山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個(gè)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，，所以.故選：B3.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（）．A.3 B.6 C.9 D.4〖答案〗B〖解析〗由橢圓方程知：，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.故選：B4.已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B5.在等差數(shù)列中，，則的值為（）A.20 B.15 C.10 D.5〖答案〗A〖解析〗在等差數(shù)列中，，則，因此．故選：A．6.若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，得漸近線為，因?yàn)槠渲幸粭l漸近線與直線垂直，則，得．故選：C7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若，當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)，（）A.29 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，，，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以只需要考慮的大小即可；，則，，則，，則，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：C8.已知三棱錐中，，，則異面直線AP與BC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，則，解得，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)直線與所成角為，.故選：A.二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.在等差數(shù)列中，已知，，是其前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，，可得，解得，，故A，B正確；又，故C錯(cuò)誤；同理，，，，，則，故D正確.故選：ABD.10.已知直線與⊙O：交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)B.使得的直線l有2條C.面積的最大值為D.⊙O在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)在直線上〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，直線方程可化為，顯然，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由，圓的半徑為3，得弦心距，結(jié)合圖形及A易知，滿足題意得弦所在直線為或，即直線斜率，或不存在，由題意斜率存在，故只有1條滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)弦心距為，則的面積，結(jié)合A可知，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)兩切線交點(diǎn)為，則四點(diǎn)共圓，以為直徑，故其圓心為，半徑為，該圓方程為，與作差得切點(diǎn)弦的方程為，又過(guò)點(diǎn)，所以，即交點(diǎn)P在直線上，故D正確．故選：ACD．11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為該正方體的上底面上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.存在唯一的點(diǎn)P滿足C.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.存在點(diǎn)P滿足〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，如圖（1）所示，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證：平面，因?yàn)椋移矫嫠云矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫妫云矫?，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以A正確；對(duì)于B，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示，可得，設(shè)，且，則，由，解得，所以存在唯一的點(diǎn)使得，所以B正確；對(duì)于C，由，可得，即，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，則，所以C正確；對(duì)于D，如圖（2）所示，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，所以，所以不存在點(diǎn)使得，所以D不正確.故選：ABC.12.如圖，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)y軸左側(cè)一點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，、分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗設(shè)拋物線上一點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理，令，解得，即過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為，對(duì)于A中，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，令，可得，即，又由拋物線的焦點(diǎn)為，所以，則，所以，即，同理可得，則四點(diǎn)共圓，所以，所以A正確；對(duì)于B中，若點(diǎn)在準(zhǔn)線上，可直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)焦點(diǎn)，則，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，可得，，若，可得，則，所以，此時(shí)直線過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)直線，代入拋物線，可得，設(shè)方程的兩根為，可得，即當(dāng)直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，而直線不一定過(guò)拋物線的交點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即,則，所以，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等比數(shù)列中，若，，則__________．〖答案〗8〖解析〗在等比數(shù)列中，，，也成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，故〖答案〗為?4.過(guò)定點(diǎn)且與直線平行的直線的一般式方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為：，即.故〖答案〗為：15.在三棱錐中，在線段上，滿足是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)__________.〖答案〗〖解析〗依題意，，則，由于四點(diǎn)共面，所以.故〖答案〗：16.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)______________．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，則直線為，由得，，即，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，由點(diǎn)在雙曲線上，代入得，整理得，則，故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)?，可得，，令，可得，滿足，所以的通項(xiàng)公式為；（2），所以.18.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切．過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓A的半徑為r，由題意知，圓心到直線l的距離為，即，所以圓A的方程為；（2）當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線方程為，即，點(diǎn)A到直線的距離為1，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，即，取的中點(diǎn)Q，連接，則，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)A到直線的距離為，所以，解得，所以直線方程為．綜上，直線的方程為或．19.已知數(shù)列滿足，，（1）求；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）因?yàn)?，所以?shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，設(shè)，則，又，所以為奇數(shù)時(shí)，20.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作于點(diǎn)F．求證：（1）平面EDB；（2）平面EFD．解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG，可得，，，，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，所以，又因?yàn)?，所以，所以．而平面，且平面，所以平面．?）由（1）得，所以，，可得，所以，即．又由，且，所以平面EFD．21.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，，分別是，的中點(diǎn)，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與棱交于點(diǎn)，．（1）求的值；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）過(guò)點(diǎn)作直線與平行，則，所以、共面，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，因?yàn)闉檎叫危堑闹悬c(diǎn)，所以，，又，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，又，所以.（2）連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.22.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于異于的兩點(diǎn)，直線分