《自動控制原理》課件第3章

第三章控制系統(tǒng)時域分析法3.1系統(tǒng)時域性能指標3.2一階系統(tǒng)時域分析3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.4高階系統(tǒng)的時域分析3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算習題三

分析和設計控制系統(tǒng)的首要任務是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。一旦獲得合理的數(shù)學模型，就可以采用不同的分析方法來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能。在經(jīng)典控制理論

中主要采用的分析方法有：

時域分析法、根軌跡法和頻率特性法。本章主要研究時域分析法。時域分析法是最基本的分析方法，

該方法引出的概念、方法和結論是以后學習復域法、頻域法等其他方法的基礎。時域分析法是在時域中研究系統(tǒng)的運動規(guī)律，

在數(shù)學上表現(xiàn)為微分方程的時間解，

具有直觀、準確的優(yōu)點，

可以提供系統(tǒng)時間響應的全部信息。

3.1系統(tǒng)時域性能指標

時域分析主要是對系統(tǒng)輸出響應特性進行分析，其輸出響應與系統(tǒng)的結構參數(shù)以及系統(tǒng)的輸入信號形式有關。為了便于分析和評價系統(tǒng)的性能，必須了解典型輸入信號的形式。

3.1.1典型輸入信號

一般情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號具有隨機性，因而無法預先知道，而且其瞬時函數(shù)關系往往不能用解析形式來表達，例如防空雷達跟蹤系統(tǒng)的被跟蹤目標，其位置和速度就是不確定的隨機信號，難以用函數(shù)描述。只有在一些特殊情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號才是確知的，例如溫度、水位等控制系統(tǒng)，輸入信號為定值。因此，為便于分析和設計控制系統(tǒng)，我們選定一些基本的輸入信號形式，稱之為典型輸入信號，用以評價和比較控制系統(tǒng)的性能，并可以由此去推知更復雜輸入下的系統(tǒng)響應。

控制系統(tǒng)中常用的典型輸入信號有:單位階躍(位置)函數(shù)、單位斜坡(速度)函數(shù)、單位拋物線(加速度)函數(shù)、單位脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)，這些函數(shù)都是簡單的時間函數(shù)，便于數(shù)學分析和試驗研究。

在研究控制系統(tǒng)性能時，不同系統(tǒng)典型輸入信號如何選取，需要考慮以下幾個方面：輸入信號的形式應盡可能反映系統(tǒng)在工作過程中的常見工作狀態(tài)；所選輸入信號在形式上應盡可能簡單，以便于分析處理；應考慮選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型輸入信號。

1.階躍(位置)函數(shù)

階躍函數(shù)的定義為

式中，

R為常數(shù)，是輸入信號的幅值，如圖3－1(a)所示。當R=1時，該函數(shù)稱為單位階躍(位置)函數(shù)，其數(shù)學表達式為圖3－1典型輸入信號

常記為1(t

)。單位階躍函數(shù)的拉普拉斯變換為

在

t=0處，階躍信號相當于一個不變的信號突然加到系統(tǒng)上。對于恒值系統(tǒng)，相當于給定值突然變化或者擾動量突然變化；對于隨動系統(tǒng)，相當于加入一個突變的給定位置信號，如電動機負荷的突然改變、閥門的突然開關、電源的突然開關等均可視為階躍函數(shù)輸入。

通常采用單位階躍函數(shù)作為統(tǒng)一的典型輸入信號，從而在一個統(tǒng)一的基礎上對各種控制系統(tǒng)的特性進行比較和研究。

2.斜坡(速度)函數(shù)

斜坡函數(shù)的定義為

式中，

R為常數(shù)，是輸入信號的斜率，如圖3－1(b)所示。當R=1時，該函數(shù)稱為單位斜坡(速度)函數(shù)，其數(shù)學表達式為

有時也記為t·1(t

)。單位斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為

單位斜坡函數(shù)相當于隨動系統(tǒng)中加入一個按恒速變化的位置信號，如跟蹤通信衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)、數(shù)控機床加工斜面時的進給系統(tǒng)、大型船閘的勻速升降系統(tǒng)等。輸入信號

隨時間逐漸變化的控制系統(tǒng)的輸入均可視為斜坡函數(shù)。

單位斜坡函數(shù)是考察系統(tǒng)對等速率信號跟蹤能力時的試驗信號。

3.拋物線(加速度)函數(shù)

拋物線函數(shù)的定義是

式中，

R為常數(shù)，是輸入信號的加速度，如圖3－1(c)所示。當R=1時，該函數(shù)稱為單位拋物線(加速度)函數(shù)，其數(shù)學表達式為

單位拋物線函數(shù)的拉普拉斯變換為

單位拋物線函數(shù)是用于考察系統(tǒng)機動跟蹤能力時的試驗信號。如宇宙飛船控制系統(tǒng)等的典型輸入即可選拋物線信號。

4.脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)的定義是

式中，

R為常數(shù)，如圖3－1(d)所示。當R=1時，該函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，是一個寬度為ε

，高度為1/ε

的矩形脈沖，當ε→0時，就得到理想的單位脈沖函數(shù)δ(t

)。其數(shù)學表達式為

其拉普拉斯變換為

理想單位脈沖是不存在的，但是在控制理論中卻是一個重要的數(shù)學工具。當需要使用理想單位脈沖函數(shù)作為測試信號時，實際上總是采用寬度很小的單位脈沖信號代替。一些

持續(xù)時間極短的脈沖信號，可視為理想脈沖函數(shù)。如脈動電壓信號、沖擊力、陣風中的大氣湍流等都可視為脈沖函數(shù)。

單位脈沖信號用于考察系統(tǒng)在脈沖擾動后的恢復過程。

5.正弦函數(shù)

正弦函數(shù)的數(shù)學表達式是

式中，

A為正弦函數(shù)的幅值或振幅，ω為振蕩角頻率。當A=1時，正弦函數(shù)稱為單位正弦函數(shù)，其拉普拉斯變換為

在實際控制系統(tǒng)中，當輸入信號具有周期變化特性時，可采用正弦函數(shù)作為典型輸入信號。如機車設備上受到的振動力、伺服振動臺的輸入信號、電源及機械振動噪聲等。正

弦函數(shù)主要用于頻率域分析中。

對同一系統(tǒng)，不論選擇哪種典型輸入信號，其響應過程所表征的系統(tǒng)特性是一致的。因此，對各種控制系統(tǒng)特性進行比較研究時，通常采用單位階躍函數(shù)作為典型輸入信號。

3.1.2時域性能指標

對于一個典型輸入信號作用下的控制系統(tǒng)，任何時間響應都是由動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分組成。動態(tài)響應是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到接近最

終狀態(tài)的響應過程，又稱為暫態(tài)過程或動態(tài)過程。動態(tài)響應主要表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式，可以提供系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應速度和阻尼比等信息。顯然，一個實際運行的控

制系統(tǒng)，其動態(tài)響應必須是衰減的，即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)響應是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮時系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式，其表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，提供有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息，又稱為穩(wěn)態(tài)過程。

控制系統(tǒng)的時域性能指標通常根據(jù)系統(tǒng)的單位階躍響應曲線確定，如某系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖3－2所示。因此用時域分析法分析和評價系統(tǒng)主要是分析系統(tǒng)的動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標。注意：只有系統(tǒng)穩(wěn)定，對于其動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的研究才是有意義的。因此，穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能正常運行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，與外加信號無關。圖3－2系統(tǒng)的典型階躍響應及動態(tài)性能指標

1.動態(tài)性能指標

延遲時間

td

階躍響應曲線第一次達到其穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。

上升時間tr

一般定義為響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。對于有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為階躍響應曲線首次達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。

峰值時間tp

階躍響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值h(∞)到達第一個峰值所需的時間。

調(diào)節(jié)時間

ts

階躍響應曲線到達并保持在穩(wěn)態(tài)值的允許誤差帶內(nèi)(Δ=0.05或0.02)所需的最短時間。除非特別說明，本書以后所說的調(diào)節(jié)時間均以穩(wěn)態(tài)值的±5%(Δ=0.05)誤差帶定義。

超調(diào)量

σ%階躍響應曲線越過穩(wěn)態(tài)值第一次達到峰值時，越過部分的幅度與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量，工程上常用百分率來表示：

上述各動態(tài)性能指標之間互有聯(lián)系，因此，對于一個控制系統(tǒng)通常沒有必要列舉出所有動態(tài)性能指標；同樣，由于它們之間互有聯(lián)系，在設計系統(tǒng)時不可能對所有指標提出要求，因為這些要求有可能彼此矛盾，以致在調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)時顧此失彼。我國工程界目前習慣采用超調(diào)量σ%和調(diào)節(jié)時間ts兩項作為動態(tài)性能的主要指標。顯然，

σ%和ts

都是越小越好，通常認為σ%不宜超過50%，而ts則隨被控對象本身的時間尺度可以有較大差別，如空中戰(zhàn)機的轉彎時間以秒計算，而大船的轉彎時間以分鐘計算。

2.穩(wěn)態(tài)性能指標

穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標，是指時間t

趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或

拋物線函數(shù)作用下進行測量和計算(具體請參閱第3.6節(jié))。

應當指出，系統(tǒng)性能指標的確定應根據(jù)實際情況而有所側重。例如，民航客機要求飛行平穩(wěn)，不允許有超調(diào)；殲擊機則要求機動靈活，響應迅速，允許有適當?shù)某{(diào)；對于一些啟動之后便需要長期運行的生產(chǎn)過程(如化工過程等)則往往更強調(diào)穩(wěn)態(tài)精度等。

3.2一階系統(tǒng)時域分析

凡是以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。它是工程中最基本最簡單的系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單系統(tǒng)如RC網(wǎng)絡、發(fā)電機、空氣加熱器、液位控制系統(tǒng)等都可以用一階系統(tǒng)來描述。

3.2.1一階系統(tǒng)數(shù)學模型

圖3－3所示RC電路是最常見的一種一階系統(tǒng)。圖3－3RC電路

其中，

T為時間常數(shù)，代表系統(tǒng)的慣性。c(t)和r(t)分別為系統(tǒng)的輸出信號和輸入信號。假定該系統(tǒng)的初始條件為零時，得到描述一階系統(tǒng)數(shù)學模型的傳遞函數(shù)的標準形式是

典型一階系統(tǒng)的結構圖如圖3－4所示。

注意：具有同一數(shù)學模型的所有線性系統(tǒng)，對同一輸入信號的響應是相同的，區(qū)別僅在于物理意義的不同。

下面分析一階系統(tǒng)在典型信號輸入作用下的響應過程，假定系統(tǒng)的初始條件為零。

3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應

當一階系統(tǒng)輸入信號為單位階躍函數(shù)r

(t

)=1(t)時，系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為

系統(tǒng)單位階躍響應為

系統(tǒng)誤差響應為

由式(3－3)知，當初始條件為零時，一階系統(tǒng)單位階躍響應的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線，式中的1為穩(wěn)態(tài)分量，

e-

t

/T

為瞬態(tài)分量，當t→∞

時，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個工作時間內(nèi)，系統(tǒng)的響應都不會超過穩(wěn)態(tài)值1。由于該響應曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應。一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖3－5所示。圖3－5一階系統(tǒng)單位階躍響應曲線

一階系統(tǒng)單位階躍響應具有以下重要特點：

(1)可通過實驗確定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T

。當t=T

時，輸出達到系統(tǒng)終值的63.2%，即當時間由t=0開始過了一個時間常數(shù)T后，系統(tǒng)輸出達到相應過程總變化量的

63.2%，因此可通過實驗方法確定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T。

(2)系統(tǒng)響應曲線在t=0處其切線的斜率為1/T

，并隨時間推移而下降。如果可以得到初始斜率特性，就可以確定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T

。

(3)系統(tǒng)響應曲線無超調(diào)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。

根據(jù)動態(tài)性能指標的定義，一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為

顯然，峰值時間tp

和超調(diào)量σ%都不存在。由于時間常數(shù)T

反映系統(tǒng)慣性，因此，一階系統(tǒng)慣性越小，響應過程越快；慣性越大，響應過程越慢。

【例3－1】已知某一階系統(tǒng)的結構圖如圖3－6所示。

(1)若反饋系數(shù)K=0.1，試求該系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間ts

；

(2)若要求ts≤0.1s

，求此時的反饋系數(shù)K。圖3－6某一階系統(tǒng)結構圖

(2)若要求ts

≤0.1s，即要求

從而求得此時反饋系數(shù)

由此可知：對一階系統(tǒng)而言，反饋加深可使調(diào)節(jié)時間減小。

例3－1中系統(tǒng)的單位階躍響應的MATLAB程序如下：

3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

當輸入信號為理想單位脈沖信號δ

(t

)時，系統(tǒng)的輸出響應稱為脈沖響應。由于理想單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為R(s

)=1，因此系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換與系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)相同。通?？梢詫挝幻}沖輸入信號作用于系統(tǒng)，根據(jù)被測定系統(tǒng)的單位脈沖響應，求得被測系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換為

系統(tǒng)單位脈沖響應為

系統(tǒng)誤差響應為

由式(3－6)知，當初始條件為零時，一階系統(tǒng)單位脈沖響應的變化曲線是一條單調(diào)下降的指數(shù)曲線，如圖3－7所示，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零，系統(tǒng)脈沖響應的調(diào)節(jié)時間為

由此可以得出，系統(tǒng)的慣性越小，響應過程的持續(xù)時間越短，從而系統(tǒng)響應輸入信號的快速性越好。

求系統(tǒng)單位脈沖響應的matlab函數(shù)為impulse()，如例3－1中求系統(tǒng)單位脈沖響應可采用impulse(sys)語句。圖3－7一階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線

在工程實際中，不可能得到理想的單位脈沖函數(shù)，而近似用具有一定寬度和有限幅度的窄脈沖來代替理想脈沖。為減小近似誤差，要求實際脈沖函數(shù)的寬度h與系統(tǒng)的時間常數(shù)T相比應該足夠小，通常要求h<0.1T。

3.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡(速度)響應

當一階系統(tǒng)的輸入信號為單位斜坡信號r

(t)=t

時，系統(tǒng)輸出響應的拉氏變換為

系統(tǒng)的單位斜坡響應為

系統(tǒng)的誤差響應為

由式(3－9)知，(t-T)為穩(wěn)態(tài)分量，

Te-

t

/T

為瞬態(tài)分量。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線如圖3－8所示。當t→∞

時，瞬態(tài)分量衰減到零，穩(wěn)態(tài)分量是一個與輸入斜坡信號斜率相同但時間滯后T的斜坡函數(shù)。由式(3－10)知，當時間

t→∞

時，誤差為常值，即該系統(tǒng)在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，其值正好等于時間常數(shù)T。顯然，系統(tǒng)的慣性越小，跟蹤的準確度越高。同樣，減小時間常數(shù)，也可以減小瞬態(tài)響應的時間。圖3－8一階系統(tǒng)的單位速度響應曲線

連續(xù)系統(tǒng)對任意輸入函數(shù)的響應可利用Matlab的函數(shù)lsim()來實現(xiàn)，如例3－1中求系統(tǒng)斜坡響應可采用如下ATLAB程序：

由式(3－12)知，跟蹤誤差隨時間推移而增大，而時間t→∞

時，跟蹤誤差將增至無窮大。這就說明，對一階系統(tǒng)來說，不能實現(xiàn)對加速度輸入的跟蹤。

一階系統(tǒng)對典型信號的響應歸納如表3－1所示。從表中可見，系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，積分常數(shù)由零初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特性，但不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。因此，研究線性定常系統(tǒng)的時間響應，往往只取其中一種典型形式進行研究即可。

3.3二階系統(tǒng)的時域分析

凡是以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在分析或設計系統(tǒng)時，二階系統(tǒng)的響應特性常被視為一種基準。在實際控制工程中二階系統(tǒng)的實例很多見，而且三階或更高階系統(tǒng)有可能用二階系統(tǒng)去近似，或者其響應可以表示為一、二階系統(tǒng)響應的合成。因此，研究二階系統(tǒng)的分析和計算方法，有較大的實際意義。

3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型

設一伺服系統(tǒng)原理圖如圖3－9所示，其任務是控制機械負載的位置，使其與參考位置相協(xié)調(diào)。該系統(tǒng)的工作原理：用一對電位計作為系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號轉換為與位置成正比的電信號。輸入電位計電刷臂的角位置θr

由控制輸入信號確定，而輸入電位計的電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計電刷臂的角位置θc

由輸出軸的位置確定，同樣與輸出電位計電刷臂上的電位成正比。圖3－9伺服系統(tǒng)原理圖

電樞回路電壓

式中，

Ks為電位器傳遞函數(shù)；

KA

為具有很高輸入阻抗和很低輸出阻抗的放大器的增益。

放大器的輸出電壓作用到直流電動機的電樞電路上，對于電樞電路

式中，

La

、Ra

為電動機電樞繞組的電感和電阻；Kb

為電動機的反電勢常數(shù)；

θ為電動機軸的角位移。

電動機激磁繞組上加有固定電流。如果出現(xiàn)誤差信號，電動機就產(chǎn)生力矩以轉動輸出負載，使誤差信號減少到零。當激磁電流固定時，電動機產(chǎn)生的力矩(電磁轉距)為

式中，

Cm為電動機的轉矩系數(shù)；ia

為電樞電流。

電動機的力矩平衡方程為：

式中，

J

為電動機負載和齒輪傳動裝置折合到電動機軸上的組合轉動慣量；f

為電動機負載和齒輪傳動裝置折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。

設齒輪傳動比為i

，則有

將上述等式進行拉氏變換，得到下列等式

根據(jù)上面的表達式，可以畫出系統(tǒng)的結構圖如圖3－10所示。圖3－10伺服控制系統(tǒng)結構圖

可分析得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

如果略去電樞電感La

，則有

可見由于電動機反電勢的Kb

存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。

則在不考慮負載力矩的情況下，伺服系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可簡化為

相應的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

為了使研究的結果具有普遍意義，可將上式表示為如下標準形式圖3－11標準形式二階系統(tǒng)結構圖

令式(3－18)的分母多項式為零，得到的等式稱為二階系統(tǒng)的特征方程

其兩個特征根(即閉環(huán)極點)為

二階系統(tǒng)的時間響應取決于ζ

和ωn

這兩個參數(shù)。注意，對于不同的二階系統(tǒng)，

ζ和ωn的物理含義不同。

3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應

根據(jù)式(3－20)可知，若系統(tǒng)阻尼比ζ

取值范圍不同，則其特征根形式不同，進而響應特性也不同。

當ζ<0時，二階系統(tǒng)具有兩個正實部的特征根，其單位階躍響應為

1.無阻尼(ζ

=0)二階系統(tǒng)的單位階躍響應

當ζ=0時，系統(tǒng)有一對共軛純虛根s1

，

2=±j

ωn

，系統(tǒng)此時單位階躍響應的拉氏變換為

對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為：

其單位階躍響應曲線如表3－2中所示。顯然，此時輸出以頻率ωn做等幅振蕩，

ωn稱為無阻尼振蕩頻率，也稱為自然頻率。

其單位階躍響應曲線如表3－2中所示。式(3－22)表明，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量為一個按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦振蕩項，其振蕩頻率為ωd

，即阻尼振蕩頻率，其包絡線為，該包絡線的收斂速度決定了瞬態(tài)分量的衰減速度，當ζ

一定時，包絡線的收斂速度取決于指數(shù)函數(shù)e-

ζ

ωn

t的冪，所以σ=ζωn

稱為衰減系數(shù)。式(

3－23)表明該系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差。

實際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比，因此不能通過實驗方法直接測得ωn

，而只能測得ωd

，且ωd

<ωn

，當ζ=0時，有ωd

=ωn

，隨著ζ值增大，阻尼振蕩頻率ωd將減小，當ζ≥1時，

ωd將不復存在，系統(tǒng)的響應不再出現(xiàn)振蕩。

3.臨界阻尼(ζ

=1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應

當

ζ=1時，系統(tǒng)有一對相等的負實根s1

，

2=-ωn

，則二階系統(tǒng)的單位階躍響應的拉氏變換為

此時二階系統(tǒng)的單位階躍響應也稱為臨界阻尼響應，為

系統(tǒng)誤差響應為

其單位階躍響應曲線如表3－2中所示。顯然，當ζ=1時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程，它是這類響應中速度最快的。

系統(tǒng)誤差響應為

圖3－12給出了不同ζ

值時二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線。由圖可見，隨著ζ的增大，

h

(t

)從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當ζ≥1時，

h(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)，可見，ζ

值反映實際系統(tǒng)的阻尼情況，因此稱為阻尼系數(shù)。圖3－12二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線

3.3.3二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標計算

下面分別研究欠阻尼和過阻尼兩種情況下的二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標計算。

1.欠阻尼二階系統(tǒng)

在工程實際中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，實際應用的控制系統(tǒng)大多數(shù)都設計成欠阻尼系統(tǒng)，以便使系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應速度和較短的調(diào)節(jié)時間。

如圖3－9所示的伺服系統(tǒng)中，常將線性系統(tǒng)的增益設計得比較高，如伺服系統(tǒng)中當K比較高時，

ζ將減小，

此時有較快的響應速度和較短的調(diào)節(jié)時間。一般二階控制系統(tǒng)的阻尼比取0.4~0.8之間。此時系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，其閉環(huán)極點為兩個共軛的復數(shù)根。其分布如表3－2中所示，其中以閉環(huán)極點s1

來說明其具體分布特征，如圖3－13所示。

圖3－13欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點s

1

分布

由圖3－13可見，衰減系數(shù)σ

的絕對值是閉環(huán)極點到虛軸之間的距離；阻尼振蕩頻率ωd

是閉環(huán)極點到實軸之間的距離；自然頻率ωn

是閉環(huán)極點到坐標原點之間的距離；ωn

與負實軸夾角的余弦正好是阻尼比，即ζ=cosβ，故稱β

為阻尼角。在自然振蕩頻率ωn保持不變的情況下，阻尼角β越大，則阻尼比ζ越??；阻尼角β

越小，則阻尼比ζ

越大。

系統(tǒng)的性能指標一般在階躍函數(shù)輸入的情況下進行定義。下面根據(jù)式(3－22)推導欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標。

式中β=arccosζ。顯然，當ζ一定時，阻尼角β

不變，tr

與ωn成反比；而當ωd

一定時，

tr與阻尼比ζ成正比，阻尼比越小，上升時間越短。

顯然，超調(diào)量σ%只與阻尼比ζ有關，其關系曲線如圖3－14所示，由圖可見，ζ

越小，σ

%越大。通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取0.4~0.8之間，響應超調(diào)量為25%~1.5%之間，過小的ζ，會使響應超調(diào)過大。圖3－14欠阻尼二階系統(tǒng)ζ與σ%關系曲線

5)調(diào)節(jié)時間ts

用定義求解系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間比較麻煩，常采用近似方法計算。在3.3.2節(jié)中提到二階欠阻尼系統(tǒng)的包絡線概念，通常按欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應曲線的包絡線進入誤差帶的時

間計算調(diào)節(jié)時間。其包絡線函數(shù)為如圖3－15所示。

令圖3－15欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應及包絡線

可解得

當0<ζ<0.8時，近似有

或

由于系統(tǒng)一般設計為ζ<0.8，因此調(diào)節(jié)時間ts

按式(3－33)計算。由式(3－33)可知，調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)極點的實部成反比。由于超調(diào)量只由阻尼比決定，因此若能保持阻尼比不變而增大自然頻率，就可以在不改變系統(tǒng)超調(diào)量的情況下，縮短調(diào)節(jié)時間。

由上面給出的典型欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式可知，二階系統(tǒng)的性能完全由兩個特征參數(shù)ζ、ωn

決定。提高ωn

，可以提高系統(tǒng)的響應速度；增大ζ，可以提高系統(tǒng)的阻尼程度，從而使超調(diào)量降低。在實際設計系統(tǒng)的過程中，

ωn

的提高一般都是通過增大系統(tǒng)的開環(huán)增益K

來實現(xiàn)，如圖3－9所示伺服系統(tǒng)，

一般來說機電時間常數(shù)Tm

在電動機選定后是一個不可調(diào)的確定參數(shù)，當增大ωn時，系統(tǒng)相應ζ

減小，可見系統(tǒng)在響應速度和阻尼程度之間存在矛盾，解決的方法是對系統(tǒng)進行校正。

【例3－2】設二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如下圖3－16所示，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

解從響應曲線明顯可以看出，在單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統(tǒng)的增益不是1，而是3，因此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式應為

觀察圖中的時域性能指標得

解得

因此該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖3－16某二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

【例3－3】設系統(tǒng)如圖3－17所示，如果要求系統(tǒng)的性能指標σ%=15%，

tp

=0.8s，試確定增益K1

和速度反饋系數(shù)Kf

，同時計算在此K1

和Kf數(shù)值下系統(tǒng)的上升時間和調(diào)

節(jié)時間。圖3－17某二階系統(tǒng)的結構圖

解由題目給定條件有

由系統(tǒng)結構圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

2.過阻尼二階系統(tǒng)

過阻尼系統(tǒng)響應緩慢，一般不希望采用過阻尼系統(tǒng)。但在某些低增益、大慣性的控制系統(tǒng)中，需要采用過阻尼系統(tǒng)，如液位控制系統(tǒng)，超調(diào)會導致液體溢出等。在有些不允許時間響應出現(xiàn)超調(diào)，而又希望響應速度較快的情況，如在指示儀表系統(tǒng)和記錄儀表系統(tǒng)中，需要采用臨界阻尼系統(tǒng)。有些高階系統(tǒng)的時間響應特性可用過阻尼二階系統(tǒng)的時間響應來近似，因此，研究過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，有較大的工程意義。

當阻尼比ζ>1，且初始條件為零時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應如式(3－26)所示。顯然，其單位階躍響應曲線是一個單調(diào)上升的曲線，因此其動態(tài)性能指標只有延遲時間td

、上升時間tr

和調(diào)節(jié)時間ts

。但式(3－26)是一個超越方程，因此無法根據(jù)各動態(tài)性能指標的定義求出其準確的計算公式。目前工程上采用的方法，是利用數(shù)值解法求出不同ζ

值下的無因次時間ωnt，然后制成曲線以供查用；或者利用曲線擬合法給出近似計算公式。下面給出采用上述方法求得的動態(tài)性能指標近似計算公式，以備查用。

調(diào)節(jié)時間ts與T

1

、T

2

的關系曲線圖如圖3－18所示。

此時可用查圖法求取相應的調(diào)節(jié)時間ts

，即由已知的T

1

、T2

值在圖3－18上查出相應的ts

。當ζ>1時，若T

1≥4T

2

，可取

相對誤差不超過10%。

當ζ=1時，由于T

1

/T

2

=1，因此臨界阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為圖3－18過阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間特性

3.3.4二階系統(tǒng)的單位斜坡響應

當輸入信號為單位斜坡輸入信號r

(t)=t

時，則系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為

對上式取拉氏反變換，可得欠阻尼(0<ζ<1)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應為

系統(tǒng)誤差響應為

顯然，系統(tǒng)的單位斜坡響應是由兩部分組成，一部分是穩(wěn)態(tài)分量另一部分是瞬態(tài)分量

其中，瞬態(tài)分量隨著時間增長而振蕩衰減，最終趨于零。

因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

圖3－19欠阻尼二階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線

3.3.5改善二階系統(tǒng)動態(tài)性能的措施

為了改善二階系統(tǒng)的性能，有時需要在系統(tǒng)結構中加入附加的裝置，通過調(diào)節(jié)附加裝置的參數(shù)，來改善系統(tǒng)的性能。這個加入的附加裝置稱為校正裝置，這個過程稱為對系統(tǒng)校正或稱為系統(tǒng)綜合。一般工程上希望系統(tǒng)具有較小的超調(diào)和較快的響應速度。

我們以二階位置伺服系統(tǒng)為例來說明改善二階系統(tǒng)性能的方法。圖3－20中所示波形分別為二階伺服系統(tǒng)階躍響應曲線h

(t)、誤差響應曲線e(t)以及階躍響應曲線的導數(shù)?h

(t

)和誤差響應曲線的導數(shù)?e(t)。由曲線h(t)可看出，其單位階躍響應具有較大的超調(diào)量。下面分析一下二階系統(tǒng)單位階躍響應產(chǎn)生超調(diào)的過程。圖3－20二階系統(tǒng)信號波形圖

在0~t1

時間間隔內(nèi)，由于誤差信號e(t)為正，使執(zhí)行機構伺服電機產(chǎn)生正向力矩。但因為系統(tǒng)阻尼較小，電機的正向加速度、速度較大，因此在t

=t1時刻輸出響應穿過穩(wěn)

態(tài)值出現(xiàn)正向超調(diào)量。而在t1

~t

2時間間隔內(nèi)，誤差信號e(t)為負，電機產(chǎn)生反向力矩，但由于開始反向力矩不夠大，而系統(tǒng)原輸出本已具有較大的速度，所以需要經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，即輸出響應直至t=t

2時刻才達到最大值h

(t

2

)。在t

2~t3

時間間隔內(nèi)，誤差信號e(t)仍然為負，電機反向力矩繼續(xù)作用，使輸出量開始減小，由于反向力矩作用過大，輸出量在t=t3

時刻再次穿過穩(wěn)態(tài)值形成反向超調(diào)。

而在t3

~t4時間間隔內(nèi)，誤差信號又重新為正，電機產(chǎn)生正向力矩，力圖使輸出量重新恢復到穩(wěn)態(tài)值，但開始正向修正作用不夠大，需要經(jīng)過一段時間才使反向速度為零，即直到t=t4

輸出響應才達到反向最大值。如此反復，使動態(tài)過程產(chǎn)生振蕩，出現(xiàn)較大超調(diào)。

可以看出，造成響應出現(xiàn)超調(diào)的原因主要是：

(1)在0~t1時間間隔內(nèi)，正向力矩較大，在t1時刻之前沒有及時反向制動；

(2)在t1

~t

2時間內(nèi)，反向制動力矩不足，因此導致需要一定時間才能使輸出趨向穩(wěn)態(tài)值。

1.比例微分控制

比例微分控制的二階系統(tǒng)的典型結構圖如圖3－21所示，其中Td

為微分時間常數(shù)。由于加入了誤差的微分信號，它可以敏感誤差信號的變化，因此比例微分控制可以在出

現(xiàn)位置誤差前，提前產(chǎn)生控制作用，即使控制作用帶有一定程度的“預見性”，從而達到改善系統(tǒng)動態(tài)性能的目的。由于誤差微分信號只反映誤差信號變化的速率，因此，微分控制并不影響穩(wěn)態(tài)誤差的大小。圖3－21比例微分控制系統(tǒng)

圖3－21所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中

與不增加微分控制的典型二階系統(tǒng)相比較可知，比例微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但是增加了系統(tǒng)阻尼比(ζ

d>ζ

)，同時給二階系統(tǒng)增添了閉環(huán)零點(-1/Td

)。因此，具有比例微分控制的二階系統(tǒng)常稱為有零點的二階系統(tǒng)，而原系統(tǒng)稱為無零點的二階系統(tǒng)。

有零點二階系統(tǒng)的性能指標估算方法與無零點情況相類似，這里不作詳細推導，只給出計算公式。設其標準閉環(huán)傳遞函數(shù)為

性能指標近似計算公式

2.測速反饋控制

測速反饋控制的典型結構圖如圖3－22所示。其中Kt

為測速反饋系數(shù)，在位置伺服系統(tǒng)中，其量綱通常為電壓/轉速。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的開環(huán)增益圖3－22測速反饋控制系統(tǒng)

顯然，相比不增加測速反饋環(huán)節(jié)的原系統(tǒng)的開環(huán)增益

加入測速反饋降低了原系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而增大了系統(tǒng)斜坡響應時穩(wěn)態(tài)誤差(詳見3.6.3節(jié))。因此，在設計測速反饋控制時，可以適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以補償測速反饋引起的增益下降。為了說明測速反饋對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，寫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中

顯然，測速反饋與比例微分控制一樣，會增大阻尼比，但不影響系統(tǒng)的自然頻率ωn

。將式(3－49)與式(3－42)進行比較，如果Kt

=Td

，則ζd

=ζt

，因此可以預料，測速反饋同樣可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。此時需要適當選擇測速反饋系數(shù)Kt

，使阻尼比ζt在0.4到0.8之間，以滿足給定的各項動態(tài)性能指標。同時，由式(3－48)可見，測速反饋控制并不增添閉環(huán)零點。因此，測速反饋與比例微分控制對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度有所不同。

測速反饋控制可采用測速發(fā)電機、速度傳感器等部件來實現(xiàn)。

【例3－4】設某控制系統(tǒng)結構圖如圖3－23(a)所示，分別采用測速反饋和比例微分控制方法，系統(tǒng)結構圖如圖3－23(b)和3－23(c)所示。其中Kt

=0.216，分別寫出它們各自的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，計算出動態(tài)性能指標(σ%，

ts

)并進行對比分析。圖3－23某控制系統(tǒng)結構圖

解圖3－23(a)、(b)中的系統(tǒng)均為無零點的二階系統(tǒng)，其動態(tài)性能指標(σ%，

ts)按式(3－32)、式(3－33)計算。而圖3－23(c)中的系統(tǒng)有一個閉環(huán)零點，可按式(3－44)、式(3－45)計算。各個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、動態(tài)特性參數(shù)以及性能指標計算結果如下:

圖3－23(a):

圖3－23(b):

圖3－23(c):

可以看出，采用測速反饋和比例微分控制后，系統(tǒng)動態(tài)性能得到了明顯改善。

3.比例微分控制和測速反饋控制的比較

(1)從工程實現(xiàn)角度來看：比例微分裝置可以用RC網(wǎng)絡或模擬運算線路來實現(xiàn)，結構簡單，成本低，重量輕；而測速反饋裝置通常要用測速發(fā)電機，成本高。

(2)抗干擾能力方面：微分控制對噪聲有明顯放大作用，當系統(tǒng)輸入端噪聲嚴重時，一般不宜采用微分控制，同時微分器的輸入信號是偏差信號，信號電平低，需要相當大的放大作用，為了使信噪比不明顯惡化，要求采用高質量的放大器。而測速反饋對噪聲有濾波作用，能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)變化等不利影響大大削弱。因此，測速反饋控制在系統(tǒng)中應用廣泛。

(3)對動態(tài)性能影響：兩者均能改善系統(tǒng)性能，在相同的阻尼比

ζ和自然頻率ωn

條件下，測速反饋控制因不增加閉環(huán)零點，所以超調(diào)量要低些，但反應速度相對慢些。另外測速反饋控制會使系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差加大。

實際采用哪一種方法，應根據(jù)具體情況適當選擇。

3.4高階系統(tǒng)的時域分析

在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，其動態(tài)性能指標的確定是比較復雜的。工程上常采用閉環(huán)主導極點的概念對高階系統(tǒng)進行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標的估算公式。

3.4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應

高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為

將上式分解為零極點表達形式，得到如下形式，

對上式進行拉氏反變換可得

由上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應是由常數(shù)項和一階慣性環(huán)節(jié)以及二階振蕩環(huán)節(jié)的響應分量合成。一階慣性環(huán)節(jié)以及二階振蕩環(huán)節(jié)的響應分量由閉環(huán)極點確定，而部分分

式系數(shù)與閉環(huán)零點、極點分布有關，因此高階系統(tǒng)的單位階躍響應取決于閉環(huán)系統(tǒng)零、極點的分布情況。下面我們簡單地討論高階系統(tǒng)單位階躍響應和閉環(huán)零、極點之間的一些關系。

3.4.2閉環(huán)主導極點

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)(閉環(huán)極點全部位于s左半平面)，極點為實數(shù)或共軛復數(shù)，分別對應時域表達式的指數(shù)衰減曲線或正弦衰減曲線，但衰減的快慢取決于極點離虛軸的距離。距虛軸近的極點對應的模態(tài)衰減得慢，距虛軸遠的極點對應的模態(tài)衰減得快。所以，距虛軸近的極點對瞬態(tài)響應影響大。

此外，各瞬態(tài)分量的具體值還與其系數(shù)大小有關。各瞬態(tài)分量的系數(shù)與零、極點的分布有如下關系：

(1)若某極點遠離原點，則相應項的系數(shù)很??；

(2)若某極點接近一零點，而又遠離其他極點和零點，則相應項的系數(shù)也很小；

(3)若某極點遠離零點又接近原點或其他極點，則相應項系數(shù)就比較大。

系數(shù)大而且衰減慢的分量在瞬態(tài)響應中起主要作用。因此，距離虛軸最近而且附近又沒有零點的極點對系統(tǒng)的動態(tài)性能起主導作用，稱相應極點為主導極點。

一般規(guī)定，若某極點的實部絕對值大于主導極點實部絕對值的5~6倍以上時，則可以忽略相應分量的影響；若兩相鄰零、極點間的距離比它們本身的模值小一個數(shù)量級時，則稱該零、極點對為“偶極子”，其作用近似抵消，可以忽略相應分量的影響。

在絕大多數(shù)實際系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點中，可以選留最靠近虛軸的一個或幾個極點作為主導極點，略去比主導極點距虛軸遠5倍以上的閉環(huán)零、極點，以及不十分接近虛軸的靠得很近的偶極子，忽略其對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

通常，高階系統(tǒng)的主導極點為一對復數(shù)極點。在設計高階系統(tǒng)時，人們常利用主導極點這個概念來選擇系統(tǒng)的參數(shù)，使系統(tǒng)具有預期的一對主導極點，從而把一個高階系統(tǒng)近似地用一對主導極點所描述的二階系統(tǒng)去表征。

設為高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點，則由式(3－22)，系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式為

顯然，利用上式可以對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標進行近似估算。

3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務之一。

3.5.1穩(wěn)定性的基本概念

下面我們以如圖3－24所示的實例來說明穩(wěn)定性的含義。圖(a)中，假設小球受到有界擾動偏離了原來的平衡點，不論擾動引起的偏差有多大，當擾動取消后，小球都能以足夠的準確度恢復到初始平衡點，這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；

圖(b)中，如果小球受到有界擾動作用后，只有當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，小球才能在擾動取消后恢復到初始平衡點，否則就不能恢復到初始平衡點，這樣的系統(tǒng)稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；

圖(c)中，假設小球受到有界擾動偏離了原來的平衡點，不論擾動引起的偏差有多大，當擾動取消后，小球都不能恢復到初始平衡點，這樣的系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，必然是在大范圍和小范圍都能穩(wěn)定；只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。

由此可知，系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般含義是:設線性定常系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)，若此系統(tǒng)在擾動作用下偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動消失后，系統(tǒng)如果能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定。圖3－24小球運動系統(tǒng)

穩(wěn)定性是指平衡狀態(tài)(或給定運動)的穩(wěn)定性，其嚴密的數(shù)學定義是由俄國學者李雅普諾夫于1892年建立。該定義是具有普遍性的穩(wěn)定性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。這里我們只研究單變量線性定常系統(tǒng)，只根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論給出分析線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，而不對其穩(wěn)定性理論進行全面討論。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其輸出的動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零(原平衡工作點)，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動影響下，系統(tǒng)輸出的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

設控制系統(tǒng)具有一個平衡工作點，對于該平衡工作點來說，若系統(tǒng)的輸入信號為零，則其輸出信號也為零，當擾動信號作用于系統(tǒng)時，其輸出信號將偏離原平衡工作點。將理

想單位脈沖信號看作一種典型的擾動信號，設線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想單位脈沖δ

(t)，這時系統(tǒng)的輸出為脈沖響應c(t)。根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，當t

趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出響應c

(t

)如果能收斂到原來的平衡工作點，即

則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據(jù)這個思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。

設系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

若其特征方程的根(即閉環(huán)極點)為互不相同的根，則脈沖響應的拉氏變換為

式中，

l+2q=n

，于是系統(tǒng)的脈沖響應為

Aj是C

(s)在閉環(huán)實數(shù)極點處的留數(shù)，

Bk和Ck

是與C(s)在閉環(huán)復數(shù)極點處的留數(shù)有關的常系數(shù)。

式(3－53)表明，當系統(tǒng)特征方程的根都具有負實部時，各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果特征根中有一個或一個以上具有正實部，則該根對應的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時有系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；如果特征根中有一個或一個以上的零實部根，而其余的特征根均有負實部，則c

(t)趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。由于系統(tǒng)參數(shù)的變化以及擾動是不可避免的，實際上等幅振蕩不可能永遠維持下去，系統(tǒng)很可能會由于某些因素而導致不穩(wěn)定。因此臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論中將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)劃歸為不穩(wěn)定系統(tǒng)之列。

由上述分析可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所有根都具有負實部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于s平面的左半平面。

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，只取決于系統(tǒng)自身的結構參數(shù)，與初始條件及外作用無關。

3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可知，判定線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定就是求解系統(tǒng)特征根，并檢驗這些特征根是否具有負實部的問題。但對于高階系統(tǒng)來說，求解其特征根比較困難。

于是便提出這樣一個問題，能否不用直接求取特征根，而是根據(jù)特征方程的系數(shù)與特征根的關系去判別系統(tǒng)特征根是否具有負實部，從而來分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。答案是肯定的。勞斯(Routh)于1877年提出一種不需要求解特征方程，而是通過特征方程的各項系數(shù)分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，稱為勞斯穩(wěn)定判據(jù)。下面介紹如何應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的結論分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，其數(shù)學推導從略。

1.判定穩(wěn)定的必要條件

設線性系統(tǒng)特征方程為

該方程的特征根為pi(i=1，

2，…，

n)，該n個根可以是實數(shù)也可以是復數(shù)，則上式可改寫成為

根據(jù)代數(shù)方程的基本理論，下列關系式成立:

通過分析可知，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則所有特征根pi

(i=1，

2，…，

n)都具有負實部，則式(3－

55)中特征方程式的所有系數(shù)ai

(i=0，

1，…，

n)必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項系數(shù)均為正，即

根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定，需要使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)為表格形式，見表3－3。表中前兩行是由特征方程(3－54)的系數(shù)直接構成的，第一行為第1，

3，

5，…項系數(shù)組成，第二行為第2，

4，

6，…項系數(shù)組成，其他各行的數(shù)值按表3－3所示規(guī)則逐行計算。凡在運算過程中出現(xiàn)的空位，均置為零。這種計算過程一直進行到第n+1行為止。表中系數(shù)排列呈上三角形。

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:勞斯表中第一列各系數(shù)值均為正。如果勞思表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)值符號的改變次數(shù)，代表特征方程具有正實部根的個數(shù)。

由于勞斯表第一列系數(shù)符號不全為正，且符號改變了四次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有四個具有正實部的根。

用MATLAB語言編程分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般是繪制出系統(tǒng)的單位階躍響應曲線或求取系統(tǒng)特征方程的根。前者需要構建完整的閉環(huán)傳遞函數(shù)，由于閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無關，所以在采用上式方法分析穩(wěn)定性時，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子可取任意常數(shù)，在此取1，分析穩(wěn)定性的程序如下:

3.勞斯判據(jù)特殊情況的處理

(1)勞斯表中某行第一列元素為零，而該行其他元素不為零或不全為零。此時在計算下一行的第一個元素時會出現(xiàn)無窮大，使計算不能繼續(xù)進行，從而使勞斯穩(wěn)定判據(jù)的運用失效，此時可采用以下方法：

①用一個很小的正數(shù)ε

代替第一列的零元素，然后計算完勞斯表中其他項，表格計算完成后再令ε→0，進行判斷。

②用因子(s+a)乘原特征方程(其中a

為任意正數(shù))，然后對新特征方程應用勞斯判據(jù)。

【例3－6】已知系統(tǒng)特征方程D(s)=s4

+2s3+s2+2s+2=0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

該系統(tǒng)列勞斯表為

令ε→0，則可見勞斯表第一列元素的符號改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有兩個具有正實部的根。

【例3－7】已知如例3－6所示系統(tǒng)，試用上述方法進行穩(wěn)定性判斷。

解

該系統(tǒng)列勞斯表為

由于表中第三行第一列為零，因此采用(s+1)乘原特征方程，得到新的特征方程

列出新的勞斯表如下

勞斯表第一列系數(shù)符號改變了兩次，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有兩個正實部根。

(2)勞斯表中某行元素全為零。這種情況表明特征方程存在一些絕對值相同但符號相異的特征根，這些根包括兩個大小相等符號相異的實根和(或)共軛純虛根以及對稱于實軸

的共軛復根。這種情況下，可以利用全零行的上一行元素構成輔助方程，該輔助方程對復變量s求導得到新的方程，用新方程的系數(shù)代替該全零行的所有元素，繼續(xù)完成勞斯表的計算。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明該系統(tǒng)特征方程具有數(shù)值相同但符號相反的根的個數(shù)。特征方程的所有絕對值相同但符號相異的根，均可由輔助方程求得。

【例3－8】已知系統(tǒng)特征方程D

(s

)=s6+2s5

+6s4+8s3

+10s2

+4s

+4=0，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定性。

解

列勞斯表

由于出現(xiàn)全零行，故采用其上一行s4行系數(shù)構造輔助方程如下:

該輔助方程對復變量s

求導，得到導數(shù)方程

用導數(shù)方程的系數(shù)代替全零行相應各項系數(shù)，便可按勞斯表的計算規(guī)則完成計算，得到

由于勞斯表第一列系數(shù)符號沒有改變，所以系統(tǒng)沒有在右半s平面的根，但由于勞斯表出現(xiàn)全零行，表明系統(tǒng)特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根，其值可由輔助方程求得

解得

可見系統(tǒng)存在共軛純虛根，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

綜上所述，應用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般可以按如下順序進行：

(1)確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。當特征方程的系數(shù)不滿足ai>0(i=0，

1，…，

n)時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

(2)運用勞斯表判斷穩(wěn)定性。當勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

(3)若計算勞斯表時出現(xiàn)上述特殊情況，可按上述方法處理。

3.5.4勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用

勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以確定系統(tǒng)的一個或多個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，即確定一個或多個使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)的取值范圍。同時，已知當線性系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有

負實部時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，由高階系統(tǒng)單位階躍響應表達式(3－51)可知，若穩(wěn)定系統(tǒng)的特征根的負實部緊靠虛軸，即其負實部值很小，則系統(tǒng)動態(tài)過程將具有緩慢的非周期特性或強烈的振蕩特性。為了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應，常常希望s左半平面上的系統(tǒng)的特征根與虛軸之間有一定的距離。

因此可在左半s平面上作一條s=-a的垂線，而a是系統(tǒng)特征根與虛軸之間的給定距離，通常稱為給定穩(wěn)定度。然后，用s=s1

-a代替原系統(tǒng)特征方程中的s，得到一個以s1

為新特征變量的新特征方程，再應用穩(wěn)定性判據(jù)判斷新特征方程對應系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即可判定原系統(tǒng)的特征根是否都位于s=-a左側，即系統(tǒng)穩(wěn)定“程度”如何。

【例3－9】已知系統(tǒng)方框圖如圖3－25所示，試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的反饋參數(shù)的取值范圍。圖3－25某系統(tǒng)方框圖

【例3－10】控制系統(tǒng)結構圖如圖3－26所示。

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K

與阻尼比ζ的取值范圍；

(2)當ζ=2時，確定使系統(tǒng)極點全部落在直線s=-1左邊的K

值范圍。

解

(1)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)特征方程

列勞斯表

可得使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K

與阻尼比

ζ的取值范圍為ζ

>0，

0<K<20ζ。

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性考慮的是系統(tǒng)輸出響應在時間t趨于無窮時的品質，其性能指標通常用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。穩(wěn)態(tài)誤差的大小反映系統(tǒng)對于給定信號的跟蹤精度，是系統(tǒng)控制精度的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差必須在允許范圍之內(nèi)，控制系統(tǒng)才有實用價值。例如，工業(yè)加熱爐的爐溫誤差超過限度就會影響產(chǎn)品質量，軋鋼機的輥距誤差超過限度就軋不出合格的鋼材，導彈的跟蹤誤差超過允許的限度就不能用于實戰(zhàn)等等。

實際的系統(tǒng)中由于存在不靈敏區(qū)、間隙、零漂等非線性因素會造成穩(wěn)態(tài)誤差，稱為附加穩(wěn)態(tài)誤差。這里我們討論的穩(wěn)態(tài)誤差是不涉及由非線性因素造成的誤差，只研究系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，由于結構、輸入信號形式和類型所產(chǎn)生的誤差，即原理性誤差。控制系統(tǒng)設計的任務之一，就是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。通常把在階躍

輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。

本節(jié)主要討論線性系統(tǒng)原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法，包括計算穩(wěn)態(tài)誤差的終值定理法和靜態(tài)誤差系數(shù)法。

3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)結構圖一般可用圖3－27(a)的形式表示，經(jīng)過等效變換可以化成圖3－27(b)所示的單位反饋系統(tǒng)形式。系統(tǒng)的誤差通常有兩種定義方法：一是按輸入端定義，二是按輸出端定義。圖3－27控制系統(tǒng)結構圖及誤差定義

(1)按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差：

該方法定義的誤差在實際系統(tǒng)中是可測的，有一定的物理意義。

(2)按輸出端定義的誤差：

該方法定義的誤差E'(s)是期望輸出R'(s)與實際輸出C(s)之差，在系統(tǒng)性能指標的提法中經(jīng)常用到，但它通常不可測量，只有數(shù)學意義。

兩種誤差定義之間存在如下關系：

除特別說明外，本書以后討論的誤差都是指按輸入端定義的誤差(即偏差)。

誤差本身是時間的函數(shù)，其時域表達式為

式中，

Φe(s

)為系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

誤差信號e(t)也包含動態(tài)分量ets

(t)和穩(wěn)態(tài)分量ess

(t)兩部分，由于系統(tǒng)必須穩(wěn)定，因此當時間t

趨于無窮大時，其動態(tài)分量ets

(t)必趨于零。穩(wěn)態(tài)誤差定義為當時間t趨于無窮大時誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量ess

(∞)。

如果除原點外，有理函數(shù)

sE

(s)在s

右半平面及虛軸上解析，即

sE(s)的極點均位于左半s

平面(包括坐標原點)，則可根據(jù)拉氏變換的終值定理，來簡化穩(wěn)態(tài)誤差的求解，即

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)輸入信號的類型不同可以分為兩類，即給定輸入信號作用時的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動輸入信號作用時的穩(wěn)態(tài)誤差。

3.6.2終值定理法計算穩(wěn)態(tài)誤差

利用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差是求取穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法，它適用于各種情況下的穩(wěn)態(tài)誤差計算，既可以用于求給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，也可以用于求干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。具體計算方法如下：

(1)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的前提條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定時，求穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義。

(2)注意終值定理的應用條件。終值定理應用的條件是sE(s)的極點均位于左半s

平面(包括坐標原點)。

(3)求誤差傳遞函數(shù)

(4)用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差

解控制輸入r

(t)作用下的誤差傳遞函數(shù)

系統(tǒng)特征方程為

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)求得，

T>0，

K>0時系統(tǒng)穩(wěn)定。

由此可以得出以下結論：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)自身的結構參數(shù)、外作用的類型以及外作用的形式有關。

3.6.3靜態(tài)誤差系數(shù)法計算穩(wěn)態(tài)誤差

下面我們研究影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素。設系統(tǒng)結構圖如圖3－27(a)所示，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為

式中，

K

是開環(huán)增益；τi，

Tj為時間常數(shù)；

ν是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，稱為系統(tǒng)型別，當ν=0，

1，

2時，則相應閉環(huán)系統(tǒng)分別稱為0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)。當v>2時，除復合控制系統(tǒng)外，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當困難的。因此，除航空航天控制系統(tǒng)外，

Ⅲ型和Ⅲ型以上的系統(tǒng)幾乎不采用。這種以開環(huán)系統(tǒng)在

s平面坐標原點處的極點個數(shù)來分類的方法的優(yōu)點是，可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

顯然，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素有原點處開環(huán)極點的階次v

、開環(huán)增益K

以及輸入信號的形式和幅值。下面以不同輸入信號的形式來分別討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算。由于系統(tǒng)實際

輸入多為階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)，或者是其組合，所以下面只討論這幾種輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的計算。

1.階躍輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)

在圖3－27(a)所示的控制系統(tǒng)中，若輸入信號r

(t

)=R·1(t

)，其中R

為階躍函數(shù)的幅值，則R

(s

)=R/s

，系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

其中

定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。

根據(jù)式(3－66)和式(3－63)，有

通常將式(3－65)表達的穩(wěn)態(tài)誤差稱為位置誤差。顯然，對于0型系統(tǒng)，開環(huán)增益越大，階躍輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標，為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。若要求系統(tǒng)在階躍輸入作用下無穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。

2.斜坡輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)

在圖3－27(a)所示的控制系統(tǒng)中，若輸入r(t)=R·t，其中R

為斜坡(速度)函數(shù)的斜率，則R(s)=R/s2

，系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

其中

定義為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

根據(jù)式(3－6