2022-2023學年九年級數(shù)學下冊舉一反三系列專題5.9 二次函數(shù)中的最值問題【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學年九年級數(shù)學下冊舉一反三系列專題5.9二次函數(shù)中的最值問題【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知二次函數(shù)的對稱軸及自變量取值范圍求最值】 2【題型2已知含參二次函數(shù)的對稱軸及最值求參】 4【題型3已知二次函數(shù)解析式及最值求自變量取值范圍】 6【題型4二次函數(shù)中求線段最值】 10【題型5二次函數(shù)中求線段和差最值】 18【題型6二次函數(shù)中求周長最值】 32【題型7二次函數(shù)中求面積最值】 42【題型8二次函數(shù)在新定義中求最值】 52【知識點1二次函數(shù)的最值】1.對于二次函數(shù)在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實數(shù)，如圖①，函數(shù)在時，取到最小值，無最大值．（2）若，如圖②，當，；當，．（3）若，如圖③，當，；當，．（4）若，，如圖④，當，；當，．2.對于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大?。绢}型1已知二次函數(shù)的對稱軸及自變量取值范圍求最值】【例1】（2022秋?開福區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m．當﹣3≤x≤3時，則y的最大值為（用含m的式子表示）．【變式1-1】（2022秋?河西區(qū)期末）當x≥2時，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4【變式1-2】（2022秋?上城區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2，當﹣1≤x≤2時，求函數(shù)y的最小值和最大值．小王的解答過程如下：解：當x＝﹣1時，y＝1；當x＝2時，y＝4；所以函數(shù)y的最小值為1，最大值為4．小王的解答過程正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答過程．【變式1-3】（2022?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點（3，0），且對稱軸為直線x＝1．（1）求b+c的值．（2）當﹣4≤x≤3時，求y的最大值．（3）平移拋物線y＝x2+bx﹣c，使其頂點始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最小值．【題型2已知含參二次函數(shù)的對稱軸及最值求參】【例2】（2022?鹿城區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當﹣2≤x≤3時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則m的值為（）A．±16 B．-16或12 C．-16【變式2-1】（2022秋?龍口市期末）已知關于x的二次函數(shù)y＝x2+2x+2a+3，當0≤x≤1時，y的最大值為10，則a的值為．【變式2-2】（2022?灌南縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c，當﹣1≤x≤2時，y有最小值7，最大值11，則a+c的值為（）A．3 B．9 C．293 D．【變式2-3】（2022?青山區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【題型3已知二次函數(shù)解析式及最值求自變量取值范圍】【例3】（2022?寧陽縣一模）當0≤x≤m時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2【變式3-1】（2022?龍港市模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5，當m≤x≤m+3時，求y的最小值（用含m的代數(shù)式表示）．【變式3-2】（2022?廬陽區(qū)一模）設拋物線y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b為實數(shù)，a＜0，且經(jīng)過（3，0）．（1）求拋物線的頂點坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若a＝﹣2，當t﹣2≤x≤t時，函數(shù)的最大值是6，求t的值；（3）點A坐標為（0，4），將點A向右平移3個單位長度，得到點B．若拋物線與線段AB有兩個公共點，求a的取值范圍．【變式3-3】（2022?文成縣一模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點為（﹣1，0），且經(jīng)過點（2，c）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點坐標．（2）當t≤x≤2﹣t時，函數(shù)的最大值為M，最小值為N，若M﹣N＝3，求t的值．【題型4二次函數(shù)中求線段最值】【例4】（2022?黔東南州二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣2，0）、B（1，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是拋物線對稱軸上的動點，求MB+MC的最小值；（3）若點P是直線AC下方拋物線上的動點，過點P作PQ⊥AC于點Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-1】（2022?太原一模）綜合與實踐如圖，拋物線y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．點D在直線AC下方的拋物線上運動，過點D作y軸的平行線交AC于點E．（1）求直線AC的函數(shù)表達式；（2）求線段DE的最大值；（3）當點F在拋物線的對稱軸上運動，以點A，C，F(xiàn)為頂點的三角形是直角三角形時，直接寫出點F的坐標．【變式4-2】（2022?平果市模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（0，3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M．設點P的橫坐標為t．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在第一象限，連接AM，BM．當線段PM最長時，求△ABM的面積；（3）是否存在這樣的點P，使以點P，M，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC上方的拋物線上一動點．求拋物線的解析式；（1）過點P作PE⊥AC于點E，求22PE的最大值及此時點P（2）將拋物線y＝ax2+bx+4向右平移4個單位，得到新拋物線y'，點M是拋物線y'的對稱軸上一點．在x軸上確定一點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．【題型5二次函數(shù)中求線段和差最值】【例5】（2022春?良慶區(qū)校級期末）如圖，已知拋物線的解析式為y=-34x2-94x+3，拋物線與x軸交于點A和點B，與（1）請分別求出點A、B、C的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連接AC、BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C的對應點分別為M、N，求點M、N的坐標；（3）若點P為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點Р的坐標，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．【變式5-1】（2022?濠江區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2+（m+1）x+4m+9．（1）對于任意m，二次函數(shù)都會經(jīng)過一個定點，求此定點的坐標；（2）當m＝﹣3時，如圖，二次函數(shù)與y軸的交點為M，頂點為N．①若點P是x軸上的動點，求PN﹣PM的最大值及對應的點P的坐標；②設點Q是二次函數(shù)上的動點，點H是直線MN上的動點，是否存在點Q，使得△OQH是以點Q為直角頂點的等腰Rt△OQH？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【變式5-2】（2022?建華區(qū)二模）綜合與實踐如圖，已知正方形OCDE中，頂點E（1，0），拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點C、點D，與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），直線x＝t（t＞0）交x軸于點（1）求拋物線的解析式，且直接寫出點A、點B的坐標；（2）若點G是拋物線的對稱軸上一動點，且使AG+CG最小，則G點坐標為：；（3）在直線x＝t（第一象限部分）上找一點P，使得以點P、點B、點F為頂點的三角形與△OBC全等，請你直接寫出點P的坐標；（4）點M是射線AC上一點，點N為平面上一點，是否存在這樣的點M，使得以點O、點A、點M、點N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請你直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【變式5-3】（2022?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點，OA＝6，其頂點與x軸的距離是6．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，過點P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．①當△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值；②如圖2，當點P在x軸下方的拋物線上時，過點B（3，3）的直線AB與直線PQ交于點C，求PC+CQ的最大值．【題型6二次函數(shù)中求周長最值】【例6】（2022?南京模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2ax+4與x軸交于點A（﹣4，0），B（x2，0），與y軸交于點C．經(jīng)過點B的直線y＝kx+b與y軸交于點D（0，2），與拋物線交于點E．（1）求拋物線的表達式及B，C兩點的坐標；（2）若點P為拋物線的對稱軸上的動點，當△AEP的周長最小時，求點P的坐標；（3）若點M是直線BE上的動點，過M作MN∥y軸交拋物線于點N，判斷是否存在點M，使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【變式6-1】（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；（3）在平面直角坐標系中，是否存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【變式6-2】（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣1）和點B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個動點，PC∥y軸與AB交于點C，PD⊥AB于點D，連接PA．（1）求拋物線的表達式；（2）當△PCD的周長取得最大值時，求點P的坐標和△PCD周長的最大值；（3）當△PAC是等腰三角形時，請直接給出點P的坐標．【變式6-3】（2022?黃石模擬）如圖，已知拋物線y=ax2+85x+c與x軸交于A（2，0），B兩點，與y軸交于點C（0，﹣4），直線l：y=-12x-4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+8（1）求該拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上位于第三象限的一動點，設點P的橫坐標是m，四邊形PCOB的面積是S．①求S關于m的函數(shù)解析式及S的最大值；②點Q是直線PE上一動點，當S取最大值時，求△QOC周長的最小值及FQ的長．【題型7二次函數(shù)中求面積最值】【例7】（2022?三水區(qū)校級三模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x軸于點A，B（A在B的左側(cè)），交y軸于點C．（1）求點A的坐標；（2）若經(jīng)過點A的直線y＝kx+k交拋物線于點D．①當k＞0且a＝﹣1時AD交線段BC于E，交y軸于點F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②當k＜0且k＝a時，設P為拋物線對稱軸上一動點，點Q是拋物線上的動點，那么以A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標，若不能，請說明理由．【變式7-1】（2022?宜興市二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a＜0）與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，頂點為D，直線BD與y軸相交于點E．（1）求證OC=12（2）M為線段OB上一點，N為線段BE上一點，當a=-12時，求△（3）若Q為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，小林猜想：當點Q與點D重合時，四邊形ABQC的面積取得最大值．請判斷小林猜想是否正確，并說理由．【變式7-2】（2022秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，直線y=-34x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-38x2+34x+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，點P是第一象限拋物線上的點，連結(jié)OP交直線AB于點Q，設點P的橫坐標為m【變式7-3】（2022?大慶三模）如圖，已知拋物線y=14x2+bx+c與y軸交于點C（0，2），對稱軸為x＝2，直線y＝kx（k＞0）分別交拋物線于點A，B（點A在點B的左邊），直線y＝mx+n分別交y軸、x軸于點D，E（4，0），交拋物線y軸右側(cè)部分于點F，交AB于點P，且OC＝（1）求拋物線及直線DE的函數(shù)表達式；（2）若G為直線DE下方拋物線上的一個動點，連接GD，GF，求當△GDF面積最大時，點G的坐標及△GDF面積的最大值；【題型8二次函數(shù)在新定義中求最值】【例8】（2022?安順）在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為和諧點．例如：點（1，1），（12，12），（-2（1）判斷函數(shù)y＝2x+1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實數(shù)【變式8-1】（2022?姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標系xOy中，對于任意的三個點A、B、C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的“三點矩形”．在點A，B，C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點A，B，C的“最佳三點矩形”．如圖1，矩形DEFG，矩形IJCH都是點A，B，C的“三點矩形”，矩形IJCH是點A，B，C的“最佳三點矩形”．如圖2，已知M（4，1），N（﹣2，3），點P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，則點M，N，P的“最佳三點矩形”的周長為，面積為；②若m＝2，點M，N，P的“最佳三點矩形”的面積為24，求n的值；（2）若點P在直線y＝﹣2x+5上．①求點M，N，P的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時m的取值范圍；②當點M，N，P的“最佳三點矩形”為正方形時，求點P的坐標；（3）若點P（m，n）在拋物線y＝ax2+bx+c上，當且僅當點M，N，P的“最佳三點矩形”面積為18時，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接寫出拋物線的解析式．【變式8-2】（2022?碑林區(qū)校級模擬）定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，箏形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求箏形ABCD的面積的最大值；問題解決：（2）如圖2是一塊矩形鐵片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李優(yōu)想從這塊鐵片中裁出一個箏形EFGH，要求點E是AB邊的中點，點F、G、H分別在BC、CD、AD上（含端點），是否存在一種裁剪方案，使得箏形EFGH的面積最大？若存在，求出箏形EFGH的面積最大值，若不存在，請說明理由．【變式8-3】（2022春?崇川區(qū)期末）平面直角坐標系中，有兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2兩點間的“轉(zhuǎn)角距離”，記作d（P1，P2）．（1）若A為（3，﹣2），O為坐標原點，則d（O，A）＝；（2）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）＝2，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；（3）若M（1，1），點N為拋物線y＝x2﹣1上一動點，求d（M，N）的最小“轉(zhuǎn)角距離”．專題5.9二次函數(shù)中的最值問題【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知二次函數(shù)的對稱軸及自變量取值范圍求最值】 2【題型2已知含參二次函數(shù)的對稱軸及最值求參】 4【題型3已知二次函數(shù)解析式及最值求自變量取值范圍】 6【題型4二次函數(shù)中求線段最值】 10【題型5二次函數(shù)中求線段和差最值】 18【題型6二次函數(shù)中求周長最值】 32【題型7二次函數(shù)中求面積最值】 42【題型8二次函數(shù)在新定義中求最值】 52【知識點1二次函數(shù)的最值】1.對于二次函數(shù)在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實數(shù)，如圖①，函數(shù)在時，取到最小值，無最大值．（2）若，如圖②，當，；當，．（3）若，如圖③，當，；當，．（4）若，，如圖④，當，；當，．2.對于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大?。绢}型1已知二次函數(shù)的對稱軸及自變量取值范圍求最值】【例1】（2022秋?開福區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m．當﹣3≤x≤3時，則y的最大值為15+m（用含m的式子表示）．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以得到該函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當﹣3≤x≤3時，y的最大值．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝1，該函數(shù)圖象開口向上，當x＝1時，有最小值，∴當﹣3≤x≤3時，y取得最大值時對應的x的值是﹣3，∵當x＝﹣3時，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，∴當﹣3≤x≤3時，y的最大值為15+m，故答案為：15+m．【變式1-1】（2022秋?河西區(qū)期末）當x≥2時，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4【分析】用配方法配方成頂點式，可求得對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，∴當x≥2時，函數(shù)有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，故選：B．【變式1-2】（2022秋?上城區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2，當﹣1≤x≤2時，求函數(shù)y的最小值和最大值．小王的解答過程如下：解：當x＝﹣1時，y＝1；當x＝2時，y＝4；所以函數(shù)y的最小值為1，最大值為4．小王的解答過程正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答過程．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和小王的做法，可以判斷小王的做法是否正確，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．【解答】解：小王的做法是錯誤的，正確的做法如下：∵二次函數(shù)y＝x2，∴該函數(shù)圖象開口向上，該函數(shù)的對稱軸是y軸，∵﹣1≤x≤2，∴當x＝0時取得最小值，最小值是0，當x＝2時取得最大值，此時y＝4，由上可得，當﹣1≤x≤1時，函數(shù)y的最小值是0，最大值是4．【變式1-3】（2022?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點（3，0），且對稱軸為直線x＝1．（1）求b+c的值．（2）當﹣4≤x≤3時，求y的最大值．（3）平移拋物線y＝x2+bx﹣c，使其頂點始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最小值．【分析】（1）由對稱軸-b2=1，求出b的值，再將點（3，0）代入y＝x2+bx（2）由題意可得拋物線的對稱軸為直線x＝1，結(jié)合函數(shù)圖像可知當x＝﹣4時，y有最大值21；（3）設頂點坐標為（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式為y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，設平移后所得拋物線與y軸交點的縱坐標為w，則w＝3h2﹣h﹣1＝3（h-16）2【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的對稱軸為直線x＝1，∴-b∴b＝﹣2，∵二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點（3，0），∴9﹣6﹣c＝0，∴c＝3，∴b+c＝1；（2）由（1）可得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵﹣4≤x≤3，∴當x＝﹣4時，y有最大值21；（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，其頂點始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，∴．設頂點坐標為（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式為y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，設平移后所得拋物線與y軸交點的縱坐標為w，則w＝3h2﹣h﹣1＝3（h-16）2∴當h=16時，平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最小值為【題型2已知含參二次函數(shù)的對稱軸及最值求參】【例2】（2022?鹿城區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當﹣2≤x≤3時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則m的值為（）A．±16 B．-16或12 C．-16【分析】由二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx可得對稱軸為x＝2，分為m＞0和m＜0兩種情況，當m＞0時，二次函數(shù)開口向上，當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝2取得最小值﹣2，將x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=12，當m＜0時，二次函數(shù)開口向下，當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝﹣2取得最小值﹣2，將x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝mx2﹣4mx，∴對稱軸為x=-b①當m＞0時，∵二次函數(shù)開口向上，∴當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝2取得最小值﹣2，將x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m=1②當m＜0時，∵二次函數(shù)開口向下，∴當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝﹣2取得最小值﹣2，將x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m=-1綜上，m的值為12或-故選：B．【變式2-1】（2022秋?龍口市期末）已知關于x的二次函數(shù)y＝x2+2x+2a+3，當0≤x≤1時，y的最大值為10，則a的值為2．【分析】根據(jù)拋物線的關系式可知，拋物線的開口方向向上，對稱軸為直線x＝﹣1，所以可得0≤x≤1在對稱軸的右側(cè)，然后進行計算即可解答．【解答】解：∵y＝x2+2x+2a+3＝x2+2x+1+2a+2＝（x+1）2+2a+2，∴拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣1，∵a＝1＞0，∴拋物線的開口方向向上，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，∵當0≤x≤1時，y的最大值為10，∴當x＝1時，y＝10，把x＝1時，y＝10代入y＝x2+2x+2a+3中可得：1+2+2a+3＝10，∴a＝2，故答案為：2．【變式2-2】（2022?灌南縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c，當﹣1≤x≤2時，y有最小值7，最大值11，則a+c的值為（）A．3 B．9 C．293 D．【分析】先求得拋物線的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，當﹣1≤x≤2時，函數(shù)的最值為y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，從而求得a+c＝9．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c，∴該二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=--2a∵當x＝1時，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；當x＝﹣1時，y＝a+2a+c＝3a+c；∴當﹣1≤x≤2時，函數(shù)的最值為y＝﹣a+c和y＝3a+c，∵當﹣1≤x≤2時，y有最小值7，最大值11，∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，∴a+c＝9，故選：B．【變式2-3】（2022?青山區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣2，可知該函數(shù)的對稱軸在y軸右側(cè)，4×1×c-b24×1=-3，-b2＞0，再根據(jù)當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，即可得到c【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，∴該函數(shù)的對稱軸在y軸右側(cè)，4×1×c-b24×1∴b＜0，∵當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，∴當x＝0時，y＝c＝﹣2，將c＝﹣2代入4×1×c-b24×1=-3，可得b1故選：C．【題型3已知二次函數(shù)解析式及最值求自變量取值范圍】【例3】（2022?寧陽縣一模）當0≤x≤m時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到m的取值范圍，本題得以解決．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝2，當x＝2時，該函數(shù)取得最大值1，該函數(shù)圖象開口向下，∵當0≤x≤m時，此函數(shù)的最小值為﹣3，最大值為1，當x＝0時，y＝﹣3，∴2≤m≤4，故選：C．【變式3-1】（2022?龍港市模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5，當m≤x≤m+3時，求y的最小值（用含m的代數(shù)式表示）．【分析】分四種情況討論：①當m+3≤﹣2時，即m≤﹣5，y的最小值為﹣m2﹣4m+5；②當m+32＜-2＜m+3時，即﹣4＜m＜﹣3，y的最小值為﹣m2﹣4m+5；③當m＜﹣2≤m+32時，即﹣3≤m＜﹣2，y的最小值為﹣m2﹣8m﹣7；④當m≥﹣2時，y的最小值為﹣【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴對稱軸為直線x＝﹣2，當m≥﹣2時，則當x＝m+3時，y有最小值為﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，當m＜﹣2＜m+3時，即﹣5＜m＜﹣2，當對稱軸位于范圍內(nèi)時，誰離對稱軸遠，誰就小，若m+3+2≥﹣2﹣m，即-72當x＝m+3時，y有最小值為﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，當m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜-7當x＝m時，y有最小值為﹣m2﹣4m+5，當m+3+2≤﹣2時，即m≤﹣5，y的最小值為﹣m2﹣4m+5；綜上所述：m≥-72時y的最小值為﹣m2﹣10m﹣16；當m＜-72時，y的最小值為﹣m【變式3-2】（2022?廬陽區(qū)一模）設拋物線y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b為實數(shù)，a＜0，且經(jīng)過（3，0）．（1）求拋物線的頂點坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若a＝﹣2，當t﹣2≤x≤t時，函數(shù)的最大值是6，求t的值；（3）點A坐標為（0，4），將點A向右平移3個單位長度，得到點B．若拋物線與線段AB有兩個公共點，求a的取值范圍．【分析】（1）把已知點坐標代入拋物線的解析式，求得a、b的數(shù)量關系，把拋物線解析式中的b換成a的代數(shù)式，再將拋物線的解析式化成頂點式，便可求得頂點坐標；（2）分x＝t和x＝t﹣2在對稱軸右側(cè)、左側(cè)或兩側(cè)三種情況，討論求解即可；（3）拋物線經(jīng)過（﹣1，0）和（3，0），與線段AB有兩個公共點時，結(jié)合圖象即可判斷出a的取值范圍．【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得，9a+3b﹣3a＝0，∴b＝﹣2a，∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4a）；（2）∵a＝﹣2，∴拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣1）2+8，∴對稱軸為直線：x＝1，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，當x＜1時，y隨x的增大而增大，∵當t﹣2≤x≤t時，函數(shù)的最大值是6，∴①當x＝t和x＝t﹣2在對稱軸右側(cè)時，有-2(t-2-1)解得t＝4，②當x＝t和x＝t﹣2在對稱軸左側(cè)時，有-2(t-1)解得t＝0，③當x＝t和x＝t﹣2在對稱軸左側(cè)或兩側(cè)時，函數(shù)的最大值為8，不可能為6，此時無解，綜上，t的值為0或4；（3））∵點A坐標為（0，4），將點A向右平移3個單位長度，得到點B，∴B（3，4），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），∴拋物線經(jīng)過點（3，0）和（﹣1，0），若此二次函數(shù)的圖象與線段AB有兩個交點，則如圖所示，拋物線的圖象只能位于圖中兩個虛線的位置之間，當拋物線經(jīng)過點A時，為一種臨界情況，將A（0，4）代入，4＝0﹣0﹣3a，解得a＝?43當拋物線的頂點在線段AB上時，為一種臨界情況，此時頂點的縱坐標為4，∴﹣4a＝4，解得a＝﹣1，∴-43【變式3-3】（2022?文成縣一模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點為（﹣1，0），且經(jīng)過點（2，c）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點坐標．（2）當t≤x≤2﹣t時，函數(shù)的最大值為M，最小值為N，若M﹣N＝3，求t的值．【分析】（1）由拋物線經(jīng)過（2，c）和（0，c），可得到拋物線的對稱軸為直線x＝1，即可根據(jù)點（﹣1，0），確定拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0）；（2）根據(jù)t≤2﹣t，確定t≤1，2﹣t≥1，求出當＝1時取得最大值4，解得N＝1，令y＝1求出值．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過（2，c）和（0，c），∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴（﹣1，0）的對稱點為（3，0）．即拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3.0）；（2）∵與x軸的一個交點為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，∴0=-1-b+c-解得：b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3．∵t≤x≤2﹣t，∴t≤1，2﹣t≥1．∴當t≤x≤2﹣t時，當x＝1時取得最大值4，即M＝4，當x＝t或x＝2﹣t時取得最小值N，∵M﹣N＝3，∴N＝1．令y＝l得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2∴t=-3令y＝l得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1=3+1（舍），t2∴t=-3綜上：t=-3【題型4二次函數(shù)中求線段最值】【例4】（2022?黔東南州二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣2，0）、B（1，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是拋物線對稱軸上的動點，求MB+MC的最小值；（3）若點P是直線AC下方拋物線上的動點，過點P作PQ⊥AC于點Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）當A、C、M三點共線時，MB+MC的值最小，最小值為AC，求出AC的長即為所求；（3）過點P作PE∥y軸交AC于E，當PD最大時，△APC的面積最大，也就是PE最大，先求直線AC的解析式，設P（t，t2+t﹣2），則E（t，﹣t﹣2），則PE＝﹣（t+1）2+1，當t＝﹣1時，PE有最大值，此時P（﹣1，﹣2）．【解答】解：（1）將點A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴a+b-2=04a-2b-2=0解得a=1b=1∴y＝x2+x﹣2；（2）∵A、B關于拋物線的對稱軸對稱，∴AM＝BM，∴MB+MC≥AM+MC，當A、C、M三點共線時，MB+MC的值最小，最小值為AC，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝22，∴MB+MC的最小值為22；（3）線段PQ存在最大值，理由如下：過點P作PE∥y軸交AC于E，當PD最大時，△APC的面積最大，也就是PE最大，設直線AC的解析式為y＝kx+b，∴-2k+b=0b=-2解得k=-1b=-2∴y＝﹣x﹣2，設P（t，t2+t﹣2），則E（t，﹣t﹣2），∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，∴當t＝﹣1時，PE有最大值，此時P（﹣1，﹣2）．【變式4-1】（2022?太原一模）綜合與實踐如圖，拋物線y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．點D在直線AC下方的拋物線上運動，過點D作y軸的平行線交AC于點E．（1）求直線AC的函數(shù)表達式；（2）求線段DE的最大值；（3）當點F在拋物線的對稱軸上運動，以點A，C，F(xiàn)為頂點的三角形是直角三角形時，直接寫出點F的坐標．【分析】（1）分別令x＝0，y＝0，求得點C、A的坐標，再運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設D（m，m2+2m﹣8），則E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得線段DE的最大值；（3）設F（﹣1，n），根據(jù)兩點間距離公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三種情況：①當∠AFC＝90°時，②當∠CAF＝90°時，③當∠ACF＝90°時，分別建立方程求解即可．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），設直線AC的解析式為y＝kx+b，則-4k+b=0b=-8解得：k=-2b=-8∴直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣8；（2）設D（m，m2+2m﹣8），則E（m，﹣2m﹣8），∵點D在點E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴當m＝﹣2時，線段DE最大值為4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，設F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①當∠AFC＝90°時，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4-19，n2＝﹣4+∴F（﹣1，﹣4-19）或（﹣1，﹣4+②當∠CAF＝90°時，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n=3∴F（﹣1，32③當∠ACF＝90°時，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n=-17∴F（﹣1，-17綜上所述，點F的坐標為（﹣1，﹣4-19）或（﹣1，﹣4+19）或（﹣1，32【變式4-2】（2022?平果市模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（0，3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M．設點P的橫坐標為t．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在第一象限，連接AM，BM．當線段PM最長時，求△ABM的面積；（3）是否存在這樣的點P，使以點P，M，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函數(shù)的解析式；（2）用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，可求出PM＝﹣（t-32）2+94，當t=32時，（3）根據(jù)題意，分兩種情況討論；①當PB為平行四邊形的對角線時，此時t無解；②當PO為平行四邊形的對角線時，此時P（3+212，3-212）或（【解答】解：（1）將點A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴-9+3b+c=0c=3解得b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3；（2）設線AB的解析式為y＝kx+b，∴b=33k+b=0解得k=-1b=3∴y＝﹣x+3，∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），則M（t，﹣t2+2t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t-32）2當t=32時，PM最長為此時S△ABM=12×（3）存在點P，使以點P，M，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形，理由如下：由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），①當PB為平行四邊形的對角線時，﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，此時t無解；②當PO為平行四邊形的對角線時，﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，解得t=3+212或∴P（3+212，3-212）或（綜上所述：P點坐標為（3+212，3-212）或（【變式4-3】（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC上方的拋物線上一動點．求拋物線的解析式；（1）過點P作PE⊥AC于點E，求22PE的最大值及此時點P（2）將拋物線y＝ax2+bx+4向右平移4個單位，得到新拋物線y'，點M是拋物線y'的對稱軸上一點．在x軸上確定一點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．【分析】（1）應用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，再求出點C的坐標，可得直線AC的解析式，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線AC于點D，設點P（x，﹣x2﹣3x+4），則D（x，x+4），應用二次函數(shù)最值可得線段PD的最大值，證明△PDE是等腰直角三角形，可得出2PE＝PD，即可求得答案；（2）分兩種情況：①若CM平行于x軸，如圖，符合要求的有兩個點N1，N2，此時N1A＝N2A＝CM；②若CM不平行于x軸，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣4，0）和B（1，0）兩點，∴16a+4b+4=0a+b+4=0解得：a=-1b=-3∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣3x+4，∵二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4與y軸交于點C，∴點C的坐標為（0，4），設直線AC的解析式為y＝kx+4，∵直線AC經(jīng)過點A（﹣4，0），∴0＝﹣4k+4，解得：k＝1，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+4，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線AC于點D，設點P（x，﹣x2﹣3x+4），則D（x，x+4），∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，∴當x＝﹣2時，PD最大，最大值是4．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°，∵PF⊥x軸，∴∠ADF＝∠PDE＝45°，∵PE⊥AC，∴△PDE是等腰直角三角形，∴2PE＝PD，∴22PE=1∴22PE的最大值為12PD=1（2）由平移可求得平移后函數(shù)解析式為y'＝﹣（x+4﹣4）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，對稱軸為x=5分兩種情況：①若CM平行于x軸，如圖，符合要求的有兩個點N1，N2，此時N1A＝N2A＝CM=5∵A（﹣4，0），∴點N的坐標為（-32，0）或（②若CM不平行于x軸，如圖，設M（52，m），N（n∵A（﹣4，0），C（0，4），∴﹣4+n＝0+5∴n=13∴點N的坐標為（132綜上，點N的坐標為（-32，0）或（-13【題型5二次函數(shù)中求線段和差最值】【例5】（2022春?良慶區(qū)校級期末）如圖，已知拋物線的解析式為y=-34x2-94x+3，拋物線與x軸交于點A和點B，與（1）請分別求出點A、B、C的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連接AC、BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C的對應點分別為M、N，求點M、N的坐標；（3）若點P為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點Р的坐標，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．【分析】（1）提取二次項系數(shù)后分解因式，可以得出拋物線與x軸交點，令x＝0代入可以得到與y軸的交點，把解析式配方后可得對稱軸；（2）根據(jù)題意作出幾何圖形，通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及通過AAS求證△OBC≌△QNB即可分別求出M、N的坐標；（3）分析題意可得出，當P，N，B在同一直線上時，|NP﹣BP|的值最大，聯(lián)立直線BN解析式以及拋物線解析式即可求出P的坐標．【解答】解：（1）∵y=-34x2-94x+3=-34（x+4）（x﹣1）=-3∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），對稱軸為直線x=-3（2）如圖所示：過N作NQ⊥x軸于點Q，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB⊥x軸，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠QBN，又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，∴OQ＝1+3＝4，∴N（4，1）；（3）設直線NB的解析式為y＝kx+b．∵B（1，0）、N（4，1）在直線NB上，∴k+b=04k+b=1解得：k=1∴直線NB的解析式為：y=13x當點P，N，B在同一直線上時|NP﹣BP|＝NB=3當點P，N，B不在同一條直線上時|NP﹣BP|＜NB，∴當P，N，B在同一直線上時，|NP﹣BP|的值最大，即點P為直線NB與拋物線的交點．解方程組：y=1解得：x1=1y∴當P的坐標為（1，0）或（-409，-4927）時，|NP﹣【變式5-1】（2022?濠江區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2+（m+1）x+4m+9．（1）對于任意m，二次函數(shù)都會經(jīng)過一個定點，求此定點的坐標；（2）當m＝﹣3時，如圖，二次函數(shù)與y軸的交點為M，頂點為N．①若點P是x軸上的動點，求PN﹣PM的最大值及對應的點P的坐標；②設點Q是二次函數(shù)上的動點，點H是直線MN上的動點，是否存在點Q，使得△OQH是以點Q為直角頂點的等腰Rt△OQH？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式化為y＝x2+x+m（x+4）+9，當x＝﹣4時，y與m無關，將x＝﹣4代入取出y的值即可．（2）①當m＝﹣3時，二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；當點P，M，N三點在一條直線上時，|PM﹣PN|取得最大值，求得直線MN的解析式，再求得點P的坐標，利用勾股定理即可求解；②分兩種情況，利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象上點的特征，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，∴當x＝﹣4時，m（x+4）＝0，∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，∴對于任意m，二次函數(shù)都會經(jīng)過一個定點（﹣4，21）．（2）①當m＝﹣3時，二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∴M（0，﹣3），頂點N（1，﹣4），∴|PN﹣PM|≤MN，∴當點P，M，N三點在一條直線上時，|PN﹣PM|取得最大值；如圖，連接MN并延長，交x軸于點P，∵M（0，﹣3），頂點N（1，﹣4），∴直線MN的解析式為：y＝﹣x﹣3，∴P（﹣3，0），MN=2∴|PN﹣PM|的最大值為2，且此時P（﹣3，0）．②設點H為（t，﹣t﹣3），∵△OQH是以點Q為直角頂點的等腰Rt△OQH，當△OQH是以點Q為直角頂點的等腰Rt△OQH，且Q在x軸上方時，過點Q作QF⊥y軸于點F，過點H作HE∥y軸交直線QF于點E，如圖：設QF＝m，OF＝n，∴Q（﹣m，n），∵△OQH是以點Q為直角頂點的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，∴∠EQH＝∠FOQ，∴△EQH≌△FOQ（AAS），∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，∴點H的坐標為（﹣m﹣n，n﹣m），∵點H在直線MN上，∴n﹣m＝m+n﹣3，解得m=3當x=-32時，y＝（-32）2﹣2×（∴Q（-32，當△OQH是以點Q為直角頂點的等腰Rt△OQH，且點Q在x軸下方時，過點Q作QD⊥x軸點D，過點H作HC∥x軸交直線QD于點C，如圖：設QF＝p，OF＝q，∴Q（p，﹣q），同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，∴點H的坐標為（p﹣q，﹣p﹣q），∵點H在直線MN上，∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，解得q=3∴Q（2-102，-32）或（綜上，點Q的坐標為（-32，94）或（2-102，-【變式5-2】（2022?建華區(qū)二模）綜合與實踐如圖，已知正方形OCDE中，頂點E（1，0），拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點C、點D，與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），直線x＝t（t＞0）交x軸于點（1）求拋物線的解析式，且直接寫出點A、點B的坐標；（2）若點G是拋物線的對稱軸上一動點，且使AG+CG最小，則G點坐標為：（12，-3（3）在直線x＝t（第一象限部分）上找一點P，使得以點P、點B、點F為頂點的三角形與△OBC全等，請你直接寫出點P的坐標；（4）點M是射線AC上一點，點N為平面上一點，是否存在這樣的點M，使得以點O、點A、點M、點N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請你直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可求得：C（0，﹣1），D（1，﹣1），再運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）連接AD交拋物線的對稱軸于點G，連接CG，如圖，則此時AG+CG最小，運用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y=-12x-1（3）分兩種情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，分別建立方程求解即可；（4）利用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，設M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三種情況：①當OM、AN為對角線時，如圖1，②當AM、ON為對角線時，如圖2，③當OA、MN為對角線時，如圖3，分別畫出圖形，根據(jù)菱形性質(zhì)建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵E（1，0），∴OE＝1，∵四邊形OCDE是正方形，∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），∵拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點C（0，﹣1），點∴c=-11解得：c=-1b=-∴拋物線解析式為：y=12x2-∵拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點B在點∴令y＝0，即有12x2-1整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A點坐標為（﹣1，0），B點坐標為（2，0）；（2）G點坐標為：（12，-∵拋物線y=12x2-12x﹣1經(jīng)過∴C、D關于拋物線的對稱軸：直線x=1連接AD交拋物線的對稱軸于點G，連接CG，如圖，則此時AG+CG最小，∵C、D關于拋物線的對稱軸：直線x=1∴CG＝DG，∴AG+CG＝AG+DG＝AD（兩點之間，線段最短）∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），∴直線AD的解析式為y=-12x∵連接AD交拋物線的對稱軸：直線x=12于點∴當x=12時，y∴G（12，-故答案為：（12，-（3）符合條件的點P的坐標為（4，1）或（3，2），理由如下：∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x軸⊥y軸（即OC⊥AB），∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，∴BC=5∵在直線x＝t（第一象限部分）上找一點P，使得以點P、點B、點F為頂點的三角形與△OBC全等，∴OF＝t，PF⊥x軸∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，分兩種情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，∴BP＝BC=5，F(xiàn)P＝OC＝1，BF＝OB＝2或BP＝BC=5，F(xiàn)P＝OB＝2，BF＝∴t﹣2＝2或t﹣2＝1，∴t＝4或t＝3，∴P（4，1）或（3，2）；（4）存在符合條件的點M和N，點N坐標為（﹣1，﹣1）或（-12，12）或（1設直線AC的解析式為y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，得：-k+d=0d=-1解得：k=-1d=-1∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，∵點M是射線AC上一點，點N為平面上一點，∴設M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），①當OM、AN為對角線時，如圖1，∵四邊形OAMN是菱形，∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，解得：m＝﹣1+22或m＝﹣1∴M（﹣1+22，∴N（22，-②當AM、ON為對角線時，如圖2，∵四邊形OAMN是菱形，∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，解得：m＝0或m＝﹣1（不符合題意，舍去），∴M（0，﹣1），∴N（﹣1，﹣1）；③當OA、MN為對角線時，如圖3，∵四邊形OAMN是菱形，∴MN⊥OA，AM＝OM，MN與OA互相垂直平分，即M與N關于x軸對稱，∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，解得：m=-1∴M（-12，∴N（-12，綜上所述，點N的坐標為（22，-22）或（﹣1，﹣1）或（-【變式5-3】（2022?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點，OA＝6，其頂點與x軸的距離是6．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，過點P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．①當△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值；②如圖2，當點P在x軸下方的拋物線上時，過點B（3，3）的直線AB與直線PQ交于點C，求PC+CQ的最大值．【分析】（1）由題意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再將（0，0）代入求出a的值即可求函數(shù)的解析式；（2）①設直線y＝x+m與y軸的交點為E，與x軸的交點為F，則OE＝|m|，AF＝|6+m|，由題意可知直線y＝x+m與坐標軸的夾角為45°，求出OM=22|m|，AN=22|6+m|，再由|m|：|6+②設P（t，23t2﹣4t），過P作PE∥y軸交AB于點E，過P作PF⊥BQ交于F，求出直線AB的解析式后可求E（t，﹣t+6），則PE=-23t2+3t+6，由直線AB與直線PQ的解析式，能確定兩直線互相垂直，可求CQ=22BQ，CP=22PE，則PC+CQ=-223（【解答】解：（1）∵OA＝6，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，設拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+k，∵頂點與x軸的距離是6，∴頂點為（3，﹣6），∴y＝a（x﹣3）2﹣6，∵拋物線經(jīng)過原點，∴9a﹣6＝0，∴a=2∴y=23（x﹣3）（2）①設直線y＝x+m與y軸的交點為E，與x軸的交點為F，∴E（0，m），F(xiàn)（﹣m，0），∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，∵直線y＝x+m與坐標軸的夾角為45°，∴OM=22|m|，AN=2∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，∴OM：AN＝1：3，∴|m|：|6+m|＝1：3，解得m=-32或②設P（t，23t2﹣4t過P作PE∥y軸交AB于點E，過P作PF⊥BQ交于F，設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴6k+b=03k+b=3解得k=-1b=6∴y＝﹣x+6，∴E（t，﹣t+6），∴PE＝﹣t+6﹣（23t2﹣4t）=-23t2設直線AB與y軸交點為G，令x＝0，則y＝6，∴G（0，6），∴OG＝OA＝6，∴∠OGA＝45°，設直線PQ與x軸交點為K，與y軸交點為L，直線PQ的解析式為y＝x+m，令x＝0，則y＝m∴L（0，m），令y＝0，則x＝﹣m，∴K（﹣m，0），∴OL＝OK，∴∠OLK＝45°，∴∠GCL＝90°，∴PF＝FQ＝3﹣t，設BF與x軸交點為H，∴FH=-23t2+4∴HQ=-23t2+4t﹣3+t=-23t∴BQ＝3-23t2+5t﹣3=-23t∴CQ=22BQ=22（-2∵CP=22PE=22（-2∴PC+CQ=22（-23t2+3t+6）+22（-23t2+5t）=22（-43t當t＝3時，PC+CQ的最大值為92．【題型6二次函數(shù)中求周長最值】【例6】（2022?南京模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2ax+4與x軸交于點A（﹣4，0），B（x2，0），與y軸交于點C．經(jīng)過點B的直線y＝kx+b與y軸交于點D（0，2），與拋物線交于點E．（1）求拋物線的表達式及B，C兩點的坐標；（2）若點P為拋物線的對稱軸上的動點，當△AEP的周長最小時，求點P的坐標；（3）若點M是直線BE上的動點，過M作MN∥y軸交拋物線于點N，判斷是否存在點M，使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求出點B、C坐標；（2）利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式，由A、B關于對稱軸對稱，則BE與拋物線對稱軸交點，即為△AEP的周長最小時，點P的坐標；（3）由MN∥CD可知MN為平行四邊形的邊，設點M的坐標為（m，﹣m+2），則點N的坐標為（m，-12m2-m+4），利用MN＝CD【解答】解：（1）∵點A（﹣4，0）在拋物線y＝ax2+2ax+4上，∴0＝16a﹣8a+4，∴a=-1∴y=-1令y＝0，得-1解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴點B的坐標為（2，0），令x＝0，則y＝4，∴點C的坐標為（0，4）；（2）如圖，由y=-1可得對稱軸為：x=--1∵△AEP的邊AE是定長，∴當PE+PA的值最小時，△AEP的周長最?。cA關于x＝﹣1的對稱點為點B，∴當點P是BE與直線x＝﹣1的交點時，PE+PA的值最小．∵直線BE經(jīng)過點B（2，0），D（0，2），∴0=2k+b2=b，解得k=-1∴直線BE：y＝﹣x+2，令x＝﹣1，得y＝3，∴當△AEP的周長最小時，點P的坐標為（﹣1，3）；（3）存在點M，使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形．∵MN∥CD，∴要使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則MN＝CD即可，∵CD＝4﹣2＝2，∴MN＝CD＝2，∵點M在直線y＝﹣x+2上，∴可設點M的坐標為（m，﹣m+2），則點N的坐標為（m，-1∴|-m+2+1即|1當12解得m=±22此時點M的坐標為：（22，2-22）或（-22當12解得m＝0（舍去），綜上所述，存在點M使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，此時點M的坐標為：（22，2-22）或（-22【變式6-1】（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；（3）在平面直角坐標系中，是否存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把A（﹣1.0），B（3.0）兩點代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）先求解拋物線的對稱軸為x＝1，結(jié)合A、B關于直線x＝1對稱，所以AC與對稱軸的交點為點P，此時C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此時△BPC的周長最短，再求AC的解析式即可得到答案；（3）分三種情況討論，再利用中點坐標公式列方程，從而可得答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴a-b-3=09a+3b-3=0解得：a=1b=-2∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為x＝1，∵A、B關于直線x＝1對稱，所以AC與對稱軸的交點為點P，此時C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此時△BPC的周長最短，∵點C的橫坐標是2，yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），設直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），∴2m+n=-3-m+n=0解得：m=-1n=-1∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，當x＝1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），設E（x，y），①當AB為對角線時，則-1+3=2+x0+0=-3+y解得：x=0y=3∴E（0，3）；②當AC為對角線時，則-1+2=3+x0-3=0+y解得：x=-2y=-3∴E（﹣2，﹣3）；③當BC為對角線時，則3+2=-1+x0-3=0+y解得：x=9y=-3∴E（6，﹣3）．綜上所述，E點坐標為（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．【變式6-2】（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣1）和點B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個動點，PC∥y軸與AB交于點C，PD⊥AB于點D，連接PA．（1）求拋物線的表達式；（2）當△PCD的周長取得最大值時，求點P的坐標和△PCD周長的最大值；（3）當△PAC是等腰三角形時，請直接給出點P的坐標．【分析】（1）利用特定系數(shù)解答，即可求解；（2）先求出直線AB的表達式為y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，從而得到△PCD的周長為：PC+PD+CD＝（2+1）PC，設點P的坐標為（x，x2﹣4x﹣1），則點C的坐標為（x，x（3）分三種情況討論，即可求解．【解答】解：（1）由題意得：c=-15解得：b=-4c=-1則拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x﹣1；（2）設直線AB的表達式為：y＝kx+a（k≠0），∵A（0，﹣1），B（5，4），∴a=-15k+a=4解得：a=-1k=1∴直線AB的表達式為：y＝x﹣1，設直線AB交x軸于點M，當y＝0時，x＝1，∵OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵CP∥y軸，∴∠DCP＝∠OAB＝45°，∵PD⊥AB，∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，∴PC=CD2+DP2=2∴△PCD的周長為：PC+PD+CD＝（2+1）PC設點P的坐標為（x，x2﹣4x﹣1），則點C的坐標為（x，x﹣1），∴（2+1）PC＝（2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（2+1）[（x-5∵﹣（2+∴當x=52時，△PCD周長取得最大值，最大值為254此時點P的坐標為（52，-（3）如圖，過點A作P1A⊥y軸，交拋物線于點P1，∵CP1∥y軸，∴∠ACP1＝45°，∴△ACP1是等腰直角三角形，∴點A（0，﹣1），∴點P1的縱坐標為﹣1，當y＝﹣1時，﹣1＝x2﹣4x﹣1，解得：x1＝4，x2＝0（舍去），此時點P1（4，﹣1）；如圖，當P2A⊥AB時，∵CP2∥y軸，∴∠ACP2＝45°，∴△ACP2是等腰直角三角形，點C，P2關于直線AP1對稱，設點P2（m，m2﹣4m﹣1），則點C（m，m﹣1），∴12[（m2﹣4m﹣1）+（m解得：m1＝3，m2＝0（舍去），此時點P2（3，﹣4）；如圖，若AC＝CP3，作CE⊥y軸于點E．∵∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，∴P3C＝AC=AE設點P3（m，m2﹣4m﹣1），則點C（m，m﹣1），∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=2m解得：m1＝5-2，m2∴此時點p3（5-2，6﹣62綜上所述，點P的坐標為（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5-2，6﹣62【變式6-3】（2022?黃石模擬）如圖，已知拋物線y=ax2+85x+c與x軸交于A（2，0），B兩點，與y軸交于點C（0，﹣4），直線l：y=-12x-4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+8（1）求該拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上位于第三象限的一動點，設點P的橫坐標是m，四邊形PCOB的面積是S．①求S關于m的函數(shù)解析式及S的最大值；②點Q是直線PE上一動點，當S取最大值時，求△QOC周長的最小值及FQ的長．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）①如圖1，連接BP，先求得B（﹣10，0），設P（m，15m2+85m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故點B與點O關于直線PE對稱，連接BC交PE于點Q，則QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此時QO+QC最小，即△QOC的周長最小，運用勾股定理可得BC＝229，即可得出△QOC的周長的最小值為：BC+OC＝229+4；運用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=-25x﹣4，進而可得Q（﹣5，﹣2），F(xiàn)（﹣5，-【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+85∴4a+16解得：a=1∴該拋物線的表達式為y=15x2+（2）①如圖1，連接BP，∵拋物線y=15x2+85x﹣4，令y＝0，得15解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴B（﹣10，0），設P（m，15m2+8∵PE⊥x軸，∴E（m，0），∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（15m2+85m﹣4）=-15∴S＝S△PBE+S梯形OCPE=12×（m+10）×（-15m2-85m+4）+12×（-15∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，∴當m＝﹣5時，S的最大值為45；②由①得：當m＝﹣5時，S的最大值為45，∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），∴OE＝BE＝5，∵PE⊥x軸，∴直線PE是線段OB的垂直平分線，∴點B與點O關于直線PE對稱，連接BC交PE于點Q，則QO＝QB，∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此時QO+QC最小，即△QOC的周長最小，在Rt△BCO中，BC=OB2∴△QOC的周長的最小值為：BC+OC＝229+設直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得-10k+b=0b=-4解得：k=-2∴直線BC的解析式為y=-25當x＝﹣5時，y=-2∴Q（﹣5，﹣2）；∵直線l的解析式為y=-12∴當x＝﹣5時，y=-12×∴F（﹣5，-3∴FQ=-32-故△QOC周長的最小值為229+4，F(xiàn)Q的長為1【題型7二次函數(shù)中求面積最值】【例7】（2022?三水區(qū)校級三模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x軸于點A，B（A在B的左側(cè)），交y軸于點C．（1）求點A的坐標；（2）若經(jīng)過點A的直線y＝kx+k交拋物線于點D．①當k＞0且a＝﹣1時AD交線段BC于E，交y軸于點F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②當k＜0且k＝a時，設P為拋物線對稱軸上一動點，點Q是拋物線上的動點，那么以A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標，若不能，請說明理由．【分析】（1）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A點坐標；（2）①聯(lián)立方程組y=-x2+2x+3y=kx+k，求出D點坐標，求出直線BC的解析式，聯(lián)立方程組y=kx+ky=-x+3，求出E點坐標，過D點作DG∥y軸交BC于點G，則可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S△EBD﹣S△CEF＝﹣2（k-158）2+8132②設P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），聯(lián)立方程組y=ax2-2ax-3ay=ax+a，求出點D（4，5a），分三種情況討論：①當AP為矩形對角線時，DQ2＝AD2+AQ2，（1，-2677）；②當AD為矩形對角線時，DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③當AQ為矩形對角線時，AQ2＝AD【解答】解：（1）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）①∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），聯(lián)立方程組y=-x整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，解得k＝﹣1或k＝3﹣k，∴D（3﹣k，4k﹣k2），設直線BC的解析式為y＝k'x+b，∴3k'+b=0b=3解得b=3k'=-1∴y＝﹣x+3，過D點作DG∥y軸交BC于點G，∴G（3﹣k，k），∴DG＝3k﹣k2，聯(lián)立方程組y=kx+ky=-x+3解得x=3-k∴E（3-k1+k，4k在y＝kx+k中，x＝0時，y＝k，∴F（0，k），∴S△BDE=12×（3-3-k1+k）×（3k﹣k2），S△CEF=∴S△EBD﹣S△CEF=12×（3-3-k1+k）×（3k﹣k2）-12×（3﹣k）×3-k1+k=∴當k=158時，S△EBD﹣S△CEF的最大值為②以A，D，P，Q為頂點的四邊形能成為矩形，理由如下：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，設P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），∵k＝a，∴y＝ax﹣a，聯(lián)立方程組y=ax解得x=4y=5a或x=-1∴D（4，5a），①當AP為矩形對角線時，DQ2＝AD2+AQ2，∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，∴m＝﹣4，∴Q（﹣4，21a），∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，解得a=±7∵a＜0，∴a=-7∴t=-26∴P（1，-26②當AD為矩形對角線時，DA2＝DQ2+AQ2，∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，∴m＝2，∴Q（2，﹣3a），∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，解得a=±1∵a＜0，∴a=-1∴t＝﹣4，∴P（1，﹣4）；③當AQ為矩形對角線時，AQ2＝AD2+DQ2，∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，∴m＝6，∴Q（6，21a），∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，此時a無解；綜上所述：P點坐標為（1，-26【變式7-1】（2022?宜興市二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a＜0）與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，頂點為D，直線BD與y軸相交于點E．（1）求證OC=12（2）M為線段OB上一點，N為線段BE上一點，當a=-12時，求△（3）若Q為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，小林猜想：當點Q與點D重合時，四邊形ABQC的面積取得最大值．請判斷小林猜想是否正確，并說理由．【分析】（1）將A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入拋物線關系式，用a表示出b，c，用a表示出點C，點D的坐標，求出直線BD的關系式，即可表示出E點坐標，用a表示出OC．OE，即可得出結(jié)論；（2）當a=-12時，拋物線為y=-12x2+x+32，作點C關于BE的對稱點C′，關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，與OB交為M，與BE交點為N，此時△CMN的周長最小，連接C′E，求出點C′的坐標，根據(jù)△CMN周長的最小值為CM+CN+MN＝C″M+C′N+（3）過Q作QK⊥x軸，交BC于點K，設點Q的橫坐標為x，用x表示出QK，再將四邊形分成兩個三角形，用x表示出兩個三角形的面積，可求出當x取32時，S四邊形ABQC有最大值，對比D【解答】（1）證明：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a＜0）與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴a-b+c=09a+3b+c=0解得b=-2ac=-3a∴拋物線為y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），設直線BD的解析式為y＝k1x+b1，把B、D兩點的坐標分別代入