2024年江蘇省蘇州市高新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷(含答案)

年江蘇省蘇州市高新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）1．（3分）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（）A．2.5 B． C． D．02．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2022年我市城鄉(xiāng)居民人均生活消費(fèi)支出為41500元，將41500用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4.15×104 B．0.415×104 C．0.415×105 D．4.15×1053．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)+2a2＝3a2 B．a(chǎn)10÷a2＝a5 C．a(chǎn)4?a2＝a8 D．（a3）2＝a64．（3分）某小組在一次“在線測(cè)試”中做對(duì)的題數(shù)分別是10，8，6，9，8，7，8，對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．眾數(shù)是8 B．中位數(shù)是8 C．平均數(shù)是8 D．方差是85．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π6．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍叮ㄕ?、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺7．（3分）王同學(xué)用長(zhǎng)方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖①、②、③．第一步：將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)稱軸對(duì)折后展開，折出折痕EF，EH翻折，AE；第三步：將△GEM和△HEN分別沿EM，EN翻折，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD＝，則MD的長(zhǎng)是（）A．10cm B．cm C．cm D．cm8．（3分）如圖，已知矩形ABCD的一邊AB長(zhǎng)為12，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BPC＝30°，則BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．二、填空題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）9．（3分）﹣64的立方根是．10．（3分）使代數(shù)式有意義的x取值范圍是．11．（3分）若一組數(shù)據(jù)1、3、x、5、8的眾數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．12．（3分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)擲一枚小針．13．（3分）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，則它的周長(zhǎng)為．14．（3分）已知點(diǎn)P是半徑為4的⊙O上一點(diǎn)，平面上一點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離為2，則線段OQ的長(zhǎng)度a的范圍為．15．（3分）如圖，O、B兩點(diǎn)是線段AC的三等分點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O，連接CE，交⊙O于點(diǎn)D，若點(diǎn)D恰為線段CE中點(diǎn)，則tan∠ABD為．16．（3分）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC＝4，BC＝3，得到△DEF，若△DEF的銳角頂點(diǎn)D恰好落在△ABC的斜邊AB上，則CH＝．三、解答題（本題滿分0分）17．計(jì)算：．18．解方程組．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．20．如圖，某校食堂實(shí)行統(tǒng)一配餐，為方便學(xué)生取餐，分別記為①、②、③、④，學(xué)生可以從這4個(gè)窗口中任意選取一個(gè)窗口取餐．（1）若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是；（2）若小紅和小麗一起去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）21．2023年蘇州文博會(huì)于4月17日至4月28日在蘇州國(guó)際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組的同學(xué)們想估計(jì)一下蘇州今年4月份日平均氣溫情況．他們收集了蘇州市近五年來(lái)4月份每天的日平均氣溫，從中隨機(jī)抽取了60天的日平均氣溫根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為；眾數(shù)為；（2）若日平均氣溫在18℃至21℃的范圍內(nèi)（包括18℃和21℃）為“舒適溫度”，請(qǐng)估計(jì)蘇州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)．22．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，AB＝CD．求證：EF∥AD．23．如圖，從燈塔C處觀測(cè)輪船A、B的位置，測(cè)得輪船A在燈塔C北偏西α的方向，且AC＝2海里海里，已知cosα＝，求A、B兩艘輪船之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）24．如圖，以x軸上長(zhǎng)為1的線段AB為寬作矩形ABCD，矩形長(zhǎng)AD、BC交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)F、E的圖象正好經(jīng)過點(diǎn)F、E．（1）線段EF長(zhǎng)為；（2）求k值．25．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交⊙O于點(diǎn)F．連接CE、EF（1）求證：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF26．如圖1，拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），對(duì)稱軸為直線x＝1與x軸的交于點(diǎn)B．（1）求拋物線L的解析式；（2）點(diǎn)C在拋物線上，若△ABC的內(nèi)心恰好在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線L向上平移k（k＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)N．P為線段OM上一點(diǎn)．若△PMN與△POB相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求k的值．27．已知矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BE＝，求AE?AF的值；（2）如圖2，連接AC交DF于點(diǎn)G，若＝，求cos∠FCE的值；（3）如圖3，延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，若G點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)，過A作AK∥FC交FD于K，設(shè)△ADK的面積為S1，△CDF的面積為S2，則的值為．參考答案與試題解析一、選擇題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）1．（3分）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（）A．2.5 B． C． D．0【解答】解：2.5，﹣，0是有理數(shù)；是無(wú)理數(shù)．故選：B．2．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2022年我市城鄉(xiāng)居民人均生活消費(fèi)支出為41500元，將41500用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4.15×104 B．0.415×104 C．0.415×105 D．4.15×105【解答】解：41500＝4.15×104．故選：A．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)+2a2＝3a2 B．a(chǎn)10÷a2＝a5 C．a(chǎn)4?a2＝a8 D．（a3）2＝a6【解答】解：A、原式＝a+3a2，不符合題意；B、原式＝a8，不符合題意；C、原式＝a6，不符合題意；D、原式＝a6，符合題意；故選：D．4．（3分）某小組在一次“在線測(cè)試”中做對(duì)的題數(shù)分別是10，8，6，9，8，7，8，對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．眾數(shù)是8 B．中位數(shù)是8 C．平均數(shù)是8 D．方差是8【解答】解：平均數(shù)＝（10+8+6+2+8+7+2）÷7＝8，按從小到大排列為：3，7，8，8，8，9，10，∴中位數(shù)是8；∵8出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)是2；方差S2＝[（10﹣8）2+（7﹣8）2+（5﹣8）2+（5﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（3﹣8）2]＝5.25．所以D錯(cuò)誤．故選：D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母線長(zhǎng)l＝2，∴圓錐的側(cè)面積是S＝πl(wèi)r＝5×4×π＝20π．故選：C．6．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【解答】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長(zhǎng)為（h+1）尺，根據(jù)勾股定理，得（h+1）3﹣h2＝（10÷2）4，解得h＝12，∴水深為12尺，故選：B．7．（3分）王同學(xué)用長(zhǎng)方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖①、②、③．第一步：將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)稱軸對(duì)折后展開，折出折痕EF，EH翻折，AE；第三步：將△GEM和△HEN分別沿EM，EN翻折，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD＝，則MD的長(zhǎng)是（）A．10cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB＝20cmcm，∴∠A＝90°，由第一步折疊可得，AD∥EF，由第一步折疊可得，AE＝A′E＝10cm，∴AE∥AG，∴四邊形AEA′G為平行四邊形，∵AE＝A′E，∠A＝90°，∴平行四邊形AEA′G為正方形，∴AG＝AE＝10cm，∴GD＝AD﹣AG＝cm，在Rt△AEG中，＝＝（cm），根據(jù)第三步折疊可得，∠GEM＝∠G′EM，∵GD∥EF，∴∠GME＝∠G′EM，∴∠GEM＝∠GME，∴GE＝GM＝cm，∴MD＝GD﹣GM＝＝cm．故選：D．8．（3分）如圖，已知矩形ABCD的一邊AB長(zhǎng)為12，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BPC＝30°，則BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．【解答】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝12，∠BPC＝30°，∴BC＝＝＝4，此時(shí)BC是滿足題意的最大值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)BC最小，過點(diǎn)B作BE⊥CP于E，設(shè)BE＝a，AP＝x，∵∠BPC＝30°，∴BP＝2BE＝2a，PE＝a，∴，解得：x＝24+12（舍）或24﹣12，∴BC＝2x＝48﹣24，綜上，48﹣24，即6.432≤BC≤6.928．故選：B．二、填空題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）9．（3分）﹣64的立方根是﹣4．【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴﹣64的立方根是﹣2．故選﹣4．10．（3分）使代數(shù)式有意義的x取值范圍是x≥1．【解答】解：∵代數(shù)式有意義，∴x﹣1≥8，解得：x≥1．故答案為：x≥1．11．（3分）若一組數(shù)據(jù)1、3、x、5、8的眾數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5．【解答】解：∵數(shù)據(jù)1、3、x、5、8的眾數(shù)為8，∴x＝5，則數(shù)據(jù)重新排列為1、3、5、8、8，所以中位數(shù)為8，故答案為：5．12．（3分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)擲一枚小針．【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則正方形的內(nèi)切圓的半徑為a，所以針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率＝＝．故答案為．13．（3分）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，則它的周長(zhǎng)為12．【解答】解：如圖，連接OA，OG；∵六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)等于正六邊形的半徑，設(shè)正六邊形的半徑為a，∴△OAB是等邊三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA?sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周長(zhǎng)＝6a＝12．故答案為：12．14．（3分）已知點(diǎn)P是半徑為4的⊙O上一點(diǎn)，平面上一點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離為2，則線段OQ的長(zhǎng)度a的范圍為2≤a≤6．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在圓外且O，Q，線段OQ的長(zhǎng)度的最大；當(dāng)點(diǎn)Q在圓內(nèi)且O，Q，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小值為4﹣2＝6，所以，線段OQ的長(zhǎng)度a的范圍為2≤a≤6．故答案為：3≤a≤6．15．（3分）如圖，O、B兩點(diǎn)是線段AC的三等分點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O，連接CE，交⊙O于點(diǎn)D，若點(diǎn)D恰為線段CE中點(diǎn)，則tan∠ABD為．【解答】解：連接OE、AD，設(shè)⊙O的半徑為r，∵O、B兩點(diǎn)是線段AC的三等分點(diǎn)，∴OB＝CB，∵點(diǎn)D恰為線段CE中點(diǎn)，∴BD為△OCE的中位線，∴BD＝OE＝r，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝＝＝r，∴tan∠ABD＝＝＝．故答案為：．16．（3分）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC＝4，BC＝3，得到△DEF，若△DEF的銳角頂點(diǎn)D恰好落在△ABC的斜邊AB上，則CH＝．【解答】解：連接CD，∵AC＝4，BC＝3，由勾股定理得，AC＝2，∵點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，∴AG＝CG，∵△DEF的銳角頂點(diǎn)D恰好落在△ABC的斜邊AB上，∴AG＝DG，∴∠A＝∠ADG，∠GCD＝∠GDC，∴∠ADC＝＝90°，∵cosA＝，∴，∴AD＝，∵∠AHD＝∠DHG，∠HDG＝∠HAD，∴△HDG∽△HAD，∴，設(shè)GH＝5x，則DH＝5x，∴，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝，∴AH＝7x+2＝，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣＝，故答案為：．三、解答題（本題滿分0分）17．計(jì)算：．【解答】解：＝1+4﹣3＝7．18．解方程組．【解答】解：，②×3+①得：7x＝14，解得：x＝2，將x＝3代入②得：y＝﹣1，則原方程組的解為．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．【解答】解：原式＝[﹣]?＝?＝?＝，∵，∴a2﹣5＝﹣2a，∴a2+7a＝2，∴原式＝．20．如圖，某校食堂實(shí)行統(tǒng)一配餐，為方便學(xué)生取餐，分別記為①、②、③、④，學(xué)生可以從這4個(gè)窗口中任意選取一個(gè)窗口取餐．（1）若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是；（2）若小紅和小麗一起去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）【解答】解：（1）若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結(jié)果有6種、②①、③②、④③，∴小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率為＝．21．2023年蘇州文博會(huì)于4月17日至4月28日在蘇州國(guó)際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組的同學(xué)們想估計(jì)一下蘇州今年4月份日平均氣溫情況．他們收集了蘇州市近五年來(lái)4月份每天的日平均氣溫，從中隨機(jī)抽取了60天的日平均氣溫根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為19.5；眾數(shù)為19；（2）若日平均氣溫在18℃至21℃的范圍內(nèi)（包括18℃和21℃）為“舒適溫度”，請(qǐng)估計(jì)蘇州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)．【解答】解：（1）這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為＝19.5，眾數(shù)為19，故答案為：19.2，19；（2）∵×30＝20（天），∴估計(jì)蘇州今年7月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)大約為20天．22．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，AB＝CD．求證：EF∥AD．【解答】證明：∵EA∥BF，EC∥FD，∴∠A＝∠FBD，∠ACE＝∠D，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（ASA），∴EC＝FD，∵EC∥FD，∴四邊形EFDC為平行四邊形，∴EF∥CD，∴EF∥AD．23．如圖，從燈塔C處觀測(cè)輪船A、B的位置，測(cè)得輪船A在燈塔C北偏西α的方向，且AC＝2海里海里，已知cosα＝，求A、B兩艘輪船之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：過點(diǎn)A、B分別作東西方向的垂線于點(diǎn)E、D，∴AE∥CH∥BD，∴∠CAE＝∠ACH＝α，∠CBD＝∠BCH＝β，則四邊形FEDB為矩形，∴EF＝BD，F(xiàn)B＝ED，在Rt△AEC中，∠CAE＝α，∵cosα＝，∴α＝45°，∵AC＝5海里，∴AE＝CE＝AC＝2（海里），在Rt△BCD中，∠CBD＝β海里，∴CD＝sinβ?BC＝＝7（海里），由勾股定理得，BC2＝BD2+CD3，即（）2＝BD2+52，解得，BD＝1，∴AF＝AE﹣EF＝3（海里），BF＝EC+CD＝2+3＝4（海里），則AB＝＝（海里），答：A，B兩艘輪船之間的距離為．24．如圖，以x軸上長(zhǎng)為1的線段AB為寬作矩形ABCD，矩形長(zhǎng)AD、BC交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)F、E的圖象正好經(jīng)過點(diǎn)F、E．（1）線段EF長(zhǎng)為；（2）求k值．【解答】解：（1）∵點(diǎn)F、E在直線y＝﹣x+3圖象上，∴設(shè)F（m，﹣m+3），﹣（m+6）+3），﹣m+2）∴EF＝＝．故答案為：；（2）∵反比例函數(shù)的圖象正好經(jīng)過點(diǎn)F、E，∴k＝m（﹣m+3）＝（m+2）（﹣m+2），解得m＝1，∴k＝m（﹣m+8）＝1×2＝4．25．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交⊙O于點(diǎn)F．連接CE、EF（1）求證：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，∵∠FCB＝∠DEF，∴∠B＝∠DEF，又∠BAC+∠B＝90°，∵CD是圓O的直徑，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（2）連接FD，并延長(zhǎng)和AB相交于G，∵CE＝EF，∴∠EFC＝∠ECF，∵四邊形CEDF為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，AC＝AG＝6，∵∠ACB＝90°，AB＝10，∴BC＝＝8，在Rt△BDG中，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣4＝4，∵BG2+DG3＝BD2，∴45+x2＝（8﹣x）8，∴x＝3，即CD＝3．26．如圖1，拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），對(duì)稱軸為直線x＝1與x軸的交于點(diǎn)B．（1）求拋物線L的解析式；（2）點(diǎn)C在拋物線上，若△ABC的內(nèi)心恰好在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線L向上平移k（k＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)N．P為線段OM上一點(diǎn)．若△PMN與△POB相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求k的值．【解答】解：（1）由題意知：，解得：，∴拋物線L的解析式為：y＝﹣x2+2x+7；（2）由題意得：x軸平分∠ABC，即∠ABO＝∠CBO，∵△ABC的內(nèi)心恰好在x軸上，∴△ABC的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交點(diǎn)在x軸上，由此可知點(diǎn)C在y軸的左側(cè)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示：由題意知：OA＝1，OB＝1，∴∠ABO＝∠DBC＝45°，∴DC＝DB，設(shè)C（a，﹣a2+2a+1），則有CD＝a4﹣2a﹣1，BD＝6﹣a，∴a2﹣2a﹣5＝1﹣a，解得：a1＝﹣4，a2＝2（不符合題意，舍去），∴點(diǎn)C（﹣6，﹣2）；（3）如圖2，設(shè)拋物線L2的解析式為y＝﹣x2+2x+3+k，∴M（0，1+k），8+k），0），設(shè)P（0，t），當(dāng)△PMN∽△BOP時(shí)，，∴，∴t7﹣（1+k）t+2＝8①；當(dāng)△PMN∽△POB時(shí)，，∴，∴②；（Ⅰ）當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＝（1+k）2﹣3＝0，解得：（負(fù)值舍去），此時(shí)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根：，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根：，∴；（Ⅱ）當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，把②代入①，得：，解得：k＝6（負(fù)值舍去），此時(shí)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：t1＝1、t2＝2，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根：t＝1，∴k＝6，綜上，當(dāng)△PMN與△POB相似，則或2．27．已知矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BE＝，求AE?AF的值；（2）如圖2，連接AC交DF于點(diǎn)G，若＝，求cos∠FCE的值；（3）如圖3，延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，若G點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)，過A作AK∥FC交FD于K，設(shè)△ADK的面積為S1，△CDF的面積為S2，則的值為．【解答】解：（1）∵E是BC的中點(diǎn)，