2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題7.2 期中期末專項復(fù)習(xí)之軸對稱圖形十九大必考點（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題7.2軸對稱圖形十九大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】 1【考點2格點中的軸對稱】 2【考點3設(shè)計軸對軸圖案】 3【考點4鏡面對稱】 5【考點5利用軸對稱求最值】 5【考點6尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】 6【考點7利用三線合一求值】 7【考點8利用三線合一證明】 8【考點9利用等角對等邊證明邊長相等】 9【考點10利用等角對等邊證明】 10【考點11作等腰三角形】 12【考點12等邊三角形的判定與性質(zhì)】 13【考點13含30度的直角三角形】 15【考點14尺規(guī)作垂直平分線、垂線、角平分線】 16【考點15垂直平分線的判定與性質(zhì)】 17【考點16等腰三角形中的新定義問題】 19【考點17角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 22【考點18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 23【考點19根據(jù)直角三角形斜邊的中線進(jìn)行計算與證明】 25【考點1軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】【例1】（2022·貴州省遵義市第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知點P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)關(guān)于x軸對稱，則【變式1-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級期中）將點A先向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（﹣2，5），則A點關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為__________．【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知點P（2a+b，-3a）與點P′（8，b+2）．(1)若點p與點p′關(guān)于x軸對稱，求a、b的值．(2)若點p與點p′關(guān)于y軸對稱，求a、b的值．【變式1-3】（2022·吉林白山·八年級期末）在坐標(biāo)平面上有一個軸對稱圖形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對對稱點，若此圖形上另有一點C（﹣2，﹣9），則A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【考點2格點中的軸對稱】【例2】（2022·湖北·武漢市光谷實驗中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，是一個8×10正方形格紙，△ABC中A點坐標(biāo)為(﹣2，1)，B點的坐標(biāo)為(﹣1，2)．(1)請在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，指出△ABC和△A(2)作出△ABC關(guān)于x軸對稱圖形△A1B1C1；請直接寫出(3)在x軸上求作一點M，使△AB'M【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·八年級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過點（1，0）作x軸的垂線l．(1)作出△ABC關(guān)于直線l的軸對稱圖形△A(2)直接寫出A1（，），B1（，），C1（(3)在△ABC內(nèi)有一點P（m，n），則點P關(guān)于直線l的對稱點P1的坐標(biāo)為（，）（結(jié)果用含m，n【變式2-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N都在格點上．(1)作△ABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點P，使得PC-PA1的值最大，并畫出點【變式2-3】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級期中）如圖，已知三點A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對稱，其中A1，B1，C1分別是點A，B，C的對應(yīng)點．(1)畫出△A1B1C1，并寫出三個頂點A1，B1，C1的坐標(biāo)；(2)若點M(m+2，n-1)是△ABC上一點，其關(guān)于x軸的對稱點為M'(-m-4，【考點3設(shè)計軸對軸圖案】【例3】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形，使它與陰影部分合起來所構(gòu)成的圖形是一個軸對稱圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】（2022·河北·九年級專題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點，現(xiàn)有一點P在其它格點上，且A、B、C、P為軸對稱圖形，問共有幾個這樣的點P（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式3-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個小方格涂上陰影，請再在余下的6個空白的小方格中，選兩個小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個軸對稱圖形，共有()種不同的填涂方法．A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【變式3-3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個新的正方形，使拼成的圖案為軸對稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設(shè)計一種與示例拼法不同的軸對稱圖形．【考點4鏡面對稱】【例4】（2022·江蘇·宜興外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認(rèn)為實際時間最接近9：00（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車牌的部分號碼如圖所示，則該車牌照的部分號碼為____．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：05,這時的實際時間為______.【變式4-3】（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壠谥校┬∶鲝钠矫骁R子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時的時刻應(yīng)是________．【考點5利用軸對稱求最值】【例5】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【變式5-1】（2022·河南駐馬店·七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．2α-180° C．180°-α 【變式5-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動點M在線段AC上運動(不與端點重合)，點M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，連接M1M2，點D在M1M2上，則在點M的運動過程中，線段M1M2長度的最小值是_______．【變式5-3】（2022·福建龍巖·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是_______．【考點6尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】【例6】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（

）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【變式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有___個．【變式6-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級期末）如圖，△ABC的點A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點P在直線l上運動，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時，則【變式6-3】（2022·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），若點P在坐標(biāo)軸上，且△PAB是等腰三角形，則滿足條件的點P有_____個．【考點7利用三線合一求值】【例7】（2022·河北保定·八年級期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【變式7-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-2】（2022·浙江·平陽蘇步青學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【變式7-3】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，若DE＝4，則CF的長為_____.【考點8利用三線合一證明】【例8】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE．求證：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【變式8-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說明理由．【變式8-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【變式8-3】（2022·山東青島·七年級期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是AB邊上的一動點（不與點A、B重合），連接CE(1)如圖①，若E運動到BD上，過點A作CE的垂線交CD于點G，CE于點F，CB于點H，求證：CG=BE；(2)如圖②，若E運動到AD上，過點A作CE的垂線與CE延長線交于點F，延長AF交CD延長線于點G，試猜想CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明．【考點9利用等角對等邊證明邊長相等】【例9】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長是_____.【變式9-1】（2022·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長為__cm．【變式9-2】（2022·浙江·樂清市知臨寄宿學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AC上一點，AE＝AB，連接DE.(1)求證：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長．【變式9-3】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)八年級期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點，交于點，，．則_______；(2)如圖2，于點，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長為_______．（用含的式子表示）【考點10利用等角對等邊證明】【例10】（2022·天津·八年級期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，AB＝AC，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF＝EF，求證：BD＝CE．【變式10-1】（2022·浙江·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點B作AD的垂線，垂足為點D，DE∥AC，交AB于點E，(1)求證：△BDE是等腰三角形；(2)求證：CD=BE．【變式10-2】（2022·陜西西安·七年級期末）已知∠AOB=60°，小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識后，做了一個夾角為120°（即∠DPE=120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD=OE，再移動角尺使PD=PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．請問小新的觀點是否正確，為什么？問題探究(2)如圖2，小新在確認(rèn)射線OP是∠AOB的角平分線后，一時興起，將角尺繞點P旋轉(zhuǎn)了一定的角度，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得DP∥OB，發(fā)現(xiàn)線段OD與OE有一定的數(shù)量關(guān)系．請你直接寫出線段OD與OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式10-3】（2022·江西·吉安縣文博國際學(xué)校八年級開學(xué)考試）如圖①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F(1)圖①中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．(2)如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？(3)如圖③，若ΔABC中∠B的平分線BO與∠ACG平分線CO交于O，過O點作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF【考點11作等腰三角形】【例11】（2022·山東青島·九年級專題練習(xí)）如圖，已知：點P和直線BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，點M落在BC上．【變式11-1】（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個頂角等于36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，請用兩種不同的尺規(guī)作圖在BC上找點D，使得△ABD是黃金三角形，并說明其中一種做法的理由．【變式11-2】（2022·福建龍巖·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．【變式11-3】（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級期中）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【考點12等邊三角形的判定與性質(zhì)】【例12】（2022·全國·八年級期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，且BE＝CD，AD與CE相交于點F，連接BF，延長FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面積為m，AF：EF＝5：3，則△AEG的面積是（）A．25m B．13m C．【變式12-1】（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)八年級期中）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝2b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是（）A．12a+2b B．12a+43【變式12-2】（2022·廣東·東華學(xué)校八年級期中）如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，(1)求證：BD=AE，并求出∠DOE的度數(shù)；(2)判斷△CFG的形狀并說明理由；(3)求證：OA+OC=OB．【變式12-3】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實驗中學(xué)八年級期末）曉芳利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：初步發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點F，求證：∠AFB＝60°；深入探究：如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分線于點E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；拓展創(chuàng)新：如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，連接AE交BD于P，當(dāng)B，C，E三點共線時，連接PC，若BC＝3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進(jìn)行證明：（1）AP-3PDPC（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE【考點13含30度的直角三角形】【例13】（2022·廣東·豐順縣球山中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E在△ABC內(nèi)部，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，則【變式13-1】（2022·福建省永春崇賢中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點E落在AB上，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．(1)求證△ADF≌△BDF；(2)若AF=2，求DF的長．【變式13-2】（2022·福建省長樂第七中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC邊上一點，延長AD到點E，使得AD＝DE，連接CE，過點D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點F，連接EF．(1)如圖1，當(dāng)點D與點C重合時，證明：BF＝2DF；(2)如圖2，當(dāng)點D不與B，C兩點重合時，（1）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由．【變式13-3】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級期末）如圖1，在△ABD中，點E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點，滿足AE=EF，連接EF并延長交BD延長線于點C．(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；(2)如圖2，過B作BG⊥AD，垂足為G．（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．【考點14尺規(guī)作垂直平分線、垂線、角平分線】【例14】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）兩個村莊M，N與兩條公路AC，AB的位置如圖所示，現(xiàn)打算在O處建一個垃圾回收站，要求回收站到兩個村莊M，N的距離必須相等，到兩條公路AC，AB的距離也必須相等，那么點O應(yīng)選在何處？請在圖中用尺規(guī)作圖中找出點O．【變式14-1】（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BAC是鈍角，完成下列畫圖．(1)BAC的平分線AD；(2)AC邊上的中線BE；(3)AC邊上的高BF【變式14-2】（2022·廣東廣州·八年級期中）如圖，在鈍角△ABC中．(1)用尺規(guī)作圖法作AC的垂直平分線，與邊BC、AC分別交于點D、E（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，畫出△ABC的AC邊上的高BH（可用三角板畫圖），連接AD，直接寫出∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系．【變式14-3】（2022·江蘇·八年級階段練習(xí)）小宇遇到了這樣一個問題：已知：如圖，∠MON=90°，點A，B分別在射線OM，ON上，且滿足OB>2OA．求作：線段OB上的一點C，使△AOC的周長等于線段OB的長．以下是小宇分析和求解的過程，請補充完整：首先畫草圖進(jìn)行分析，如圖1所示，若符合題意得點C已經(jīng)找到，即△AOC得周長等于OB的長，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=．對于這個式子，可以考慮用截長得辦法，在BC上取一點D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=．若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點C在線段AD得垂直平分線上，于是問題得解法就找到了．請根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）．【考點15垂直平分線的判定與性質(zhì)】【例15】（2022·廣東·廣州市第九十七中學(xué)八年級期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長線于N．（1）證明：BM=CN；（2）當(dāng)∠BAC=70°時，求∠DCB的度數(shù)．【變式15-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分線上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求證：（1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【變式15-2】（2022·山西臨汾·八年級階段練習(xí)）情景一：小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動課上發(fā)現(xiàn)：對于一個△ABC，分別作邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點O，如圖1所示，此時經(jīng)過測量后，得到∠MAN＝30°，根據(jù)上述條件，能不能得到∠BAC的度數(shù)呢？小明結(jié)合所學(xué)過的知識進(jìn)行了以下論證．證明：∵DM是邊AB的垂直平分線，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，則∠BAC-解得∠BAC＝105°．情景二：小明繼續(xù)對上述問題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)：若邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點O，如圖2所示，試判斷∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在圖1的情況下，若∠MAN的度數(shù)為α，則∠BAC的大小為______（用含α的代數(shù)式表示）．(3)請寫出情景二中∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式15-3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CA＝CB，過點A作射線AP∥BC，點M、N分別在邊BC、AC上（點M、N不與所在線段端點重合），且BM＝AN，連結(jié)BN并延長交射線AP于點D，連結(jié)MA并延長交AD的垂直平分線于點E，連結(jié)ED．【猜想】如圖①，當(dāng)∠C＝30°時，可證△BCN≌△ACM，從而得出∠CBN＝∠CAM，進(jìn)而得出∠BDE的大小為______度．【探究】如圖②，若∠C＝β．（1）求證：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小為______度（用含β的代數(shù)式表示）．【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)∠C＝120°時，AM平分∠BAC，若AM、BN交于點F，DE＝12DF，DE＝1，則△DEF【考點16等腰三角形中的新定義問題】【例16】（2022·山西臨汾·八年級階段練習(xí)）綜合實踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有_______≌________．(2)【深入研究】如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：BE=CD．(3)【拓展延伸】如圖4，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，交于點P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．【變式16-1】（2022·福建廈門·八年級期末）定義：一個三角形，若過一個頂點的線段將這個三角形分為兩個三角形，其中一個是直角三角形，另一個是等腰三角形，則稱這個三角形是等直三角形，這條線段叫做這個三角形的等直分割線段．例如：如圖，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一條等直分割線段．(1)如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，請說明AD是△ABC的一條等直分割線段．(2)若△ABC是一個等直三角形，恰好有兩條等直分割線，∠B和∠C均小于45°，求證：△ABC是等腰三角形．【變式16-2】（2022·浙江·八年級單元測試）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：BD=CE．(2)如圖2，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分∠BME．【變式16-3】（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）閱讀下列材料，解答問題：定義：線段BM把等腰△ABC分成△ABM與△BCM（如圖1），如果△ABM與△BCM均為等腰三角形，那么線段BM叫做△ABC的完美分割線．(1)如圖1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BM為△ABC的完美分割線，且CM<AM，則∠C=°，∠AMB=(2)如圖2，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°,AC=CN，求證：AN(3)如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB＝AC，AN是它的一條完美分割線，且BN>NC，將△ACN沿直線AN折疊后，點C落在點C1處，AC1交BN于點M【考點17角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】【例17】（2022·廣東汕頭·八年級期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAOA．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【變式17-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，則下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②點M為BC的中點；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式17-2】（2022·重慶江北·八年級期末）如圖，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BE、CD交于點O，連接OA．下列結(jié)論：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分【變式17-3】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．(1)求證：∠AOC＝90°＋12∠ABC(2)當(dāng)∠ABC＝90°時，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【考點18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】【例18】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N．【思考說理】（1）求證：FE=FD．【反思提升】（2）愛思考的小強嘗試將【問題背景】中的條件“∠ACB=90°”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)論（即FE=FD）仍成立．你認(rèn)為小強的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請舉例說明，如果正確請僅就圖2給出證明．【變式18-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分線，且交于點P．（1）求∠APB的度數(shù)．（2）求證：點P在∠C的平分線上．（3）求證：①PD=PE；②AB=AD＋BE．【變式18-2】（2022·四川成都·七年級期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．連接BD，CE交于點O．(1)求證：BD=CE；(2)求∠BOC的度數(shù)：(3)小明同學(xué)對該題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，他連接了AO，并提出了下面結(jié)論：OA平分∠BOE．請給予證明．【變式18-3】（2022·山東·北辛中學(xué)八年級階段練習(xí)）（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明．（3）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，請問，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【考點19根據(jù)直角三角形斜邊的中線進(jìn)行計算與證明】【例19】（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)八年級階段練習(xí)）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，等腰△ACB，∠ACB=90°，D為AB的中點，∠MDN=90°，將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MDN的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點E、F（點F與點B、C不重合），寫出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D為AB的中點，∠MDN=60°，將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MDN的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點E、F（點F與點B、C不重合），直接寫出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為______；（3）【拓展延伸】如圖③，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，過點A作AE⊥AC，交CB的延長線于點E，若CB=6，DC=2，則BE的長為．【變式19-1】（2022·浙江·杭州春蕾中學(xué)八年級期中）如圖（1），CD、BE是△ABC的兩條高，M為線段BC的中點．（1）求證：MD＝ME．（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度數(shù)．（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖（2），∠BAC＝α，請直接寫出∠DME的度數(shù)．（用含α的式子表示）【變式19-2】（2022·北京市朝陽外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，AB=5，D為AB上的動點，在D從A向B運動的過程中，(1)當(dāng)CD⊥AB時，則CD=_______；(2)當(dāng)D為AB的中點時，則CD=_______；(3)當(dāng)CD平分∠ACB時，則SΔ【變式19-3】（2022·浙江溫州·八年級期中）證明命題“30°所對直角邊等于斜邊的一半”是真命題并應(yīng)用．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求證：BC=1(2)點P，Q分別是Rt△ABC邊AB，BC上的動點．點P以每秒2個單位的速度從A向B運動，點Q以每秒1個單位的速度從B向C運動．P，Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點立即停止運動．連接PQ，若AB＝4，當(dāng)t為多少秒時，△PQB是直角三角形．專題7.2軸對稱圖形十九大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】 1【考點2格點中的軸對稱】 3【考點3設(shè)計軸對軸圖案】 9【考點4鏡面對稱】 11【考點5利用軸對稱求最值】 13【考點6尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】 17【考點7利用三線合一求值】 20【考點8利用三線合一證明】 24【考點9利用等角對等邊證明邊長相等】 28【考點10利用等角對等邊證明】 33【考點11作等腰三角形】 39【考點12等邊三角形的判定與性質(zhì)】 43【考點13含30度的直角三角形】 53【考點14尺規(guī)作垂直平分線、垂線、角平分線】 61【考點15垂直平分線的判定與性質(zhì)】 65【考點16等腰三角形中的新定義問題】 73【考點17角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 81【考點18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 88【考點19根據(jù)直角三角形斜邊的中線進(jìn)行計算與證明】 96【考點1軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】【例1】（2022·貴州省遵義市第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知點P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)關(guān)于【答案】-8【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解并計算即可；【詳解】∵點P1(2a-b,2)和P2∴2a-b=-7解得a=-2b=3∴a故答案為：-8【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級期中）將點A先向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（﹣2，5），則A點關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為__________．【答案】（4，8）【分析】設(shè)A（x，y），根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加列方程求解，再根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：設(shè)A（x，y），∵點A向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（?2，5），∴x＋2＝?2，y?3＝5，解得x＝?4，y＝8，∴點A的坐標(biāo)為（?4，8），∴A點關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為（4，8）．故答案為：（4，8）．【點睛】本題考查了坐標(biāo)的平移規(guī)律，以及關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知點P（2a+b，-3a）與點P′（8，b+2）．(1)若點p與點p′關(guān)于x軸對稱，求a、b的值．(2)若點p與點p′關(guān)于y軸對稱，求a、b的值．【答案】(1)a=2，b=4(2)a=6，b=-20【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可．（1）解：∵點P與點P'關(guān)于x軸對稱，∴2a+b=8，3a=b+2,解得a=2，b=4．（2）解：∵點P與點P'關(guān)于y軸對稱，∴2a+b=-8，-3a=b+2解得a=6，b=-20．【點睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點坐標(biāo)特征，關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【變式1-3】（2022·吉林白山·八年級期末）在坐標(biāo)平面上有一個軸對稱圖形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對對稱點，若此圖形上另有一點C（﹣2，﹣9），則A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【答案】A【分析】先利用點A和點B的坐標(biāo)特征可判斷圖形的對稱軸為直線y=-4，然后寫出點C關(guān)于直線y=-4的對稱點即可．【詳解】解：∵A（3，﹣52）和B（3，﹣11∴點A與點B關(guān)于直線y＝﹣4對稱，∴點C（﹣2，﹣9）關(guān)于直線y＝﹣4的對稱點的坐標(biāo)為（﹣2，1）．故選：A．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對稱：關(guān)于直線x=m對稱，則兩點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和為2m；關(guān)于直線y=n對稱，則兩點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)和為2n．【考點2格點中的軸對稱】【例2】（2022·湖北·武漢市光谷實驗中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，是一個8×10正方形格紙，△ABC中A點坐標(biāo)為(﹣2，1)，B點的坐標(biāo)為(﹣1，2)．(1)請在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，指出△ABC和△A(2)作出△ABC關(guān)于x軸對稱圖形△A1B1C1；請直接寫出(3)在x軸上求作一點M，使△AB'M【答案】(1)見解析，△ABC與△A'B(2)見解析，A(3)見解析，M(﹣1，0)【分析】（1）根據(jù)A，B兩點坐標(biāo)，確定平面直角坐標(biāo)系即可；（2）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1（3）作點B'關(guān)于x軸的對稱點B″，連接AB″交x軸于點M，連接（1）解：（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：△ABC與△A'B（2）如圖，△A1B（3）如圖，點M即為所求．M（﹣1，0）．此時：C△A此時滿足周長最短．【點睛】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·八年級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過點（1，0）作x軸的垂線l．(1)作出△ABC關(guān)于直線l的軸對稱圖形△A(2)直接寫出A1（，），B1（，），C1（(3)在△ABC內(nèi)有一點P（m，n），則點P關(guān)于直線l的對稱點P1的坐標(biāo)為（，）（結(jié)果用含m，n【答案】(1)見解析(2)4，1；5，4；3，3(3)2-m，n【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出△ABC關(guān)于直線l的軸對稱圖形△A（2）根據(jù)坐標(biāo)系寫出點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線l的軸對稱，則（1）解：如圖，△A（2）由圖形可知：A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）；故答案為：4，1；5，4；3，3；（3）點P關(guān)于直線l的對稱點P1的坐標(biāo)為（2﹣m，n）．故答案為：2﹣m，n．【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N都在格點上．(1)作△ABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點P，使得PC-PA1的值最大，并畫出點【答案】(1)詳見解析(2)7(3)詳見解析【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A、B、C的對應(yīng)點A1，B1，（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．（3）連接A1C1交直線MN于點P（1）如圖，△A（2）△ABC的面積為3×3-（3）點P即為所求【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱一最短路徑問題，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)準(zhǔn)確作出點P．【變式2-3】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級期中）如圖，已知三點A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對稱，其中A1，B1，C1分別是點A，B，C的對應(yīng)點．(1)畫出△A1B1C1，并寫出三個頂點A1，B1，C1的坐標(biāo)；(2)若點M(m+2，n-1)是△ABC上一點，其關(guān)于x軸的對稱點為M'(-m-4，【答案】(1)圖見解析，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）(2)m=-3，n=2【分析】（1）首先確定A、B、C三點的對稱點位置，再連接即可，然后再利用坐標(biāo)系寫出A1，B1，C1的坐標(biāo)；（2）利用關(guān)于x軸的對稱的對稱點坐標(biāo)特點可得m+2=-m-4，n-1+n-3=0，再解方程即可．（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）；（2）∵點M（m+2，n-1）是△ABC上一點，其關(guān)于x軸的對稱點為M′（-m-4，n-3），∴m+2=-m-4，n-1+n-3=0，解得：m=-3，n=2．【點睛】此題主要考查了作圖--軸對稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點的對稱點位置．【考點3設(shè)計軸對軸圖案】【例3】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形，使它與陰影部分合起來所構(gòu)成的圖形是一個軸對稱圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將一個圖形沿著某條直線翻折,直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形,根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行設(shè)計即可．【詳解】解：如圖所示：故選：C【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的概念,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對稱圖形的概念．【變式3-1】（2022·河北·九年級專題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點，現(xiàn)有一點P在其它格點上，且A、B、C、P為軸對稱圖形，問共有幾個這樣的點P（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點即可．【詳解】解：如圖所示：A、B、C、P為軸對稱圖形，共有4個這樣的點P．答案：B．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案,正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個小方格涂上陰影，請再在余下的6個空白的小方格中，選兩個小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個軸對稱圖形，共有()種不同的填涂方法．A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【分析】如圖，將圖中的空白正方形標(biāo)號，然后根據(jù)軸對稱圖形的定義對其不同的組合進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對稱圖形，共有6種方法．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的設(shè)計，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個新的正方形，使拼成的圖案為軸對稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設(shè)計一種與示例拼法不同的軸對稱圖形．【答案】見解析【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可．【詳解】解：依照軸對稱圖形的定義，設(shè)計出圖形，如圖所示．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，利用軸對稱定義得出是解題關(guān)鍵．【考點4鏡面對稱】【例4】（2022·江蘇·宜興外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認(rèn)為實際時間最接近9：00（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直線成軸對稱．【詳解】9點的時鐘，在鏡子里看起來應(yīng)該是3點，所以最接近9點的時間在鏡子里看起來就更接近3點，所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點時間．故選：B．【點睛】主要考查鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車牌的部分號碼如圖所示，則該車牌照的部分號碼為____．【答案】E6395【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“E6395”成鏡面對稱，則該車牌照的部分號碼為E6395．故答案為：E6395．【點睛】本題考查了鏡面對稱的性質(zhì)，掌握鏡面對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：05,這時的實際時間為______.【答案】20：01【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【詳解】解：由圖分析可得題中所給的“10：05”與“20：01”成軸對稱，這時的時間應(yīng)是20：01．故答案為：20：01．【點睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．【變式4-3】（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壠谥校┬∶鲝钠矫骁R子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時的時刻應(yīng)是________．【答案】16:25:08【分析】關(guān)于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實際數(shù)字．【詳解】解：∵是從鏡子中看，∴對稱軸為豎直方向的直線，∵5的對稱數(shù)字為2，2的對稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，∴這時的時刻應(yīng)是16:25:08.故答案為16:25:08.【點睛】本題考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反，注意2的對稱數(shù)字為5，5的對稱數(shù)字是2．【考點5利用軸對稱求最值】【例5】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【答案】C【分析】由題意可以把Q反射到AB的O點，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對稱點O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ，此時PC+PQ有可能取得最小值，∵當(dāng)CO垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，∵S△ABC∴CM=6×810=4.8，即PC+PQ的最小值為故選C．【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點到線段某點連線段最短問題是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·河南駐馬店·七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．2α-180° C．180°-α 【答案】B【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠DAB=α，∴∠HAA′=180°-α，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=180°-α，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2180°-α∴∠MAN=180°-∠AMN+∠ANM故選：B．【點睛】本題主要考查軸對稱-最段路線問題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動點M在線段AC上運動(不與端點重合)，點M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，連接M1M2，點D在M1M2上，則在點M的運動過程中，線段M1M2長度的最小值是_______．【答案】24【分析】過D作DM'⊥AC于M'，連接DM，根據(jù)已知，由面積法先求出DM'=125，由M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，可得DM1=DM=DM2，M1M2=2DM，故線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，M與M'重合，即可得M1M2最小值為2DM'=24【詳解】解：過D作DM'⊥AC于M'，連接DM，如圖：長方形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=4，AC=5，∴S△ADC=12AD?CD=12AC?∴DM'=AD·CDAC∵M(jìn)關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，∴DM1=DM=DM2，∴M1M2=2DM，線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，即M與M'重合，M1M2最小值為2DM'=245故答案為：245【點睛】本題考查對稱變換，涉及三角形面積、點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是將求M1M2長度的最小值轉(zhuǎn)化為求DM長度的最小值.【變式5-3】（2022·福建龍巖·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是_______．【答案】48【分析】如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．首先證明E，A，F(xiàn)共線，則PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．由對稱的性質(zhì)可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF，∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，∴∠EAF=180°，∴E，A，F(xiàn)共線，∵M(jìn)E=MP，NF=NP，∴PM+MN+PN=EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，∵EF=2PA，∴當(dāng)PA⊥BC時，PA的值最小，此時PA=6×810=24∴PM+MN+PN≥485∴PM+MN+PN的最小值為485故答案為：485【點睛】本題考查了軸對稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短．【考點6尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】【例6】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（

）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【答案】A【分析】當(dāng)AB為底時，作AB的垂直平分線，當(dāng)AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，分別找到格點即可求解．【詳解】解：當(dāng)AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有5個，當(dāng)AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數(shù)有3個；∴這樣的頂點C有8個．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有___個．【答案】4【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個交點；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個交點；作AB的垂直平分線與BC有一個交點，即有1+2+1＝4個，故答案為4．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動手操作能力．【變式6-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級期末）如圖，△ABC的點A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點P在直線l上運動，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時，則【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三種情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分別求解即可解決問題．【詳解】解：如圖，在ΔABC中，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-40°=20°，①當(dāng)AB=AP時，∠ABP1=∠A②當(dāng)PA=PB時，∠ABP③當(dāng)BA=BP時，∠ABP綜上所述，滿足條件的∠ABP的值為10°或80°或20°或140°．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于常考題型．【變式6-3】（2022·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），若點P在坐標(biāo)軸上，且△PAB是等腰三角形，則滿足條件的點P有_____個．【答案】8【分析】分三種情況①以B為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點，②以A為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點，，③以AB為底，AB的垂直平分線與兩軸的交點即可【詳解】解：如圖所示：①以B為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有2點，交x軸有1點（點A除外），此時共3個點；②以A為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有1點（點B除外），交x軸有2點，此時共3個點，③以AB為底的三角形有2個，點P在AB的垂直平分線上，分別交x軸、y軸各1個點，此時共2個點；3+3+2＝8，因此，滿足條件的點P有8個，故答案為：8．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定，分三種情況討論圓與坐標(biāo)軸的交點以及線段垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點是解決問題的關(guān)鍵．【考點7利用三線合一求值】【例7】（2022·河北保定·八年級期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【答案】C【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得MC=MB，∠ACM=∠B，∠CMF=∠BME，從而證明△CMF≌△BME，根據(jù)四邊形CEMF的面積=S【詳解】解：連接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中點，∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，在△CMF和△BME中，∠FCM=∠EBM=45°MC=MB∴△CMF≌△BMEASA，∴S△CMF∴四邊形CEMF的面積=S△CMF+故選：C．【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CMF≌△BME．【變式7-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可求∠AEB=∠CME=90°，可得CM∥BE，可證∠BCM=∠【詳解】解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①錯誤，∵△DCE為等腰直角三角形，CM平分∠DCE，∴∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，故②正確，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴∠AEB=∠CME=90°，∴CM∥∴∠BCM=∠CBE，故④正確，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．∴AE-BE=2CM，故③正確，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE是本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·浙江·平陽蘇步青學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面積=12×BC×EF故選：B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，若DE＝4，則CF的長為_____.【答案】8【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到△ABC是△ACD的面積的兩倍，然后用等面積法求得DE和CF的關(guān)系，進(jìn)而得到CF的長．【詳解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴S△ABC=2S△ACD＝2×12×DE?AC∵S△ABC∴12AB?CF＝DE?AC∵AC＝AB，∴12CF＝DE∵DE＝4，∴CF＝8；故答案為：8【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高．【考點8利用三線合一證明】【例8】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE．求證：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由△ABC是等腰三角形，AD和BE是高，可知∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，通過ASA即可證明△AEH≌△BEC，（2）由（1）可知△AHE≌△BCE，則AH=BC，△ABC是等腰三角形，AD是底邊上的高，可知BC=2BD，即可進(jìn)行證明．（1）證明：∵AD是高，BE是高∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠EBC=∠CAD又∵AE＝BE，∠AEH=∠BEC∴△AEH≌△BEC(ASA)；（2）∵△AEH≌△BEC∴AH＝BC∵AB＝AC，AD是高∴BC=2BD∴AH＝2BD．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、及三角形全等的判定方法．解決本題的關(guān)鍵是證明△AEH?△BEC．【變式8-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說明理由．【答案】AD⊥EF，理由見解析【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，然后再證Rt△AED≌Rt△AFD可得AE＝AF，即△AEF是等腰三角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可．【詳解】解：AD⊥EF，理由如下：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形∵AD平分∠EAF，∴AD⊥EF（等腰三角形三線合一）．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，說明△AEF是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【答案】證明見解析．【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定義得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代換得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【詳解】證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE⊥CE，AD⊥BC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·山東青島·七年級期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是AB邊上的一動點（不與點A、B重合），連接CE(1)如圖①，若E運動到BD上，過點A作CE的垂線交CD于點G，CE于點F，CB于點H，求證：CG=BE；(2)如圖②，若E運動到AD上，過點A作CE的垂線與CE延長線交于點F，延長AF交CD延長線于點G，試猜想CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)證明見解析(2)CG=BE，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACG=45°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠CAG=∠BCE，然后根據(jù)三角形全等的判定證出△CAG?△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=BD=AD,CD⊥AB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠G=∠DEC，然后根據(jù)三角形全等的判定證出△ADG?△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=DE，最后根據(jù)線段和差即可得證．（1）證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠B=∠ACG=45°，∠CAG+∠AHC=90°，∵AH⊥CE，∴∠BCE+∠AHC=90°，∴∠CAG=∠BCE，在△CAG和△BCE中，∠ACG=∠BAC=CB∴△CAG?△BCEASA∴CG=BE．（2）解：CG=BE，證明如下：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴CD=BD=AD,CD⊥AB，∴∠DCE+∠DEC=90°，∵AG⊥CF，∴∠DCE+∠G=90°，∴∠G=∠DEC，在△ADG和△CDE中，∠ADG=∠CDE=90°∠G=∠DEC∴△ADG?△CDEAAS∴DG=DE，又∵CD=BD，∴DG+CD=DE+BD，即CG=BE．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．【考點9利用等角對等邊證明邊長相等】【例9】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長是_____.【答案】14【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對等邊得出EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，即可得出答案．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，故答案為：14．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長為__cm．【答案】5．【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證BD＝FD，EF＝CE，再根據(jù)線段和差可求CE的長．【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∵BD＝9cm，DE＝4cm，，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5cm，故答案為：5．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解已知條件，根據(jù)角平分線和平行線得出等腰三角形．【變式9-2】（2022·浙江·樂清市知臨寄宿學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AC上一點，AE＝AB，連接DE.(1)求證：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長．【答案】(1)見解析；(2)AC＝14．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AE＝AB，DE＝BD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得∠AED＝∠B，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AED＝∠C＋∠CDE，從而求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE＝DE，然后根據(jù)AC＝AE＋CE計算即可得解．（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△AED，∴AE＝AB＝9，DE＝BD＝5，∠AED＝∠B，∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠B＝2∠C，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝DE＝5，∴AC＝AE＋CE＝9＋5＝14．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊等知識，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)八年級期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點，交于點，，．則_______；(2)如圖2，于點，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長為_______．（用含的式子表示）【答案】(1)3；(2)12；(3)【分析】（1）依題意可證，從而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得問題的解；（2）延長CG，AB交于點H，可證，從而AH=AC，HG=GC，又，，，由問題可解；（3）在AC上取一點N，使得AN=AB，從而，所以BD=DN=NC=