專題01空間向量與立體幾何（基礎(chǔ)12種題型+能力提升題）（原卷版）

專題01空間向量與立體幾何（基礎(chǔ)12種題型+能力提升題）一．異面直線及其所成的角（共4小題）1．（2022秋?藍(lán)田縣期末）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，A1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是．2．（2022秋?潁州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為．3．（2022秋?東坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，S為等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與AC所成的角為．4．（2022秋?渦陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點(diǎn)．設(shè)D是線段B1C1（包括兩個(gè)端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線BD與EF所成角的余弦值為，則線段BD的長(zhǎng)為．二．空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)（共1小題）5．（2022秋?西城區(qū)期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，點(diǎn)A（1，3，0），B（0，3，﹣1），則（）A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOy C．直線AB∥坐標(biāo)平面xOz D．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOz三．空間兩點(diǎn)間的距離公式（共1小題）（多選）6．（2022秋?凌河區(qū)校級(jí)期末）空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)到下列各點(diǎn)的距離不大于5的是（）A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4）四．空間向量及其線性運(yùn)算（共6小題）7．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期末）已知三棱錐O﹣ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且＝，＝，＝，用，，表示，則等于（）A． B． C． D．8．（2022秋?黃山期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分別是BC、CC1的中點(diǎn)，G為△ABC的重心，則＝（）A． B． C． D．9．（2022秋?米東區(qū)校級(jí)期末）如圖，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則＝（）A． B． C． D．10．（2022秋?玉林期末）如圖，空間四邊形OABC中，．點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．11．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則m的值為．12．（2022秋?淄博期末）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，點(diǎn)P滿足．（1）用向量表示；（2）求．五．共線向量與共面向量（共1小題）13．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知，，若與共線，則x+y＝．六．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（共4小題）14．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)期末）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是．15．（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）已知向量，若，則m＝．16．（2022秋?勃利縣校級(jí)期末）已知向量＝（0，﹣1，1），＝（4，1，0），|λ+|＝且λ＞0，則λ＝．17．（2022秋?豐城市期末）＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），則||＝．七．空間向量的夾角與距離求解公式（共1小題）18．（2022秋?錦州期末）直線l的方向向量為，且l過(guò)點(diǎn)A（1，1，1），則點(diǎn)P（﹣1，2，1）到l的距離為（）A． B． C． D．八．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示（共4小題）19．（2022秋?新余期末）已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．（多選）20．（2022秋?東湖區(qū)校級(jí)期末）已知，，是空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若x+y+z＝，則x＝y(tǒng)＝z＝0 B．，，兩兩共面，但，，不共面 C．一定存在實(shí)數(shù)x，y，使得＝x+y D．+，﹣，+2一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底（多選）21．（2022秋?花都區(qū)校級(jí)期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，22．（2023春?龍巖期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1的交點(diǎn)．若＝，＝，＝，則向量＝（）A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+九．向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共2小題）23．（2022秋?荊州區(qū)校級(jí)期末）已知x，y∈R，向量，，，且，，則＝（）A． B． C．4 D．324．（2022秋?東城區(qū)期末）已知空間向量＝（1，﹣1，0），＝（m，1，﹣1），若⊥，則實(shí)數(shù)m＝．十．平面的法向量（共2小題）（多選）25．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期末）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，3，﹣1），，﹣3，1），則l1∥l2 B．直線l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），則l⊥α C．兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是，2，﹣1），，4，2），則α⊥β D．直線l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），則l∥α26．（2022秋?蘭山區(qū)校級(jí)期末）已知平面α的一個(gè)法向量，點(diǎn)A（﹣1，﹣3，0）在平面α內(nèi)，若點(diǎn)B（m，0，2﹣m）在平面α內(nèi)，則m＝．十一．直線與平面所成的角（共4小題）27．（2022秋?興城市校級(jí)期末）如圖，已知平面四邊形ABCP中，D為PA的中點(diǎn)，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4．將此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB、BD．（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．28．（2022秋?懷柔區(qū)期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，點(diǎn)E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直線BC1與A1C所成角的大??；（Ⅱ）求BC1與平面A1EC所成角的正弦．29．（2023春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M為棱A1B1的中點(diǎn)．（1）求證：C1M⊥B1D；（2）求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值．30．（2022秋?城區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA．（1）證明：EF∥平面ABP；（2）求直線PC與平面ADF所成角的正弦值．十二．二面角的平面角及求法（共2小題）31．（2022秋?郴州期末）在空間中，已知平面α過(guò)點(diǎn)（3，0，0）和點(diǎn)（0，4，0）及z軸上一點(diǎn)（0，0，a）（a＞0），如果平面α與平面xOy上的夾角為45°，則a＝．32．（2022秋?溫州期末）二面角α﹣l﹣β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則平面α與平面β的夾角為．一．多選題（共3小題）（多選）1．（2022秋?薛城區(qū)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的有（）A．AP⊥B1C B．PD⊥BC C．直線PC1與平面A1BCD1所成角的最小值是 D．PC+PD的最小值為（多選）2．（2022秋?廣州期末）已知空間向量＝（﹣2，﹣1，1），＝（3，4，5），則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．在上的投影數(shù)量為（多選）3．（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn)，則（）A．＜，＞＝120° B．BD1⊥AC C．BD1⊥EB1 D．∠BB1E＝45°二．填空題（共2小題）4．（2022秋?保山期末）半正多面體（又稱作“阿基米德體”），是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，其構(gòu)成體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正14面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體沿共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去八個(gè)相同的三棱錐所得，則這個(gè)半正多面體的體積為；若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與平面AFG所成角的正弦值的取值范圍為．5．（2022秋?惠州期末）空間直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（x0，y0，z0）且一個(gè)法向量為的平面α的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，過(guò)點(diǎn)P（x0，y0，z0）且方向向量為的直線l的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問(wèn)題：已知平面α的方程為x﹣y+z+1＝0，直線l是兩個(gè)平面x﹣y+2＝0與2x﹣z+1＝0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為．三．解答題（共9小題）6．（2022秋?三門峽期末）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線PB與底面ABCD所成的角為45°，PA＝2CD，PD＝，E是棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一點(diǎn)T，使得平面ATE與平面APB所成銳二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出T的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2022秋?中山市校級(jí)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD為等邊三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG∥平面AEF？若存在，求直線DG與平面AEF的距離；若不存在，說(shuō)明理由．8．（2022秋?西山區(qū)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC＝，PD＝DC＝2BC＝4，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AP上且滿足＝λ，PD⊥面ABCD．（Ⅰ）當(dāng)λ＝時(shí)，證明：PC∥平面BFE；（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最?。?．（2022秋?邵東市校級(jí)期末）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，，PA＝PB＝PD＝2．（1）證明：PA⊥BD；（2）求直線BC與平面PCD所成角的余弦值．10．（2022秋?湖北期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，，AB∥CD，∠APD＝∠ABC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA中點(diǎn)．（1）求證：DE∥面PBC；（2）求證：PA⊥面PBD；（3）點(diǎn)Q在棱PB上，設(shè)，若二面角P﹣AD﹣Q的余弦值為，求λ．11．（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設(shè)，，．（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長(zhǎng)．12．（2022秋?溫州期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．（1）證明：D1E⊥A1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離．13．（2022秋?浉河區(qū)校級(jí)期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面A