湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧希?，所?故選：D.2.若角的終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象上的定點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意令，得，而此時(shí)，所以，角的終邊經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以.故選：C.3.已知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，若，，，則m，n，p的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，可知，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知，即，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，即，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，即，.故選：B.4.已知扇形的面積為5，周長為9，則該扇形的圓心角為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗依題意，解得或，故圓心角為或.故選：C.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A，C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B符合函數(shù)，D不符合.故選：B.6.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，所以故選：C.7.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，由于，所以的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以是增函數(shù)，則，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，由得，即，則，解得或，所以不等式的解集為.故選：D.8.設(shè)，，且，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，由于，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足條件等式，所以，，即，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小?給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合遇目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若且，則為第二象限角B.C.若，則（）D.若角的終邊在第一象限，則的取值集合為〖答案〗ABD〖解析〗若，則為第二或四象限角，又，則為第一或二象限角或終邊為y軸非負(fù)半軸，則為第二象限角，故A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，不滿足（），故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；角的終邊在第一象限，則角的終邊在第一或第三象限，當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，，故則的取值集合為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10.下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論有（）A.若，則B.若，則的最小值為C當(dāng)時(shí)，D.若，，，則〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，若，有，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，設(shè)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以時(shí)，取最大值，即時(shí)，有最小值為，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)可能的取值有（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象和直線，如圖：當(dāng)時(shí)，方程無解，當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，而一元二次方程最多有兩個(gè)根，由題意若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則當(dāng)且僅當(dāng)，一元二次方程在時(shí)，有兩個(gè)不同的根，令，所以，解不等式組得或，對(duì)比選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)可能的取值有.故選：ACD.12.定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為2 B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的值域?yàn)?D.方程有6個(gè)根〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)滿足，所以，則關(guān)于對(duì)稱，又，即的最小正周期為4，則函數(shù)在上的單調(diào)性與單調(diào)性相同，由在上單調(diào)遞增知，函數(shù)在上遞增，故B正確；又當(dāng)時(shí)，，結(jié)合對(duì)稱性與周期性作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；作出的圖象，由圖知兩函數(shù)共有5個(gè)交點(diǎn)，可得方程有5個(gè)根，則D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則____________．〖答案〗〖解析〗【詳析】由冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不滿足題意，綜上所述，．故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.〖答案〗〖解析〗由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋砸购瘮?shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故〖答案〗為：.15.函數(shù)，的值域是________________.〖答案〗〖解析〗，令，則函數(shù)為，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以，所以的值域?yàn)?故〖答案〗為：.16.若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________________________.〖答案〗〖解析〗①當(dāng)時(shí)，解得，不符合題意；故，關(guān)于的不等式，即，②當(dāng)時(shí)，不等式即，解得或，即它的解集為，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，不等式即，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故它的解集為，，由題意，即，解得或，則實(shí)數(shù)取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1），又因?yàn)椋?，即，所以為第二或第三象限角，?dāng)為第二象限角時(shí)，，，當(dāng)為第三象限角時(shí)，，.（2），即，，由，得.19.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時(shí)相應(yīng)的取值集合；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）依題意有即，為奇函數(shù)，滿足題意，當(dāng)時(shí)取最小值；當(dāng)時(shí)取最大值2.（2）依題意，若單調(diào)遞減，則，，又，令得其減區(qū)間為與.20.1999年以來，漳州市連續(xù)每年11月18日承辦海峽兩岸花卉博覽會(huì)，開創(chuàng)了兩岸花卉直接交流的先河．近年來，漳州市委、市政府高度重視花卉苗木產(chǎn)業(yè)的培育和發(fā)展，將花卉苗木產(chǎn)業(yè)納入全市“千百億產(chǎn)業(yè)培育行動(dòng)計(jì)劃”，出臺(tái)了多項(xiàng)扶持政策．某花卉苗木企業(yè)積極響應(yīng)市里號(hào)召，決定對(duì)企業(yè)的某花卉進(jìn)行一次評(píng)估．已知該花卉單價(jià)為15元，年銷售10萬棵．（1）據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少4000棵，要使銷售的總收入不低于原收入，該花卉每棵售價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該花卉的影響力，提高年利潤，企業(yè)決定立即對(duì)該花卉進(jìn)行種植技術(shù)革新和營銷策略改革，擬投入x（）萬元作為技改費(fèi)和宣傳費(fèi)用，每棵售價(jià)定為（x+15）元，預(yù)估每棵成本為元，銷售量與投入費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系近似為S（x）萬棵．試問：投入多少萬元技改費(fèi)和宣傳費(fèi)能獲得最高利潤，此時(shí)利潤是多少萬元？（利潤＝銷售額－成本－技改費(fèi)和宣傳費(fèi)）解：（1）設(shè)每棵花卉售價(jià)為元，依題意，有，即，又，于是有，即，因此該花卉每棵售價(jià)最多為25元．（2）依題意，設(shè)利潤為萬元，則，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以，從而有當(dāng)時(shí)，有最大值113，所以投入3萬元技改費(fèi)和宣傳費(fèi)時(shí)，可獲得最高利潤113萬元．21.已知函數(shù)是上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，又，即，所以，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，所以為奇函數(shù)，故，.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以不等式可變形為，又在上單調(diào)遞增，所以，即對(duì)任意，有恒成立，令，則，所以，，故，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)和函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)，，使得函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋舸嬖?，求出，的值；若不存在，則說明理