福建卷第24題 【圓與幾何綜合】（解析版）

押福速卷第24題

IBI與幾何綜合

押題探究

解題秘籍

解題技巧

(1)圓的基礎(chǔ)性質(zhì)：熟練掌握弧、弦、圓心角、圓周角(直徑所對圓周角90°)之間

的代換；切線的相關(guān)性質(zhì)；圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)；學會挖掘圓中的隱含條件：圓

周角，等腰三角形

(2)圓與三角形綜合熟練運用等積法，斜邊中線，中位線，角平分線，特殊三角形，

相似三角形等相關(guān)性質(zhì)；圓與四邊形綜合熟練掌握矩形，菱形，正方形等相關(guān)性質(zhì)。

(3)解題關(guān)鍵：化歸與轉(zhuǎn)化思想，角化邊或邊化角

真題回顧

【真題1】(2020.福建.統(tǒng)考中考真題)如圖，與O。相切于點8,4。交G)。于點C,40的

延長線交。。于點D,E是&前上不與B,D重合的點，SinA=/

(I)求NBEo的大小；

(2)若。。的半徑為3,點F在4B的延長線上，且BF=3√1求證：DF與。。相切.

【答案】(I)60°；(2)詳見解析

【分析】(D連接OB,在Rt△AOB中由SinA=T求出/4=30。，進而求出NAOB=60。,

ZBOD=120°,再由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可以求出NBED的值：

(2)連接OF,在Rt?OBF中，?tanzB0F=—=g可以求出/BOF=60。，進而得到

OB

ZFOD=60o,再證明△FOBg∕?FOD,得到NoDF=∕0BF=9(Γ.

【詳解】解：(1)連接。B,

1NB與。。相切于點B,

：.0B1AB,

VsiaA=-,.?.44=30°,

2

.".?AOB=60°,貝叱BoD=I20。.

由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知:

4BED=-?BOD=60°.

2

故答案為：60°.

(2)連接。F,

由⑴得OBIAB,NBoD=I20。,

'：0B=3,BF=3√3,AtanzBOF=—=√3,

.'.?BOF=60o,."DOF=60°.

OB=OD

在4B。/7與40。F中，｛乙BOF=乙DOF

OF=OF

.?ΔB0F^ΔD0F(SAS),

.,.?0DF=4OBF=90°.

又點。在。。上，故CF與0。相切.

【點睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角

形、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵.

【真題2](2019?福建?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于G)O,AB=AC,BD±AC,

垂足為E,點尸在8。的延長線上，且DF=QC,連接AF、CF.

(1)求證：ZBAC=2ZDAC;

(2)若AF=I0,BC=4√5,求勿〃NBAQ的值.

【答案】⑴見解析；(2)S〃NBAO=￡.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/ABC=NACB,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得

JlJAS=At,即可得到NABC=NADB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NABC=T(180。-NBAC)

≈90o-iZBAC,ZADB=90o-ZCAD,從而得到(/BAC=/CAD,即可證得結(jié)論；

(2)易證得BC=CF=4次，即可證得AC垂直平分BF,證得AB=AF=10,根據(jù)勾股定

理求得AE、CE、BE,根據(jù)相交弦定理求得DE,即可求得BD,然后根據(jù)三角形面積公式

求得DH,進而求得AH,解直角三角形求得tan/BAD的值.

【詳解】解：(1)VAB=AC,

：.AB=AC,ZABC=ZACB,

ΛZABC=ZADB,NABC=工(180。-NBAC)=90。,NBAC,

22

VBDlAC,

ΛZADB=90o-ZDAC,

AiZBAC=ZDAC,

2

ΛZBAC=2ZDAC;

(2)VDF=DC,

.?.NBFC=BDC=mNBAC=NFBC,

：.CB=CF,

又BDLAC,

，AC是線段BF的中垂線，AB=AF=?O,AC=IO.

又BC=4√5,

設(shè)AE=X,CE=IO-X,

AB2-AE2=BC2-CE2,100-√=80-(10~x)2,X=6

ΛΛE=6,BE=8,CE=4,

.?.D八E廠--A-E--C-E=——6×4=3?,

BE8

.?.BD=BE+DE=3+8=11,

作DH_LAB,垂足為H,

ViAB?DH=?D?AE,

22

..?zD,H?~BD?AE11×6―33-,

AB105

.?.BH=VSD2-DH2=y,

446

???AH=AB-BH=10—=-

55

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓心角、弧、

弦的關(guān)系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運

用性質(zhì)定理，屬于中考壓軸題.

【真題3】（2022?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC內(nèi)接于。0,4DIIBC交。。于點DFIMB

交BC于點E,交。。于點F,連接力F,CF.

⑴求證：AC=AF;

⑵若。。的半徑為3,NCAF=30。，求價的長（結(jié)果保留兀）.

【答案】（1）證明見解析；

⑵T

【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABE。是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得乙B=

?D,等量代換可得ZAFC=N4CF,即可得出答案；

（2）連接AO,CO,由（1）中結(jié)論可計算出乙4FC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計算出乙40C的

度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式計算即可得出答案.

【詳解】（1）證明：［（DNBC,DFHAB,

.?.四邊形ABEC為平行四邊形，

：?乙

B=Z-Df

■:乙AFC=乙B,乙ACF=乙D,

，乙AFC=乙ACF,

：.AC=AF.

(2)解：連接4。,CO,如圖,

?(1)得乙AFC=/.ACF,

?.ZFC=&竺=75。，

2

J.?AOC=2?AFC=150°,

...Ar的長/=蘭等=9.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形

1802

的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學素

養(yǎng).

押題沖關(guān)

1.(2023春?福建福州?九年級福建省福州屏東中學?？计谥?如果三角形三邊的長a、b、C滿

足a+c=2b,那么我們就把這樣的三角形叫做“等差三角形”.如：三邊長分別為2、3、4

或5、7,9…的三角形都是“等差三角形”.

Sl

(1)如圖1,己知兩條線段的長分別為a、C(a<c).用直尺和圓規(guī)作一個最短邊、最長邊的

長分別為a、C的“等差三角形”(不寫作法，保留作圖痕跡).

(2)如圖2,AABC中，AB=AC,以4B為直徑的。。交BC于點D,過點D作。。的切線交4B

延長線于點E,交4C于點F.若CF=IBE,判斷△4EF是否為“等差三角形”？請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2Q4EF是“等差三角形”，理由見解析

【分析】(1)設(shè)48=c,在射線BA上截取4E=a,作線段BE的垂直平分線，垂足為F,分

別以4,B為圓心，F(xiàn)E,AE為半徑作弧，兩弧交于點C,連接BC,AC,AABC即為所求；

(2)根據(jù)”等差三角形”的定義，由題目中信息的，利用切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

三角形的全等以及勾股定理可以判斷△4EF是否為“等差三角形”.

【詳解】(1)解：所求圖形，如圖1所示，

圖1

(2)解：△>!E尸是"等差三角形”，

理由：連接4。、OD,如圖2所示，

A

O?

F

BrDC

EG圖2

??,AB是。。的直徑，

???AD1BC,

VAB=AC,

???點。是BC的中點，

???點。為AB的中點，

???ODHACf

??,DF切O。于點

???OD1DF9

?FFlTlF,

過點8作BGIEF于點G,

VLBGD=?CFD=90°,乙BDG=乙CDF,BD=CD,

?SBGD≤?CFD(ASA),

???BG=CF,

BE5

V—=一，

CF3

BE5

?*?*~~~=一,

BG3

V乙EGB=?EFA=90°,

???SinZTIEF=-=—=

EFBG3

在Rt△AEF中，設(shè)AE=5k,AF=3k,由勾股定理得，EF=4k,

^ΛE^AF=2EF,

Λ?ΛEF?”等差三角形”.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理、

三角形的中位線性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的

條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

2.（2023?福建泉州?福建省泉州第一中學?？寄M預(yù)測）如圖1,已知kMPN的角平分線PF經(jīng)

過圓心。交。。于點E、F,PN是。。的切線，B為切點.

圖1圖2

（1）求證：PM也是O。的切線；

（2）如圖2,在（1）的前提下，設(shè)切線PM與。。的切點為4連接AB交PF于點0；連接4。交

。。于點C,連接BC,AF；記4PFA為Na.

①若BC=6,ta∏4α=?,求線段40的長；

②小華探究圖2之后發(fā)現(xiàn)：EF2=m?on?oP（m為正整數(shù)），請你猜想m的數(shù)值？并證明你

的結(jié)論.

【答案】（1）詳見解析

（2）①4；②4

【分析】（1）過點。作04_LPM,垂足為4,連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OB是。。的半

徑且OBLPN,由P/呼分4MPN利用角平分線的性質(zhì)可得出OA=OB,進而可證出PM也是

O。的切線.

（2）①由PM、PN都是。。的切線可得出PA=PB,利用等腰三角形的三線合一可得出OP1

AB.AD=BD,由三角形中位線的性質(zhì)可得出OD=3,設(shè)。。的半徑為r,則FD=r+3,

AC=T（r+3）,在RtAAOD中，利用勾股定理可求出r的值，將其代入AC=Xr+3）中即

可求出4。的長度；②利用相似三角形的性質(zhì)可得出。價=od.op,結(jié)合EF=204可證出

EF2=WD-OP,即m=4.

【詳解】（1）證明：在圖1中，過點。作。垂足為4連接OB.

M

A

/B

N

圖1

???PN是。。的切線，B為切點，

???0B是。。的半徑，且OB_LPN,

???PF平分NMPN

?,?0A=OB

???PM也是OO的切線；

(2)①MM、PN都是OO的切線

??PA=PB

,?,?APD=乙BPD

??0P148、AD=BD,

???。。為BC的中位線,

：.0D=-BC=3

2

設(shè)O。的半徑為丁，則FD=r+3

??,ta∏za=-

2

???4。=*r+3)

222

在RtΔ40。中，OTP=AD+。。2,即產(chǎn)=[l(r+3)]+3

解得：r=5(負根舍去)

'-AD=?(r÷3)=4

②猜想m=4.

證明：-/-OAP=?ODA=90o>乙AOP=乙DoA

???△OAP-△ODA,

,^OA2=OD-OP

OPOA

XvEF=20A

.?.EF2=40D?OP

?m=4

M

N

圖2

【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、

三角形的中位線以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等腰三角形的三線

合一找出04=。8；（2）①在RtZiAOD中，利用勾股定理求出圓的半徑；②利用相似三角

形的性質(zhì)證出CM2=0d.op.

3.（2023春?福建廈門?九年級廈門市蓮花中學?？茧A段練習）如圖，已知力C為。。的直徑,

連接4B,BC,0B,過點O作。El4B于點E,點F是半徑。。的中點，連接EF,BF.

圖1圖2

（1）如圖1,設(shè)。。的半徑為2,若NBAC=30。，求線段EF的長.

（2）如圖2,設(shè)B。交于點P,延長BO交。。于點。，連接。F.

①求證：PE=PF；

②若DF=EF,求ZBHC的度數(shù).

【答案】⑴6;

（2）①證明見解析；②45。.

【分析】（1）解直角三角形求出48,再證明立4尸8=90。，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

即可解決問題.

（2）①過點尸作尸GJ.48于6,交。B于H,連接EH.想辦法證明四邊形。EHF是平行四邊形

可得結(jié)論.

②想辦法證明Fn=F8,推出B是等腰直角三角形即可解決問題.

【詳解】（1）解：VOEIAB,?BAC=30o,OA=2,

.?.?AOE=60o,OE=RA=1,AE=EB=>JθA2-OE2=√22-I2=√3,

4C是直徑，

????ABC=90o,

???ZC=60°,

?.?OC=OB,

?,??OCB是等邊三角形,

???OF=FC,

???BF1AC,

??.?AFB=90°,

在Rt△/8尸中，AB=AE+EB=2√3,E是48中點,

EF=3AB…

過點F作FGIyIB于G,交OB于H,連接

???FGIIBC,

?,?ΔOFHOCB,

竺=竺=2,同理竺=三,

BCOC2BC2

ΛFH=OE,

-OELAB.FHIABf

???OEWFHf

，四邊形。EHF是平行四邊形,

???PE=PF.

②解：???OE∣∣FG∣∣BC,

EGOFY

???布=而=1'

?EG=GB,

?EF=FB,

?.?op=EF,

.?.DF=BF,

???DO=OB9

??.FO1BD,

???乙AOB=90o,

vOA=OB,

???△4。B是等腰直角三角形，

.?.?BAC=45°.

【點睛】本題屬于圓的綜合題,考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形

解決問題，屬于中考壓軸題.

4.(2023春?福建廈門?九年級廈門雙十中學?？计谥?已知L4B為。。的直徑，點C和點。

為O。上的動點(兩點在48的異側(cè)且都不與A、B重合)，連接CD與4B交于點E,連接4C,

BC.

圖1圖2

(1)如圖1,若ZB=I0,AD=1π,求NDCB的度數(shù)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若BC=6,求CE的長度；

(3)如圖2,若AB=4,乙DCB=60°,且對任意的點C,弦CD上都有一點F滿足BC=2DF,

連接BF,求線段BF的最小值.

【答案】(I)NnCB=45。

(2)DE=?

(3)√13-1

【分析】(1)連接OD,根據(jù)的=I兀，求出的度數(shù)，再求出NACD=T乙40。=45。,

根據(jù)乙4CB=90。，求出結(jié)果即可；

(2)過點C作CGJ.AB于點G,根據(jù)勾股定理求出ZC=8,根據(jù)三角函數(shù)求出BG=3.6,

根據(jù)勾股定理再求出CG=4.8,求出OG=1.4,證明ADOECGE,得出黑=器,求出。E=

p根據(jù)勾股定理求出最后結(jié)果即可；

(3)連接4。，AF,DO,iiEHJ?∣?ΛDF^ΛABC,得出乙4FD=N4C8=90。，從而得出點尸

在以4D為宜徑的圓上，設(shè)點M為AD的中點，連接BM,交。M于點H,當點尸在點〃處時，

BF最小，過點M作MNIaB于點M根據(jù)勾股定理及含30。直角三角形的性質(zhì)，求出BM=

√13,即可求出結(jié)果.

ΛOA=OB=OD=5,

'：AD=-π,

2

,,.、，180o×?

???立力。。的度數(shù)為：—??θθ0,

5π

.??ACD=-?AOD=45°,

2

9Cz-ACB=90°,

.?.zDCB=90o-45o=45o.

（2）ft?：過點。作CG_LAB于點G,如圖所示:

：.AC=yjAB2-BC2=8,

?BCBG

..cos?CBG=-=一

ABBC

.6_BG

??=,

106

解得：BG=3.6,

ΛCG=y∕BC2-BG2=4.8,

ΛOG=5-3,6=1.4,

V?AOD=90°,

.??DOE=180°-90°=90°,

,:CGLAB,

，乙CGE=90°,

.??DOE=乙CGE,

■:乙OED=乙CEG,

△DOECGE，

,CGGE

??,—___，

ODOE

?4.8IA-OE

??,■—,

5OE

解得：OE=5,

??NB為直徑，

AzylCB=90°,

■:乙DCB=60°,

ΛzDC√l=90o-60o=30o,

.??AOD=2?ACD=60°,

tJAO=DO,

???ZkAOD為等邊三角形，

：.AD=AO=-AB=2,

2

?；BC=2DF,

.ADDF1

■?——--,

ABBC2

yAC=ACf

Λ?ADC=?ABCi

即乙4。F=LABC.

?"?ΔADF—△ABC,

LAFD=Z.ACB=90°,

點F在以4D為直徑的圓上，設(shè)點M為4。的中點，連接8M,交OM于點H,當點F在點

H處時，BF最小，過點M作MNj.AB于點M如圖所示：

C

、一'B

???ZkZOD為等邊三角形，

：./-0AD=60°,

?9?ANM=90°,

,ZTlMN=90。-60。=30。，

'JAM=-AD=1,

2

：.AN=-AM=-,

22

：.MN=y∕AM2-AN2=—,BN=AB-AN=4--=3-,

222

：.BM=√B∕V2-MW2=√13,

"：MH=AM=1,

：.BH=√13-1,

.?.BF的最小值為√∏-L

【點睛】本題主要考查了弧長計算公式，圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，勾股定理，

三角形相似的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出

輔助線，熟練掌握三角形相似的判定，說明點F的運動軌跡，找出使BF取最小值時，點F

的位置.

5.(2023春?福建廈門,九年級廈門市松柏中學?？茧A段練習)如圖，以4B為直徑的。。與ZH

相切于點4,點C在4B左側(cè)圓弧上，弦CDJ_48交。。于點D,連接4C,力。，點4關(guān)于CD的

對稱點為E,直線CE交。。于點F,交AH于點G.

(I)求證：?CAG=?AGC;

(2)當點E在AB上，連接AF交CD于點P,若言=|，求詈的值；

⑶當點E在射線48上，AB=2,四邊形4C0F中有一組對邊平行時，求4E的長.

【答案】（1）見解析

（2）|

（3）2-企或?qū)W

【分析】（1）設(shè)AB與CO相交于點例，由。。與4H相切于點A,得到NBAG=90。，由CDI48,

得到乙4MC=90。，進而得到4GIlCD,由平行線的性質(zhì)推導得，?CAG=/.ACD,?AGC=

乙FCD,最后由點A關(guān)于CO的對稱點為E得到4FCD=ZjlCD即可證明.

（2）過下點作FK1AB于點K,設(shè)4B與CD交于點N,連接DF,證明4R4Z）=NaDC得到DP=

AP,再證明△CPA≤ΔFPD得到PF=PC；最后根據(jù)4KEFNEC及AAPN4FK得到

需=M=*嚶=9=白最后根據(jù)平行線分線段成比例求解.

ENCE5AFAK12

（3）分兩種情形：當。CIIAF時,當4G。尸時,分別求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)4B與CD相交于點例，

HGA

???。。與AH相切于點A,

.??BAG=90°,

VCDIABt

.??AMC=90°,

：.AGHCD,

.,.?CAG=?ACD,4AGC=乙FCD,

β.?點4關(guān)于CD的對稱點為E,

：.Z.FCD=?ACD,

：.Z.CAG=Z.AGC.

(2)解：過F點作FK于點K,設(shè)與CD交于點N,連接DF,如下圖所示:

由同弧所對的圓周角相等可知：乙FCD=Z.FAD.

:YB為。。的直徑，且COL48,由垂徑定理得：冉C=的，

C.?ACD=?ADCf

Y點A關(guān)于Co的對稱點為E,

.??FCD=ZTIC0,

.??FAD=(FCD=?ACD=?ADC,即NFAD=?ADCf

：.DP=APf

由同弧所對的圓周角相等得：乙ACP二乙DFP,且"P4=4”0,

：.ACPA"FPD,

：.PC=PF,

YFKlAB,AB與CD交于點N,

LFKE=乙CNE=90°.

■:乙KEF=乙NEj乙FKE=乙CNE=90°,

：?AKEFFNEC,

uKE_EF_2

.NN-CE-5’

設(shè)KE=2x,EN=5x,

??,點A關(guān)于CD的對稱點為E,

：,AN=EN=5x,AE=AN+NE=10x,AK=AE+KE=12x,

又FKIlPM

MAPNfAFK,

.PA_AN_Sx__5_

**AF~AK~12x~12,

VzFCD=?CDA,

.?CF??AD,

,DPAPAP5

**CP-PF-AF-AP-7；

(3)解：分類討論如下：

如圖，當OCilAF時，連接。C,0F,設(shè)乙4GF=α,則4￠4G=乙ACD=Z.DCF=ZTlFG=α,

'：OCWAFf

???Z.OCF=?AFC=α,

vOC=OA.

：.?OCA=?OAC=3α,

v乙OAG=45o,

???4α=90o,

：,a=22.5o,

???OC=OF,OA=OFf

/.4OFC=4OCF-?AFC=22.50,

.?.?OFA=?OAF=45o,

.?.τlF=√2OF=√2OC,

?'OC??AF1

AEAF∏z

??———v2,

OEOC

?AE=?[2OE,

vOA=1,

：S=2-總

設(shè)ZjIGF=a,

?.?Z-ACF=?ACD÷乙DCF=2a,

V?C∣∣OF,

：??CFO—?ACF=2α,

.?.?CAO=?ACO=4α,

v?AOC+Z-OAC+?ACO=180o,

???IOa=180o,

???a=18°,

???乙CoE=(ECO-乙CFo=36°,

,

.??OCES△FCO9

???OC2=CECF,

Λ1=CE(CE+1),

.-.CE=AC=OE=-

.?.AE=OA-OE=等；

綜上所述，滿足條件的AE的長為2-夜或等，

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等，綜合運用以上

知識是解題的關(guān)鍵.

6?（2023秋?福建龍巖?九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問題.

［材料］自從《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個

習慣，就是在每個新章節(jié)備課時都會查閱新課標，了解該章知識的新舊課標的變化，并在上

課時告訴學生.他通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓

外的一個點作圓的切線在學習完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考

題：“已知：如圖，。。及。。外一點P.求作：直線PM,使PM與。。相切于點班上

小巖同學所在的學習小組經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接OP,以。為圓心，

OP長為半徑作大圓0;（2）若OP交小圓。于點N,過點N作小圓。的切線與大圓。交于4B兩

點（點A在點B的上方）；（3）連接4。交小圓。于M,連接PM,則PM是小圓。的切線.

［問題］

（1）請問小巖同學所在的學習小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規(guī)

作圖，保留作圖痕跡），并說明理由.

（2）延長40交大圓。于C,連接CN,若（M=2,OM=1,求CN的長.

*

P

【答案】（1）作圖方法正確；作圖見解析；理由見解析

Q）小

【分析】（1）作圖方法正確，作出圖形，如圖所示，要證PM是小圓。的切線，由圖及“連半

徑、證垂直”的方法，先根據(jù)條件判定4AON≤?POM（SAS）,進而得到UNO=乙PMo=90°,

即可確定PM10M，從而得證；

（2）連接BC,如圖所示，在RtZkAON中，ON=OM=1,OA=2,利用勾股定理得到AN=

y∕0A2-ON2=√3,再由垂徑定理得到4V=BN=√5,結(jié)合。4=0C,利用三角形中位線

定理得到BC=20N=2,在RtΔBCN中，由勾股定理可得CN=√BW2+BC2=

J(√3)3+=√7.

【詳解】(1)解：小巖同學所在的學生習小組提供的作圖方法正確，如圖所示:

B'------，

以上即為所求作的圖形；

理由如下：

是小圓。的切線，

.'.ONIAB,

：.?ANO=90°,

在44。N和4PoM中,

-ON=OM

乙AoN=?POM,

OA=OP

：.ΔAON≤ΔPOM(SAS),

Λ/.ANO=乙PMo=90°,

：.PM1OM,

又OM為半徑，

...PM是小圓。的切線；

(2)解：連接BC,如圖所示:

在RtA40N中，ON=OM=1,OA=2,

：.AN=>JOA2-ON2=√3,

,：0NLAB,OP為圓的半徑，

.?.AN=BN=√3,

VOA=OC,

：.BC=20N=2,

〈AC為大圓。的直徑,

"ABC=90°,

J(√3)3+22=√7.

在Rt△BCN中,CN=y∕BN2+BC2=

【點睛】本題考查圓綜合，涉及切線證明、兩個三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂徑

定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，讀懂題意，作出圖形，熟練掌握切線判定、垂徑

定理及勾股定理的運用是解決問題的關(guān)鍵.

7.(2023秋?福建廈門?九年級統(tǒng)考期末)如圖，ΔABC內(nèi)接于。O,AB=AC,?ABC=67.5°,

品的長為白乃，點P是射線8C上的動點BP=m(m≥2).射線OP繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45。得

到射線OD,點Q是射線OD上的點，點。與點。不重合，連接PQ,PQ=n.

(1)求。。的半徑；

(2)當∏2=m2—2m+2時，在點P運動的過程中，點Q的位置會隨之變化，記Q?是其

中任意兩個位置，探究直線QιQ2與。。的位置關(guān)系.

【答案】⑴√Σ

(2)相切

【分析】(1)連接。B,0C,設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得44BC=乙4CB=

67.5。,從而得到NA=45°,再由圓周角定理可得NBoC=2?A=90°,再根據(jù)弧長公式計算，

即可求解；

(2)連接CQ,過點。作OEIBC于E,過點。作QFIBC于凡由(1)得：。B=。。=√Σ,

從而得到OB=岳=2.進而得到BE=EC=TBC=1,OE=三BC=BE=EC=1.再

由BP=m,可得EP=BP-BE=nι-l,根據(jù)勾股定理可得OP?=τ∏2-2rn+2,繼而得

至IJPQ=0P,可得至PQ=90°,從而得至IJzQPF=LPOE,再證明Rt?POE≤RtΔQPF,

可得QF=PE=m-llPF=OE=1,從而得到CF=QF,可得到點。在過點C,且與射線

BP夾角為45。的射線上，即可.

【詳解】(1)解：連接。B,0C,設(shè)。。的半徑為r,

A

D

o

?,AB=ACtZ-ABC=67.5,

.'.?ABC=乙ACB=67.5o.

.'.Z.A=180o-?ABC-乙ACB=45o.

LBOC=2乙4=90°.

...√2

.90τrr√2

??-----=—Tr.

1802

"?r=√2;

(2)解：連接CQ,過點。作OEIBC于E,過點Q作QFlBC于F.

：.0B=√2r=2.

'：0E1BC,

：.BE=EC=-BC=1,OE=LBC=BE=EC=1.

22

'：BP=m,

：.EP=BP-BE=m-l.

Y在RtAOEP中，Op2=θf2+Ep2,

：.OP2=l2+(zn-I)2=m2-2m+2.

■：PQ=n,nz=m2—2m+2,

:?PQ2=0p2,即PQ=Op.

.??POQ=乙PQo=450.

.??OPQ=90o.

ΛzQPF÷z0PE=90o.

XVzPOE÷ZOPF=90o,

:2QPF=乙POE.

在Rt△PoE與Rt△QPF中，乙OEP=(PFQ=90。/QPF=乙POE,OP=PQ,

/.Rt△POE=Rt△QPF.

?；BP=Tn≥2,

：.QF=PE=m-lfPF=OE=1.

：.CF=CP+PF=(BP?BC)+PF=m-2+l=m-l.

：.CF=QF.

???在Rt△QC尸中，乙FCQ=?FQC=45o.

即點。在過點C,且與射線8P夾角為45。的射線上.

：Qi，Qz是點。的任意兩個位置，

.?.直線Qι,Q2即為直線CQ?

;在RtAOEC中，OE=EC,

.??E0C=乙ECO=45°.

:./.0CQ=90°,即OCJ.CQ.

；點C在。。上，

，直線CQ與O。相切.

直線Q1,Q2與O。相切.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，弧長公式，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓

周角定理等知識，熟練掌握切線的判定，弧長公式，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì),

圓周角定理等知識是解題的關(guān)鍵，是壓軸題.

8.(2023?福建?模擬預(yù)測)如圖1,在。。中，4B為弦，CD為直徑，HAB1CD,垂足為E,

P為優(yōu)弧ACB上的動點(不與端點重合)，連接尸。.

圖1圖2

(1)求證：4APD=4BPD；

(2)在線段PD上有一點/,連接力。、Al.且4/平分4PAB,求證：AD=Dh

(3)如圖2,在(2)的條件下，若4APB=60o,Q。的半徑為2,過點。作O。的切線交PA的

延長線于點F;當PF=PD時，求P/的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)P∕=√3.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可證明；

(2)證明乙。4/=乙。/4進而命題可證；

(3)連接。4先計算得出aOAD是等邊三角形，作AELDF于點￡求得E4的長，證明△

FADSAFDP,從而求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：'NB為弦，CO為直徑，且

：.AD=血

.??APD=4BPD；

(2)證明：V?D=的，

，乙APD=?BAD.

平分4B4B,

：.?PA1=?BAL

乙

LDAI=?BAD+?BAI1DIA=Z.APD+?PAL

.??DA1=ZDM,

：.AD=Dk

(3)解：連接。4,

?'?APB=60°,乙APD=乙BPD,J.?APD=?BPD=30°,

：.?AOD=2?APD=60°,

9

：OA=ODf

???△CUD是等邊三角形,

：.AD=OD=2,?ADO=60°,

〈OF是。。的切線，

.??FDO=90o,?FDA=30°,

VPF=PD3L?APD=30°,

：.乙F=乙PDF=180-"30°=75°,

2

:?乙DAF=180o-ZF-Z-FAD=75°,

：.AD=FZ）=2,

由（2）得AD=D/=2,

作AE1DF于點E,

.'.AE=^AD=1,DE=V22—I2=y∕3,

：.EF=2-√3,

：.AF=y∕AE2+EF2=8-4√3,

.:4FPD=?FDA=30°,

ΔFADs&FDP,

：.PF=?=2+√3,即PD=PF=2+√3,

ΛP∕=PD-Z)/=2+√3-2=√3.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

9.(2023秋?福建莆田?九年級校考期末)已知如圖1,在Oo中，弦AC1BD于點P,AP=3,

BP=6,PD=4.E是CD的中點.

CC

圖1圖2

⑴求BC的長；

(2)求4E的長：

(3)如圖2,若竹=/，連接F。交AB于點Q,試說明乙4QD的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變

請求出乙IQD的度數(shù)，并說明理由.

【答案】(DBC=10

⑵.4E=4√5

(3)乙4QC=45。，不會發(fā)生變化，理由見解析

【分析】⑴連接CD,證明AABPfDCP,可得蔡=黑，代入數(shù)值求出PC的長，再用勾

股定理即可求出BC的長；

(2)連接BE,由(1)可知ABCD是等腰三角形，再由E是8的中點，可得BMlCD,則

BE是圓。的直徑，再由同弧所對的圓周角相等，可知N4C8=NBEA,根據(jù)tan/BCP=

tan/BEA,即可求AE的長；

(3)設(shè)BE與AC的交點為G,過點G作GHIBC交于點H,證明Rt△BHG三Rt△8PG,設(shè)

GP=x,則GH=x,在RtACGH中，由勾股定理求出GP=AP=3,再由BP垂直平分4G,

可得48=GB,貝∣JzΛBP=4GBP=又由竹=肝，可得NBOF=BUEB,進而可

求出N4QD=45°.

【詳解】（1）如圖，連接CD.

.'/.BAP=?CDP,4APB=乙CPD,

,.ΔABP-ADCP,

.AP_BP

?DP一CP'

：AP=3,BP=6fPD=4f

,3_6

7=河

,.PC=8,

??BC=√BP2+陪=10；

(2)連接BE,BE交CD的交點為M,

VBC=10,BD=10,

???ABCD是等腰三角形，

YE是CD的中點，

，乙DBE=乙CBE,

：.BM1CD,

,BE是圓。的直徑，

：.Z.BAE=90°.

在RtAABP中，AP=3fBP=6,

?u..AB=V32÷62=3Λ∕5,

???Λ8=血

.??ACB=乙BEA,

VtanzβCP=-=

CP4

Λtan?BEA=-=—,

4AE

Λ.ΛE=4√5;

(3)?AQD=45°,不會發(fā)生變化，理由如下：

設(shè)8E與4C的交點為G,過點G作G”交于點兒

由(2)知，乙CBE=乙DBE,

?:乙BHG=乙CHG=90°,

：.GH=GP,

?：BG=BG,

：.Rt?≤?BPG(HL),

：.BH=BP=6,

ΛCH=BC-BH=4,

設(shè)GP=GW=x,則CG=CP-GP=8-x,

在RtZkCGH中，x2+16=(8-x)2,

解得X=3,

：.,GP=AP=3,

TBPJLg

.?.8P垂直平分4G,

：.AB=GB,

：.?ABP=