【數(shù)學(xué)】311.2.2-最大值、最小值問題-課件(北師大版選修2-2)

第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.2.2最大值、最小值問題一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點。如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極小值。記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.一、函數(shù)極值的定義知識回顧1、在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量(x)的值，極值指的是函數(shù)值(y)。注意2、極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。3、函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。4、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而如何用圖表來確定函數(shù)的極大值與極小值?二、求函數(shù)f(x)的極值的步驟:一.最值的概念(最大值與最小值)新課講授如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的x∈I,總有f(x)≤f(x0),那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值.最值是相對函數(shù)定義域整體而言的.1.在定義域內(nèi),最值唯一;極值不唯一;注意:2.最大值一定比最小值大.二.如何求函數(shù)的最值?1.利用函數(shù)的單調(diào)性;2.利用函數(shù)的圖象;3.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如:求y=2x+1在區(qū)間[1,3]上的最值.如:求y=(x－2)2+3在區(qū)間[1,3]上的最值.2.將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值1.求f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)極值(極大值或極小值)

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上最值的步驟:-2(-2,0)02+0-0+-11極大值極小值5-254/32yx(0,8)8(8,24)+0-極大值課堂練習(xí)DB練習(xí)1求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：令，有，解得1345413y+0—0+0—2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：從表上可知，最大值是13，最小值是4．y’↘↗↘↗練習(xí)2

求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[-1，4]內(nèi)的最大值和最小值

解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x-1（-1,2）2（2，4）40－+83-1故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，4]內(nèi)的最大值為8，最小值為-1例3.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時,利潤L最大。分析:利潤L等于收入R減去本錢C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.求得唯一的極值點因為L只有一個極值點,所以它是最大值.答:產(chǎn)量為84時,利潤L最大.求以下函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。答案最大值f(－π/2)=π/2，最小值f(π/2)=－π/2最大值f(3/4)=5/4，最小值f(－5)=－5+最大值f(1)=－29，最小值f(3)=－61練習(xí)3：①求函數(shù)在內(nèi)的極值；

1.求在上的最大值與最小值的步驟:②求函數(shù)在區(qū)間端點的值；

③將函數(shù)在各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

小結(jié)2.求函數(shù)最值的一般方法：①.是利用函數(shù)性質(zhì)；②.是利用不等式；③.是利用導(dǎo)數(shù)一.最值的概念(最大值與最小值)復(fù)習(xí)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的x∈I,總有f(x)≤f(x0),那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值.最值是相對函數(shù)定義域整體而言的.如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的x∈I,總有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最小值.①求函數(shù)在內(nèi)的極值；

二.求在上的最大值與最小值的步驟:②求函數(shù)在區(qū)間端點的值；

③將函數(shù)在各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

復(fù)習(xí)三.求函數(shù)最值的一般方法：①.是利用函數(shù)性質(zhì)；②.是利用不等式；③.是利用導(dǎo)數(shù)練習(xí)1求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：令，有，解得1345413y+0—0+0—2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：從表上可知，最大值是13，最小值是4．y’↘↗↘↗練習(xí)2

求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[-1，4]內(nèi)的最大值和最小值

解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x-1（-1,2）2（2，4）40－+83-1故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，4]內(nèi)的最大值為8，最小值為-1例1.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時,利潤L最大。分析:利潤L等于收入R減去本錢C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.求得唯一的極值點因為L只有一個極值點,所以它是最大值.答:產(chǎn)量為84時,利潤L最大.生活中的優(yōu)化問題例2產(chǎn)品與利潤對于企業(yè)來說，生產(chǎn)本錢、銷售收入和利潤之間的關(guān)系是個重要的問題。對一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究說明，該企業(yè)的生產(chǎn)本錢y〔單位：萬元〕和生產(chǎn)收入z〔單位：萬元〕都是產(chǎn)量x(單位：t〕的函數(shù)，分別為(1)試寫出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤w〔單位：萬元〕與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤為多少？解〔1〕因為總利潤=總收入-總本錢，即w=z-y,所以即〔2〕求w=w(x)的導(dǎo)數(shù)解方程得115-0+0-極小值極大值列表，分析導(dǎo)函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性與極值點x=15是函數(shù)的極大值點，比較x=1和x=15的函數(shù)值可知，函數(shù)w(x)在x=15處取得最大值為1340，即該企業(yè)的產(chǎn)量為15t時，可獲得最大利潤，最大利潤為1340萬元在實際中，有許多以函數(shù)為數(shù)學(xué)模型的問題，在研究它們的變化規(guī)律時，導(dǎo)數(shù)是一個重要的工具，注意：解最優(yōu)化問題的思路為：最優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題最優(yōu)化問題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題要設(shè)計一種圓柱形，容積為500ml的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計才能使得總本錢最低？解：設(shè)易拉罐的底面半徑為xcm，所用的材料面積為，則解這個函數(shù)的最小值，得當(dāng)時，函數(shù)取得最小值例3某單位用2160萬元購得一塊空地，方案在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房，經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，那么每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用 因此當(dāng)x＝15時，f(x)取最小值f(15)＝2000.所以，為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為15層．【例4】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米．余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測