2023年湖南省衡陽市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題試卷

2023年湖南省衡陽市初中學(xué)業(yè)水平考試中考數(shù)學(xué)真題試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量、并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家，

若收入500元記作+500元，則支出237元記作（）

A.+237元B.-237元C.0元D.-474元

2.（3分）下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8c加,5cmC.4cm,5cm9

10cmD.4cm,5cm,6cm

3.（3分）下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）

'

E-l-l

=-

Ie_

三

1

1

=

J

4.（3分）作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐

富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識.如圖

是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，其左視圖的大致形狀是（）

5.（3分）計算（gx）的結(jié)果正確的是（）

A.x6B.-x6C.-X5D./

44

6.（3分）據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內(nèi)統(tǒng)計公報，截

至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬.數(shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.7.358x1（）7B.7.358xlO3C.7.358xl04D.7.358xlO6

7.（3分）對于二次根式的乘法運算，一般地，有6.必=J茄.該運算法則成

立的條件是（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.,區(qū)0D.Q20,b20

8.（3分）如圖，在四邊形中,已知/￡>//8c.添加下列條件不能判定四

邊形/8C。是平行四邊形的是（）

C.AB=DCD.NA=NC

9.（3分）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞免同籠，上有三十五頭,

下有九十四足，問雞免各幾何

設(shè)有x只雞，夕只兔，依題意，可列方程組為（）

A.卜+%35x+y=94

B.

[4x+2y=944x+2y=35

C[x+y=35x+y=94

D.

12x+4y=942x+4y=35

10.（3分）某射擊運動隊進(jìn)行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)?/p>

下表.甲、乙兩名選手成績的方差分別記為。和S3則癥和舐的大小關(guān)系是（

測試次數(shù)12345

甲510938

乙86867

A.&>黑B.SHC.琳=5：D.無法確定

11.（3分）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小

于或等于60。”.假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60。，即三個內(nèi)角都大于

60°.”,則三角形的三個內(nèi)角的和大于180。.這與“三角形的內(nèi)角和等于180?！?/p>

這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.上述推

理使用的證明方法是（）

A.反證法B.比較法C.綜合法D.分析法

12.（3分）已知機>〃>0,若關(guān)于x的方程X,+2x-3-加=0的解為q,x,（x,<x2）,

關(guān)于X的方程x2+2x-3-〃=0的解為z，x4a<匕）.則下列結(jié)論正確的是（）

A.》3<±<工2<匕B.x,<x,<x4<x2C.王<丫2<》3<%D.<x,<x2

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點尸（-3,-2）所在象限是第一象限.

14.（3分）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有

任何其他區(qū)別.布袋中的球已經(jīng)攪勻，從布袋中任取1個球，取出紅球的概率

是—.

15.（3分）已知x=5,則代數(shù)式〃——3—的值為_.

x-4f-16

16.（3分）已知關(guān)于x的方程/+,如一20=0的一個根是-4,則它的另一個根

是?

17.（3分）如圖，在R3ABC中，4c8=90。，AC=8,BC=6.以點。為圓心，

r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時，r的值為—.

18.（3分）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3

個正五邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是—.

0

三、解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25

題10分，26題12分，滿分66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.）

19.（6分）計算：|-3|+"+（-2）xl.

20.（6分）解不等式組：節(jié)%會.

2（x+l）<3x@

21.（8分）2023年3月27日是第28個全國中小學(xué)生安全教育日，為提高學(xué)生

安全防范意識和自我防護能力，某學(xué)校舉行了校園安全知識競賽活動.現(xiàn)從八、

九年級中各隨機抽取15名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成

績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，4:60令<70；8:70/<80；

C:80G<90；0:90^100）,并給出下面部分信息：

八年級抽取的學(xué)生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)為：84,84,88

九年級抽取的學(xué)生競賽成績?yōu)椋?8,77,75,100,80,100,82,86,95,91,

100,86,84,94,87.八、九年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率

八87a9860%

九8786bC

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）填空：a=,b=

（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級

參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù).

八年級抽取的學(xué)生競賽成績頻數(shù)分布直方圖

t人數(shù)

6

5

4

3

2

uABCD成績

22.（8分）如圖，正比例函數(shù)＞工的圖象與反比例函數(shù)歹=乜。＞0）的圖象相

3x

交于點A.

（1）求點”的坐標(biāo).

（2）分別以點0、4為圓心，大于?！币话氲拈L為半徑作圓弧，兩弧相交于點8

和點C,作直線8C,交x軸于點。.求線段。。的長.

0D

23.（8分）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高

空測量距離和高度，圓圓要測量教學(xué)樓"的高度，借助無人機設(shè)計了如下測量

方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24石米的C處，遙控?zé)o人機旋停在點。的正

上方的點。處，測得教學(xué)樓”的頂部5處的俯角為30。，CD長為49.6米.已知

目高CE為1.6米.

（1）求教學(xué)樓48的高度.

（2）若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于。1的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前

勻速飛行.求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線”.

飛行方向

24.（8分）如圖，Z8是。。的直徑，ZC是一條弦，。是弧/C的中點，DEL4B

于點￡,交4c于點F,交O。于點，，DB交4c于點G.

(1)求證：AF=DF.

(2)若力尸=2,sinZABD=—,求°。的半徑.

25

25.（10分）［問題探究］

（1）如圖1,在正方形/8C。中，對角線4C、8。相交于點O.在線段4。上任

取一點P（端點除外），連接尸。、PB.

①求證：PD=PB；

②將線段。尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在瓦1的延長線上的點。處.當(dāng)點尸在

線段/。上的位置發(fā)生變化時，乙DP。的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究N0與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

［遷移探究］

（2）如圖2,將正方形"C。換成菱形且N/8C=60。，其他條件不變.試

探究N。與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

26.(12分)如圖，已知拋物線歹=加_2"+3與x軸交于點4(-1,0)和點5,與y軸

交于點C,連接ZC,過8、C兩點作直線.

(1)求a的值.

(2)將直線BC向下平移皿〃〉0)個單位長度，交拋物線于夕、C兩點.在直線

8c上方的拋物線上是否存在定點。，無論用取何值時，都是點。到直線夕C的

距離最大.若存在，請求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)拋物線上是否存在點尸，使/抬。+44。0=45。，若存在，請求出直線8P的

解析式；若不存在，請說明理由.

2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.【解答】解：收入500元記作+500元，則支出237元應(yīng)記作-237元，

故選：B.

2.【解答】解：/、,.?1+2=3,

，長度為1的，2cm,3a〃的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

B、丁3+5=8,

，長度為3c〃z,8cm,5c機的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

C、???4+5<10,

???長度為4C〃7,5cm,10cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

D>4+5>6,

長度為4加，5cm,6CTH的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；

故選：D.

3.【解答】解：A.B,。選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直

線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

。選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，所以是軸對稱圖形；

故選：C.

4.【解答】解：從左邊看，紫砂壺的壺嘴在正中間，只有選項8符合題意.

故選：B.

5.【解答】解：原式=(')2.

244

故選：B.

6.【解答】解：7358萬=73580000=7.358x101

故選：A.

7.【解答】解：對于二次根式的乘法運算，一般地，有=而.該運算法

則成立的條件是a》0,以0,

故選：D.

8.【解答]解：A>因為/O//8C,AD=BC,因此由一組對邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形，能判定四邊形”8是平行四邊形，故/不符合題意；

B、因為4O//BC,AB//DC,因此由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,

能判定四邊形是平行四邊形，故8不符合題意；

C、AB=DC,但力B和CD不一定平行，因此不能判定四邊形48CD是平行四邊

形，故C符合題意；

D、因為/。//8c得至UZADB=ZCBD,又N4=NC,BD=DB,因此

\ABD=\CDB(AAS),得至U4D=C8,能判定四邊形是平行四邊形，故。不

符合題意；

故選：C.

9.【解答】解：由題意可得，

卜+歹=35

[2x+4y=94?

故選：C.

10?【解答】解：圖表數(shù)據(jù)可知，

甲數(shù)據(jù)在3至10之間波動，偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較大；乙數(shù)據(jù)在6至8之間波動，

偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較?。?/p>

即甲的波動性較大，即方差大，

s：,>S3

故選：A.

11?【解答】解：證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60。”.

假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60。，即三個內(nèi)角都大于60。.”，則三角形的

三個內(nèi)角的和大于180。.

這與“三角形的內(nèi)角和等于180?！边@個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有

一個內(nèi)角小于或等于60。，這種證明方法是反證法，

故選：A.

12?【解答】解:關(guān)于x的方程f+2x-3-加=0的解為拋物線y=f+2x-3與直線

y=〃?的交點的橫坐標(biāo),

關(guān)于x的方程x2+2x-3i=0的解為拋物線N=/+2X_3與直線y=〃的交點的橫

坐標(biāo),

故選：B.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)

13.【解答】解：點尸(-3,-2)在第三象限,

故答案為：三.

14?【解答】解：?.?一個布袋中放著3個紅球和9個黑球,

二從布袋中任取I個球，取出紅球的概率是捻j

故答案為：

4

3x+1224

15?【解答】解：原式=

(x+4)(x—4)(x+4)(x-4)

312

(x+4)(x-4)

3(1)

(x+4)(x-4)

3

x+4

當(dāng)X=5時，原式=—-—=—r

5+43

故答案為：--

3

16?【解答】解：設(shè)方程的另一個解為/,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得-4f=-20,

解得t=5,

即方程的另一個根為5.

故答案為：5.

17.【解答】解：設(shè)。C與48所在的直線相切，切點為點。，連接CD,

???C。是。C的半徑，48與。C相切于點。，

AB1CD,

???ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=y/AC2+BC2=A/82+62=10,

-ABCD=-ACBC=S.loli,

22"IUB

-xl0CD=-x8x6,

22

解得CD=g,

18?【解答】解：?.?多邊形是正五邊形，

正五邊形的每一個內(nèi)角為：1xl80°x(5-2)=108°,

Z0=180°-(180°-108°)x2=36°,

正五邊形的個數(shù)是360。+36。=10.

故答案為：10.

三、解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25

題10分，26題12分，滿分66分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.）

19.【解答］解：原式=3+2+（-2）

=3+2-2

x-4@①

20.【解答】解:

2（x+l）＜3x②

解不等式①得：試4,

解不等式②得：x>2,

.?.原不等式組的解集為：2<運4.

21?【解答】解：（1）八年級的競賽成績從小到大排列后，處在中間位置的一個

數(shù)是84,因此中位數(shù)是84,即“=84；

九年級的競賽成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是100,共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是100,即6=100；

九年級的競賽成績中80分及以上的共有12人，因此優(yōu)秀率為100%=80%,

即c=80%;

故答案為：84,100,80%；

（2）500x-6-6-=200（人），

答：估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)約

200人.

22?【解答】解：（1）解方程組

.?.點Z的坐標(biāo)為（3,4）；

（2）設(shè)點。的坐標(biāo)為（x,0）.

由題意可知，8c是04的垂直平分線,

AD=0D,

：.（x-3）2+42=%2,

x=—，

2525

￡>（y,0）,O￡）=y.

23.【解答】解：（1）過點8作于點M,則NZMM=NBZW30°,

在RtABDMC^,BA/=/C=24b米,ZDBM=30°,

:.DM=BM-tanZDBM=24瓜與=24（米），

AB=CM=CD-DM=49.6-24=25.6（米）.

答：教學(xué)樓Z8的高度為25.6米；

（2）延長E8交。N于點G,則乙DGE=NA/BE,

CA

在RtAEMB1^,8M=4C=24VJ米,EM=CM-CE=24米,

EM24_

/.tan4MBE=

BM-24百一3

z./MBE=30°=/DGE,

???NEDG=90°,

Z￡>￡G=90°=30°=60°,

在RtAEDG中，￡D=CE-C￡=48米，

￡?G=￡Dtan60°=48V3（米），

48行+46=12（秒），

，經(jīng)過12秒時，無人機剛好離開了小明的視線.

24.【解答】（1）證明：?.?。是弧我的中點，

/.AD=CD,

vAB1DH9且是。。的直徑，

AD=AH,

CD=AH9

NADH=Z.CAD,

AF=DF.

(2)解：???力8是。0的直徑，

???乙WB=90°,

NDAB+N8=90°,

???ZDAE+ZADE=90°,

:?NADE=NB,

sin/ADE=,

5

tan/ADE=一,

2

設(shè)/E=x,則?！?2x,

???DF=AF=~,

2

:.EF=2x--,

2

?/AE2+EF2=AF2,

..x=2，

AJTr—

.?.AD=-------------=2亞,

sinZADE

4D

/.AB=--------,

sin/8

AB=10,

OO的半徑為5.

25?【解答】(1)①證明：???四邊形/8CD是正方形,

CD=CB,Z.DCA=NBCA=45°

???CP=CP,

\DCP?bBCP,

...PD=PB；

②解：/。尸。的大小不發(fā)生變化，NDPQ=9。。;

理由：作PN1AD,垂足分別為點"、N,如圖,

???四邊形43CQ是正方形，

...NDAC=Z.BAC=45°,/DAB=90°,

.??四邊形4MPN是矩形，PM=PN,

/.ZMPN=90°

???PD=PQ,PM=PN,

RtADPN=RtAQPM(HL),

ZDPN=ZQPM,

,/QPN+/QPM=90。

ZQPN+/DPN=90°,即ZDPQ=90°;

③解：AQ=42OP;

理由：作PEL4。交于點E,作物，04于點尸，如圖,

???四邊形是正方形，

??.ABAC=45°,ZAOB=90°,

.?.4EP=45。，四邊形OPE/7是矩形,

NPAE=NPEA=45°,EF=OP,

PA=PE,

?;PD=PB，PD=PQ，

PQ=PB,

作于點M,

則QM=BM,AM=EM,

AQ=BE,

???NEFB=90°,ZEBF=45°,

:.AQ=42OP;

(2)解：AQ=CP；

理由：四邊形MCC是菱形，ZABC=60°,

AB=BC,AC1BD,DO=BO,

.,.A/l8c是等邊三角形，ZC垂直平分8。，

ABAC=60°,PD=PB,

?：PD=PQ,

PQ=PB,

作PE//BC交AB于點E,EG///C交8c于點G,如圖,

則四邊形PEGC是平行四邊形，2GEB=ABAC=60°,乙4EP=NABC=60°,

EG=PC,&4PE,A8EG都是等邊三角形，

BE=EG=PC,

作于點則AM=EM,

QA=BE9

:.AQ=CP.

26.【解答】解：(1)?.■拋物線產(chǎn)亦2_2ax+3與x軸交于點義-1,0),

。+2。+3=0，

:.a=-1?

(2)存在定點。，無論加取何值時，都是點。到直線的距離最大.

,/y=-x2+2x+3,

當(dāng)x=0時，y=39

C(0,3),

當(dāng)y=0時，一/+2工+3=0,

解得：X,=-1,*2=3，

8(3,0),

設(shè)直線5c的解析式為y=b+6,則產(chǎn)二'=°,

[b=3

解得：

[6=3

二.直線BC的解析式為尸-x+3,

???將直線8c向下平移制加＞0)個單位長度，交拋物線于夕、。兩點，

二.直線BC的解析式為y=-x+3-機，

設(shè)+2/+3)1

過點。作。E//y軸，交夕。于點E,作。尸J.8C于點尸，設(shè)直線8G交y軸于點

G,如圖，

+3—/w)9

DE=—t~+21+3—(T+3-/H)=—t~+3,+m,

???。6=。。=3,ZBOC=90°,

N8CO=NG5O=45。，

???BfCI/BC，

ZB，GO=ZBCO=45°,

???￡)￡//y軸，