2.8 直角三角形全等的判定（原卷版）

2.8直角三角形全等的判定1.認(rèn)識(shí)直角三角形2.掌握直角三角形的用HL證全等3.能運(yùn)用全等的性質(zhì)和HL綜合知識(shí)點(diǎn)一直角三角形我們知道,有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle),直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示,如圖所示的三角形可記為Rt△ABC知識(shí)點(diǎn)二直角三角形全等的判定方法:HL1.判定方法(斜邊直角邊)斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等,簡(jiǎn)寫成“斜邊直角邊”或“HL”2.書寫格式在中，∴3.靈活選擇判定方法證明兩直角三角形全等(1)判定一般三角形全等的所有方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，至此我們可以根據(jù)SSS，SASASA，AAS和HL五種方法來判定兩個(gè)直角三角形全等(2)在用一般方法證明時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形中已具備直角相等的條件,所以只需找另外兩個(gè)條件即可.證明中可根據(jù)已知條件靈活選用合適的方法即學(xué)即練1（2023春·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列條件中，不能保證兩個(gè)直角三角形一定全等的是（

）A．兩條直角邊分別相等B．斜邊和一條直角邊分別相等C．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等D．兩個(gè)銳角分別相等即學(xué)即練2（2023春·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)F為BC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且AF=BE．

(1)求證：△ACF≌△BCE．(2)若∠ABE=23°，求∠BAF的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三判定兩個(gè)三角形全等常用的思路方法已知對(duì)應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形兩邊(SS)SSS或SAS第三邊對(duì)應(yīng)相等或兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等一邊及其鄰角(SA)SAS或ASA或AAS已知角的另一鄰邊對(duì)應(yīng)相等或已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等或已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等一邊及其對(duì)角(SA)AAS另一角對(duì)應(yīng)相等兩角(AA)ASA或AAS兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等或相等一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等直角三角形一銳角(A)ASA或AAS直角與已知銳角的夾邊對(duì)應(yīng)相等或銳角(或直角)的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等斜邊(H)HL或AAS一條直角邊對(duì)應(yīng)相等或一銳角對(duì)應(yīng)相等一直角邊(L)HL或ASA或AAS或SAS斜邊對(duì)應(yīng)相等或與已知邊相鄰的銳角對(duì)應(yīng)相等或與已知邊所對(duì)的銳角對(duì)應(yīng)相等或另一直角邊對(duì)應(yīng)相等即學(xué)即練（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定ΔABC?ΔADC

A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°知識(shí)點(diǎn)四常見全等三角形的基本圖形平移型全等翻折型全等旋轉(zhuǎn)型全等題型一用HL證全等例1（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD=PE，則△APD與△APE全等的直接理由是（

A．SSS B．AAS C．HL D．ASA舉一反三1（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作AB的垂線AD、BE（點(diǎn)D、E在AB的同側(cè)），連接CD、CE，且

舉一反三2（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A,CD⊥BD于D,AC=BD,AC與BD相交于點(diǎn)O．求證：△ABC≌△DCB．

題型二全等的性質(zhì)和HL綜合例2（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E、F，BE=CF．求證：AD平分∠BAC．

舉一反三1（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，且DF=BD

(1)求證：BE=CF；(2)若AE=12，AF=8，求BE的長．舉一反三2（2021秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB⊥CD，且AE=CE，CB=AD．

(1)求證：△CBE≌(2)若∠A=70°，求∠CBD度數(shù)．一、單選題1．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠BCA=∠DCA2．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．一組銳角和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等B．兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等C．兩組直角邊分別對(duì)應(yīng)相等D．斜邊和一組直角邊分別對(duì)應(yīng)相等3．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E點(diǎn)，DF⊥AC于點(diǎn)F，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD上任意一點(diǎn)到AB，AC兩邊的距離相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正確的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④4．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AE平分∠CAB交BC于點(diǎn)E，則BE的長是（

）．A．3 B．5 C．163 D．5．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)樂清外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其兩直角邊為邊分別向外作正方形BDEC和ACFG，點(diǎn)P在AC上，滿足FP=AB，連接PD．若PC=1，則PD的長為（

A．2 B．5 C．6 D．2.5二、填空題1．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D，A，E在直線l上，AB=AC，BD⊥l于點(diǎn)D，CE⊥l于點(diǎn)E，且BD=AE．若BD=3，CE=52．（2022秋·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AD，CE是△ABC的兩條高線，AD=CE，∠CAD=25°，則∠OCD=度．3．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=7AD=72，∠B=45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的頂點(diǎn)E放在BC邊上移動(dòng)，直角邊EM始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊EN與CD交于點(diǎn)F，若△ABE為等腰三角形，則CF

4．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖：在ΔABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，BD（1）則CD=；（2）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)B以每秒1cm的速度向A運(yùn)動(dòng)秒鐘后Δ三、解答題1．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．

(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)已知AC=12，BE=2，求AB的長．2．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DE=BF．

(1)求證