數學復習頂層設計配餐作業(yè)函數的單調性與最值

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精配餐作業(yè)(五）函數的單調性與最值(時間：40分鐘)一、選擇題1．下列四個函數中,在區(qū)間（0,1）上是減函數的是()A．y＝log2x B．y＝C．y＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））x D．y＝eq\f（1,x）解析y＝log2x在（0，＋∞)上為增函數；y＝在（0，＋∞)上是增函數；y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））x在（0，＋∞)上是減函數，y＝－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)x在（0，＋∞)上是增函數；y＝eq\f(1，x)在(0，＋∞)上是減函數，故y＝eq\f（1,x)在（0，1）上是減函數。故選D。答案D2．函數f（x）＝log0。5（x＋1）＋log0.5（x－3)的單調遞減區(qū)間是(）A．（3,＋∞) B．(1,＋∞）C．（－∞,1） D．（－∞，－1）解析由已知易得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－3〉0,））即x>3，又0〈0.5<1，∴f（x)在(3,＋∞)上單調遞減。故選A。答案A3．（2016·保定模擬）已知函數f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log2x，x≥1，，x＋c，x〈1，））則“c＝－1”是“函數f(x)在R上遞增”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析當c＝－1時，函數y＝log2x和y＝x＋c均是單調遞增,且1＋c＝log21，所以函數f(x）在R上遞增;當函數f(x)在R上遞增時，c不一定等于－1.故“c＝－1"是“函數f(x）在R上遞增”的充分不必要條件。故選A。答案A4．已知函數y＝log2（ax－1）在(1，2)上單調遞增，則實數a的取值范圍是（)A．(0,1］ B．［1,2]C．[1，＋∞） D．[2，＋∞)解析要使y＝log2(ax－1)在（1，2)上單調遞增，則a>0且a－1≥0，∴a≥1。故選C。答案C5．（2017·杭州模擬）已知減函數f(x）的定義域是實數集R，m，n都是實數。如果不等式f(m)－f(n）>f(－m）－f（－n)成立，那么下列不等式成立的是（)A．m－n〈0 B．m－n>0C．m＋n〈0 D．m＋n>0解析設F(x）＝f(x)－f（－x)，由于f（x)是R上的減函數，∴f(－x）是R上的增函數,－f（－x)是R上的減函數?！喈攎〈n時，有F(m）>F（n)，即f（m）－f（－m）>f（n)－f（－n）成立。因此，當f（m）－f（n)〉f(－m）－f（－n）成立時，不等式m－n<0一定成立，故選A。答案A6．（2016·合肥模擬）設函數f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1，x>0，,0，x＝0,，－1，x〈0，)）g（x）＝x2f(x－1)，則函數g(xA．（－∞，0] B．[0,1）C．［1，＋∞) D．[－1，0]解析由題知，g(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2，x>1,,0，x＝1,,－x2,x〈1，)）可得函數g(x）的單調遞減區(qū)間為[0,1)，故選B.答案B二、填空題7．已知函數f(x）為R上的減函數，若feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(1,x））)))<f（1)，則實數x的取值范圍是________.解析由題意知f(x)為R上的減函數且feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（1,x）））))<f(1），則eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（1，x）））>1,即|x|<1,且x≠0.故－1<x<1且x≠0。答案（－1,0）∪(0,1）8．若函數y＝－|x｜在[a，＋∞)上是減函數，則實數a的取值范圍是________。解析y＝－|x｜在[0，＋∞)上單調遞減,∴a≥0。答案[0，＋∞)9．（2016·廈門質檢)函數f（x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,3)))x－log2（x＋2）在區(qū)間［－1,1]上的最大值為________。解析由于y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3)））x在R上遞減，y＝log2（x＋2）在［－1,1]上遞增,所以f(x）在[－1,1]上單調遞減，故f(x）在[－1,1]上的最大值為f（－1)＝3。答案3三、解答題10．已知f（x)＝eq\f（x，x－a)（x≠a）。(1）若a＝－2，試證明f（x）在(－∞，－2）內單調遞增;（2)若a>0且f(x）在(1，＋∞)上單調遞減，求a的取值范圍。解析（1)證明：任設x1〈x2<－2,則f（x1）－f（x2）＝eq\f(x1,x1＋2）－eq\f(x2，x2＋2)＝eq\f(2x1－x2，x1＋2x2＋2）?！?x1＋2）(x2＋2）〉0,x1－x2<0,∴f（x1）〈f（x2），∴f(x)在（－∞，－2）上單調遞增。（2）任設1〈x1<x2,則f(x1)－f（x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f（x2,x2－a）＝eq\f(ax2－x1，x1－ax2－a)?！遖〉0，x2－x1〉0，∴要使f（x1)－f(x2）>0，只需（x1－a)（x2－a)>0在（1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.綜上所述，a的取值范圍是（0，1］。答案(1）見解析（2）(0，1］11．求下列函數的單調區(qū)間。(1)f(x）＝|x2－4x＋3|；(2)f（x)＝logeq\f(1，2）(－x2＋4x＋5）。解析（1)先作出函數y＝x2－4x＋3的圖象，由于絕對值的作用,把x軸下方的部分翻折到上方，可得函數y＝｜x2－4x＋3|的圖象。如圖所示。由圖可知，f(x)在（－∞，1],［2，3]上為減函數，在[1，2］，［3,＋∞)上為增函數,故f(x）的增區(qū)間為［1,2]，［3，＋∞）,減區(qū)間為(－∞,1]，[2，3]。(2)令u＝－x2＋4x＋5,則f(x）＝logeq\f(1,2）u?！遳>0，∴－1<x<5且x∈（－1，2]時，u為增函數;x∈（2，5)時,u為減函數.又y＝logeq\f（1,2)u在（0，＋∞）上為減函數，據復合函數同增異減，可知f（x)的單調遞增區(qū)間為(2,5）；單調遞減區(qū)間為(－1,2］。答案（1）單調遞增區(qū)間為［1,2］，[3，＋∞），單調遞減區(qū)間為（－∞，1],[2,3]（2)單調遞增區(qū)間為(2，5);單調遞減區(qū)間為(－1,2］12．設函數y＝f(x）是定義在(0,＋∞）上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數x，y，都有f（xy）＝f（x)＋f(y）;②當x>1時,f（x）〈0；③f（3）＝－1.（1）求f(1)，feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，9））)的值；(2）如果不等式f（x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范圍。解析（1)令x＝y(tǒng)＝1易得f（1)＝0。而f（9)＝f（3)＋f（3)＝－1－1＝－2，且f(9）＋feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，9）））＝f（1）＝0,故feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,9)））＝2。（2）設0<x1<x2,則eq\f(x2,x1)>1,feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))〈0,由f（xy)＝f（x）＋f(y）得f（x2)＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x1·\f(x2,x1）)）＝f（x1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x2，x1）)）<f(x1)，所以f（x)是減函數。由條件①及（1)的結果得:f[x(2－x)］〈feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，9）））,其中0〈x<2，由函數f(x)在R上單調遞減,可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－x〉\f(1,9）,，0<x〈2,))由此解得x的取值范圍是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2\r(2),3)，1＋\f(2\r（2)，3）)）。答案(1）f（1）＝0，feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，9)）)＝2(2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（2\r（2），3），1＋\f(2\r（2）,3）））（時間：20分鐘)1．(2016·湖北七校聯(lián)考）已知f（x)是奇函數并且是R上的單調函數,若函數y＝f(2x2＋1)＋f（λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是()A.eq\f(1，4） B.eq\f（1，8)C．－eq\f（7，8) D．－eq\f（3，8)解析令y＝f（2x2＋1)＋f(λ－x)＝0,且f(x)是奇函數，則f(2x2＋1)＝－f（λ－x）＝f（x－λ)，因為f（x）是R上的單調函數，所以2x2＋1＝x－λ有兩個相等實根，即2x2－x＋1＋λ＝0有兩個相等實根，則Δ＝1－8（1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f（7，8)，故選C。答案C2．(2016·湖南四校聯(lián)考）若函數f(x)＝x2＋a｜x－2|在(0，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是________。解析∵f（x）＝x2＋a｜x－2|，∴f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax－2a，x≥2,,x2－ax＋2a，x<2。))又f（x）在(0，＋∞）上單調遞增，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(a,2)≤2，,\f（a,2)≤0））?－4≤a≤0，所以實數a的取值范圍是[－4,0]。答案［－4,0]3．（2016·天津高考）已知f（x)是定義在R上的偶函數,且在區(qū)間（－∞，0)上單調遞增。若實數a滿足f(2｜a－1|）>f（－eq\r(2）)，則a的取值范圍是________。解析因為f（x）是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間（0,＋∞)上單調遞減。又f（2|a－1|）〉f(－eq\r（2）），f(－eq\r（2））＝f(eq\r（2))，故－eq\r(2)<2｜a－1｜〈eq\r(2)，則|a－1|<eq\f（1，2），所以eq\f（1，2）<a〈eq\f(3，2)。答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）,\f(3,2)））4．已知函數f（x)＝lgeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（a，x）－2）），其中a是大于0的常數。（1）求函數f（x）的定義域；（2)當a∈(1,4）時,求函數f(x)在［2，＋∞）上的最小值；（3)若對任意x∈［2，＋∞）恒有f(x）>0，試確定a的取值范圍.解析（1）由x＋eq\f(a，x）－2〉0，得eq\f(x2－2x＋a,x）>0,當a>1時，x2－2x＋a>0恒成立，定義域為（0,＋∞），當a＝1時,定義域為｛x|x>0且x≠1}，當0<a<1時，定義域為｛x｜0〈x〈1－eq\r(1－a）或x〉1＋eq\r(1－a)}。（2)設g(x）＝x＋eq\f(a，x)－2,當a∈(1,4），x∈[2，＋∞）時，g′（x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f（x2－a，x2)>0恒成立,所以g（x）＝x＋eq\f(a，x）－2在[2，＋∞）上是增函數。所以f(x）＝lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(a，x）－2)）在[2,＋∞）上是增函數.所以f（x)＝lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\