2023-2024學(xué)年廣東高二年級(jí)下冊(cè)3月月考 數(shù)學(xué) （含答案）

2023-2024學(xué)年廣東高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題（共40分）

1,已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和若。2+%+%4+%5=40,則S|6=（）

A.150B.160C.170D.與《和

公差有關(guān)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得4+q6,代入等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式計(jì)算結(jié)果即可.

【詳解】解：因?yàn)椋?,｝是等差數(shù)列，所以。2+/+04+。15=2（q+46）=40，

所以6+《6=20,所以s，=型叱匈=吆型=160

~2

故選：B

2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()

A.(sinx)=-cosx

Z1v1

C.(log2x)=——

x-in2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于A,（sinx）'=cosx，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,（3x）'=31n3，故B錯(cuò)；

對(duì)于C,（log2x）=-----,故C正確；

xln2

對(duì)于D,（工）L,故D錯(cuò).

故選：C.

3.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，若4%=9,則（q%）2-&=（）

A.6B.12C.56D.78

【正確答案】D

【分析】直接利用等比中項(xiàng)即可求出應(yīng)和6%的值，代入計(jì)算即可.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知=%%=9,4：=。3。5=9>

又因?yàn)椋?｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，

所以。4=3,所以）~—。4=78.

故選：D.

4.過(guò)曲線S：y=3x-x3上一點(diǎn)〃（2,-2）的切線方程為（）

A.9x—y—16=0或y=—2B,9x+y—16=0

C.9x+y—16=0或y=—2D,9x—y—16=0

【正確答案】C

【分析】當(dāng)/為切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程；當(dāng)/

不是切點(diǎn)，根據(jù)曲線的極值情況，即可寫出切線方程.

【詳解】由題設(shè)，y=3-3x2,則（―,一1）、（i,+8）上v<o,（-i,i）±y>o,

所以夕在（一8,-1）、（1,+8）上遞減，（-1,1）上遞增，則極小值為川工=_|=一2,極大值為

兒=尸2,

若“是切點(diǎn)，則了二2=一9,此時(shí)切線方程為y+2=-9（x-2）,即9x+y-16=0,

若“不是切點(diǎn)，則過(guò)“（2,-2）的切線為y=-2.

故選：C

5.函數(shù)/（x）==的大致圖像為（）

【正確答案】B

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，判斷單調(diào)性；另一方面，當(dāng)x>0,x<0時(shí)，從

函數(shù)值的正負(fù)性加以判斷，最后選出答案.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椴凡饭?},

當(dāng)X>1時(shí)，/'(X)〉O,所以/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<l或x<0時(shí)，f'(x)<0,所以/(x)在(-00,0)和(0,1)上單調(diào)遞減,

顯然當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0.

故選：B.

,1(1y-91

6.已知a=sin§,/?=!-I,c=—log279,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.

c<a<b

【正確答案】A

【分析】化簡(jiǎn)得c=；,構(gòu)造函數(shù)/(x)=sinx—x,xe(0,5｝通過(guò)導(dǎo)數(shù)可證得

sinx<x,xe(0，T),可得a<c,而>；=c，從而可得答案.

1,1lg9121g3

【詳解】。=5*9M=于西=于而

3

設(shè)/(x)=sinx-x,xG[0,^-j,則有//(x)=cosx-l<0,/(》)單調(diào)遞減,

從而/(x)</(0)=°，所以sinx<x,x￡(0,1'，故sin1L,即a<c,

33

(11

而6=—>—=C，故有力.

⑴3

故選：A.

7.如圖，正方形488的邊長(zhǎng)為5,取正方形力88各邊的中點(diǎn)E,F,G,，，作第

2個(gè)正方形EFGH,然后再取正方形EFG"各邊的中點(diǎn)/,J,K,L,作第3個(gè)正方

形IJKL,依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形Z3C。開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和等

【分析】將正方形面積按作法次序排成一列得數(shù)列｛%｝,再確定該數(shù)列為等比數(shù)列，借助

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.

【詳解】依題意，將正方形面積按作法次序排成一列得數(shù)列｛4｝，6=25,

因?yàn)楹笠粋€(gè)正方形邊長(zhǎng)是相鄰前一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的也，因此4即數(shù)列｛4｝是

22

等比數(shù)列，公比[=；，

所以前10個(gè)正方形的面積之和So=叫二'2=--------_=50[1-（-）10].

1-41-12

2

故選：A

8.已知函數(shù)/（X）是定義在（一卜，0）（0,+）的奇函數(shù)，當(dāng)XG（0,+8）時(shí)，

礦（x）＜/（x）,則不等式歹（27）+（工一2）〃5）＜0的解集為（）

A.（-8,-3）U（3,+8）B.（-3,0）U（0,3）

C.（一3,0）c/（0,7）D.（力,一3）口（2,7）

【正確答案】D

【分析】令g（X）=4D,由題意可得g（x）=/3為定義域上的偶函數(shù)，且在（一8,0）上

單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減；分2-x〉0與2-x<0兩類討論，將不等式

y（2-x）+（x-2）/（5）<0等價(jià)轉(zhuǎn)化為g（2-x）<g（5）與g（2-x）>g（-5）,分別解之即

可.

【詳解】令g（x）=/（D，

X

;當(dāng)xe（0,+8）時(shí)，/

.?.當(dāng)XG（0,+8）時(shí)，g[x）=7（x）；/（x）〈0,

；.g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

又/（X）為（-卜，0）（0，+）的奇函數(shù)，

:.g（一x）=""）=/（，）='（x）=g（X），即g（x）為偶函數(shù)，

-X-XX

??.g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增；

又由不等式》（2-力+（%-2）/（5）<0得9（2-力<（2-0/⑸,

當(dāng)2—x>0,即x<2時(shí)，不等式可化為/色一》）<￡包,即g（2—x）<g⑸，

2-x5

由g（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞減得2-介5,解得x<-3,故x<—3；

當(dāng)2-x<0,即x>2時(shí)，不等式可化為,（2一三）>/包,即8但-力行⑸二8（-5）,

2-x5

由g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增得2-%>-5,解得x<7,故2<x<7；

綜上所述，不等式y(tǒng)（2-x）+（x-2）/（5）<0的解集為:S，-3）.（2,7）.

故選：D.

二、多選題（共20分）

9.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“=〃2—10〃，則下列結(jié)論正確的有（）

A.｛&｝是遞減數(shù)列B.a6>0

CS”>0D,當(dāng)S,最小時(shí)，〃=5

【正確答案】BCD

【分析】由數(shù)列前〃項(xiàng)和為S“=〃2一]0〃，可求數(shù)列通項(xiàng)，然后逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).

2

【詳解】Sn=/?-10/?,當(dāng)〃=1時(shí)，q=S[=1-10=-9；

當(dāng)〃22時(shí)，/=S“一S,”=(〃2-10?)-[(〃—Ip-10(〃—1)]=2〃—11

注意到〃=1時(shí)也滿足q=2x1-11,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2〃-11,〃eN*，

a“+「a”=2,｛4｝是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a6=2x6-ll=l>0,B選項(xiàng)正確；

ll(q+qj=〉0,c選項(xiàng)正確；

"26

Sa=-10〃=(〃-5)~-25,?eN*>當(dāng)S”最小時(shí)，〃=5,D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

10.己知函數(shù)/(》)=/+3/-98-10,下列結(jié)論中正確的是()

A.x=l是/(x)的極小值點(diǎn)

B./(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.曲線y=/")與直線》=一12》一11只有一個(gè)公共點(diǎn)

D,函數(shù)歹=/(x-l)為奇函數(shù)

【正確答案】ABC

【分析】對(duì)于A,利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極小值點(diǎn)的定義，可得答案；

對(duì)于B,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)切線的求解方程，利用導(dǎo)數(shù)檢測(cè)，可得直線為函數(shù)的切線，結(jié)合圖象，可得答

案；

對(duì)于D,整理函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義，可得答案.

【詳解】由函數(shù)/(8)=1+3--9》一10,則求導(dǎo)可得

/1x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-l),

令/'(x)=0,解得x=-3或1，可得下表：

X(-00,-3)-3(T1)1(L+8)

小)+0—0+

/(x)極大值極小值/

則x=l是/(x)的極小值點(diǎn)，故A正確；

/(x)極大=/(-3)=(一3丫+3x(—3)2—9x(—3)—1。=17,

/(x)極小=/⑴=F+3xF-9xlT0=-15,

由/(-5)=(-5)3+3X(-5)2-9X(-5)-10=-15,/(3)=33+3x32-9x3-10=17,

顯然函數(shù)/(x)在(-5,-3),(-3,1),(1,3)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)〃x)存在三個(gè)零點(diǎn),

故B正確；

y_+312____9丫_]0

聯(lián)立『二T2x—i；一，消去V可得/+3/+3工+1=0,化簡(jiǎn)可得(x+l)3=0,

則該方程組存在唯一實(shí)根x=-l,故C正確；

令g(x)=/(x-l)=(x-l)3+3(x-l)2-9(x-l)-10-12x+l)

g(—x)=-x3+12x+l*—g(x),故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,=5臺(tái)1(〃eN+),則()

A.|-5-+3|為等比數(shù)列B.｛%｝的通項(xiàng)公式為%

ci..2-3

c{4}為遞增數(shù)列D.?一，的前n項(xiàng)和

7；,=2,,+2-3/I-4

【正確答案】AD

12+342、1(1)

【詳解】因?yàn)椤?------=—+3,所以——+3=2—+3,

aaaa

n+\nnn+\>

又上+3=4*0,所以|-!-+3］是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

%1%J

即-L+3=4X2"T,所以」_=2曲一3,所以%=i+：■,，

%%2"+1-3

所以｛4｝為遞減數(shù)列，

<—>的前n項(xiàng)和

7；,=(22-3)+(23-3)+---+(2n+l-3)=2(2'+22+---+2rt)-

1_2〃

3〃=2x2x------3〃=2"+2一3〃-4.

1-2

故選：AD.

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)“X)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為了'(X)和g'(x).若

/(x)—g(4r)=2,g(x)=/'(x—2),且〃x+2)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確

的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱B.g(3)+g(5)=-4

20232023

c.￡f(k)=oD.(左)=0

"1k=\

【正確答案】BC

【分析】由g'(x)=/'(x-2)得g(x)=/、(x-2)+a,結(jié)合/(x)-g(4-x)=2得

/(x)=/(2-x)+a+2,即可令X=1求得a=-2.

對(duì)A,由/(x)=/(2-x)可判斷其對(duì)稱性；

對(duì)C,由7(x+2)為奇函數(shù)可得y=/(x)的周期、對(duì)稱性及特殊值，從而化簡(jiǎn)；

對(duì)BD,由g(x)=/(x-2)-2,結(jié)合C即可判斷.

【詳解】對(duì)A,；g'(x)=/'(x-2),則g(x)=/、(x-2)+a,貝ijg(4-x)=/(2-x)+a,

又/(x)—g(4-x)=2,所以/(x)=/(2—x)+a+2,令x=l,可得a+2=0,即a=-2.

所以/(x)=/(2-x),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，A錯(cuò)；

對(duì)CJ."(x+2)為奇函數(shù)，則y=/(x)圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱，且〃2+x)+/(2—x)=0,

.?./(0)=0,/(2)=0,/(1)+/(3)=0,/(4)+/(0)=0,/./(4)=0.

又仆+2)=-/(-》+2)=-/'(*),/(x)=-/(x+2)=/(x+4),y=/(x)的

周期7=4，

2023

.?.Z/⑻=505[/⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/⑴+/(2)+/(3)=0,C對(duì)；

"1

對(duì)B,g(x)=/(x-2)-2,則g(x)是周期7=4的函數(shù)

g(3)+g(5)=〃l)-2+〃3)-2_B對(duì);

對(duì)D,

20232023

Eg/)=/(-1)-2+/(0)-2+./(1)-2+...+,/-(2021)—2=￡f(k)—2x2023=-4046

4=1k=\

,D錯(cuò).

故選：BC.

三、填空題(共20分)

13.已知函數(shù)/(x)=sin2x-/'(￡-cosx,則/'([)=.

【正確答案】2

【分析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得/'(x)=2cos2x+/[[)sinx,令》=看，得到方程，解出即

可.

【詳解】/'(x)=2cos2x+./'(￡卜inx,令x=￡,

則/阪=2吟+/用si哈即川滬+“，1)

解得=2

故2.

14.數(shù)列｛《,｝滿足4+爭(zhēng)及+…+含=3向，則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為.

9,〃二1

【正確答案】4=

6,?>2

【分析】利用退一相減法可得引，進(jìn)而可得｛為｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，有q=32=9,

當(dāng)〃22時(shí)，<2|++—7H-----Fa，'~\=3",

12222"~2

*出*。3*,an-\,an-]〃+1

12222"-22"~'

兩式相減有4=2x3",所以有%=6",

2"T

由于％=9不符合通項(xiàng)公式，

9,〃=1

所以。“=

6\/?>2

I9,Z7=1

故答案為6”22

15.已知數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和S.=12/7-M2,數(shù)列｛|。1｝的前〃項(xiàng)和為北，則

\2n-n2,n<6

【正確答案】

n2-12〃+72,〃>7

[分析]首先求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再分〃W6和〃27兩種情況討論數(shù)列｛|為1｝的前〃項(xiàng)

和.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，q=E=12-1=11

當(dāng)〃22時(shí)，a“=S「Si=12〃—〃2_[i2(〃—l)—(〃—l)[=—2〃+13,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=-2+13=11,成立，

所以%=13-2〃,

當(dāng)時(shí)，4>0,

Tn=|(2||+|%|+…+|。〃|=%+%+.??+Q〃

2

=Sf]=12n—n,

當(dāng)〃之7時(shí),

T”引力+同+…+同+同+…+㈤

=+%+.??+%—。7-%一…一a”

=06-(%+…+?！?=Sf-(S”-)=2S6-Sn

=1-12〃+72

"2

所以數(shù)列｛同｝的前"項(xiàng)和Tn=<“2：：—+箸〃>7■

[12〃一n<6

故4

n2-12/7+72,//>7

16.設(shè)函數(shù)/(x)=alnx-bx2G>0).當(dāng)b=o時(shí)，若不等式/(%)2加+工對(duì)所有的

3一

aw0,-,xw(l,e[都成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【正確答案】(一咫―e?].

【分析】利用分離參數(shù)法得到mWalnx—x對(duì)所有的的aw0,|,xe（l.e?］都成立.利用

單調(diào)性求出最小值為七？，即可求解.

【詳解】當(dāng)6=0時(shí)，/（x）=alnx.

q—

若不等式/（x）N掰+x對(duì)所有的ae0,-,xe（l,e2］都成立，則加—x對(duì)所有的

QE0,-,xw（l,e1都成立.

令〃（a）=〃lnx-x,〃（4）為一次函數(shù).

「3-

因?yàn)閤e（l,e］，所以lnx〉0,所以〃（。）在ae0,-上單調(diào)遞增，

所以"（a）min=M°）=T.

因?yàn)閤e（l,e2］,從而加4（一彳人=-/.

故（-e,-e2］

四、解答題（共70分）

17.己知等差數(shù)列｛%｝的公差為d（dwO）,前〃項(xiàng)和為S,,且滿足（從

①￥0=5（%。+1）；②q,a2,4成等比數(shù)列；③項(xiàng)=35這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到題

干中的橫線位置，并根據(jù)你的選擇解決問(wèn)題）.

（1）求見;

（2）設(shè)4=-----,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為求［.

anan+\

【正確答案】⑴an=3n-2

3/7+1

【分析】（1）由①可得。1=1,由②可得1=3%,由③可得%=%+2d=7,選擇①②、

①③、②③條件組合，均得q=l,d=3,即得解析式；

（2）可得"J二一丁二］,由裂項(xiàng)相消法求出7；即可.

313〃一23〃+1）

【小問(wèn)1詳解】

［0x9

①由do=5（%0+1）,得10q+—^—4=5（%+91+1）,即q=l；

②由q,a2,4成等比數(shù)列，得a：+2qd+d2=.+5/d,即d=3q；

③由Ss=35,得§色士）=5%=35,即/=%+2d=7；

2

選擇①②、①③、②③條件組合，均得％=1,d=3,

故a”=1+3（〃-1）=3〃-2.

【小問(wèn)2詳解】

b—______!_______IO_______

"ana?+1（3〃—2）（3〃+l）3（3〃—23/7+1）

；,T,,=A+4+4+???+〃

~3

3?+lJ3?+l.

18.已知x=l是函數(shù)/（》）=」/+（4+1）-—（“2+4-3）x的極值點(diǎn)，則:

（1）求實(shí)數(shù)。的值.

（2）求函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,3］上的最值.

【正確答案】（1）。=3；

（2）/⑺在［0,3］上的最小值為一3,最大值為18.

【分析】（1）由/'（1）=0求得a的值;

(2)結(jié)合函數(shù)/(x)的單調(diào)性來(lái)求得函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,3］上的最值.

【小問(wèn)1詳解】

=x2+2((/+l)x-(a2+tz-3),

由題意知/'(1)=1+2(4+1)-(“2+。-3)=0,

Q=3或Q=-2,

〃=3時(shí)，/1x)=x~+8x—9=(x+9)(x—1),

當(dāng)x<-9時(shí)，/取)>0,函數(shù)/⑺在(9,-9)上單調(diào)遞增,

當(dāng)一9<%<1時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)在(一9,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x〉l時(shí)，/心)>0,函數(shù)/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以x=l為函數(shù)的極值點(diǎn)，滿足要求；

4=—2時(shí)，/'(尤)=X?—2x+］=(X—1)-,

因?yàn)開f(x)NO,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，/,(x)=0,

所以函數(shù)/(x)在(—8,+8)上單調(diào)遞增，

X=1不是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，不符合題意.

則4=3.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知/(X)=#+4X2-9X,且/(x)在［0,1］單調(diào)遞減，在［1,3］單調(diào)遞增，

14

又/(0)=0,/⑴=一不，"3)=18,

則/"“==，小)而=18.

19.記數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S,,對(duì)任意正整數(shù)“，有2S”=〃a“，且s=3.

(1)求數(shù)列｛劣｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)所有正整數(shù)機(jī)，若以<2”(以+i,則在以和以+i兩項(xiàng)中插入2%由此得到一個(gè)新數(shù)

列｛兒｝,求｛兒｝的前40項(xiàng)和.

【正確答案】(1)4=3(〃-1)

(2)1809

【分析】(1)由勾=s?-Si(〃>2)得出數(shù)列｛%｝的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通項(xiàng)明；

6

(2)考慮到26<%o<27,a34=99>2,從而確定也｝的前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來(lái)自｛4｝,

其他6項(xiàng)由2〃組成，由此分組求和.

【小問(wèn)1詳解】

由2S“=〃a“，則2S.+]=(〃+1)%+1，兩式相減得：2%+]+

整理得：(〃一l)a“+i=〃?！?，即〃22時(shí),%_n

冊(cè)〃T

所以“22時(shí)，?=2?一a,n-\

一%二——-合?????2(i)

a2n-2

又〃=1時(shí)，2q=%,得q=0,也滿足上式.

故a“=3(〃-1).

【小問(wèn)2詳解】

由&0=117.所以2。<。40<2,,

又％4=99>26,所以｛瓦｝前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來(lái)自｛4｝.

故4+%+…+/>4()=(4+%+…+%4)+(2]+2~+…+26)

34(q+%4)2(2<，-1)

=_LJ_----)_=1683+126=1809.

22-1

20.已知函數(shù)/(x)=e'-ax-l.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

【正確答案】(1)答案見解析；

(2)0<〃<1或4>1.

【分析】(1)根據(jù)題意，分和?！?兩種情況討論求解即可;

(2)分別討論aKO,。=1,。>1,0<。<1，由/(x)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)

即可.

【小問(wèn)1詳解】

/'(x)=e'-a，

aWO時(shí)，*(x)>0恒成立，/(x)在R上是增函數(shù)：

a〉0時(shí)，x<lna時(shí),/,(x)<0,/.(x)是減函數(shù)，x〉lna時(shí)，/(x)是增函

數(shù)，

綜上，aWO時(shí)，/(X)在R上是增函數(shù)，。>0時(shí)，/(x)在(—8,Ina)上是減函數(shù)，在

(Ina,+oo)上是增函數(shù).

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)aWO時(shí)，由(1)得/(x)在R上是增函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由(1)得/(x)2/(lna)=a-alna-l.

①當(dāng)lna=O=>a=l時(shí)，/(lna)=/(O)=O,/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)lna>Ona>l時(shí),/(lna)</(0)=0,故/'(x)在(-oo,lna)有一個(gè)零點(diǎn),

又/(x)在(Ina,+8)上是增函數(shù)，

設(shè)g(a)=/(a)=e"-a?-1,〃⑷=g<a)=e"-2a,=e"-2>/⑴〉0,

g'(a)在(1,+℃)單調(diào)遞增，g'(a)>g'⑴>。，

；.g⑷在(L+oo)單調(diào)遞增,/(a)=g(a)>g(l)>0,

設(shè)〃?(x)=xTnx,由加'(x)=l-一知,當(dāng)xe(O,l),M(x)<0,加(x)單調(diào)遞減；當(dāng)

xe(l,+oo),m(x)>0,單調(diào)遞增，

/.7?(x)=x-lnx>m(l)=l=>x>lnx,即a>Ina,

故/(x)在(lna,+oo)有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)lna<O=>O<a<l時(shí)，/(Ina)</(0)=0,故(Ina,+oo)有一個(gè)零點(diǎn)，

又/(x)在(HQ/na)上是減函數(shù)，工］=屋，>0,由②得

—>In—=>——<-ln—=Ina,

aaaa

故/(x)在(80,Ina)有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上，a的取值范圍是0<〃<1或a>1.

方法點(diǎn)睛：1.零點(diǎn)個(gè)數(shù)可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理判斷；

2.對(duì)于含參函數(shù)，難點(diǎn)在于找到合適的自變量滿足零點(diǎn)存在定理，本題中可根據(jù)函數(shù)形式,

構(gòu)造函數(shù)說(shuō)明a〉l時(shí)，/(a)>0及a〉Ina；0<”1時(shí)，一"^]〉0及一，<lna.

21.對(duì)于數(shù)列4=(〃+1)2",〃eN*，的前〃項(xiàng)和，在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察

的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于此類“等差x等比數(shù)列”，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解，以下是她的思

考過(guò)程：

111

①為什么—/~八=------；可以裂項(xiàng)相消？是因?yàn)榇藬?shù)列的第〃，〃+i項(xiàng)有一定關(guān)系，

+nH+1

即第〃項(xiàng)的后一部分與第w+1項(xiàng)的前一部分和為零

②不妨將a“=(〃+l)2",〃eN*也轉(zhuǎn)化成第〃，〃+1項(xiàng)有一定關(guān)系的數(shù)列，因?yàn)橄禂?shù)不確

定，所以運(yùn)用待定系數(shù)法可得a,=(p〃+q)2"—[p(〃+l)+q]2"T=(〃+l)2",通過(guò)化簡(jiǎn)

左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即可確定系數(shù)

③將數(shù)列%=(〃+1)2",〃w]<表示成(=(2〃+。2"-[「(〃+1)+42川形式,然后

運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”即可！

聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚(yáng)了她的創(chuàng)新意識(shí)，但也同時(shí)強(qiáng)調(diào)一定要將基礎(chǔ)

的“錯(cuò)位相減法”掌握.

(1)(鞏固基礎(chǔ))請(qǐng)你幫助小周同學(xué)，用“錯(cuò)位相減法”求｛4｝的前“項(xiàng)和S,,；

(2)(創(chuàng)新意識(shí))請(qǐng)你參考小周同學(xué)的思考過(guò)程，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”求｛4｝的前〃項(xiàng)和S“.

n+l

【正確答案】(1)SN=n-2

n+i

(2)Sn=n-2

【分析】(1)直接根據(jù)錯(cuò)位相減法的解題步驟求解求｛%｝的前〃項(xiàng)和S“即可;

⑵根據(jù)裂項(xiàng)法，設(shè)4“=(p〃+q)2"-[p(〃+l)+q]2"+i,結(jié)合已知比較系數(shù)求得P，4,

再代入Sn=a}+a2+a3+---+an,即可求得Sn.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=("+1)2"

所以S“=%+4+%+…+—2x2'+3x2~+4x2,H---F(〃+1)2"①)

則2s“=2X22+3X23+4X24+?一+(〃+1)2"+I②

所以①-②得：

,2)〃+1

-5?=2X2'+(22+23+---+2),)-(M+1)2H41=4+—二-----("+1)2"“=—〃?2”也

1—2

所以S,,=〃-2m；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?=(〃+1)2"，設(shè)

=(p〃+q)2"-[。(〃+1)+夕]2"+|=(-川-4-22)2",

__D-]D~~~]

比較系數(shù)得：-,，得《二，所以凡=(一〃+1)2"—(-〃”"I

-q-2p-\[q-1

所以

223,,+l,,+>

Sn=a{+a2+a3+---+an=0x2'-(-l)x2+(-l)x2-(-2)x2+---+(-M+1)2"-(-rt)2=n-2

2

22.已知函數(shù)/(x)=—+lnx.

(1)求出/(x)的極值點(diǎn)；

(