大學高等數(shù)學知識點

大學高等數(shù)學知識點整理

公式，用法合集

極限與連續(xù)

一.數(shù)列函數(shù)：

1.類型：

⑴數(shù)列：*%=/（?）；*an+i=/（??）

（2）初等函數(shù)：

（3）分段函數(shù)：*;*;*

⑷復(fù)合（含/）函數(shù)：y=/（“）,”=奴幻

（5）隱式（方程）：F（x,y）=0

（6）參式（數(shù)一，二）：

⑺變限積分函數(shù)：/（X）=[/（X/）力

（8）級數(shù)和函數(shù)（數(shù)一,三）：

2.特征（幾何）：

（1）單調(diào)性與有界性（判別）；（/（X）單調(diào)

0V%,（x-x（））（/（x）-/（%））定號）

（2）奇偶性與周期性（應(yīng)用）.

3.反函數(shù)與直接函數(shù)：y=/(x)<^>x=f'(y)y=f'(x)

二.極限性質(zhì)：

1.類型:*limo〃；*lim/(x)(含x—>zbx))；*lim/(x)(含x—>x^)

W—>00x—><X5XT%)

2.無窮小與無窮大(注：無窮量)：

3.未定型：10°,00-00,0.00,0°,00°

000

4.性質(zhì)：*有界性，*保號性，*歸并性

三.常用結(jié)論：

2\_

nn—>1,an(a>0)f1,(an+bn+c")〃—>max(a,瓦c),

,limxv=1,,,

limxlnwx=0,

四.必備公式：

1.等價無窮?。寒敃r,

sinu(x)u(x)；tanu(x)u(x)；；

el,(x)-1u(x)；ln(l+u(x))u(x)；(1+w(x))a-1au(x)；

arcsinu(x)〃(x)；arctanw(x)w(x)

2.泰勒公式：

(1)ex=l+%+—x2+?(x2)；

2!

(2)ln(l+x)-x——x2+o(x2)；

2

(4)COSX=1---X2+-X4+6>(x5)；

2!4!

⑸（1+幻—+皿怨…馬.

五.常規(guī)方法:

前提：⑴準確判斷（其它如：8—8,0.8,0。,8。）；（2）變量代

換（如：L，）

X

1.抓大棄小蘭），

00

2.無窮小與有界量乘積（a.M）（注：）

3.V處理（其它如：0°,oo°）

4.左右極限（包括xf抗）：

（1）；⑵/（xf⑹；0）；⑶分段函數(shù)：此[%],

max/（x）

5.無窮小等價替換（因式中的無窮?。ㄗⅲ悍橇阋蜃樱?/p>

6.洛必達法則

⑴先〃處理〃，后法則*最前方法）；（注意比照：與）

?Ij__2

（2）幕指型處理：“（X）心）=6心皿"）（如:=/（6有工-1））

⑶含變限積分；

（4）不能用與不便用

7.泰勒公式(皮亞諾余項)：處理和式中的無窮小

8.極限函數(shù)：/(x)=〃一>l8imF(x,〃)(=>分段函數(shù))

六.非常手段

1.收斂準則：

(1)%=/(")=>limf(x)

X->-KO

⑵雙邊夾：*d，c,「a?

(3)單邊擠：an+l=f(an)*a2>at?*/'(%)>0?

2.導數(shù)定義(洛必達)：

3.積分和：lim，"(3+/(2)++/(-)]=

〃廿〃nnn

4.中值定理：lim[/-(%+a)-/(%)]=?lim/'(^)

x->4<o*-

5.級數(shù)和(數(shù)一三)：

⑴收斂=>lima“=0,(如)⑵lim(q+a,++a“)=￡a”，

5"T8客

(3){%}與同斂散

七.常見應(yīng)用：

1.無窮小比擬(等價，階)：*/(x)3,(x-0)?

(1)/(0)=r(0)==1(0)=0,r"(0)=。0

f(x)==x"+a(x〃)%

n\n\

(2)[；/⑺力J%"由

2.漸近線(含斜):

(1)a=lim,b=lim[f(x)-ax]=>/(%)ax+b+a

X—>00xX-^<X>

(2)f(x)=ax+b+a,()

3.連續(xù)性：(1)連續(xù)點判別(個數(shù))；(2)分段函數(shù)連續(xù)性

(附:極限函數(shù)，尸⑴連續(xù)性)

八.也向上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1.連通性：f([a,b])=[九M](注：VOcXvl,“平均”

值：/(“)+(1-㈤/S)=/(x。))

2.介值定理：(附：達布定理)

(1)零點存在定理：/(a)/S)<0=/(x°)=0(根的個數(shù))；

(2)y(x)=o=>(j'/UW=O-

第二講:導數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)

一.根本概念：

1.差商與導數(shù)：/*)=；1r(/)=

(1)/1(0)=lim/⑴一"°)(注：連續(xù))=>/(0)=0,/,(0)=A)

2。X

(2)左右導：f(/),￡(%);

(3)可導與連續(xù)；(在x=o處，國連續(xù)不可導；hh可導)

2.微分與導數(shù)：

-/=f（x+..x）-/（x）=/'（%）_%+o（_x）^df=f\x）dx

（1）可微=可導；（2）比擬V，4與“0”的大小比擬

（圖示）;

二.求導準備：

1.根本初等函數(shù)求導公式；（注：（|/（刈），）

2.法則：（1）四則運算；（2）復(fù)合法則；（3）反函數(shù)

三.各類求導（方法步驟）：

1.定義導：⑴尸⑷與尸（刈…；⑵分段函數(shù)左右導；

（3）

（注:,求：尸（玉））,廣⑴及r（x）的連續(xù)性）

2.初等導（公式加法則）：

⑴“=□*）］,求：“5）（圖形題）；

（2）尸（》）=「/⑺力，求：F\x）（注：

Ja

（J［a'f（x,t）dty,J（a1/（x,f）力）；J（ap/（r）Jr）,）

（3）,求f（X。）,f（%）及.（玉））（待定系數(shù)）

3.隱式（/（x,y）=0）導：

⑴存在定理;

(2)微分法(一階微分的形式不變性).

(3)對數(shù)求導法.

4.參式導(數(shù)一，二)：，求：

5.高階導廣"(x)公式：

(1嚴-6”!.

a-bx(a-bx)n+l

R冗

(Sinox)""=ansin(axd?—x〃)；(cosax)(n)=〃"cos(ax+—x〃)

22

注:f伙0)與泰勒展式:f(X)=%+41+%X2++a〃x”+

四.各類應(yīng)用：

1.斜率與切線(法線)；(區(qū)別：y=/(x)上點％和過點

"。的切線)

2.物理：(相對)變化率-速度；

3.曲率(數(shù)一二)：(曲率半徑，曲率中心，曲率圓)

4.邊際與彈性(數(shù)三)：(附：需求，收益，本錢，利潤)

五.單調(diào)性與極值(必求導)

1.判別(駐點/'(x0)=0)：

(1)f\x')>0^f(Xy,；/(x)W0n/(x)、；

(2)分段函數(shù)的單調(diào)性

(3)/(x)>On零點唯一；〃(x)>On駐點唯一(必為極值,

最值).

2.極值點：

⑴表格(f\x)變號)；(由

lim/0)豐0,lim4平豐0,lim力0=x=0的特點)

*->九0X\x\x.與X

(2)二階導(/'(x0)=o)

注⑴/與1J”的匹配(/圖形中包含的信息)；

a

⑵實例：由f(x)+X(x)/(x)=g(x)確定點x=xQ"的特

八占、、?

(3)閉域上最值(應(yīng)用例：與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合，

求最優(yōu))

3.不等式證明(/(x)zo)

⑴區(qū)別：*單變量與雙變量*xe[a,b]與

X￡[〃,+8),X€(-00,+00)

(2)類型：*/'>o,/(?)>o;*/,<o,/(z?)>o

^f''(X)>O,f\xo)=O,f(xo)>O

(3)注意：單調(diào)性十端點值十極值十凹凸性.(如：

/(x)WM=f)=M)

4.函數(shù)的零點個數(shù)：單調(diào)十介值

六.凹凸與拐點(必求導!)：

1.y"=表格；(/也)=0)

2.應(yīng)用：(1)泰勒估計；(2)/單調(diào)；(3)凹凸.

七.羅爾定理與輔助函數(shù)：(注：最值點必為駐點)

1.結(jié)論：F(b)=F(a)n『也)=/4)=()

2.輔助函數(shù)構(gòu)造實例：

(1)f(^)=>'

Ja

(2)/?)gC)+/(W=0nF(x)=/(x)g(x)

(3)尸e)g(4)—/記)gG)=0nF(x)=44

g。)

(4)/e)+/lC)/e)=OnF(x)=eW*/(x)；

3.f">C)=0of(x)有〃+1個零點O有2個零點

4.特例：證明/(")4)=a的常規(guī)方法：令F(x)=f(x)-P?(x)有

〃+1個零點(匕⑴待定)

5.注：含配時,分家！(柯西定理)

6.附(達布定理)：/(%)在［a,b］可

導，Vce［/'(?),/W,向，使：/(4)=c

八.拉格朗日中值定理

1.結(jié)論：—=—；

((p(a)<(p(b)=>3o'?)>0)

2.估計：

九.泰勒公式(連接九1J”之間的橋梁)

1.結(jié)論：

1.1a

23

fW=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+-f''(x0)(x-x0)+-f'''^)(x-x0)；

2.應(yīng)用：在/⑷或/(份值時進展積分估計

十.積分中值定理(附:廣義)：［注：有定積分(不含變限)

條件時使用］

第三講：一元積分學

一.根本概念：

1.原函數(shù)/(幻：

(1)F\x)=f(x)；(2)f{x}dx=dF(x)；

(3)Jf(x)dx=F(x)+c

注(1)尸(x)=17?⑺力(連續(xù)不一定可導)；

(2)J'(xT)/⑺力力=/(x)(/(x)連續(xù))

2.不定積分性質(zhì)：

(1)(J/(xW=f(x)；d(^f(x)dx)=f(x)dx

⑵J/'(九)公=/0)+c；j#(x)=/(%)+c

二.不定積分常規(guī)方法

1.熟悉根本積分公式

2.根本方法：拆(線性性)

3.湊微法(根底):要求巧，簡，活(l=sin2“cos2Q

如：dx=—d(ax+b),xdx--dx2,--d\nx,

a2x

4.變量代換：

(1)常用(三角代換，根式代換，倒代換):

x=sint,y/ax+b=t,—=t,\Jex+\=t

X

⑵作用與弓【伸(化簡)：

5.分部積分(巧用)：

(1)含需求導的被積函數(shù)(如Inx,arctanxj：/⑺力)；

(2)”反對幕三指"：Jxnea'dx,jx"Inxdx,

⑶特別：^xf(x)dx(*/(x)的原函數(shù)為尸(x)；*/'(x)=F(x))

6.特例：(1)；(2)Jp(x)sinarc拄快速法；⑶

三.定積分：

1.概念性質(zhì)：

(1)積分和式(可積的必要條件:有界，充分條件:連續(xù))

(2)幾何意義(面積,對稱性,周期性,積分中值)

*￡\lax-x2dx(a>0)=^a2；*

⑶附：，|￡f(x)g(x)dx<MJjg(x粒)

(4)定積分與變限積分，反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重

2:變限積分①(幻=1/⑺力的處理(重點)

(1)/可積=>①連續(xù)，/連續(xù)n①可導

(2)d'f(t)dty=/(x);斌)'=1/?)力；

JaJaJa

J[a'f(x)dt-(x-a)f(x)

(3)由函數(shù)f⑺=J：加)力參與的求導，極限，極值，積分

(方程)問題

3.N—L公式：(/(處在口,句上必須連

Ja

續(xù)!)

注：(1)分段積分,對稱性(奇偶)，周期性

(2)有理式,三角式，根式

(3)含J：/,⑺力的方程.

4.變量代換：⑴公=『/(〃⑺)/⑺力

JaJa

⑴J：f(x)dx=f(a-x)dx(x=a-f),

(2)^f(x)dx=J：/(-x)依x=-t)=J："(x)+f[-x)]dx(如：)

2

⑶/"=Lsin""=-A.-2?

n

衣n

(4)jj/(sinx)dx=jj/(cosx)dx；

￡/(sinx)dx=2jj/(sinx)dx,

(5)J。=/(sinx)dx,

5.分部積分

(1)準備時“湊常數(shù)〃

⑵1(x)或/(%)=「時,求辦

JaJa

6.附：三角函數(shù)系的正交性：

四.反常積分：

1.類型：(1)f'f(x)dx,f(x)dx,Vf{x)dx(/(x)連續(xù))

JaJ-ooJ-O0

(2)ff(x)dx:(/(1)在元=凡x=h,x=c(a<c<b)

Ja

處為無窮連續(xù))

2.斂散;

3.計算：積分法十N-L公式十極限(可換元與分部)

4.特例：(1);⑵

五.應(yīng)用：(柱體側(cè)面積除外)

1.面積，

⑴S=J："(x)-g(%)]<&;(2)S=廣'(y)dy；

(3)；⑷側(cè)面積：S=￡2兀f(x)dl+f：dx

2.體積：

(1)K=zz-￡V2(^)-g2u)i^

(2)Vv=7J："T(y)fdy=17i^xf{x}dx

(3)"八0.'V->v0與Vv_

3.弧長：ds=1(dx)2+(辦)2

⑴y=/(x),xe[a,句s=fJ1+/"(x)」

(2)s=『J.2?)+y,2a)j

(3)r=r(6>),0e[a,/3]：s=[后加百瓦d9

4.物理(數(shù)一，二)功，引力，水壓力,質(zhì)心,

5.平均值(中值定理)：

⑴f[a,b]=—^―ff(x}dx；

b-aJa

(2)710+8)=lim昆絲,(一以T為周期：)

XT+OOX

第四講：微分方程

一.根本概念

1.常識：通解，初值問題與特解(注：應(yīng)用題中的隱含條

件)

2.變換方程：

(1)令x=x(f)nV="分"(如歐拉方程)

⑵令〃==(如伯努利方程)

3.建立方程(應(yīng)用題)的能力

二.一階方程：

1.形式：⑴y'=f(.x,y)；(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0；

⑶y(a)=b

2.變量別離型：—g(y)

⑴解法：j=jf(x)dx=>G(y)=F(x)+C

(2)“偏〃微分方程：；

3.一階線性(重點)：，+p(x)y=q(x)

⑴解法積分因子法):

fp(x)dx1fx,

M(x)=eJv=——[M(x)q(x)dx+y]

M(x)為0

(2)變化：x'+p(y)x=q(y)；

⑶推廣：伯努利(數(shù)一)y1+p(x)y=q(x)ya

4.齊次方程：

(1)解法：〃〃+/———=[―

XJ①(〃)一〃JX

⑵特例：

5.全微分方程(數(shù)一)：/(歷四公+陽%,丁)力=0且

6.一階差分方程(數(shù)三)：--嘰

n

\bp(x)yx=xQ(x)b'

三.二階降階方程

1-y"=/(x)：y=b(x)+C]X+C2

2.—=/(")：令y，=p(x)=>y"=半=f(x,p)

ax

3.y',=f(y,yr)：令y'=p(y)=y"=p*~=f(y,p)

ay

四.高階線性方程：a(x)y"+b(x)y,+c(x)y=f(x)

1.通解構(gòu)造：

(1)齊次解：y0(x)=(x)+c2y2(x)

⑵非齊次特解：y(x)=c,(x)+c2y2(x)+y*(x)

2.常系數(shù)方程：ay',+by'+cy^f(x)

(1)特征方程與特征根：aA2+bA+c=O

(2)非齊次特解形式確定：待定系數(shù)；(附：f(x)=k/

的算子法)

(3)由解反求方程.

3.歐拉方程(數(shù)一)：ax2y"+bxy'+cy=f(x),令

x=d=>x2y',=D(D-V)y,xy'=Dy

五.應(yīng)用(注意初始條件)：

1.幾何應(yīng)用(斜率，弧長，曲率，面積，體積)；

注：切線和法線的截距

2.積分等式變方程(含變限積分)；

可設(shè)［7(x)^=F(x),F(a)=0

Ja

3.導數(shù)定義立方程：

含雙變量條件/(x+y)=的方程

4.變化率(速度)

5.

6.路徑無關(guān)得方程(數(shù)一)：

7.級數(shù)與方程：

⑴幕級數(shù)求和⑵方程的幕級數(shù)解

法：y=4+研+。2%2+=y（。），%=y'（。）

8.彈性問題（數(shù)三）

第五講：多元微分與二重積分

一.二元微分學概念

1.極限，連續(xù)，單變量連續(xù)，偏導，全微分，偏導連續(xù)

（必要條件與充分條件），

（1）V=+AX,%+Q）,△J=/（x0+.-.X,%）,△"=f（x0,y0+..y）

（2）limAf,￡=lim/,￡=lim?

AYAy

（3）Qx+"df,lim/"f（判別可微性）

J（"）2+（0）2

注：（0,0）點處的偏導數(shù)與全微分的極限定義：

2.特例：

(1)/(x,y)=，*7"（0,0）點處可導不連續(xù);

0,=(0,0)

⑵/(x,y)=<&2；y2*(0,0):(0,0)點處連續(xù)可導不可微;

0,=(0,0)

二.偏導數(shù)與全微分的計算:

1.顯函數(shù)一，二階偏導：z=/(x,y)

注：⑴尸型；⑵兒內(nèi)；⑶含變限積分

2.復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(重點)：z=f[u(x,y),v(x,y)]

熟練掌握記號九￡,尤，亢，啟的準確使用

3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定)：

(1)形式：*E(x,y,z)=O；*(存在定理)

(2)微分法(熟練掌握一階微分的形式不變

性)：工公+々辦+尸”=0(要求：二階導)

(3)注：(玉”為)與z。的及時代入

(4)會變換方程.

三.二元極值(定義)；

1.二元極值(顯式或隱式)：

(1)必要條件(駐點)；

(2)充分條件(判別)

2.條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注：應(yīng)用)

⑴目標函數(shù)與約束條件：z=f(x,y)?(p(x,y)=O,(或:

多條件)

(2)求解步驟：L(x,y,2)=f(x,y)+A.(p(x,y),求駐點即可.

3.有界閉域上最值(重點).

(1)z=/(x,y)十A7eD={(x,y)|(p(x,y)<0}

(2)實例：距離問題

四.二重積分計算：

1.概念與性質(zhì)(”積〃前工作)：

(1),

(2)對稱性(熟練掌握)：*。域軸對稱；*/■奇偶對稱；*字

母輪換對稱;*重心坐標；

⑶“分塊”積分：*￡>=/3；*/(x,y)分片定義;

*/(樂y)奇偶

2.計算(化二次積分)：

(1)直角坐標與極坐標選擇(轉(zhuǎn)換)：以“?！橹?；

(2)交換積分次序(熟練掌握).

3.極坐標使用(轉(zhuǎn)換)：f(x2+y2)

附：D-.(x-a)2+(y-b)2<R2；；

雙紐線(%2+/2=?2(x2-/)D:|^+|y|<l

4.特例：

(1)單變量：/(幻或/(>)

⑵利用重心求積分：要求：題型，且。的面積S。與重心

G,y）

5.無界域上的反常二重積分（數(shù)三）

五：一類積分的應(yīng)用￡>;Q;L;r；Z）：

Q

1.“尺寸〃：（1）；（2）曲面面積（除柱體側(cè)面）；

2.質(zhì)量，重心（形心），轉(zhuǎn)動慣量；

3.為三重積分，格林公式，曲面投影作準備.

第六講：無窮級數(shù)（數(shù)一，三）

一.級數(shù)概念

1.定義：⑴{??},（2）S=a+a++a；（3）limS

nt2nW->00n

（如）

注：（1）lima,,；（2）（或）；⑶“伸縮〃級

〃一>00

數(shù)：Z（4川-*收斂=收斂?

2.性質(zhì)：（1）收斂的必要條件：lima,,=0；

M—KO

（2）加括號后發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散（交織級數(shù)的討論）;

（3）s2n―>s,—>0n52n+1tsns"ts；

二.正項級數(shù)

1.正項級數(shù)：⑴定義：??>0；(2)特征:S,

（3）收斂=S.4M（有界）

2.標準級數(shù)：（1）,（2）,（3）

3.審斂方法：（注：2ab<a2+b2,=陰"）

（1）比擬法（原理）：（估計），如；

（2）比值與根值：**1〃而一>8Y西（應(yīng)用：幕級數(shù)收斂半徑計

算）

三.交織級數(shù)（含一般項）：工（-1嚴見（%>0）

1.“審〃前考察：（1）%>0?⑵％—。？；（3）絕對（條

件）收斂

注：假設(shè)，則X”“發(fā)散

2.標準級數(shù)：（1）;（2）;（3）

3.萊布尼茲審斂法（收斂）

⑴前提:Z同發(fā)散;⑵條件:⑶

結(jié)論：Z（T嚴％條件收斂.

4.補充方法：

（1）加括號后發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散；

（2）s2nfs,4f0ns2n+|fs=S“Ts?

5.考前須知：比照z*Z（T）z；EkJ：IX之

間的斂散關(guān)系

四.基級數(shù)：

1.常見形式：

⑴工。"尤",⑵ZA(x—Xo)",⑶Z。"。—X。)"’

2.阿貝爾定理：

(1)結(jié)論：x=x*斂；x=x*散-x()]

(2)注：當x=x*條件收斂時nR=|x-x]

3.收斂半徑，區(qū)間，收斂域(求和前的準備)

注(I)與同收斂半徑

(2)X。/'與Z為(x-x。產(chǎn)之間的轉(zhuǎn)換

4.基級數(shù)展開法：

⑴前提：熟記公式(雙向，標明斂域)

sinx—xJC'H——,Q=Rcosx=1--JCH—x4+,Q=R；

3!5!2!4!

1

----=l+%+X~9+,XG(—1,1)

1-x

12

----=1—X+廠一，,XG(-1,1)

1+X

⑵分解：/(X)=g(X)+/2(龍)(注：中心移動)(特別：)

g(x)n/(%)=g(x)/(0)

⑶考察導函數(shù)：(?。綣「O公+

(4)考察原函數(shù)：gQ)二「〃x)公n/(x)=g〈X)

JO

5.基級數(shù)求和法(注：*先求收斂域，*變量替換)：

⑴S(x)=Z+Z，

(2)s0)=，(注意首項變化)

⑶S(x)=(Z)'，

(4)S(x)n"S(x)”的微分方程

(5)應(yīng)用：￡%=>=S(x)=>￡a,=5(1).

6.方程的幕級數(shù)解法

7.經(jīng)濟應(yīng)用(數(shù)三)：

(1)復(fù)利：A(l+p)";(2)現(xiàn)值：41+PF1

五.傅里葉級數(shù)(數(shù)一)：(7=2?)

1.傅氏級數(shù)(三角級數(shù))：S(x)=ancosnx+bnsinnx

2n=\

2.充分條件(收斂定理)：

(1)由/(x)nS(x)(和函數(shù))

(2)S(x)=:"(x—)+/(x+)]

3.系數(shù)公式

11

a〃=一/(x)cosnxdx

11TT

:,一乃,〃=1,2,3,

aQ=—\f(x)dx,<

71J」”1rn

b”=—\f(x)sinnxdx

71J

4.題型：(注：/(X)=S(X),XG?)

(1)T=2i且/(x)=,xe(-乃，%](分段表不)

(2)xe(-71,不]或xe[0,2萬]

(3)xe[0㈤正弦或余弦

*⑷xe[0,%](T=乃)

*5.7=2/

6.附產(chǎn)品：/（%）=>S（x）=—+^ancosnx+btlsinnx

2n=\

第七講：向量，偏導應(yīng)用與方向?qū)В〝?shù)一）

一.向量根本運算

1.kya+k2b；（平彳丁=。=4（?）

2.|a|；（單位向量（方向余弦）a。=（cosa,cos/?,cosy））

3.a-b；（投影：；垂直：aJ_6oa.b=0；夾角：）

4.axb；（法向：〃=axb_La,/?；面積：S=|ax/j|）

二.平面與直線

1.平囿口

(1)特征(根本量)：M)CWo,Z。)十〃=(AB,C)

(2)方程(點法

式)：兀:A(x—x0)+B(y-y0)+C(z—z0)=Q=>Ax+By+Cz+D=O

(3)其它：*截距式；*三點式

⑴特征(根本量)：M0(x0,y0,z0)?5=(m,n,p)

⑵方程（點向式）：L：上工=口=二2

mnp

工+外，+。仔+。]

⑶一般方程（交面式）：4=0

A2X+B2y+C2z+D2=0

⑷其它：*二點式;*參數(shù)式；（附：線段AB的參數(shù)表

元=4+(%-%?

不：<y=b]+(/?2-4""￡[0,1])

Z=C1-b(C2-C”

3.實用方法:

(1)干束力和￡:1+C]Z+A+九(4工+Sy+C2z+。2)=0

⑵距離公式：如點到平面的距離

d_+By()+Cz。+

‘VA24-B2+C2

⑶對稱問題;

⑷投影問題.

三.曲面與空間曲線(準備)

1.曲面

⑴形式2：/(x,y,z)=O或z=/(x,y)；(注：柱面

/(x,y)=O)

(2)法向〃=(工，4,月)=(cosa,cosf3,cosy)(或〃=(-z,,-zJ))

2.曲線

⑴形式，或；

(2)切向：s={x'(/),p(r),zH)}(或5=“*嗎)

3.應(yīng)用

(1)交線，投影柱面與投影曲線；

(2)旋轉(zhuǎn)面計算：參式曲線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)；

(3)錐面計算.

四.常用二次曲面

1.圓柱面：/+產(chǎn)=收

2.球面：x2+y2+z2=R2

變形：X2+,2=R2_Z2,z=jR2_*2+y2),

222222

x+y+z=2az,(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R-

3.錐面：z=正壽

變形：x2+y2=z2,z=a-J尤?+y2

4.拋物面：z=/+y2,

變形：x2+y2=z,z=a-(x2+y2)

5.雙曲面：x2+y2=z2±l

6.馬鞍面：z=x2-y2,或z=_yy

五.偏導幾何應(yīng)用

1.曲面

(1)法向：F(x,y,z)=O^>n=(Fx,Fy,Fz),注

z=f(x,y)="=(/v,/v-l)

(2)切平面與法線：

2.曲線

(1)切向：x=x(f),y=y(f),z=z(f)ns=(x；y；z)

(2)切線與法平面

3.綜合：r：,s=&x%

六.方向?qū)c梯度(重點)

1.方向?qū)?/方向斜率)：

(1)定義(條件)：I=(m,n,p)=>(cosa,cos/?,cos/)

(2)計算(充分條件:可微)：?=urcosa+人cos/?+〃.cosy

cl

附：z=f(x,y),/°={cos0,sin6}=>號=￡cos0+fysin0

22

（3）附：--=cos0+2fxysin8cos8+fyysin0

2.梯度（取得最大斜率值的方向）G：

（1）計算：

（a）z=f（x,y）=>G=gradz=（./；,./',）；

（2）結(jié)論

（?）—=G-Z°；

dl

S）取/=G為最大變化率方向；

（c）為最大方向?qū)?shù)值.

第八講：三重積分與線面積分（數(shù)一）

一.三重積分0

1.。域的特征（不涉及復(fù)雜空間域）：

（1）對稱性（重點）：含：關(guān)于坐標面；關(guān)于變量;

關(guān)于重心

⑵投影法：={U,y)|x2+/W/?2}十Z](x,y)Wz〈Z2(x,y)

(3)截面法：D(z)={(x,y)|x2+y2WR“z)}十a(chǎn)WzWZ?

(4)其它：長方體，四面體，橢球

2./的特征：

(1)單變量/(Z),(2)f(x2+y2),(3)f(x2+y2+z2),

(4)f=ax+by+cz+d

3.選擇最適合方法：

(1)“積〃前：*;*利用對稱性(重點)

2

(2)截面法(旋轉(zhuǎn)體)：(細腰或中空，/⑶，