guó)茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，為了解每壺“排骨茶”中所放茶葉克數(shù)與食客的滿意率的關(guān)系，調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，可選擇函數(shù)模型來(lái)擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：茶葉克數(shù)123454.344.364.444.454.51可求得關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】令，由線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，利用表中數(shù)據(jù)求得，代入選項(xiàng)即得.【詳解】由題表中數(shù)據(jù)可知，令，則，對(duì)于A，化簡(jiǎn)變形可得，等號(hào)兩邊同取對(duì)數(shù)，可得，將代入可得，所以A正確；對(duì)于B，，∴，將代入可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵，將代入可得，∴，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，將代入可得，∴，故D錯(cuò)誤.故選：A.二、多選題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司大力推進(jìn)科技創(chuàng)新發(fā)展戰(zhàn)略，持續(xù)加大研發(fā)投入（單位：萬(wàn)元），不斷提升公司的創(chuàng)新能力.2016年至2020年該公司的研發(fā)投入如下表所示：年份20162017201820192020年份編號(hào)x12345研發(fā)投入y/萬(wàn)元5193m175211若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，則（

）A．B．y與x正相關(guān)C．該公司平均每年增加研發(fā)投入約11.4萬(wàn)元D．預(yù)計(jì)2022年該公司的研發(fā)投入為292.8萬(wàn)元【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線回歸的定義，平均值必須在直線上即可.【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)在回歸直線上，，所以，故A正確；根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)及正相關(guān)的定義可知，y與x正相關(guān)，選項(xiàng)B正確；回歸直線方程的斜率即為該公司平均每年增加研發(fā)投入，為40.2萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?022年對(duì)應(yīng)的年份編號(hào)為7，即x=7，所以預(yù)計(jì)2022年該公司的研發(fā)投入為（萬(wàn)元）；故選：D.10．（2022·遼寧大連·高三期末）變量與變量的20對(duì)數(shù)據(jù)記為，其中，根據(jù)最小二乘法求得回歸直線方程是，變量間的相關(guān)系數(shù)為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．利用回歸直線方程計(jì)算所得的與實(shí)際值必有誤差B．回歸直線必過(guò)點(diǎn)C．若所有的點(diǎn)都在回歸直線上，則D．若變量與正相關(guān)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，以及相關(guān)性的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則與實(shí)際值相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心，故B正確；對(duì)于C，若所有的點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，即，故C正確；對(duì)于D，變量與正相關(guān)，則，故D正確；故選：BCD11．（2022·湖北江岸·高三期末）某電子商務(wù)平臺(tái)每年都會(huì)舉行“年貨節(jié)”商業(yè)促銷狂歡活動(dòng)，現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)了該平臺(tái)從2013年到2022年共9年“年貨節(jié)”期間的銷售額（單位：億元）并作出散點(diǎn)圖，將銷售額y看成年份序號(hào)x（2013年作為第一年）的函數(shù).運(yùn)用excel軟件，分別選擇回歸直線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合，效果如下圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．銷售額y與年份序號(hào)x正相關(guān)B．銷售額y與年份序號(hào)x線性關(guān)系不顯著C．三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果D．根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測(cè)2022年“年貨節(jié)”期間的銷售額約為2680.54億元【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象的走勢(shì)左下到右上可判斷A；由相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大擬合效果越好可判斷B、C；令，代入三次函數(shù)求出值即可判斷D.【詳解】根據(jù)圖象可知，散點(diǎn)從左下到右上分布，銷售額與年份序號(hào)呈正相關(guān)關(guān)系，故A正確；因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，靠近，銷售額與年份序號(hào)線性相關(guān)顯著，B錯(cuò)誤.根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線的相關(guān)指數(shù)，相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，所以三次多項(xiàng)式回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果，C正確；由三次多項(xiàng)式函數(shù)，當(dāng)時(shí)，億元，D正確；故選：ACD12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為，則（

）A．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則樣本的相關(guān)系數(shù)B．若，，則C．若樣本數(shù)據(jù)的殘差為，則必有樣本數(shù)據(jù)的殘差為D．若越趨近于1，則的預(yù)報(bào)精度越高【答案】BD【解析】【分析】由回歸方程與樣本點(diǎn)擬合程度與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷A；由樣本中心在回歸方程上判斷B；根據(jù)殘差、相關(guān)指數(shù)的實(shí)際意義判斷C、D.【詳解】若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)呈正相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)呈負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)，A錯(cuò)誤；回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，其中，，所以，即，B正確；樣本數(shù)據(jù)的殘差為，其他樣本數(shù)據(jù)的殘差值的大小沒(méi)必然聯(lián)系，C錯(cuò)誤；越趨近于1，說(shuō)明回歸直線的擬合效果越好，所以的預(yù)報(bào)精度越高，D正確.故選：BD.三、填空題13．（2022·山東青島·高三期末）已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040506070根據(jù)上表可得回歸方程，其中，據(jù)此估計(jì)，當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額為_________萬(wàn)元；【答案】85【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得樣本中心，代入回歸方程后求得，然后再求當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值即可．【詳解】由上表可知：.得樣本點(diǎn)的中心為，代入回歸方程，得.所以回歸方程為，將代入可得：.故答案為：8514．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年受疫情影響，國(guó)家鼓勵(lì)員工在工作地過(guò)年.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某市5個(gè)地區(qū)的外來(lái)務(wù)工人員數(shù)與他們選擇留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人數(shù)占比，得到如下的表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)E區(qū)外來(lái)務(wù)工人員數(shù)50004000350030002500留在當(dāng)?shù)氐娜藬?shù)占比80%90%80%80%84%根據(jù)這5個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年人員數(shù)y與外來(lái)務(wù)工人員數(shù)x的線性回歸方程為.該市對(duì)外來(lái)務(wù)工人員選擇留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的每人補(bǔ)貼1000元，該市F區(qū)有10000名外來(lái)務(wù)工人員，根據(jù)線性回歸方程估計(jì)F區(qū)需要給外來(lái)務(wù)工人員中留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人員的補(bǔ)貼總額為___________萬(wàn)元.(參考數(shù)據(jù)：取)【答案】【解析】【分析】求出，利用中心點(diǎn)求得，然后令代入可得估計(jì)值，求得留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人員數(shù)可得補(bǔ)貼總額．【詳解】由已知，，所以，則，即，時(shí)，，估計(jì)應(yīng)補(bǔ)貼（萬(wàn)元）．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查結(jié)尾回歸直線方程的應(yīng)用，線性回歸直線的性質(zhì)：線性回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)，由此可求得方程中的參數(shù)值，得方程，從而用回歸方程進(jìn)行計(jì)算估計(jì)．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的兩組點(diǎn)，如果存在一條直線使這兩組點(diǎn)分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”.對(duì)于一條分類直線，記所有的點(diǎn)到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好.某學(xué)校高三（2）班的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購(gòu)文具的費(fèi)用(單位：百元)和網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用(單位：百元)的情況如圖所示，現(xiàn)將，，和為第Ⅰ組點(diǎn).將，和歸為第Ⅱ點(diǎn).在上述約定下，可得這兩組點(diǎn)的分類效果最好的分類直線，記為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購(gòu)文具與網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用均為300元，則小明的這兩項(xiàng)網(wǎng)購(gòu)花銷的費(fèi)用所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與第Ⅱ組點(diǎn)位于的同側(cè)；④如果從第Ⅰ組點(diǎn)中去掉點(diǎn)，第Ⅱ組點(diǎn)保持不變，則分類效果最好的分類直線不是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)分類直線的定義判斷.【詳解】由圖象知：，①當(dāng)直線為分類直線時(shí)，，當(dāng)直線為分類直線時(shí)，所以直線分類效果好，故錯(cuò)誤；②由圖知定位L的位置由確定，所以直線L過(guò)點(diǎn)的外心，設(shè)直線方程為則，解得，故正確；③當(dāng)?shù)絃的距離與到L的距離相等時(shí)為L(zhǎng)的臨界值，此時(shí)點(diǎn)在L的右側(cè)，故正確；④去掉點(diǎn)后，，解得，故正確；故答案為：②③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解分類直線的定義，如本題L的位置由確定.16．（2022·山東淄博·一模）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)，將其變換后得到線性回歸方程，則______．【答案】##【解析】【分析】將回歸方程化為，再與模型比較系數(shù)，即可得到答案.【詳解】由，得，，所以.故答案為：.四、解答題17．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）重樓，中藥名，具有清熱解毒、消腫止痛、涼肝定驚之功效，具有極高的藥用價(jià)值.近年來(lái)，隨著重樓的藥用潛力被不斷開發(fā)，野生重樓資源已滿足不了市場(chǎng)的需求，巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值提升了家種重樓的熱度，某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年某地家種重樓年產(chǎn)量y（單位：噸），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.年份2014201520162017201820192020年份代碼x1234567年產(chǎn)量y/噸130180320390460550630(1)根據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中所求方程預(yù)測(cè)2022年該地家種重樓的年產(chǎn)量.附：回歸方程，中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)(2)805噸【解析】【分析】（1）利用題中的數(shù)據(jù)及公式可求解；（2）根據(jù)（1）中的回歸方程代入年份代碼即可求解.(1)由表格數(shù)據(jù)，得，，，，則，所以，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.(2)由題可知，2022年的年份代碼為9，即，將代入回歸方程，得，所以預(yù)測(cè)2022年該地家種重樓的年產(chǎn)量為805噸.18．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））研究顯示，越來(lái)越多的“996”上班族下班后通過(guò)慢跑強(qiáng)身健體，慢跑屬于一種有氧運(yùn)動(dòng)，可以消耗人體大量熱量，堅(jiān)持慢跑可以促進(jìn)新陳代謝，增加肺活量以及增強(qiáng)心臟功能，提升人體免疫力，因此深受青年人喜愛(ài).如圖統(tǒng)計(jì)了小明這100天每天慢跑的時(shí)間情況（單位：分鐘）.(1)求m的值.(2)如表是小明的同事小強(qiáng)本月前7次慢跑的時(shí)間情況；由散點(diǎn)圖可知，小強(qiáng)的慢跑次數(shù)x和慢跑時(shí)間y（單位：分鐘）之間線性相關(guān)，①求y關(guān)于x的線性回歸方程，其中使用分?jǐn)?shù)形式表示；②根據(jù)①中的運(yùn)算結(jié)果預(yù)測(cè)小強(qiáng)第9次的慢跑時(shí)間是否會(huì)超過(guò)小明這100天慢跑的平均時(shí)間.次數(shù)x1234567慢胞時(shí)間（單位：分鐘）15182723202936參考公式：在線性回歸方程中，.【答案】(1)m＝0.031(2)①，②預(yù)測(cè)小強(qiáng)第9次的慢跑時(shí)間會(huì)超過(guò)小明這100天慢跑的平均時(shí)間【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率之和，即矩形面積之和為1求解m的值；（2）根據(jù)公式求解，進(jìn)而求出線性回歸方程，進(jìn)而求出小強(qiáng)第9次的慢跑時(shí)間和這100天慢跑的平均時(shí)間，比較出大小.(1)依題意，，解得：m＝0.031(2)①依題意，，，，，故所求回歸直線方程為；②小明這100天慢跑的平均時(shí)間為：；將x＝9代入中，得，故可以預(yù)測(cè)小強(qiáng)第9次的慢跑時(shí)間會(huì)超過(guò)小明這100天慢跑的平均時(shí)間.19．（2022·福建福州·高三期末）為讓人民享受到更優(yōu)質(zhì)的教育服務(wù).我國(guó)逐年加大對(duì)教育的投入，下圖是我國(guó)2001年至2019年間每年普通本科招生數(shù)y（單位：萬(wàn)人）的條形圖.為了預(yù)測(cè)2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)，建立了y與時(shí)間變量t的三個(gè)回歸模型.其中根據(jù)2001年至2019年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，3，…，19）建立模型①：，相關(guān)指數(shù)；模型②：，相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù).根據(jù)2014年至2019年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，3，…，6）建立模型③：，相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù).(1)可以根據(jù)模型①得到2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值為671.42萬(wàn)人，請(qǐng)你也分別利用模型②?③，求2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.【答案】(1)根據(jù)模型②中預(yù)測(cè)值為511萬(wàn)人；根據(jù)模型③中的預(yù)測(cè)值為萬(wàn)人.(2)模型③得到的預(yù)測(cè)值更可靠，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）將，分別代入模型中的函數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合2001年到2019年間全國(guó)普通本招生逐年上升，從2001年到2010年間遞增幅度較大，從2010年到2019年間遞增幅度較小，即可求解.(