2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題11.5 期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之二元一次方程組十四大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題11.5二元一次方程組十四大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】 1【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】 2【考點(diǎn)3解二元一次方程組】 2【題型4同解方程組】 3【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問題】 3【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】 4【考點(diǎn)7二元一次方程的整數(shù)解】 4【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】 5【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問題】 6【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】 7【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 8【考點(diǎn)12二元一次方程（組）的應(yīng)用】 9【考點(diǎn)13三元一次方程組的解法】 10【考點(diǎn)14三元一次方程組的應(yīng)用】 11【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】【例1】（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級(jí)階段練習(xí)）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2?5x＝5，④x﹣A．① B．② C．③ D．④【變式1-1】（2022·上海·期末）下列方程組中，二元一次方程組有（

）①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-2】（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）已知(a?2)x+a2?3+y=1是關(guān)于x，y【變式1-3】（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)七年級(jí)期末）關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常數(shù)），b=a+1，c=b+1，對(duì)于任意一個(gè)滿足條件的a，此二元一次方程都有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為_________．【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】【例2】（2022·浙江·華東師范大學(xué)附屬杭州學(xué)校七年級(jí)期末）方程組2x+y=?x+y=3的解為x=2y=?，則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)▲和■分別為(A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4【變式2-1】（2022·陜西·商洛市山陽信毅九年制學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）樂樂，果果兩人同解方程組ax+5y=15①4x=by?2②時(shí)，樂樂看錯(cuò)了方程①中的a，解得x=?3y=?1，果果看錯(cuò)了方程②中的b，解得【變式2-2】（2022·江蘇·無錫市查橋中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）若x=1y=?2和x=?1y=?4是某二元一次方程的解，則這個(gè)方程為（A．x+2y=-3 B．2x?y=0 C．y=3x?5 D．x?3=y【變式2-3】（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x、y的方程組x+y=1?ax?y=3a+5①當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=2的解；②當(dāng)x=y時(shí)，a=?5③不論a取什么數(shù)，2x+y的值始終不變．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)3解二元一次方程組】【例3】（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級(jí)期末）關(guān)于x，y方程組3x+5y=m+22x+3y=m滿足x，y的和為2，則m【變式3-1】（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解求【變式3-2】（2022·山東·聊城市東昌府區(qū)水城雙語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）解方程組(1)y=2x?4(2)3(x+y)?4(x?y)=4【變式3-3】（2022·江蘇泰州·七年級(jí)期末）在等式y(tǒng)＝ax2＋bx＋1中，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝6；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝11．（1）求a，b的值；（2）當(dāng)x＝－3時(shí)，求y的值．【題型4同解方程組】【例4】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）已知方程組2x?y=7ax+y=b和方程組x+by=a3x+y=8有相同的解，則a，A．a(chǎn)=1b=2 B．a(chǎn)=4b=?6 C．a(chǎn)=?6b=2【變式4-1】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）已知方程組3x?2y=4mx+ny=7與mx+3ny=515y?x=3有相同的解，則【變式4-2】（2022·黑龍江·大慶市高新區(qū)學(xué)校七年級(jí)期末）關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組ax?2by=22x?y=7和3ax?5by=93x?y=11有相同的解，則abA．23 B．32 C．?2【變式4-3】（2022·陜西安康·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+y=4ax+by=7和ax?by=?1x?2y=?3的解相同，求【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問題】【例5】（2021·山東濱州·七年級(jí)期末）解方程組ax+by=2cx?7y=8時(shí)，一學(xué)生把c看錯(cuò)而得到x=?2y=2，而正確的解是x=3y=?2，那么a+b+cA．4 B．5 C．6 D．7【變式5-1】（2022·四川巴中·七年級(jí)期末）甲、乙兩人解關(guān)于x、y的方程組3x?by=?1①ax+by=?5②時(shí)，甲因看錯(cuò)a得到方程組的解為x=1y=2，乙將方程②中的(1)求a、b的值；(2)求原方程組的解．【變式5-2】（2018·江西宜春·七年級(jí)期末）已知方程組ax?5y=15①4x?by=?2②由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為x=?3y=?1；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為x=5y=4【變式5-3】（2022·河南·安陽市第五中學(xué)七年級(jí)期末）甲乙兩名同學(xué)在解方程組ax+5y=104x?by=?4時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得解為x=3y=?1；乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得解為(1)甲把a(bǔ)看成了什么，乙把b看成了什么？(2)請(qǐng)你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求出原方程組的正確解．【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】【例6】（2022·浙江湖州·七年級(jí)期末）小王和小明分別計(jì)算同一道整式乘法題：3x+m4x+n，小王由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)式中m的符號(hào)，得到的結(jié)果為12x2?17x+6，小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的【變式6-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算x*y=ax+by+1．其中a，b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運(yùn)算，若2*5=10，4*7=28，則3*6=（

）A．18 B．19 C．20 D．21【變式6-2】（2022·上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式a+bx+cx2+dx3+exA．8 B．16 C．32 D．無法確定【變式6-3】（2022·安徽安慶·七年級(jí)期末）當(dāng)a、b都是整數(shù)時(shí)，我們稱（a，b）為一個(gè)有序整數(shù)對(duì)，如（-2，2）和（2，-2）是兩個(gè)不同的有序整數(shù)對(duì)，則滿足|a-b|+|ab|=1的有序整數(shù)對(duì)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)【考點(diǎn)7二元一次方程的整數(shù)解】【例7】（2022·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）二元一次方程3x+8y=27的所有正整數(shù)解為_________；整數(shù)解有_______個(gè)．【變式7-1】（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程9x【變式7-2】（2022·重慶一中八年級(jí)開學(xué)考試）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)m，若m滿足各數(shù)位上的數(shù)字都不為0，且千位與百位上的數(shù)字不相等，十位與個(gè)位上的數(shù)字不相等，那么稱這個(gè)數(shù)為“M數(shù)”，將一個(gè)“M數(shù)”m的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新三位數(shù)，把這四個(gè)新三位數(shù)的和與3的商記為Fm．例如，“M數(shù)”m=1234，去掉千位上的數(shù)字得到234，去掉百位上的數(shù)字得到134，去掉十位上的數(shù)字得到124，去掉個(gè)位上的數(shù)字得到123，這四個(gè)新三位數(shù)的和為234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1)計(jì)算：F1213，F(xiàn)(2)若“M數(shù)”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），F(xiàn)n也是“M數(shù)”，且Fn能被8整除．求【變式7-3】（2022·重慶涪陵·七年級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，則稱這個(gè)自然數(shù)m為“三峽數(shù)”．當(dāng)三位自然數(shù)m為“三峽數(shù)”時(shí)，交換m的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后會(huì)得到一個(gè)三位自然數(shù)n，規(guī)定F(m)=m?n99．例如：當(dāng)m=583時(shí)，因?yàn)?+3=8，所以583是“三峽數(shù)”；此時(shí)n=385，則(1)判斷341和153是否是“二峽數(shù)”？并說明理由；(2)求F352(3)若三位自然數(shù)m=100a+10a+b+b（即m的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是a+b，個(gè)位數(shù)字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)，1≤a+b≤9）為“三峽數(shù)”，且Fm【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】【例8】（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）數(shù)學(xué)方法：解方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13，若設(shè)2x+y=m，x?2y=n(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組am+n(2)知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組x+y2(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b求關(guān)于x，y的方程組2a【變式8-1】（2022·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）用換元法解方程組5x?6y+1=11x【變式8-2】（2022·陜西·西大附中浐灞中學(xué)八年級(jí)期末）解方程組：x+y=22【變式8-3】（2022·北京朝陽·七年級(jí)期末）閱讀下列材料并填空：（1）對(duì)于二元一次方程組4x+3y=54x+3y=36我們可以將x，y的系數(shù)和相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)表4????3????54．從而得到該方程組的解為x=__________y=__________（2）仿照（1）中數(shù)表的書寫格式寫出解方程組2x+3y=6x+y=2【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問題】【例9】（2022·貴州·銅仁市第十一中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）我們規(guī)定：m表示不超過m的最大整數(shù)，例如：3.1=3，0=0，?3.1=?4，則關(guān)于x和y的二元一次方程組xA．x=3.2，y=0.2 B．x=2.4，y=1.2 C．x=3，y=0.2【變式9-1】（2022·江蘇·鹽城市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如果一個(gè)正整數(shù)m=a2-b2(a,b均為正整數(shù)，且a≠b)我們稱這個(gè)數(shù)為“平方差數(shù)”，則a,b為m的一個(gè)平方差分解，規(guī)定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8=a2-b2=(a?b)(a+b)，可得{a+b=8a?b=1或{a+b=4a?b=2.因?yàn)閍,b為正整數(shù)，解得【變式9-2】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）定義新運(yùn)算∶對(duì)于任何非零實(shí)數(shù)a、b．都有a※b=ax-by．(1)若2※2=-3，求x-y的值；(2)若3※(-2)=3，(-2)※3=8，求x、y的值．【變式9-3】（2022·江蘇南通·七年級(jí)期末）定義：數(shù)對(duì)x,y經(jīng)過一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)x',y'，將該運(yùn)算記作：dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax?by（例如，當(dāng)a=1，b=1時(shí)，d?2,3(1)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，d3,1(2)若d?3,5=?1,9，求a(3)如果組成數(shù)對(duì)x,y的兩個(gè)數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時(shí)，總有dx,y=?x,?y，則a=【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】【例10】（2022秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）相傳大禹時(shí)期，洛陽市西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻(xiàn)給大禹，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示，洛書是一個(gè)三階幻方，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等．在圖3的幻方中也有類似于圖1的數(shù)字之和的這個(gè)規(guī)律，則a+b的值為（

）A．2 B．?2 C．4 D．6【變式10-1】（2022春·北京石景山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：序號(hào)123……n方程組{{{方程組解{{{按此規(guī)律，第n個(gè)方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.【變式10-2】（2022秋·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的各圖表示由若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n＞1)盆花，每個(gè)圖案花盆的總數(shù)為s．按此規(guī)律推斷，以s，n為未知數(shù)的二元一次方程為______．【變式10-3】（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，則a+b﹣m＝_____．【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】【例11】（2022秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校?？计谀╅喿x下列材料，回答問題．對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為Fn．例如n=123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666，因?yàn)?66÷111=6，所以F(1)計(jì)算：F341=，F(xiàn)(2)若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y，1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)，規(guī)定k=Fs?Ft，當(dāng)F【變式11-1】（2022春·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例如：由2x+3y＝12，得：y=12?2x3=4?23要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x為正數(shù)可知：x所以2x+3y＝12的正整數(shù)解為x=3y=2(1)【類比探究】請(qǐng)根據(jù)材料求出方程3x+2y＝8的正整數(shù)解．(2)【拓展應(yīng)用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規(guī)格的鋼管，在不造成浪費(fèi)的情況下，共有幾種截法？【變式11-2】（2022春·重慶·八年級(jí)重慶八中?？计谀╅喿x以下材料，并利用材料知識(shí)解決問題．材料一：如果實(shí)數(shù)a，b滿足ab?1=6?2b，那么就稱a和b是一組“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，用有序數(shù)對(duì)a,b表示．例如：由于1×7材料二：任何一個(gè)自然數(shù)M都能分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積：M=A×B，對(duì)于M的所有分解，當(dāng)A?B最小時(shí)，我們稱此分解為M的“和值分解”，并記FM=A+B．例如：對(duì)于18=1×18=2×9=3×6，∵3?6<2?9<(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使得2,m是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”？如果存在，請(qǐng)求解出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)一個(gè)兩位數(shù)N的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，若y,x是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，請(qǐng)求解FN【變式11-3】（2022春·重慶大渡口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并根據(jù)材料回答以下問題材料一：一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位均不相等且不等于0，滿足這樣條件的數(shù)叫“無獨(dú)數(shù)”．任選無獨(dú)數(shù)的兩個(gè)數(shù)字，組成六個(gè)新的兩位數(shù)，并把這六個(gè)兩位數(shù)相加得到的和再除以11，得到的結(jié)果記作F(G)．例如：無獨(dú)數(shù)351，得到的六個(gè)兩位數(shù)分別為：35，31，53，51，13，15，則F(351)=35+31+53+51+13+15材料二：一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均為偶數(shù)，且百位數(shù)字最大，稱這樣的三位數(shù)為“有偶數(shù)”．(1)F(256)=______；最小的有偶數(shù)為______；(2)試說明任意一個(gè)無獨(dú)數(shù)m，F(xiàn)(m)的值均能被2整除；(3)若一個(gè)三位數(shù)，，既是無獨(dú)數(shù)，又是有偶數(shù)，且F(n)的結(jié)果為6的倍數(shù)，求滿足條件的所有n．【考點(diǎn)12二元一次方程（組）的應(yīng)用】【例12】（2022·河南·南陽市第十九中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫(yī)務(wù)人員主動(dòng)請(qǐng)纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運(yùn)送愛心物資，兩次滿載的運(yùn)輸情況如表：甲種貨車（輛）乙種貨車（輛）總量（噸）第一次4531第二次3630(1)甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？(2)現(xiàn)有45噸物資需要再次運(yùn)往武漢，準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？(3)若1輛甲種貨車需租金120元/次，1輛乙種貨車需租金100元次．請(qǐng)求出（2）中哪種租車方案費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？【變式12-1】（2022·重慶大足·七年級(jí)期末）今年“五一”勞動(dòng)節(jié)期間，某手機(jī)專賣店上架了甲、乙兩款手機(jī)．前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比乙款手機(jī)的數(shù)量多50%，后兩天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量少40%，結(jié)果后兩天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量比前三天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量多12%，若后兩天甲、乙兩款手機(jī)的銷售總額比前三天甲、乙兩款手機(jī)的銷售總額多24%，在整個(gè)銷售期間甲乙兩款手機(jī)的單價(jià)不變，則甲款手機(jī)的單價(jià)與乙款手機(jī)的單價(jià)的比值為______．【變式12-2】（2022·重慶銅梁·七年級(jí)期末）端午節(jié)臨近，某超市熱銷A、B、C三種粽子，其中其每千克B種粽子的成本價(jià)比每千克A種粽子的成本價(jià)高50%，每千克C種粽子的成本價(jià)是每千克A種粽子的成本價(jià)的2倍．最近，超市打算將三種粽子混裝配成甲、乙、丙三種禮品盒進(jìn)行銷售（禮品盒的盒子成本價(jià)不計(jì)）．其中甲禮品盒有A種粽子3千克、B種粽子2千克、C種粽子2千克；乙禮品盒有A種粽子2千克、B種粽子3千克、C種粽子3千克；丙禮品盒有A種粽子4千克、B種粽子2千克、C種粽子4千克．銷售時(shí)，每個(gè)丙禮品盒在成本價(jià)基礎(chǔ)上提高13【變式12-3】（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩人杜甫曾到“讀書破萬卷，下筆如有神”．為了提升全民素養(yǎng)，某書店搞了一次現(xiàn)場促銷活動(dòng)，活動(dòng)中名著和兒童讀物兩類圖書套裝優(yōu)惠力度較大，其中每一類套裝里含有線裝本，精裝本，平裝本三種不同材質(zhì)的圖書，兩類圖書套裝中相同材質(zhì)圖書的售價(jià)相同，且每一類套裝中數(shù)量均為44本，其中名著套裝內(nèi)線裝本，精裝本，平裝本數(shù)量之比為4：3：4，兒童讀物套裝內(nèi)線裝本，精裝本，平裝本數(shù)量之比為3：6：2．已知一套名著套裝和一套兒童讀物套裝的售價(jià)之和與62本精裝本圖書的售價(jià)相同，一本精裝本圖書售價(jià)是一本線裝本圖書售價(jià)的2倍，每套名著套裝的利潤率為20%，每套兒童讀物套裝的利潤率為36%，則當(dāng)銷售名著套裝與兒童讀物套裝的數(shù)量之比為9：14時(shí)，該書店銷售這兩類套裝的總利潤率為______．【考點(diǎn)13三元一次方程組的解法】【例13】（2022·四川·隆昌市知行中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知x、y、z是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足3x+2y+z=5，x+y?z=2，若S=2x+y?z，則S的最大值與最小值的和為()A．5 B．6 C．7 D．8【變式13-1】（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解下列三元一次方程組：（1）4x?9z=173x+y+15z=18x+2y+3z=2；（2）【變式13-2】（2022·廣東·可園中學(xué)七年級(jí)期末）在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當(dāng)x=1時(shí)，y=0；當(dāng)x=?1時(shí)，y=?2：當(dāng)x=2(1)求a，b，c的值；(2)求當(dāng)x=?3時(shí)，y的值．【變式13-3】（2022·吉林長春·七年級(jí)階段練習(xí)）已知三個(gè)方程構(gòu)成的方程組xy?2y?3x=0，yz?3z?5y=0，xz?5x?2z=0，恰有一組非零解x=a，y=b，z=c，則a2+【考點(diǎn)14三元一次方程組的應(yīng)用】【例14】（2022·重慶·華東師范大學(xué)附屬中旭科創(chuàng)學(xué)校九年級(jí)期末）新世紀(jì)百貨推出A，B，C三種零食大禮包，每種禮包都由一定數(shù)量的堅(jiān)果、牛肉干和薄脆餅組合搭配構(gòu)成．三種大禮包的成本分別為禮包中三種零食的成本之和，同種零食的單價(jià)相同．已知2袋牛肉干和5袋薄脆餅的價(jià)格相同，一份A禮包包含6袋堅(jiān)果、4袋牛肉干和2袋薄脆餅，一份B禮包包含4袋堅(jiān)果、6袋牛肉干和4袋薄脆餅．若一份B，C禮包的成本相同，均比一份A禮包的成本貴40%，一份C禮包中的零食袋數(shù)與一份A禮包中的零食袋數(shù)之比為3：2，且一份C禮包中堅(jiān)果袋數(shù)比牛肉干袋數(shù)多，則一份C【變式14-1】（2022·湖北黃岡·七年級(jí)階段練習(xí)）購買鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需（

）A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元【變式14-2】（2022·重慶市永川區(qū)教育科學(xué)研究所一模）某中學(xué)科技節(jié)頒獎(jiǎng)儀式隆重舉行，其中小科技創(chuàng)新發(fā)明獎(jiǎng)共有60人獲獎(jiǎng)，原計(jì)劃特等獎(jiǎng)5人，一等獎(jiǎng)15人，二等獎(jiǎng)40人．后來經(jīng)校領(lǐng)導(dǎo)開會(huì)研究決定，在該項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)總獎(jiǎng)金不變的情況下，各等級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)實(shí)際調(diào)整為：特等獎(jiǎng)8人，一等獎(jiǎng)18人，二等獎(jiǎng)34人，調(diào)整后特等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金降低40元，一等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金降低20元，二等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金降低10元，調(diào)整前一等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金比二等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金多70元，則調(diào)整后特等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金比一等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金多_______元．【變式14-3】（2022·重慶豐都·七年級(jí)期末）全球棉花看中國，中國棉花看新疆．新疆長絨棉花是世界頂級(jí)棉花，品質(zhì)優(yōu)，產(chǎn)量大，常年供不應(yīng)求．豐都縣某超市為了支持新疆棉花，在“五一節(jié)”進(jìn)行促銷活動(dòng)，將新疆棉制成的A、B、C三種品牌毛巾混裝成甲、乙、丙三種禮包銷售．其中甲禮包含1條A品牌毛巾、2條B品牌毛巾；乙禮包含2條A品牌毛巾、2條B品牌毛巾，3條C品牌毛巾；丙禮包含2條A品牌毛巾、4條C品牌毛巾，每個(gè)禮包的售價(jià)等于禮包各條毛巾售價(jià)之和．5月1日當(dāng)天，超市對(duì)A、B、C三個(gè)品牌毛巾的售價(jià)分別打8折、7折、5折銷售，5月2日恢復(fù)原價(jià)，小明發(fā)現(xiàn)5月1日一個(gè)甲禮包的售價(jià)等于5月2日一個(gè)乙禮包售價(jià)的40%，5月1日一個(gè)乙禮包的售價(jià)比5月2日一個(gè)丙禮包售價(jià)少0.8元，若A、B、C三個(gè)品牌的毛巾原價(jià)都是正整數(shù)，且B品牌毛巾的原價(jià)不超過11元，則小明在5月1日購買一個(gè)丙禮包，應(yīng)該付________元．專題11.5二元一次方程組十四大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】 1【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】 3【考點(diǎn)3解二元一次方程組】 5【題型4同解方程組】 8【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問題】 11【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】 14【考點(diǎn)7二元一次方程的整數(shù)解】 16【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】 20【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問題】 23【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】 26【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 29【考點(diǎn)12二元一次方程（組）的應(yīng)用】 34【考點(diǎn)13三元一次方程組的解法】 39【考點(diǎn)14三元一次方程組的應(yīng)用】 42【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】【例1】（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級(jí)階段練習(xí)）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2?5x＝5，④x﹣A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：①2x﹣3y＝1，符合二元一次方程的定義，是二元一次方程；②xy＝﹣2，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2，不是二元一次方程；③x2④x﹣1y故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．【變式1-1】（2022·上?！て谀┫铝蟹匠探M中，二元一次方程組有（

）①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【詳解】解：①、符合二元一次方程組的定義，故①符合題意；②、第一個(gè)方程與第二個(gè)方程所含未知數(shù)共有3個(gè)，故②不符合題意；③、符合二元一次方程組的定義，故③符合題意；④、該方程組中第一個(gè)方程是二次方程，故④不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題時(shí)需要掌握二元一次方程組滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．【變式1-2】（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）已知(a?2)x+a2?3+y=1是關(guān)于x，y【答案】a≠2【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程可得a?2≠0，再解即可．【詳解】解：依題意得：a?2≠0，解得a≠2．故答案是：a≠2．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的定義．熟記二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)七年級(jí)期末）關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常數(shù)），b=a+1，c=b+1，對(duì)于任意一個(gè)滿足條件的a，此二元一次方程都有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為_________．【答案】x=?1【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由對(duì)于任意一個(gè)滿足條件的a，此二元一次方程都有一個(gè)公共解即可求解；【詳解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1，∴ax+ay+y=a+2∵對(duì)于任意一個(gè)滿足條件的a，此二元一次方程都有一個(gè)公共解∴令a=0，則y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2得：ax=-a，∴x=-1，∴公共解為x=?1y=2【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】【例2】（2022·浙江·華東師范大學(xué)附屬杭州學(xué)校七年級(jí)期末）方程組2x+y=?x+y=3的解為x=2y=?，則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)▲和■分別為(A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4【答案】B【分析】將x=2代入x+y=3中求出y的值，將x，y的值代入2x+y求值即可得出答案．【詳解】解：將x=2代入x+y=3中得：y=1，2x+y=2×2+1=5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解是方程組兩個(gè)方程的公共解是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·陜西·商洛市山陽信毅九年制學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）樂樂，果果兩人同解方程組ax+5y=15①4x=by?2②時(shí)，樂樂看錯(cuò)了方程①中的a，解得x=?3y=?1，果果看錯(cuò)了方程②中的b，解得【答案】0【分析】把x=?3y=?1代入②得出?12=?b?2可求出b，把x=5y=4代入①得出5a+20=15可求出【詳解】解：∵甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x=by?2②時(shí)，甲看錯(cuò)了方程①中的a，解得x=?3y=?1，乙看錯(cuò)了方程②中的∴把x=?3y=?1代入②，得?12=?b?2，解得：b=10把x=5y=4代入①，得5a+20=15，解得：a=?1∴==?1+1=0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次方程和代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是列出關(guān)于a、b的一元一次方程求得a、b的值．【變式2-2】（2022·江蘇·無錫市查橋中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）若x=1y=?2和x=?1y=?4是某二元一次方程的解，則這個(gè)方程為（A．x+2y=-3 B．2x?y=0 C．y=3x?5 D．x?3=y【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)x=?1，y=?4時(shí)，x+2y=-9≠-3,故x=?1y=?4不是方程x+2yB、當(dāng)x=1，y=?2時(shí)，2x-y=2+2≠-3,故x=1y=?2不是方程2x?y=0C、當(dāng)x=?1，y=?4時(shí)，y=3x?5=?8≠?4，故x=?1y=?4不是方程y=3x?5D、當(dāng)x=1y=?2和x=?1y=?4時(shí)，方程故x=1y=?2和x=?1y=?4是方程故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值即為該方程的解，掌握方程的解使方程左右兩邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x、y的方程組x+y=1?ax?y=3a+5①當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=2的解；②當(dāng)x=y時(shí)，a=?5③不論a取什么數(shù)，2x+y的值始終不變．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】將已知代入二元一次方程組后進(jìn)行判斷，可知①②是否正確；用代入消元法解二元一次方程組，然后再求2x+y即可判斷③是否正確．【詳解】解：當(dāng)a=1時(shí)，x+y=0，故①不符合題意；當(dāng)x=y時(shí)，3a+5=0，∴a=?5故②符合題意；x+y=1?a①x?y=3a+5②①+②得，將x=a+3代入①得，y=?2?2a，∴2x+y=2a+6?2?2a=4，∴2x+y的值始終不變，故③符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系，會(huì)用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3解二元一次方程組】【例3】（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級(jí)期末）關(guān)于x，y方程組3x+5y=m+22x+3y=m滿足x，y的和為2，則m【答案】9【分析】先求出方程組的解，然后結(jié)合x+y=2，求出m的值，再代入計(jì)算，即可求出答案．【詳解】解：∵3x+5y=m+22x+3y=m解方程組，得x=2m?6y=?m+4∵x+y=2，∴2m?6?m+4=2，解得m=4，∴m2故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，方程組的解，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是正確的求出方程組的解，從而求出m的值．【變式3-1】（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解求【答案】a=5,b=?1【分析】根據(jù)題意可知兩個(gè)方程組有相同的解，即說明第一個(gè)方程組的解也適合第二個(gè)方程組，再根據(jù)二元一次方程組解的定義，即可求出答案．【詳解】3x+y=5①4x?5y=?6②，①×（-5）－②得，-19x=?19把x=1代入①得，3+y=5，解得所以方程組3x+y=54x?5y=?6把x=1y=2代入方程組ax?2y=43x?by=5，得a?4=13?2b=5故答案為：a=5,b=?1．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組解的定義及二元一次方程組的解法，解答此題的關(guān)鍵是要弄清題意，兩個(gè)方程組有相同的解，即說明第一個(gè)方程組的解也適合第二個(gè)方程組．【變式3-2】（2022·山東·聊城市東昌府區(qū)水城雙語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）解方程組(1)y=2x?4(2)3(x+y)?4(x?y)=4【答案】(1)x=1(2)x=【分析】（1）用代入法求解即可；（2）先化簡方程，再用加減法求解即可．（1）解：y=2x?4①把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝﹣2，則方程組的解為x=1y=?2（2）解：方程組整理得：-x+7y=4①×2+②得：15y＝11，解得：y＝1115②×7﹣①得：15x＝17，解得：x＝1715則方程組的解為x=17【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握根據(jù)方程組的特征，恰當(dāng)選擇代入消元法和加減消元法求解是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·江蘇泰州·七年級(jí)期末）在等式y(tǒng)＝ax2＋bx＋1中，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝6；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝11．（1）求a，b的值；（2）當(dāng)x＝－3時(shí)，求y的值．【答案】（1）a=103，b=-5【分析】（1）把x、y的值分別代入y=ax2+bx+1，得出關(guān)于a、b的方程組，再求出方程組的解即可；（2）把x=-3代入（1）中所求的結(jié)果，即可求出y．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得a?b+1=6①4a+2b+1=11②①×2+②，得6a+3=23，解得：a=103把a(bǔ)=103代入①，得103-解得：b=-53（2）y=10當(dāng)x=-3時(shí)，y=10【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，能得出關(guān)于a、b的方程組是解此題的關(guān)鍵．【題型4同解方程組】【例4】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）已知方程組2x?y=7ax+y=b和方程組x+by=a3x+y=8有相同的解，則a，A．a(chǎn)=1b=2 B．a(chǎn)=4b=?6 C．a(chǎn)=?6b=2【答案】A【分析】先根據(jù)方程組2x?y=7①3x+y=8②，求出x=3，y=?1再代入ax+y=b和x+by=a中，得到關(guān)于a【詳解】解：根據(jù)題意得：2x?y=7①由①+②得：5x=15，解得：x=3，把x=3代入①得：6?y=7，解得：y=?1，把x=3，y=?1代入ax+y=b和x+by=a中得：3a?1=b3?b=a，解得：a=1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時(shí)，將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程組中的字母系數(shù)．【變式4-1】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）已知方程組3x?2y=4mx+ny=7與mx+3ny=515y?x=3有相同的解，則【答案】29【分析】根據(jù)兩個(gè)方程組解相同，可先求出x、y的值，再將x、y的值代入其余兩個(gè)方程即可求出m、n的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得5y?x=33x?2y=4解得x=2y=1把x、y的值代入方程組mx+ny=7mx+3ny=51可得2m+n=72m+3n=51解得m=?15∴m+n=292故答案為：292【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是先求出x、y的值．【變式4-2】（2022·黑龍江·大慶市高新區(qū)學(xué)校七年級(jí)期末）關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組ax?2by=22x?y=7和3ax?5by=93x?y=11有相同的解，則abA．23 B．32 C．?2【答案】A【分析】由題意知，可重新組成兩個(gè)關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組ax?2by=23ax?5by=9和2x?y=73x?y=11，先計(jì)算不含參的二元一次方程組2x?y=73x?y=11，得x,y的值，然后代入含參的二元一次方程組ax?2by=2【詳解】解：∵兩個(gè)方程組同解∴可知關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組ax?2by=23ax?5by=9和2x?y=7解方程組2x?y=7②?①得x=4將x=4代入①式得2×4?y=7解得y=1∴方程組的解為x=4將x=4y=1代入方程組ax?2by=23ax?5by=9解關(guān)于a,b的方程組4a?2b=2③×3?④得?b=?3解得b=3將b=3代入③式得4a?2×3=2解得a=2∴方程組的解為a=2∴a故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程組，解二元一次方程．解題的關(guān)鍵在于將兩個(gè)方程組重新組成新的方程組求解．【變式4-3】（2022·陜西安康·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+y=4ax+by=7和ax?by=?1x?2y=?3的解相同，求【答案】5【分析】先聯(lián)立2x+y=4x?2y=?3，求出x和y的值，代入ax+by=7ax?by=?1，求出a和【詳解】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+y=4ax+by=7和ax?by=?1∴聯(lián)立2x+y=4x?2y=?3解方程組，得x=1y=2將x=1y=2代入ax+by=7ax?by=?1得解方程組，得a=3b=2∴a+b＝2+3＝5．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，聯(lián)立兩個(gè)已知的方程求出x和y的值是解題的關(guān)鍵．【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問題】【例5】（2021·山東濱州·七年級(jí)期末）解方程組ax+by=2cx?7y=8時(shí)，一學(xué)生把c看錯(cuò)而得到x=?2y=2，而正確的解是x=3y=?2，那么a+b+cA．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】先將兩組解代入方程組中的第一個(gè)方程可得關(guān)于a,b的方程組，解方程組可得a,b的值，再將x=3y=?2代入方程組中的第二個(gè)方程可得c【詳解】解：由題意，將x=?2y=2和x=3y=?2代入方程ax+by=2得：解得a=4b=5將x=3y=?2代入cx?7y=8得：3c+14=8，解得c=?2則a+b+c=4+5+(?2)=7，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·四川巴中·七年級(jí)期末）甲、乙兩人解關(guān)于x、y的方程組3x?by=?1①ax+by=?5②時(shí)，甲因看錯(cuò)a得到方程組的解為x=1y=2，乙將方程②中的(1)求a、b的值；(2)求原方程組的解．【答案】(1)a=7，b=2(2)x=?【分析】（1）將x=1y=2代入3x?by=?1①ax+by=?5②算出b，將x=?1y=?1（2）將ab的值代入二元一次方程組中，解出即可．(1)解：甲看錯(cuò)方程組中的3x?by=?1①ax+by=?5②的a∴將x=1y=2代入①得：3?2b=?1∴b=2∵乙把方程②中的b看成了它的相反數(shù)，得到方程組的解x=?1y=?1∴將x=?1y=?1代入ax?by=?5得：a=7；(2)解：將a=7b=2代入3x?by=?1①ax+by=?5解得x=?3【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解，熟知方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值，掌握二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2018·江西宜春·七年級(jí)期末）已知方程組ax?5y=15①4x?by=?2②由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為x=?3y=?1；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為x=5y=4【答案】x=【分析】把甲的結(jié)果代入方程②求出b的值，把乙的結(jié)果代入方程①求出a的值，然后可確定出方程組，利用加減消元法解方程組即可得．【詳解】解：由題意，把x=?3y=?1代入方程②得：?12+b=?2，解得b=10把x=5y=4代入方程①得：5a?20=15，解得a=7則方程組為7x?5y=15①由①×2?②得：14x?4x=30+2，解得x=16將x=165代入①得：解得y=37則方程組的解為x=16【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，熟練掌握消元法是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·河南·安陽市第五中學(xué)七年級(jí)期末）甲乙兩名同學(xué)在解方程組ax+5y=104x?by=?4時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得解為x=3y=?1；乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得解為(1)甲把a(bǔ)看成了什么，乙把b看成了什么？(2)請(qǐng)你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求出原方程組的正確解．【答案】(1)甲把a(bǔ)看成了5，乙把b看成了6(2)x=【分析】（1）把x=3y=?1代入ax+5y=10得出關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a(bǔ)看成了什么，把x=5y=4代入4x?by=?4得出關(guān)于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把（2）把x=3y=?1代入4x?by=?4得出關(guān)于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把x=5y=4代入ax+5y=10得出關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a(bǔ)，b代入原方程組得出關(guān)于x，【詳解】（1）解：把x=3y=?1代入ax+5y=10可得：3a+5×?1解得：a=5，把x=5y=4代入4x?by=?4可得：4×5?4b=?4，解得：b=6，∴甲把a(bǔ)看成了5，乙把b看成了6；（2）解：把x=3y=?1代入4x?by=?4可得：12+b=?4，解得：b=?16，把x=5y=4代入ax+5y=10可得：5a+20=10，解得：a=?2，把a(bǔ)=?2，b=?16代入原方程組，可得：?2x+5y=10①由②得：2x+8y=?2③，由①+③，可得：13y=8，∴y=8把y=813代入①，可得：解得：x=?45∴原方程組的解x=45【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，理解二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組的方法是解決問題的關(guān)鍵．【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】【例6】（2022·浙江湖州·七年級(jí)期末）小王和小明分別計(jì)算同一道整式乘法題：3x+m4x+n，小王由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)式中m的符號(hào)，得到的結(jié)果為12x2?17x+6，小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的【答案】12【分析】利用小王和小明的解法列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解方程組求出m，n的值，再將m，n的值代入原式計(jì)算即可．【詳解】解：由小王的解法可知3x?m4x+n=12即12x2+可知3n?4m=?17；由小紅的結(jié)果可知小紅將4抄成2，故3x+m2x+n=6即6x2+可知3n+2m=?5；聯(lián)立得3n?4m=?173n+2m=?5解得m=2n=?3將m=2n=?3代入3x+m4x+n得3x+24x?3故答案為：12x【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算及解二元一次方程組，正確列出關(guān)于m，n的方程組是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算x*y=ax+by+1．其中a，b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運(yùn)算，若2*5=10，4*7=28，則3*6=（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】根據(jù)題中的新定義的運(yùn)算法則，列出方程組，解方程組求出a與b的值，再代入(3?6)計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義，可得2a+5b+1=104a+7b+1=28解方程組，得a=12b=?3∴3?6=3×12+6×(?3)+1=19．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是定義新運(yùn)算和解二元一次方程組，理解定義新運(yùn)算公式，掌握二元一次方程組的解法是解決此題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式a+bx+cx2+dx3+exA．8 B．16 C．32 D．無法確定【答案】B【分析】根題意分別把x=1、x=?1代入得出方程組，①+②即可求出2a+2c+2e的值，兩邊都除以2即可求出答案．【詳解】解析：∵當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式a+bx+cx2+d∴代入得：a+b+c+d+e+f=32①①＋②得：2a+2c+2e=32，兩邊都除以2得：a+c+e=16，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值的應(yīng)用，主要檢查學(xué)生能否選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鯽+c+e的值，難點(diǎn)是正確代入，題目較好，難度不大．【變式6-3】（2022·安徽安慶·七年級(jí)期末）當(dāng)a、b都是整數(shù)時(shí)，我們稱（a，b）為一個(gè)有序整數(shù)對(duì)，如（-2，2）和（2，-2）是兩個(gè)不同的有序整數(shù)對(duì)，則滿足|a-b|+|ab|=1的有序整數(shù)對(duì)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)a、b都是整數(shù)，且|a-b|+|ab|=1時(shí)，a?b=0ab=1，或a?b=1ab【詳解】解：∵a、b都是整數(shù)，且|a-b|+|ab|=1，∴a?b=0ab=1滿足a?b=0滿足a?b=1綜上所述，滿足|a-b|+|ab|=1的有序整數(shù)對(duì)有（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1），一共6個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對(duì)值的定義，數(shù)的整除，掌握數(shù)的整除性以及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7二元一次方程的整數(shù)解】【例7】（2022·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）二元一次方程3x+8y=27的所有正整數(shù)解為_________；整數(shù)解有_______個(gè)．【答案】

x=1y=3【分析】把x看做已知數(shù)求出y，分析即可確定出正整數(shù)解及整數(shù)解的情況．【詳解】解：方程3x+8y=27，解得：y=3(9?x)∵當(dāng)x、y是正整數(shù)時(shí)，9-x是8的倍數(shù)，∴x=1，y=3；∴二元一次方程3x+8y=27的正整數(shù)解只有1個(gè)，即x=1y=3∵當(dāng)x、y是整數(shù)時(shí)，9-x是8的倍數(shù)，∴x可以有無數(shù)個(gè)值，如-7,-15,-23，……；∴二元一次方程3x+8y=27的整數(shù)解有無數(shù)個(gè).故答案是：x=1y=3【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的整數(shù)解及正整數(shù)解問題，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出y．【變式7-1】（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程9x【答案】k=26，10，8，-8．【分析】將原式轉(zhuǎn)化，得到(9?k【詳解】9x(9?k∵x∴(9?k∴9?k=?17，∴k=26，10，8，【點(diǎn)睛】本題考查了方程的整數(shù)解，根據(jù)“整數(shù)”這一條件即可將方程的解限制在有限的范圍內(nèi)通過試解即可得到k的值．【變式7-2】（2022·重慶一中八年級(jí)開學(xué)考試）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)m，若m滿足各數(shù)位上的數(shù)字都不為0，且千位與百位上的數(shù)字不相等，十位與個(gè)位上的數(shù)字不相等，那么稱這個(gè)數(shù)為“M數(shù)”，將一個(gè)“M數(shù)”m的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新三位數(shù)，把這四個(gè)新三位數(shù)的和與3的商記為Fm．例如，“M數(shù)”m=1234，去掉千位上的數(shù)字得到234，去掉百位上的數(shù)字得到134，去掉十位上的數(shù)字得到124，去掉個(gè)位上的數(shù)字得到123，這四個(gè)新三位數(shù)的和為234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1)計(jì)算：F1213，F(xiàn)(2)若“M數(shù)”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），F(xiàn)n也是“M數(shù)”，且Fn能被8整除．求【答案】(1)190,1049.(2)195或198.【分析】（1）直接根據(jù)閱讀部分提供的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）先求解Fn=1160+7x+y,結(jié)合Fn能被8整除，可得7x+y能夠被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)，(1)解：FF(2)解：∵“M數(shù)”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），∴Fn=1160+7x+y,∵Fn∴7x+y能夠被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)，x≠y,∴當(dāng)x=1,y=9,Fn此時(shí)FF當(dāng)x=9,y=1,Fn此時(shí)F【點(diǎn)睛】本題考查的是閱讀理解，新定義運(yùn)算，數(shù)的整除，二元一次方程的正整數(shù)解問題，考查方式比較新穎，理解“M數(shù)”的具體特征是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·重慶涪陵·七年級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，則稱這個(gè)自然數(shù)m為“三峽數(shù)”．當(dāng)三位自然數(shù)m為“三峽數(shù)”時(shí)，交換m的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后會(huì)得到一個(gè)三位自然數(shù)n，規(guī)定F(m)=m?n99．例如：當(dāng)m=583時(shí)，因?yàn)?+3=8，所以583是“三峽數(shù)”；此時(shí)n=385，則(1)判斷341和153是否是“二峽數(shù)”？并說明理由；(2)求F352(3)若三位自然數(shù)m=100a+10a+b+b（即m的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是a+b，個(gè)位數(shù)字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)，1≤a+b≤9）為“三峽數(shù)”，且Fm【答案】(1)341是“三峽數(shù)”，153不是“三峽數(shù)”，理由見解析(2)F(352)=1(3)所有滿足條件的m是671、792【分析】（1）根據(jù)三峽數(shù)的定義分析即可；（2）根據(jù)F(m)=m?n（3）根據(jù)Fm=5列出關(guān)于a、b的二元一次方程，然后根據(jù)1≤a≤9，(1)341是“三峽數(shù)”，∵3+1=4=4，∴341是“三峽數(shù)”；153不是“三峽數(shù)”，∵1+3=4≠5，∴153不是“三峽數(shù)”；(2)F(352)=352?253(3)由題知m=100a+10(a+b)+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)），則n=100b+10(a+b)+a，∴F(m)=m?n==a?b，則a?b=5（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)）1≤a+b≤9，a=6b=1，a=7m=671，答：所有滿足條件的m是671、792.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，以及解二元一次方程，正確理解“三峽數(shù)”的定義是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】【例8】（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）數(shù)學(xué)方法：解方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13，若設(shè)2x+y=m，x?2y=n(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組am+n(2)知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組x+y2(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b求關(guān)于x，y的方程組2a【答案】(1)m=1(2)x=4(3)x=10【分析】（1）設(shè)m+n=x，m?n=y，即可得m+n=?2m?n=4（2）設(shè)x+y2=m，x?y3（3）設(shè)2x5=m，3y5=n，則原方程組可化為，a1m+b1n=（1）設(shè)m+n=x，m?n=y，則原方程組可化為ax+by=6bx+ay=3∵ax+by=6bx+ay=3的解為x=?2∴m+n=?2m?n=4解得m=1n=?3故答案為：m=1n=?3（2）設(shè)x+y2=m，x?y3解得m=4n=0即有x+y2解得x=4y=4即：方程組的解為x=4y=4（3）設(shè)2x5=m，3y5化簡，得a1∵關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b∴m=4n=?3，即有2x解得：x=10y=?5故方程組的解為：x=10y=?5【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解二元一次方程組的知識(shí)，緊密結(jié)合題目給出的示例，合理換元是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）用換元法解方程組5x?6y+1=11x【答案】5u?6v=1【分析】將1x【詳解】解：將1x=u,得：5u?6v=1u+2v=1故答案為：5u?6v=1u+2v=1【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·陜西·西大附中浐灞中學(xué)八年級(jí)期末）解方程組：x+y=22【答案】x=20【分析】把x+y和x?y分別作為整體，然后利用加減消元法解答，即可求解．【詳解】解：x+y=22①由①×4-②得：x?y=18③，由①+③得：2x=40，解得：x=20，把x=20代入③得：20?y=18，解得：y=2，所以原方程組的解為x=20y=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，利用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·北京朝陽·七年級(jí)期末）閱讀下列材料并填空：（1）對(duì)于二元一次方程組4x+3y=54x+3y=36我們可以將x，y的系數(shù)和相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)表4????3????54．從而得到該方程組的解為x=__________y=__________（2）仿照（1）中數(shù)表的書寫格式寫出解方程組2x+3y=6x+y=2【答案】（1）x=6y=10（2）【詳解】試題分析：（1）下行-上行后將下行除以3將y的系數(shù)化為1即可得到方程的解；（2）類比（1）中方法通過加減法將x、y的系數(shù)化為1即可.試題解析：（1）下行?上行

1???????x=6y=10（2）從而得到方程組成的解為x=0y=2．【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問題】【例9】（2022·貴州·銅仁市第十一中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）我們規(guī)定：m表示不超過m的最大整數(shù)，例如：3.1=3，0=0，?3.1=?4，則關(guān)于x和y的二元一次方程組xA．x=3.2，y=0.2 B．x=2.4，y=1.2 C．x=3，y=0.2【答案】C【分析】根據(jù)[m]的意義可得[3.2]=3，[x]和[y]均為整數(shù)，兩方程相減可求出y=0.2，[y]=0，將[y]=0代入第二個(gè)方程可求出x．【詳解】解：x+y=3.2∵[m]表示不超過m的最大整數(shù)，∴[3.2]=3，[x]和[y]均為整數(shù)，∴x為整數(shù)，即[x]=x，∴①－②得：y+[y]=0.2，∴y=0.2，[y]=0，將[y]=0代入②得：x=3，∴x=3y=0.2故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是正確理解[m]的意義．【變式9-1】（2022·江蘇·鹽城市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如果一個(gè)正整數(shù)m=a2-b2(a,b均為正整數(shù)，且a≠b)我們稱這個(gè)數(shù)為“平方差數(shù)”，則a,b為m的一個(gè)平方差分解，規(guī)定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8=a2-b2=(a?b)(a+b)，可得{a+b=8a?b=1或{a+b=4a?b=2【答案】23或27或【分析】根據(jù)題目的例子的形式，對(duì)所給的數(shù)進(jìn)行分解，若算出來的a，b均為正整數(shù)，再求值即可.【詳解】根據(jù)題意，45=3×15=5×9=1×45，由45=a2-b2=（a+b）（a-b），可得{a+b＝15a?b＝3或{a+b＝9∵a和b都為正整數(shù)，解得{a＝9b＝6或{a＝7∴F（45）=23或27或故答案為23或27或【點(diǎn)睛】此題為閱讀材料題，考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和應(yīng)變能力.【變式9-2】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）定義新運(yùn)算∶對(duì)于任何非零實(shí)數(shù)a、b．都有a※b=ax-by．(1)若2※2=-3，求x-y的值；(2)若3※(-2)=3，(-2)※3=8，求x、y的值．【答案】(1)x?y=?(2){【分析】（1）根據(jù)新定義的含義可得2x?2y=?3,從而可得答案；（2）根據(jù)新定義的含義構(gòu)建方程組{3x+2y=3（1）解：∵a※b=ax-by，2※2=-3，∴2x?2y=?3,∴x?y=?（2）∵3※(-2)=3，(-2)※3=8，∴{3x+2y=3整理得：{3x+2y=3①+②得：x+y=?1，y=?x?1③把③代入①得：x=5,把x=5代入②得：y=?6,∴{【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，代數(shù)式的求值，二元一次方程組的解法，理解新定義的含義，構(gòu)建二元一次方程組是解本題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·江蘇南通·七年級(jí)期末）定義：數(shù)對(duì)x,y經(jīng)過一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)x',y'，將該運(yùn)算記作：dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax?by（例如，當(dāng)a=1，b=1時(shí)，d?2,3(1)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，d3,1(2)若d?3,5=?1,9，求a(3)如果組成數(shù)對(duì)x,y的兩個(gè)數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時(shí)，總有dx,y=?x,?y，則a=【答案】(1)7,5；(2)a=?(3)?2【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)新定義運(yùn)算列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（3）根據(jù)題意可得x=3y，然后根據(jù)新定義運(yùn)算列出二元一次方程組，解方程組即可求解．（1）解：依題意，當(dāng)a=2，b=1時(shí)，x∴d3,1=（2）∵d?3,5∴?3a+5b=?1?3a?5b=9解得a=?4∴a和b的值分別為?4（3）∵x?3y=0∴x=3y∴d∴即?3=?3a+b解得a=故答案為：?2【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，二元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】【例10】（2022秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）相傳大禹時(shí)期，洛陽市西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻(xiàn)給大禹，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示，洛書是一個(gè)三階幻方，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等．在圖3的幻方中也有類似于圖1的數(shù)字之和的這個(gè)規(guī)律，則a+b的值為（

）A．2 B．?2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)每一行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，得到a+12+?2=10+4+?2b+12+4=10+4+?2【詳解】解：∵每一行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，∴a+12+?2∴a=2b=?4∴a+b=2+?4故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意求出a、b的值．【變式10-1】（2022春·北京石景山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：序號(hào)123……n方程組{{{方程組解{{{按此規(guī)律，第n個(gè)方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.【答案】{2x+y=2n+1x?2ny=4【詳解】試題分析：仔細(xì)分析所給方程組可得第一個(gè)方程的左邊不變，均為，右邊為從3開始的連續(xù)奇數(shù)，第二個(gè)方程的x項(xiàng)的系數(shù)均為1不變，y項(xiàng)的系數(shù)是從-2開始的連續(xù)負(fù)偶數(shù)，方程組的解中x的值是從2開始的連續(xù)偶數(shù)，y的值是從-1開始的連續(xù)負(fù)奇數(shù)，根據(jù)得到的規(guī)律求解即可.解：由題意得第n個(gè)方程組為{2x+y=2n+1x?2ny=4n考點(diǎn)：找規(guī)律-式子的變化點(diǎn)評(píng)：解答此類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析所給式子的特征得到規(guī)律，再把得到的規(guī)律應(yīng)用于解題.【變式10-2】（2022秋·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的各圖表示由若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n＞1)盆花，每個(gè)圖案花盆的總數(shù)為s．按此規(guī)律推斷，以s，n為未知數(shù)的二元一次方程為______．【答案】s=3(n-1)【詳解】根據(jù)圖片可知：第一圖：有花盆3個(gè)，每條邊有花盆2個(gè)，那么s=3×2-3；第二圖：有花盆6個(gè)，每條邊有花盆3個(gè)，那么s=3×3-3；第三圖：有花盆9個(gè)，每條邊有花盆4個(gè)，那么s=3×4-3；…所以s=3n-3=3（n﹣1）．【點(diǎn)睛】本題要注意給出的圖片中所包含的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律列出方程．【變式10-3】（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，則a+b﹣m＝_____．【答案】﹣7【分析】由表二結(jié)合表一即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三結(jié)合表一即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中設(shè)42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，結(jié)合表一中每個(gè)數(shù)等于其所在的行數(shù)×列式即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，將其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，將a、b、m的值代入a-b+m即可得出結(jié)論．【詳解】表二截取的是其中的一列：上下兩個(gè)數(shù)字的差相等，∴a-15=15-12，解得：a=18；表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個(gè)數(shù)字：右邊一列數(shù)字的差比左邊一列數(shù)字的差大1，∴42-b-1=36-30，解得：b=35；表四截取的是兩行三列的相鄰的六個(gè)數(shù)字：設(shè)42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，則有?xy＝42解得：x＝14y＝3或?∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．∴a+b﹣m=18+35-60=-7．故答案為-7【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，規(guī)律型：數(shù)字變化類，根據(jù)表一中數(shù)的排列特點(diǎn)通過解方程（或方程組）求出a、b、m的值是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】【例11】（2022秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校校考期末）閱讀下列材料，回答問題．對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為Fn．例如n=123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666，因?yàn)?66÷111=6，所以F(1)計(jì)算：F341=，F(xiàn)(2)若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y，1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)，規(guī)定k=Fs?Ft，當(dāng)F【答案】(1)8，13(2)k的最小值為?7【分析】（1）根據(jù)F(n)的定義式，分別將n=341和n=625代入F(n)中，即可求出結(jié)論；（2）由s=100x+32、t=150+y結(jié)合F(s)+F(t)=19，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)“相異數(shù)”的定義結(jié)合F(n)的定義式，即可求出F(s)、F(t)的值，將其代入k=Fs?F【詳解】（1）F(341)=(431+143+314)÷111=8；F(625)=(265+526+652)÷111=13．故答案為：8，13；（2）∵s，t都是“相異數(shù)”，s=100x+32，t=150+y，∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5，F(xiàn)(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6．∵F(t)+F(s)=18，∴x+5+y+6=x+y+11=19，∴x+y=8．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數(shù)，∴x=1y=7或x=2y=6或x=3y=5或x=4y=4或x=5y=3∵s是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3，y≠1，y≠5．∴x=1y=7或x=4y=4或x=5∴Fs=6Ft=13或F∴k=Fs?Ft=6?13=?7或k=Fs?F∴k的最小值為?7．【點(diǎn)睛】本題屬于材料閱讀題，考查代數(shù)以及二元一次方程中不定方程的應(yīng)用，讀懂題干所給的定義和分析解決二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022春·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例如：由2x+3y＝12，得：y=12?2x3=4?23要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x為正數(shù)可知：x所以2x+3y＝12的正整數(shù)解為x=3y=2(1)【類比探究】請(qǐng)根據(jù)材料求出方程3x+2y＝8的正整數(shù)解．(2)【拓展應(yīng)用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規(guī)格的鋼管，在不造成浪費(fèi)的情況下，共有幾種截法？【答案】(1)x=2(2)共有3種截法【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的解得定義求出即可；（2）設(shè)截成2米長的x段，截成3米長的y段，則根據(jù)題意得：2x＋3y＝20，其中x、y均為自然數(shù)，解該二元一次方程即可．【詳解】（1）解：由3x+2y=8，得：y=8?3x2=4?32要使y=4?32x為正整數(shù)，則3從而x=2，代入y=4?3所以方程3x+2y=8的正整數(shù)解為x=2y=1（2）解：設(shè)截成2米長的鋼管x段，3米長的鋼管y段，依題意，得：2x+3y=20，∴x=10?3又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=7y=2，x=4y=4，∴共有3種截法．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)求出特殊解是解此題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022春·重慶·八年級(jí)重慶八中校考期末）閱讀以下材料，并利用材料知識(shí)解決問題．材料一：如果實(shí)數(shù)a，b滿足ab?1=6?2b，那么就稱a和b是一組“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，用有序數(shù)對(duì)a,b表示．例如：由于1×7材料二：任何一個(gè)自然數(shù)M都能分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積：M=A×B，對(duì)于M的所有分解，當(dāng)A?B最小時(shí)，我們稱此分解為M的“和值分解”，并記FM=A+B．例如：對(duì)于18=1×18=2×9=3×6，∵3?6<2?9<(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使得2,m是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”？如果存在，請(qǐng)求解出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)一個(gè)兩位數(shù)N的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，若y,x是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，請(qǐng)求解FN【答案】(1)存在，m=2(2)F(N)的最小值11【分析】（1）根據(jù)“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”列出方程解答便可得出結(jié)論；（2）根據(jù)y,x是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，得y(x-1)=6-2x，再根據(jù)1≤x≤9,0≤y≤9，x、y均為整數(shù)，求得x、y的值，進(jìn)而根據(jù)“和值分解”定義，及公式F(M）=A+B求得F（N)的最小值．（1）存在實(shí)數(shù)m，使得2,m是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，根據(jù)新定義知，2(m-1)=6-2m，解得m=2；（2）∵y,x是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，∴y(x-1)=6-2x，∵一個(gè)兩位數(shù)N的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，∴1≤x≤9,0≤y≤9，x、y均為整數(shù)，∴x=2，y=2或x=3，y=0，∴N=22或30，當(dāng)N=22時(shí)，∵22=1×22=2×11，2?11<∴22=2×11是22的“和值分解”，∴F(N)=2+11=13；當(dāng)N=30時(shí)，∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，5?6<∴30=5×6是30的“和值分解”，∴F(N)=5+6=11；綜上，F(xiàn)(N)的最小值11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，涉及一元一次方程及二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解新定義．【變式11-3】（2022春·重慶大渡口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并根據(jù)材料回答以下問題材料一：一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位均不相等且不等于0，滿足這樣條件的數(shù)叫“無獨(dú)數(shù)”．任選無獨(dú)數(shù)的兩個(gè)數(shù)字，組成六個(gè)新的兩位數(shù)，并把這六個(gè)兩位數(shù)相加得到的和再除以11，得到的結(jié)果記作F(G)．例如：無獨(dú)數(shù)351，得到的六個(gè)兩位數(shù)分別為：35，31，53，51，13，15，則F(351)=35+31+53+51+13+15材料二：一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均為偶數(shù)，且百位數(shù)字最大，稱這樣的三位數(shù)為“有偶數(shù)”．(1)F(256)=______；最小的有偶數(shù)為______；(2)試說明任意一個(gè)無獨(dú)數(shù)m，F(xiàn)(m)的值均能被2整除；(3)若一個(gè)三位數(shù)，，既是無獨(dú)數(shù)，又是有偶數(shù)，且F(n)的結(jié)果為6的倍數(shù)，求滿足條件的所有n．【答案】(1)26；200(2)見解析(3)642，624，864，846【分析】（1）理解無獨(dú)數(shù)的定義，類比示例計(jì)算F（G）．根據(jù)有偶數(shù)的定義找到最小的有偶數(shù)．（2）通過設(shè)出任意一個(gè)無獨(dú)數(shù)的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，計(jì)算F（m）是2的整數(shù)倍，從而說明F（m）能被2整除．（3）根據(jù)無獨(dú)數(shù)和有偶數(shù)的定義，設(shè)出三個(gè)數(shù)位上的偶數(shù)，計(jì)算F（n），找到各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字需要滿足的條件，然后寫出所有的n．(1)由題知，25+26+52+56+62+6511由題知，最小的有偶數(shù)為200．故答案為：26，200．(2)設(shè)任意一個(gè)無獨(dú)數(shù)m=abc（1≤a，b，c≤9且a≠b≠c，a，b，c為整數(shù)），則得到的六個(gè)新兩位數(shù)分別為ab，ac，