2024一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型復數(shù)-講義

復數(shù)——講義專題34復數(shù)的概念一、復數(shù)的有關概念1、復數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=?1，實部是eq\a\vs4\al(a)，虛部是eq\a\vs4\al(b).2、虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號i表示，規(guī)定i2＝－1.我們把i叫作虛數(shù)單位．3、表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．4、復數(shù)集①定義：全體復數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．【注意】復數(shù)概念說明：（1）復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）復數(shù)的實部是a，虛部是實數(shù)b而非bi.（3）復數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．二、復數(shù)的分類對于復數(shù)a＋bi，（1）當且僅當b＝0時，它是實數(shù)；（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數(shù)0；（3）當b≠0時，叫做虛數(shù)；（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．這樣，復數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：復數(shù)=【注意】復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系三、復數(shù)相等在復數(shù)集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.四、復數(shù)的集合意義1、復平面當用直角坐標平面內的點來表示復數(shù)時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．2、復數(shù)的幾何意義（1）任一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．（2）一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)【注意】實軸、虛軸上的點與復數(shù)的對應關系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應的有序實數(shù)對為(0，0)，它所確定的復數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實數(shù)．3、復數(shù)的模（1）定義：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值（2）記法：復數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．五、共軛復數(shù)如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)．復數(shù)z的共軛復數(shù)用eq\x\to(z)表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，eq\x\to(z)＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共軛復數(shù)是eq\x\to(z)＝2－3i.【注意】（1）當復數(shù)z＝a＋bi的虛部b＝0時，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身．（2）在復平面內，表示兩個共軛復數(shù)的點關于實軸對稱，并且它們的模相等．專題35復數(shù)的四則運算一、復數(shù)的加法1、加法法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復數(shù)，規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即兩個復數(shù)相加，就是實部與實部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個復數(shù)的和仍然是復數(shù)．注意：對于復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.2、加法運算律：復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、復數(shù)的減法1、相反數(shù)：已知復數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復數(shù)加法的定義，存在唯一的復數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．2、減法法則：規(guī)定兩個復數(shù)的減法法則，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即兩個復數(shù)相減，就是實部與實部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個復數(shù)的差仍是一個復數(shù)．三、復數(shù)加法與減法的幾何意義1、復數(shù)可以用向量來表示，已知復數(shù)z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其對應的向量OZ1=(x如圖1，且OZ1和以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，根據(jù)向量的加法法則，對角線OZ所對應的向量OZ=O而OZ1+OZ2所對應的坐標是(x1＋x2，這正是兩個復數(shù)之和z1＋z2所對應的有序實數(shù)對．2、復數(shù)的減法是加法的逆運算，如圖2，復數(shù)z1?z2與向量這就是復數(shù)減法的幾何意義．【注意】（1）根據(jù)復數(shù)加減法的幾何意義知，兩個復數(shù)對應向量的和向量所對應的復數(shù)就是這兩個復數(shù)的和；兩個復數(shù)對應向量的差向量所對應的復數(shù)就是這兩個復數(shù)的差．（2）求兩個復數(shù)對應向量的和，可使用平行四邊形法則或三角形法則．（3）在確定兩復數(shù)的差所對應的向量時，應按照三角形法則進行．拓展：由復數(shù)加減運算的幾何意義可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.四、復數(shù)的乘法1、運算法則：兩個復數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法運算來進行，只是把i2換成－1，并把最后結果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.顯然兩個復數(shù)的積仍是復數(shù)．2、復數(shù)乘法的運算律：對于任意z1、z2、z3∈C，有（1）z1·z2＝z2·z1(交換律)；（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結合律)；（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．【注意】實數(shù)范圍內的乘法公式在復數(shù)范圍內仍然成立．3、復數(shù)的乘方：復數(shù)的乘方也就是相同復數(shù)的乘積，根據(jù)乘法的運算律，實數(shù)范圍內正整數(shù)指數(shù)冪的運算律在復數(shù)范圍內仍然成立．即對復數(shù)z1、z2、z和自然數(shù)m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq\f(1,zm)(z≠0)．【注意】實數(shù)范圍內的乘方公式、運算律在復數(shù)范圍內仍然成立．4、虛數(shù)單位i的乘方計算復數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.五、復數(shù)的除法規(guī)定兩個復數(shù)除法的運算法則：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）a+b在進行復數(shù)除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)c－di，把分母變?yōu)閷崝?shù)，化簡后就可得到所求結果．【注意】（1）兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商仍是一個復數(shù)．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq\x\to(z)＝a2＋b2是復數(shù)除法運算中實現(xiàn)分母“實數(shù)化”的一個手段．六、復數(shù)方程的解在復數(shù)范圍內，實系數(shù)一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當?≥0時，x=?b±b2?4ac2a=2\*GB3②（2）利用復數(shù)相等的定義求解，設方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax專題36復數(shù)的三角表示一、復數(shù)的輔角1、輔角的定義：設復數(shù)z=a+bi的對應向量為OZ，以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復數(shù)z2、輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數(shù)輔角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作arg【注意】因為復數(shù)0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數(shù)0的輔角是任意的。二、復數(shù)的三角形式定義：任何一個復數(shù)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復數(shù)的模，【注意】復數(shù)的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連。三、復數(shù)的代數(shù)式與三角式互化1、將復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當a=0，b>0時，argz=2、每一個不等于零的復數(shù)有唯依的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等。四、復數(shù)乘法運算的三角表示及其幾何意義1、復數(shù)乘法運算的三角表示：已知z1=r則z這就是說，兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輔角等于各復數(shù)的輔角的和。2、復數(shù)乘法運算的幾何意義：兩個復數(shù)z1，z2相乘時，分別畫出與z1，z2對應的向量然后把向量OZ1繞O點按逆時針方向旋轉θ2（如果θ2<0，就要把OZ1繞點O按順時針方向旋轉角θ2），再把它的模變成原來的3、復數(shù)乘法運算三角表示推廣：z1=r特別的，當z1=五、復數(shù)除法運算的三角表示及其幾何意義1、復數(shù)除法運算的三角表示：已知z1=則z這就是說，兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.2、兩個復數(shù)z1，z2相除時，先分別畫出與z1，z2對應的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞O點按順時針方向旋轉θ2（如果θ2<0，就要把O復數(shù)專題：利用復數(shù)幾何意義求與模有關的最值問題一、復數(shù)的幾何意義每個復數(shù)，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數(shù)與它對應.復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內的點建立了一一對應的關系，復數(shù)z=a+二、復數(shù)模的幾何意義1、向量OZ的模叫做復數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作z或a+bi，即z=a+bi=az表示復平面內的點Za,b2、z1?z2的幾何意義：復平