高等數(shù)學(xué)（第三版）教案 第4章 微分方程

4.1.1微分方程及其通解與特解

教學(xué)目標：

(1)感知并了解微分方程的概念。

(2)理解微分方程的階、通解、特解、初始條件等概念;

教學(xué)重點：

微分方程的基本概念

教學(xué)難點：

微分方程的通解、特解等概念的理解。

授課時數(shù)：1課時

教學(xué)過程

____________________SS____________________備注

引言教師

介紹本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。講授

5,_

知識回顧

已知曲線/經(jīng)過點(1,3),曲線/上任意點M(x,>-)處切線的斜率為2x,求引導(dǎo)

曲線/的方程.學(xué)生

設(shè)曲線/方程為y=∕(x)?根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有回答

yf=2x,

積分得y=x2+C.10,

其中C是任意常數(shù).由于曲線經(jīng)過點(1,3),故

3=I2+C,

解得C=2?所以曲線/的方程的方程為J=X2+2.

新知識

上面的問題中所建立方程y'=2x的特點是，方程中含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微教師

分)，其解是函數(shù).講授

像這樣，含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方與學(xué)

程叫做微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的方程叫做常微分方程.本章內(nèi)只討論常微分生回

方程.如答相

j.21結(jié)合

s"(f)=-g,——lx,y'+2xy=sinx,—?-+3x-=x+l?xdy+}dr=O.

dxdx^dx

出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階?上述五

個方程中，25,

s"(f)=-g—7+3x—=%+1

V7dx2dx

是二階微分方程，其余三個是一階微分方程.

如果將一個函數(shù)代入微分方程，使其成為恒等式，那么，這個函數(shù)叫做這個微

分方程的解.

由于(f+C)'=2x,故y=∕+c是微分方程y=2χ的解.但是C是任意常數(shù)，

y=f+c表示的不只是一個函數(shù)，從幾何意義上看，y=x2+C表示一族拋物線(圖

4-1）.因為已知曲線過點（1,3）,即曲線滿足條件H（T=3.將條件代入y=f+c

中，得到C=2.故微分方程滿足條件yig=3的解為y=χ2+2.

實際上，曲線y=f+2是拋物線族y=f+c中通過點（1,3）的一條（圖4—1）.

若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階

數(shù)（如y=f+c）,這樣的解叫做微分方程的通解.在通解中，利用給定的條件，

確定出任意常數(shù)的值的解（如y=』+2）叫做微分方程的特解，所給定的條件（如

HE=3）叫做初始條件.

一階微分方程的初始條件一般記成y|v=%=%的形式，如y\x=i=3.二階微分方

程的初始條件一般記成=a,K『=b的形式.

知識鞏固

例1求微分方程∕=x-l滿足初始條件y∣z=-?,y'仁=?的特解.教師

講授

解將微分方程y"=x-l,兩邊積分，得

y'=-x^—X÷C,,（1）

3230,

兩邊再一次積分，得y=→-→+C,x+C2.（2）

將初始條件yli=-g,y'∣ι=g代入方程（1）和方程（2）,得

34+C'+C2=4

1-1+G=L

212

解得G=LC2=T?因此，微分方程滿足初始條件的特解為

II

y=-X3—X2+%—1.

*62

說明＞（"）=/（X）型的微分方程，都可以采用方程兩邊同時積分的手段求解.

練習(xí)4.1.1學(xué)生

L試寫出下列各微分方程的階數(shù).課上

(1)x2dx+ydy=0；(2)x(∕)2-2yy'+x=0;完成

,

(3)x2∕--^/+y=0:(4)乙挈+R些+&=042

dt2dtt

2.求微分方程y*=x+1,y∣χ=o=l,y'∣X=O=O的特解.

_________新知識：常微分方程的基本概念。_____________________4_5_'_______________

作業(yè)

1.復(fù)習(xí)微分方程的基本概念；

2.完成習(xí)題冊作業(yè)41.1。___________________________________________________

4.1.2可分離變量的微分方程

教學(xué)目標：

(1)掌握可分離變量微分方程的特點；

(2)會求可分離變量微分方程的通解和特解。

教學(xué)重點：

可分離變量微分方程的解法。

教學(xué)難點：

可分離變量微分方程的特點。

授課時數(shù)：1課時.

教學(xué)過程

___________________M___________備_注_______

探究教師

微分方程V=X可以用方程兩邊同時積分的手段求解.那么微分方程)，'="，如講授

何求解呢？5,

由于方程右邊同時含有X和y,故無法積分，為了達到兩邊可以兩邊同時積分

的目的，可以把y'寫成愛的形式，將方程恒等變形為

1

—ajy=xdjx.

y

這種變形的作用是分離變量.

新知識教師

形如講授

半?=∕(χ)g(y)(4.1)

dr10,

的一階微分方程叫做可分離變量的微分方程.其中/(X),g(y)都是連續(xù)函數(shù).

這類微分方程可以通過下面的步驟求解(分離變量法)：

(1)將方程分離變量

JTdy=f(x)dr；

g(y)

(2)兩邊積分

J7?dy=J∕(x)dx;

(3)分別計算兩邊的積分，整理化簡可以得到微分方程的通解.________________

知識鞏固

例2解微分方程電=U教師

drX講授

dydr

解分離變量得—=---，

yX

兩邊積分得ln∣y∣=-ln∣Λ∣+C1

記G=InC2，貝IJ

InIyl=InmInC2=1閽

崎即

所以W;±Q,

X

記C=±C,則原方程的通解為y=-.

X

說明

(1)微分方程的通解也可以表示)為隱函數(shù)的形式.如上面的通解可以寫作

χy=C.

(2)為了簡單起見，在本章中可以下:接將InIXl寫成InX,將InIyl寫成Iny,從

而省略記C=±C2的過程；將Cl直接寫成InC,從而省略記G=InC2的過程.

例3解微分方程y'--ysinx=0,yπ=1?在教

X=—

2師引

1

解分離變量得—ɑjv=sInxdx,領(lǐng)下

y共同

兩邊積分得Iny=-cosx+C，完成

代入初始條件X=2時y=1,得C=0.

故微分方程的特解為y=e-8sx.

30'

例4解微分方程xydy+d%=y2dx+ydy.

解分離變量得-√—αy=--------dχ,

/-1-X-I

11

兩邊積分得-In(y9-1)=ln(x-l)+-InC.

故微分方程的通解為/-I=C(X-I)2.

λr

例5求微分方程(1+e)γy=e滿足初始條件y|,句=1的特解.

.e`

解分離變量得)"'=T77dr,

1?

兩邊積分得-y2=ln(l+e?v)+C.

得

代入初始條件X=O時y=1,C=I-In2.

2____________________________________________

故滿足初始條件的微分方程的特解為V=21n(l+/)+1-21n2

練習(xí)4.1.2學(xué)生

1.求解微分方程RX=(X-I)dy.課上

2.求解微分方程Jy-9+3、=O完成

42'

^7h?

新知識：可分離變量微分方程的特點和解法。______________________________45，

1.梳理可分離變量微分方程的特點和求解過程；

2.完成習(xí)題冊作業(yè)4.1.24_________________________________________________

4.2.1一階線性齊次微分方程

教學(xué)目標：

(1)理解一階線性微分方程的概念。

(2)學(xué)會一階線性齊次微分方程的解法。

教學(xué)重點：

一階線性齊次微分方程的解法。

教學(xué)難點：

一階線性微分方程的概念的理解。

授課時數(shù)：1課時.

教學(xué)過程

_________________M_________________備注

新知識

形如教師

2+p(χ)y=Q(χ)(4.2)講授

OX

的方程叫做一階線性微分方程.其中Mx),Q(X)是X的已知函數(shù)，Qa)叫做方程

5,

的自由項.

當(dāng)Q(X)=0,方程(4.2)為一階線性齊次微分方程；

當(dāng)Q(X)W0,方程(4.2)為一階線性非齊次微分方程.

教師

一階線性齊次微分方程為曳+p(χ)y=o講授

與學(xué)

變形為—=-∕j(x)y生回

答相

這是可分離變量的微分方程，分離變量得包=-p(x)dr,結(jié)合

y

兩邊積分得Iny=-JP(X)dx+InC.IO,

所以一階線性齊次微分方程的通解為y=Ce-JMx曲(4.3)

新知識教師

解一階線性齊次微分方程可以采用分離變量法，也可以采用公式法，直接應(yīng)用總結(jié)

通解公式(4.3).

13，

知識鞏固

例1解微分方程電-二-y=0.在教

drx+1師引

解1(分離變量法)領(lǐng)下

17

分離變量，得—dy=------dx完成

yx+19

28,

兩邊積分，得Iny=21n(x+l)+lnC.

故微分方程的通解為y=C(X+1)2.

解2(公式法)

利用公式(4.3),這里P(X)=-二一.所以

x÷l

>■==Ce2ln(J+1)=C(x+ι)2?

故微分方程的通解為y=C(x+l)2.

例2解微分方程盯y=0.

解微分方程變形為V-Ly=O,

X

所以，P(X)=-L利用公式(4.3),得，

X

y=Ce-I=CF"=Cx

故微分方程的通解為y=Cr.

練習(xí)4.2.1學(xué)生

解下列微分方程課上

1.y'-3x2y=0；2.exy'+?=0.完成

40'

小結(jié)

__________新知識：一階線性微分方程的概念，一階線性齊次微分方程的解法。45，

完成習(xí)題冊作業(yè)421。_________________________________________________

4.2.2一階線性非齊次微分方程

教學(xué)目標：

(1)記住一階線性非齊次微分方程的特點；

(2)學(xué)會一階線性非齊次微分方程的解法。

教學(xué)重點：

一階線性非齊次微分方程的解法。

教學(xué)難點：

正確區(qū)別可分離變量微分方程和一階線性非齊次微分方程。

授課時數(shù)：1課時.

教學(xué)過程

___________________M___________備_注_______

探究教師

下面研究一階非齊次線性微分方程講授

崇+p(χ)y=Q(χ)⑵

的通解.

10，

首先求出方程(2)所對應(yīng)的一階線性齊次微分方程

手+p(x)y=O

QX

的通解y=Ce-M'2.

設(shè)方程(2)的通解為y=C(x)e」而曲，其中C(X)是X的待定函數(shù)，則

/=C(X)e-S-C(X)P(X)”"叫

于是有C(X)—P(X)C(X)屋配加+P(X)C(XRi"**=。⑺,

即CM)=Q(X)e"?

兩邊積分得C(X)=J0(小9加公+c.

故所求通解為y=O(X)e"dr+C].

因此，一階線性非齊次微分方程案+MX)y=Q(x)的通解為

>=e-∫p(?v)Λ^jQ(X)eJ*M辦+Q.(4.4)

新知識教師

探究過程中的解微分方程的方法叫做常數(shù)變易法.總結(jié)

利用常數(shù)變易法解一階線性非齊次微分方程的步驟是：

(1)將方程化成電+p(x)y=Q(x)的形式；15,

dx

(2)求出對應(yīng)齊次方程曳+p(χ)y=0的通解y=;

(3)設(shè)方程的通解為y=C(X)-J刎叱代入方程%+p(χ)y=Q(χ),確定

C(X).

也可以直接應(yīng)用公式(4.4)求解，這種方法稱為應(yīng)用公式法.___________________

知識鞏固在教

例2解微分方程包一一—γ=(x+l)l.師引

dxx+Γv7領(lǐng)下

解1(常數(shù)變易法)完成

方程對應(yīng)的齊次方程是苴一二-y=0,

drx+1

其通解為y=C(x+lf.

30,

設(shè)函數(shù)y=C(x)(x+l)2是已知非齊次微分方程的通解，則___________________

電=C(X)(X+1)2+2C(X)(X+1),

代入原方程有

/、cZ2/、C5

C'(x)(x÷l)+2C(X)(X+1)-------C(x)(x÷l)=(x+l)2,

即Cr(x)=(x÷l)I.

23

積分得C(x)=∣(x+l)i+C,

23

所以微分方程的通解為y=(x+l)27申x+l)2+C].

解2(應(yīng)用公式法)

25

這里P(X)=———,Q(X)=(X+1”,因此

?∕7(x)dx=-J^-ydx=-21n(x+l),

∫β(%)e?^?kt'dx=∫(x+1)2?(Λ+1)^2dx=∫(x+l)2dγ=^(x÷l)2+C,

所以原方程的通解是

y=eJ/"'κh[JQ(X)JMA)，x+c]=(χ+if停(%+])]+3

例3解微分方程.y+Ly=皿.

XX

??inγ

解應(yīng)用公式求解，這里P(X)=±,Q(X)=吧」.故

XX

y=e?*[―e??^'d?+C]=e-叫|"包"/山+C]

JXJX

=’[jsinxdx+C]='[-cosx+C].

XjX

所以方程的通解為y=L(—cosx+C).

X

例4求微分方程Vdy+(2孫-x+l)dΛ=0滿足初始條件y∣4]=O的解.

解方程可以化為^+-y=?.

dxXχ2

應(yīng)用公式求解.這里P(X)=2,0(》)=與，故

?AT

y=e'?^'[??e∫^dxΛv+C]+

=-y[∫(-v-l)d?+Cl?-?-[??2-x+C]

XXN

」」C

2χ+χ2'

代入初始條件yIx=I=O得C=；.

故滿足初始條件y?x-l=0的特解是y=l-i+-L.

2X2x/

練習(xí)4.2.2學(xué)生

求解下列微分方程課上

1.y'+3y=8;2.y'+y^e~x3.W+y-e*=0,y⑴=0.完成

42'

__________新知識：一階線性非齊次微分方程的特點和解法。_____________________45'

作業(yè)

I.分析一階線性微分方程與可分離變量微分方程的區(qū)別；

2.完成習(xí)題冊作業(yè)422。________________________________________________

4.3.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程

教學(xué)目標：

(1)了解二階常系數(shù)線性微分方程及解的結(jié)構(gòu)；

(2)理解二階常系數(shù)線性齊次微分方程的一般形式，會求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的

通解和特解。

教學(xué)重點：

二階常系數(shù)線性齊次微分方程及其通解。

教學(xué)難點：

二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解結(jié)構(gòu)的理解。

授課時數(shù)：1課時.

教學(xué)過程

過程備注

新知識

二階微分方程比較復(fù)雜，我們只研究二階線性常系數(shù)微分方程，即形如教師

n

y+py'+qy=Q(4.5)講授

和

y"+py'+qy=f(χ).(4.6)

的方程，其中p,4均為常數(shù).方程(4.5)叫做二階常系數(shù)線性齊次微分方程；方程(4.6)

叫做二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.

10,

在實際應(yīng)用中，特別是在電學(xué)、力學(xué)及工程學(xué)中，很多實際應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型

都是二階常系數(shù)線性微分方程.

關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)有如下的三個結(jié)論：

結(jié)論I若如%是方程y'+0z+qy=o的兩個解，則對任意兩個常數(shù)G、G，

y=clyl+C2y2仍是該方程的解.

結(jié)論2若%,乃是二階線性齊次方程y"+py'+4=o的兩個特解，且也不等于常

為

數(shù)，則y=Gv+C2%是該方程的通解，其中，G，C2是任意常數(shù).

結(jié)論3若F是方程y"+py'+?y=O的通解，y*是)產(chǎn)+py'+qy=f(x)的一個特解.

則y=Y+y*是二階線性非齊次微分方程/+py'+力=/(x)的通解.

.教師

由前面的結(jié)論1和結(jié)論2知道，解微分方程產(chǎn)+期'+力=0的關(guān)鍵是找到其兩個講授

特解M和力，且2L不等于常數(shù).與學(xué)

為生回

考慮到指數(shù)函數(shù)y=*的各階導(dǎo)數(shù)之間只相差一個常數(shù)，方程的解有可能具有指答相

數(shù)函數(shù)的形式.不妨沿著這個發(fā)現(xiàn)做探究.結(jié)合

設(shè)y=e”(r是常數(shù))是方程y"+W+力=O的解，則

rx2rx15,

y'=l-e,y"=re,

代入方程中，得en(r2+pr+q)=0,

于是有r2+pr+q=O.(4.7)

如果r是方程(4.7)的根，那么函數(shù)y=e"就是方程y"+py'+qy=O的解.

這樣就建立了微分方程y/+py'+/=O與代數(shù)方程/+4+g=0之間的關(guān)聯(lián).

新知識教師

方程產(chǎn)+pr+q=0叫做微分方程y"+py'+qy=0的特征方程.特征方程的根叫做講授

特征根.

特征方程是關(guān)于，的一元二次方程.根據(jù)特征根的不同情況，可以得到微分方程20,

y"+py'+qy=0的相應(yīng)通解(表4—1).

表4T方程y"+py'+?y=0的特征根與通解

,

特征方程/+pr+q=O特征根4,r2方程y"+py÷^y=0的通解

2

p-4q>0弓≠e___________________y=Ge*+C2e瞑____________

p2r=r-rΓΛ

-4q=0x1y=(C∣+C2X)C

p2-4q<O1t=a+βyr=a-βαv

??1?y=e(C1cosβx+C2sinβx)

由此得到，解二階常系數(shù)線性齊次微分方程y"+py'+qy=O(其中p,g均為常數(shù))

的步驟為：

(1)寫出特征方程，+pr+q=O；

(2)求出特征方程的兩個根4,今；

(3)根據(jù)表(4T)寫出方程的通露___________________________________________

知識鞏固

例1解微分方程y"-2y'_3y=0.在教

解特征方程為r2-2r-3=0,師引

特征根為∕]=-l.∣2=3.領(lǐng)下

完成

故方程的通解為y=Ger+c?2e3Λλ

例2解微分方程y"-4y+5y=0.

解特征方程為r2-4r+5=0,

,

此時判別式?=(-4)2-20=^<0,30

故方程沒有實數(shù)根，利用求根公式有

4+√≡42

r=-------=2±1,

2

即特征根為rλ=2-i,e=2+i.

2x

故方程通解是y=e(C1cosx+C2sinx).

t

例3求微分方程y"+2y'+y=0滿足初始條件yI*=。=。，y∣λ≡0=1的特解.

解特征方程為尸+2r+l=0,________________________________________

特征根為4=4=一1,

X

故方程通解為y=(G+C1X)Q.(1)

xv

又V=C2e~+(C1+C2x)?(-e^?).(2)

將初始條件y∣4θ=O,y'U0=l代入⑴、⑵得G=0,C2=1.

所以，方程滿足初始條件的特解為y=xe-1

練習(xí)4.3.1學(xué)生

L求下列微分方程的通解課上

(1)y"+4y'+3j=0；(2)yn-2y'+3γ=0.完成

2.求微分方程yn+2y'+y^0,滿足初始條件j(0)=4,y'(0)=-2的特解.40'

新知識：二階常系數(shù)線性微分方程及解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)線性齊次微分方程的45'

通解。__________________________________________________________________________

袍

1.梳理4.3.1節(jié)知識內(nèi)容；

2.完成習(xí)題冊作業(yè)4.3.L

4.3.2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

教學(xué)目標：

(1)了解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程及解的構(gòu)成；

λx

(2)學(xué)會求/a)=/；,*)/，、f[x}=ePn?x)cosβx./(x)=/S.(x)sin￡x的二階常系數(shù)

線性非齊次微分方程的特解和通解。

教學(xué)重點：

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解。

教學(xué)難點：

根據(jù)f(x)的不同形式設(shè)出二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一個特解的過程。

授課時數(shù)：2課時.

教學(xué)過程

__________________M__________________備注

1."X)=月"(x)e"的情形

教師

新知識講授

下面研究微分方程

y"+py'+qy=Pm(x)e".(4.8)

其中乙。)是*的加次多項式，/1是常數(shù)._______________________________________10，

可以證明，方程(4.8)具有形如y*=∕Q,(X)/*的特解，其中2“(X)是與Pm(X)

同次多項式，而上的值與/1有關(guān)，如表4-2所示.

____________________________表4-2_____________________

/(X)的形式九的值特解y*的形式

/1不是特征根y*=Q,G)eL

λx

f(x)=Pm(x)e4是特征單根y*=χQm(X)*

4是特征雙根>*=、2”(機丁

這樣，解微分方程(4.8)的步驟為

(1)求出方程<+外'+社=0的通解；

(2)根據(jù)表4-2設(shè)方程(4.8)特解y*=∕Q,,,(x)/，代入(4.8)確定Qm(X),

從而得到特解；

(3)根據(jù)定理3寫出方程的通解.

知識鞏固

例4解微分方程y"-2y'-3y=3x+l.在教

解對應(yīng)的齊次方程為y"-2y-3y=0,其特征方程為尸一2r-3=0,解得特征師引

根為弓=T,∕?=3.領(lǐng)下

共同

所以y"—2y'—3y=0的通解為Y=GeT+c/，.

完成

由于f(x)=3x+l,4=0不是特征根，故設(shè)y*=∕?x+6∣.于是y*'=∕?,y*"=0.

代入原方程，整理得

30,

-3?0x-2?0-3b1=3x+1.

比較兩邊同次幕的系數(shù)得

-3?=3,-2?0-3?1=1,即∕?=-l,hl??,

因此j*=-x+l.

所以原方程的通解為y=y+y*=GeT+c?2e3?v.x+l.

例5解微分方程y"+6y'+9y=5xe-3x.

解對應(yīng)的齊次方程為y"+6y'+9y=0,其特征方程為尸+6r+9=0.解得特征

根為4=e=一3.

所以，齊次方程的通解為y=(G+C2χ)e-3χ.

由"x)=5xe-3*知，&(χ)=5x,4=-3.由于2=-3是特征重根.故設(shè)

23x

y*=x(b0x+bl)e-.于是

32-3jc

y*'=[-3∕?X+3(瓦-ZJ1)x+2?∣xJe,

32-3x

y*〃=[9?X-9(2?-?1)x+6(?-2?l)x+2?1]e.

將y*,y*',y*"代入原方程，整理得

6?0x+2/4=5x,

比較兩邊的同次事系數(shù)得6∕?=5,24=O,即4=0.

6

于是y*=≥√e-3?

___________________.6_____________________________________________________

所以原方程的通解為y=y+y*=(G+CzX+"卜3χ.

例6求微分方程y"+y=2/-3滿足初始條件y1=0=1,y1=O=2的特解.

解對應(yīng)的齊次方程為y"+y=0,其特征方程為r+1=0.解得特征根為

r=±i,

故齊次方程的通解為V=C1cosx+C2sin.r.

這里月,,(x)=2χ2-3,2=0.由于2=0不是特征根，故設(shè)y*=%χ2+仿X+%,

于是

y*'=2bax+bl,y*"=2∕?.

將y*,y*，，y*〃代入原方程得

22

h0x+?∣jc+(2feo+?2)=2X—3.

比較兩邊的同次幕系數(shù)得

?0=2,4=0,2ba+b2=—3,即％=2,偽=0,b2=-l.

于是>?*=2X2-7.

2

所以原方程的通解為y=F+y*=Gcosx+C2sinx+2Λ^-7.

由初始條件yIX=O=1,∕∣x=o=2,得G=8，C2=2.

所以原方程滿足初始條件的特解是y=Y+)，*=8cosx+2sinx+2x2-7.

λx

2.∕(Λ)=ePm{x)c03βx或"X)=e"V"(x)sin夕X的情形

新知識

λx

可以證明，微分方程y"+py'+qy=ePm(X)cosβx或