2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題6.5 線段與角中的常見思想方法的應(yīng)用【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題6.5線段與角中的常見思想方法的應(yīng)用【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中的整體思想】 1【題型2線段中的方程思想】 2【題型3線段中的分類討論思想】 3【題型4線段中的數(shù)形結(jié)合思想】 4【題型5角中的整體思想】 5【題型6角中的方程思想】 8【題型7角中的分類討論思想】 10【題型8角中的數(shù)形結(jié)合思想】 11【題型1線段中的整體思想】【例1】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動的過程中，線段EF的長度是否會發(fā)生變化，若會，請說明理由；若不會，請求出EF的長．【變式1-1】（2022·黑龍江大慶·期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AM=13AC(1)若AC=12，CB=6，求線段MN的長．(2)若C為線段AB上任意一點(diǎn)，且滿足AC+BC=a，其他條件不變，求線段MN的長．【變式1-2】（2022·四川德陽·七年級期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別是線段AC，BC，AB的中點(diǎn)．

(1)若AB=10cm，求線段MN的長；(2)若AC=3cm，CP=1cm，求線段PN的長．【變式1-3】（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖，已知B、C在線段AD上，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，且AB=CD．(1)如圖線段AD上有6個點(diǎn)，則共有______條線段；(2)比較線段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；(3)若AD=12，BC=8，求MN的長度．【題型2線段中的方程思想】【例2】（2022·河南信陽·七年級期末）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上．(1)若AB=CD，①比較線段的大?。篈C______BD；（填“>”“=”或“<”）②若BC=34AC，且AC=24(2)若線段AD被點(diǎn)B，C分成了3:4:5三部分，且AB的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是20cm，求AD的長．【變式2-1】（2022·山東棗莊東方國際學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在線段EF上，點(diǎn)M、N分別是線段EA、BF的中點(diǎn)，EA:AB:BF=1:2:3，若MN=6cm，求線段EF【變式2-2】（2022·山東泰安·期中）如圖，已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，它們的對應(yīng)數(shù)分別是a，b，其中a＝12．(1)在B左側(cè)作線段BC＝AB，在B的右側(cè)作線段BD＝3AB（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是c，點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)是d，且AB＝40，求c，d的值．(3)在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，N是數(shù)軸上一點(diǎn)，且CN＝4DN，請直接寫出MN的長．【變式2-3】（2022·山西晉城·七年級期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B對應(yīng)著數(shù)10、15．C、D兩點(diǎn)同時從點(diǎn)A、原點(diǎn)O出發(fā)分別以1cm/s和2cm/s的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts(1)當(dāng)t=2時，請說明BC=1(2)當(dāng)t>5，且CD=AB時，求t的值；(3)取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)BM=14OA【題型3線段中的分類討論思想】【例3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，使得AC∶CD∶DB=1∶2∶3，M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上的點(diǎn)，且滿足DN=14DB，AB=24，求MN【變式3-1】（2022·福建省永春第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，AB表示A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離，且a、b滿足(a+1)2(1)填空：a＝，b＝，AB＝；(2)若數(shù)軸上存在一點(diǎn)C，且AC＝2BC，求C點(diǎn)表示的數(shù)；(3)若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一小球乙從點(diǎn)B處以2個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來的速度向相反的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．①分別表示甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離（用t表示）；②求甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時經(jīng)歷的時間．【變式3-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，AB=32BC．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動，設(shè)它們同時出發(fā)，運(yùn)動時間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計算說明：當(dāng)x為何值時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．【變式3-3】（2022·江西省豐城中學(xué)七年級期中）已知數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)是a，B點(diǎn)表示的數(shù)是b，且a，b滿足式子a+32(1)寫出a=______，b=______．(2)將數(shù)軸上線段AB剪下來，并把AB這條線段沿著某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段，若這三條線段的長度之比為1：2：2，求折痕處對應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)．【題型4線段中的數(shù)形結(jié)合思想】【例4】（2022·廣東東莞·七年級期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q兩點(diǎn)分別從A、C出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向右運(yùn)動，運(yùn)動的時間為ts．(1)當(dāng)t＝1s時，CP＝cm，QB＝cm；(2)當(dāng)運(yùn)動時間為多少時，PQ為AB的一半？(3)當(dāng)運(yùn)動時間為多少時，BQ＝AP？【變式4-1】（2022·山東德州·七年級期末）已知，線段AB=20，M是線段AB的中點(diǎn)，P是線段AB上任意一點(diǎn)，N是線段PB的中點(diǎn)．（1）當(dāng)P是線段AM的中點(diǎn)時，求線段NB的長；（2）當(dāng)線段MP=1時，求線段NB的長；（3）若點(diǎn)P在線段BA的延長線上，猜想線段PA與線段MN的數(shù)量關(guān)系，并畫圖加以證明．【變式4-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足m?4+n?82=0，點(diǎn)M，N分別為(1)求線段AB，CD的長；(2)線段AB以每秒4個單位長度向右運(yùn)動，線段CD以每秒1個單位長度也向右運(yùn)動．若運(yùn)動6秒后，MN＝4，求此時線段BC的長；(3)若BC＝24，將線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運(yùn)動，在線段AB向右運(yùn)動的某一個時間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個定值，并直接寫出t在哪一個時間段內(nèi)．【變式4-3】（2022·河南周口·七年級期末）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra做了n次取線段中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段OP0=1．第1次，取OP0的中點(diǎn)P1；第2次，取P0P1的中點(diǎn)P2；第3次，取P1P2的中點(diǎn)P3，第4次，取P2P3的中點(diǎn)P4；…(1)請完成下列表格數(shù)據(jù)．次數(shù)Pi-1Pi線段OPi的長第1次PO第2次PO第3次PO第4次PO第5次………(2)小明對線段OP4的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡：因?yàn)镺P所以2OP4=2兩式相加，得3OP所以O(shè)P請你參考小明的化簡方法，化簡OP5的表達(dá)式．(3)類比猜想：Pn?1Pn=__________，OP【題型5角中的整體思想】【例5】（2022·山西·七年級期末）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下題目．將一副三角板按如圖1所示方式擺放，分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM，ON，然后提出問題：求∠MON的度數(shù)．小明與同桌小麗討論后，進(jìn)行了如下解答：特殊情況，探索思路將三角板分別按圖2，圖3所示的方式擺放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分線，其中，按圖2方式擺放時，可以看成是ON，OD，OB在同一直線上．按圖3方式擺放時，∠AOC和∠BOD相等．（1）請你直接寫出計算結(jié)果：圖2中∠MON的度數(shù)為______，圖3中∠MON的度數(shù)為______；特例啟發(fā)，解答題目（2）請你完成李老師出示的題目的解答過程；拓展結(jié)論，設(shè)計新題（3）若將李老師出示的題目中條件“分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM，ON”改為“分別作出射線OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=【變式5-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)？（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)，（用含α的式子表示）（3）若將題中的“平分”的條件改為“∠EOB=13∠COB，∠COF=2【變式5-2】（2022·全國·七年級）已知∠AOB＝120°，OC、OD是過點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB（1）如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖②，若∠COD＝50°，∠AOC≠∠DOB，則∠MON（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD＝α(0°<α<【變式5-3】（2022·全國·七年級單元測試）如圖，將一副三角板如圖①所示擺放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM，ON分別平分∠AOD、∠COB．(1)求∠MON的度數(shù)；(2)將圖①中的三角板OCD繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，求∠MON的度數(shù)；(3)將圖①中的三角板OCD繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置，猜想∠MON的度數(shù)，并說明理由．【題型6角中的方程思想】【例6】（2022·黑龍江牡丹江·七年級期末）以直線MN上點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，將直角三角板AOB的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(1)如圖①，三角板AOB的邊OB在射線ON上，若∠BOC=40°，則∠AOC=________．(2)如圖②，將三角板繞點(diǎn)O逆時針方向轉(zhuǎn)動，使得OB平分∠CON，請判斷OA平分∠COM嗎？并說明理由．(3)若∠CON=50°，將三角板AOB繞點(diǎn)O按逆時針方向轉(zhuǎn)動，使得∠BOC=13∠AOM，則∠BON【變式6-1】（2022·陜西渭南·七年級期末）如圖，已知∠AOC:∠AOB=2:7,OD是∠AOB的平分線，若∠AOC=16°，求【變式6-2】（2022·山東煙臺·期末）如圖，將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．(1)當(dāng)∠BON=60°時，求∠COM的度數(shù)；(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度數(shù)．【變式6-3】（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，已知∠AOB=90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD=45°，OE平分∠BOC．(1)如圖1，當(dāng)∠AOC=30°時，∠DOE=_____________°；(2)如圖2，當(dāng)∠AOC=60°時，∠DOE=_____________°；(3)如圖3，當(dāng)∠AOC=α（90°<α<180°）時，求∠DOE的度數(shù)（用α表示）；(4)由前三步的計算，當(dāng)0°<∠AOC<180°時，請直接寫出∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為_______________________________________．【題型7角中的分類討論思想】【例7】（2022·浙江金華·七年級期末）定義：在一個已知角內(nèi)部，一條線分已知角成兩個新角，其中一個角度數(shù)為另個角度數(shù)的兩倍，我們把這條線叫做這個已知角的三等分線．(1)如圖，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分線，求∠AOC的度數(shù)．(2)點(diǎn)O在線段AB上（不含端點(diǎn)A，B），在直線AB同側(cè)作射線OC，OD．設(shè)∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①當(dāng)OC是∠AOD的三等分線時，求t的值．②當(dāng)OC是∠BOD的三等分線時，求∠BOD的度數(shù)．【變式7-1】（2022·江蘇·文昌初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知如圖，∠COD=90°，直線AB與OC交于點(diǎn)B，與OD交于點(diǎn)A，射線OE與射線AF交于點(diǎn)G.(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，則∠OGA=°(2)若∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，∠OBA=42°，則∠OGA=(3)將(2)中的“∠OBA=42°”改為“∠OBA=α”，其它條件不變，求∠OGA的度數(shù).(用含α的代數(shù)式表示)(4)若OE將∠BOA分成1︰2兩部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α(30°<<90°)，求∠OGA的度數(shù).(用含α的代數(shù)式表示)【變式7-2】（2022·江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級期末）如圖，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，(1)如圖1，當(dāng)OC在OB左側(cè)，且α=80°(2)當(dāng)OC的位置不確定時，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究∠DOE的大小與α(3)當(dāng)∠DOE的度數(shù)為36°時，請直接寫出α【變式7-3】（2022·廣東汕頭·七年級期末）探索新知：如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”（1）一個角的平分線______這個角的“巧分線”（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=______；（用含α的代數(shù)式表示）；深入研究：如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成180°時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．若射線PM同時繞點(diǎn)P以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ【題型8角中的數(shù)形結(jié)合思想】【例8】（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC=1：2．(1)求∠AOC，∠BOC的度數(shù)；(2)作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內(nèi)作射線ON，使∠BON=70°，補(bǔ)全圖形，并求出∠MON的度數(shù)；(3)若存在射線OD，使∠AOD=4∠BOD，請直接寫出所有可能的∠COD的度數(shù)．【變式8-1】（2022·山東臨沂·七年級期末）已知∠AOB、∠COD，射線OE平分∠AOD；(1)如圖1，已知∠AOB=180°、∠COD=90°，若∠DOB=46°，求∠COE的度數(shù)；(2)∠AOB、∠COD的位置如圖2，已知∠COD=12∠AOB【變式8-2】（2022·全國·七年級單元測試）操作與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐活動課上，老師將一副三角板按圖1所示的位置擺放，分別在∠AOC，∠BOD的內(nèi)部作射線OM，ON，然后提出如下問題：先添加一個適當(dāng)條件，再求∠MON的度數(shù)．(1)特例探究：“興趣小組”的同學(xué)添加了：“若OM，ON分別平分∠AOC，∠BOD”，畫出如圖2所示圖形．小組3號同學(xué)佳佳的做法：由于圖中∠AOC與∠BOD的和為90°，所以我們?nèi)菀椎玫健螹OC與∠NOD的和，這樣就能求出∠MON的度數(shù)．請你根據(jù)佳佳的做法，寫出解答過程．(2)特例探究：“發(fā)現(xiàn)小組”的同學(xué)添加了：“若∠MOC=13∠AOC，∠DON=13∠BOD”，畫出如圖3所示圖形．小組2號同學(xué)樂樂的做法：設(shè)∠AOC的度數(shù)為x°，我們就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度數(shù)，這樣就能求出∠(3)類比拓展：受“興趣小組”和“發(fā)現(xiàn)小組”的啟發(fā)，“創(chuàng)新小組”的同學(xué)添加了：“若∠MOC=1n∠AOC，∠DON=1n∠BOD”．請你直接寫出∠【變式8-3】（2022·山東·煙臺市福山區(qū)教學(xué)研究中心期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數(shù)學(xué)火花呢？福山區(qū)某學(xué)校兩個數(shù)學(xué)興趣小組對一副三角板進(jìn)行了以下兩種方式的擺放組合．已知一副三角板重合的頂點(diǎn)記為點(diǎn)O，作射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，來研究一下45°三角板不動，30°三角板繞重合的頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，∠EOF的度數(shù)如何變化．【A組研究】在同一平面內(nèi)，將這副三角板的的兩個銳角頂點(diǎn)重合（圖中點(diǎn)O），此時∠AOB=45°，∠COD=30°將三角板OCD繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（1）如圖①，當(dāng)射線OB與OC重合時，則∠EOF的度數(shù)為___________；（2）如圖②，將∠COD繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠BOC=α，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖②求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．【B組研究】在同一平面內(nèi)，將這副直角三角板中的一個直角頂點(diǎn)和一個銳角頂點(diǎn)重合(圖中點(diǎn)O)，此時∠AOB=90°，∠COD=30°，將三角板OCD繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（3）如圖③，當(dāng)三角板OCD擺放在三角板AOB內(nèi)部時，則∠EOF的度數(shù)為___________；（4）如圖④，當(dāng)三角板OCD轉(zhuǎn)動到三角板AOB外部，設(shè)∠BOC=β，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖④求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．專題6.5線段與角中的常見思想方法的應(yīng)用【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中的整體思想】 1【題型2線段中的方程思想】 5【題型3線段中的分類討論思想】 11【題型4線段中的數(shù)形結(jié)合思想】 17【題型5角中的整體思想】 22【題型6角中的方程思想】 30【題型7角中的分類討論思想】 37【題型8角中的數(shù)形結(jié)合思想】 43【題型1線段中的整體思想】【例1】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動的過程中，線段EF的長度是否會發(fā)生變化，若會，請說明理由；若不會，請求出EF的長．【答案】(1)DE=4(2)EF=7【分析】（1）首先根據(jù)題意求出BC的長度，然后由E為BC的中點(diǎn)求出BE的長度，最后即可求出DE的長；（2）由題意可得AD+BC=AB+CD，由F為AD的中點(diǎn)和E為BC的中點(diǎn)表示出FD+CE=12AD+BC，代入EF=FD+CE?CD【詳解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，∴BC=AB?AC=16?4=12，AD=AC+CD=6,∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=1∴DE=AB?AD?BE=16?6?6=4；（2）線段EF的長度不會發(fā)生變化，EF=7，∵AB＝16，CD＝2，∴AD+BC=AB+CD=16+2=18，∵F為AD的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴FD+CE=1∴EF=FD+CE?CD=9?2=7．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計算以及有關(guān)線段中點(diǎn)的計算問題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【變式1-1】（2022·黑龍江大慶·期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AM=13AC(1)若AC=12，CB=6，求線段MN的長．(2)若C為線段AB上任意一點(diǎn)，且滿足AC+BC=a，其他條件不變，求線段MN的長．【答案】(1)12(2)2【分析】（1）若AC=12，CB=6，求線段MN的長；（2）若點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，且滿足AC+BC=a，請直接寫出線段MN的長；（1）解：因?yàn)锳M=13AC，BN=13所以AM=13×12=4AB=AC+BC=12+6=18．所以MN=AB?AM?NB=18?4?2=12．（2）解：因?yàn)锳M=13AC，BN=所以：AM+BN=1所以MN=AB?AM+BN【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用AM=13AC．BN=13BC，得出AM的長，【變式1-2】（2022·四川德陽·七年級期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別是線段AC，BC，AB的中點(diǎn)．

(1)若AB=10cm，求線段MN的長；(2)若AC=3cm，CP=1cm，求線段PN的長．【答案】(1)MN＝5cm(2)PN＝32【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得MC＝12AC，CN＝12BC．再根據(jù)MN＝MC+CN＝12AC+12BC＝12（2）先根據(jù)題意可計算出AP的長度，由線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，CN＝12CB，再根據(jù)PN＝CN﹣CP(1)解：∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC＝12AC，CN＝12∴MN＝MC＋CN＝12AC＋12BC＝12（AC＋BC）＝12(2)解：∵AC＝3，CP＝1，∴AP＝AC＋CP＝4，

∵點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5，∵點(diǎn)N是線段CB的中點(diǎn)，∴CN＝12CB＝52∴PN＝CN－CP＝52－1＝3【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離的計算，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖，已知B、C在線段AD上，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，且AB=CD．(1)如圖線段AD上有6個點(diǎn)，則共有______條線段；(2)比較線段的大?。篈C______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；(3)若AD=12，BC=8，求MN的長度．【答案】(1)15(2)＝(3)10【分析】（1）根據(jù)線段有兩個端點(diǎn)，得出所有線段的條數(shù)；（2）依據(jù)AB＝CD，即可得到AB＋BC＝CD＋BC，進(jìn)而得出AC＝BD；（3）依據(jù)線段的和差關(guān)系以及中點(diǎn)的定義，即可得到MN的長度．(1)∵線段AD上有6個點(diǎn)，∴圖中共有線段條數(shù)為6×（6?1）÷2＝15；故答案為：15；(2)∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD；故答案為：＝；(3)∵AD=12，BC=8，∴AB+CD=AD?BC=4，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，∴BM=12AB∴BM+CN=1∴MN=BM+CN+BC=2+8=10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及線段的和差關(guān)系，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．【題型2線段中的方程思想】【例2】（2022·河南信陽·七年級期末）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上．(1)若AB=CD，①比較線段的大?。篈C______BD；（填“>”“=”或“<”）②若BC=34AC，且AC=24(2)若線段AD被點(diǎn)B，C分成了3:4:5三部分，且AB的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是20cm，求AD的長．【答案】(1)①=；②30(2)30cm【分析】(1)①根據(jù)等式的性質(zhì)，得出答案；②求出BC的值，再求出AB、CD的長，進(jìn)而求出AD的長即可；(2)根據(jù)線段的比，線段中點(diǎn)的意義，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可．（1）①∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即，AC=BD，故答案為：=；②∵BC=34AC，且AC∴BC=34∴AB=CD=AC-BC=24-18=6(cm)∴AD=AC+CD=24+6=30(cm)故答案為：30；（2）解：如圖1所示，∵線段AD被點(diǎn)B，C分成了3:4:5三部分，設(shè)AB=3x，則BC=4x，CD=5x，因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，所以BM=12AB=所以32x+4x+得x=5所以AD=3x+4x+5x=12x=12×5【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差及其中點(diǎn)的有關(guān)計算，理解線段中點(diǎn)的意義是正確計算的前提，以及根據(jù)已知，用方程思想解決問題是解題關(guān)鍵.【變式2-1】（2022·山東棗莊東方國際學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在線段EF上，點(diǎn)M、N分別是線段EA、BF的中點(diǎn)，EA:AB:BF=1:2:3，若MN=6cm，求線段EF【答案】EF的長為9cm【分析】由于EA：AB：BF=1：2：3，可以設(shè)EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分別為EA、BF的中點(diǎn)，那么線段MN可以用x表示，而MN=6cm，由此即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可求出線段EF的長度．【詳解】解：設(shè)EA=x∵EA:AB:BF=1:2:3，∴AB=2xcm，BF=3x而M、N分別為EA、BF的中點(diǎn)，∴MA=12EA∴MN=MA+AB+BN=1∵M(jìn)N=6cm∴4x=6，∴x=3∴EF=EA+AB+BF=6x=9cm∴EF的長為9cm【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離．利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，同時，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．【變式2-2】（2022·山東泰安·期中）如圖，已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，它們的對應(yīng)數(shù)分別是a，b，其中a＝12．(1)在B左側(cè)作線段BC＝AB，在B的右側(cè)作線段BD＝3AB（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是c，點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)是d，且AB＝40，求c，d的值．(3)在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，N是數(shù)軸上一點(diǎn)，且CN＝4DN，請直接寫出MN的長．【答案】(1)見解析(2)c＝－68，d＝92(3)MN＝28或340【分析】（1）利用圓規(guī)量得AB的長度，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧，交點(diǎn)B左邊的坐標(biāo)軸于一點(diǎn)，即為點(diǎn)C；再點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，交點(diǎn)A右邊的坐標(biāo)軸于一點(diǎn)，再以此點(diǎn)為圓心，AB為半徑畫弧，交圓心右邊的坐標(biāo)軸于另一點(diǎn)，則此交點(diǎn)為點(diǎn)D；（2）根據(jù)線段之間的等量關(guān)系求得AC、AD的長度，從而得出點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）分兩種情況分析：①點(diǎn)N在線段CD上；②點(diǎn)N在線段CD的延長線上．【詳解】（1）解：線段BC、BD為所求線段，如圖所示：（2）解：∵AB＝40，BC＝AB，∴AC＝2AB＝80，∵a＝12，∴c＝12－80＝－68，∵BD＝3AB，∴BD＝120，∴AD＝80，設(shè)d為x則，x－12＝80，解得：x＝92，∴d＝92．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時，由（2）得CD＝92﹣（﹣68）＝160，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為12﹣40＝﹣28，∴BD＝92﹣（﹣28）＝120，∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為92﹣60＝32，∵CN＝4DN，∴DN＝15∴點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為92?32=60，∴MN＝60?32=28；②當(dāng)點(diǎn)N在線段CD的延長線上時，∵CN＝4DN，∴CD＝3DN=160，∴DN=160∴點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為92+160∴MN＝故MN的長為28或3403【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系和線段中點(diǎn)的有關(guān)計算，解題關(guān)鍵是抓住線段之間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．【變式2-3】（2022·山西晉城·七年級期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B對應(yīng)著數(shù)10、15．C、D兩點(diǎn)同時從點(diǎn)A、原點(diǎn)O出發(fā)分別以1cm/s和2cm/s的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts(1)當(dāng)t=2時，請說明BC=1(2)當(dāng)t>5，且CD=AB時，求t的值；(3)取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)BM=14OA【答案】(1)BC=(2)t=15(3)t=5或t=【分析】（1）分別計算出BC和AD即可等到BC=1（2）先計算得到CD的關(guān)于t的表達(dá)式，再根據(jù)CD=AB求出t即可；（3）根據(jù)M在點(diǎn)B前面和后面兩種情況分別計算出BM關(guān)于t的表達(dá)式，再根據(jù)BM=14OA（1）當(dāng)t=2時，AC=1×t=2,BC=OB?(OA+AC)=15?10?2=3，OD=2×t=4,AD=OA?OD=10?4=6，∴BC=1（2）當(dāng)D在C后面時，如下圖所示，OD=2t,OC=OA+AC=10+t，CD=OC?OD=10?t,AB=15?10=5∵CD=AB，∴10?t=5，∴t=5（舍去），點(diǎn)D在點(diǎn)C的前面時，如下圖所示，CD=OD?OC=2t?10+t∵CD=AB，∴t?10=5，即t=15．（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左邊時，BM=OB?OM=OB?OD?DM=15?2t?=10?又∵BM=1∴10?即t=5；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B右邊時，BM=OM?OB=OD+DM?OB=2t+=又∵BM=3即t=25∴t=5或t=25【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)及線段的長度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立等式.【題型3線段中的分類討論思想】【例3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，使得AC∶CD∶DB=1∶2∶3，M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上的點(diǎn)，且滿足DN=14DB，AB=24【答案】7或13【分析】設(shè)AC=x，則CD=2x，DB=3x，根據(jù)題意得x+2x+3x=24，計算得x=4，即可得AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，根據(jù)點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)得MC=12AC=2，根據(jù)DB=12，DN=14DB得【詳解】解：設(shè)AC=x，則CD=2x，∵AB=24，∴x+2x+3x=24，6x=24解得x=4，∴AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴MC=1∵DB=12，DN=1∴DN=1分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時，MN=MC+CD?DN=2+8?3=7，②當(dāng)點(diǎn)N在線段DB上時，MN=MC+CD+DN=2+8+3=13，綜上所述，線段MN的長度為7或13．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離的計算，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)，分類討論．【變式3-1】（2022·福建省永春第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，AB表示A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離，且a、b滿足(a+1)2(1)填空：a＝，b＝，AB＝；(2)若數(shù)軸上存在一點(diǎn)C，且AC＝2BC，求C點(diǎn)表示的數(shù)；(3)若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一小球乙從點(diǎn)B處以2個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來的速度向相反的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．①分別表示甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離（用t表示）；②求甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時經(jīng)歷的時間．【答案】(1)－1，3，4(2)53或(3)①甲：t+1；乙：3?2t或2t?3；②t=23秒或【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得A、B兩點(diǎn)之間的距離；（2）分C點(diǎn)在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情況討論即可求解；（3）①甲球到原點(diǎn)的距離=甲球運(yùn)動的路程+OA的長，乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)0＜t≤32時，乙球從點(diǎn)B處開始向左運(yùn)動，一直到原點(diǎn)O，此時OB的長度-乙球運(yùn)動的路程即為乙球到原點(diǎn)的距離；（Ⅱ）當(dāng)t＞32時，乙球從原點(diǎn)O處開始向右運(yùn)動，此時乙球運(yùn)動的路程-②分兩種情況：（Ⅰ）0＜t≤32，（Ⅱ）t＞32，根據(jù)甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等列出關(guān)于（1）因?yàn)?a+1)2所a+1=0,b?3=0，所以a=?1,b=3；所以AB的距離＝|b?a|=4，故答案為：－1，3，4；（2）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)為c．因?yàn)锳C=2BC，所以|c?a|=2|c?b|，即|c+1|=2|c?3|．因?yàn)锳C=2BC>BC，所以點(diǎn)C不可能在BA的延長線上，則C點(diǎn)可能在線段AB上和線段AB的延長線上．①當(dāng)C點(diǎn)在線段AB上時，則有?1<c<3，得c+1=2(3?c)，解得c=5②當(dāng)C點(diǎn)在線段AB的延長線上時，則有c>3，得c+1=2(c?3)，解得c=7．故當(dāng)AC=2BC時，c=53或（3）①因?yàn)榧浊蜻\(yùn)動的路程為：1×t=t,OA=1，所以甲球與原點(diǎn)的距離為：t+1；乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：（I）當(dāng)0<t≤32時，乙球從點(diǎn)B處開始向左運(yùn)動，一直到原點(diǎn)因?yàn)镺B=3，乙球運(yùn)動的路程為：2×t=2t，所以乙球到原點(diǎn)的距離為：3?2t；（II）當(dāng)t>32時，乙球從原點(diǎn)O處開始一直向右運(yùn)動，此時乙球到原點(diǎn)的距離為：②當(dāng)0<t≤32時，得解得t=2當(dāng)t>32時，得解得t=4．故當(dāng)t=23秒或【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，有一定難度，運(yùn)用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，AB=32BC．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動，設(shè)它們同時出發(fā)，運(yùn)動時間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計算說明：當(dāng)x為何值時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．【答案】(1)16，24．(2)當(dāng)x=45，即運(yùn)動45秒時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓(3)當(dāng)x=32或x=52或x=194，即運(yùn)動x=32或x=52或x=19【分析】（1）由AB=32BC且AC=8cm得8+BC=32BC（2）先確定機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，再根據(jù)線段AP=12AQ列方程求出x（3）分三種情況，一是點(diǎn)P在線段AQ上，可根據(jù)AP+2=AQ列方程求出x的值；二是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之前，可根據(jù)AP-2=AQ列方程求出x的值；三是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P從點(diǎn)B返回時，可根據(jù)2AB減去點(diǎn)P運(yùn)動的距離等于AQ+2列方程求出x的值即可．【詳解】（1）解：∵AB=32BC，AB=AC+BC，AC∴8+BC=32BC，解得：BC=16∴AB=32×16=24m故答案為：16，24．（2）解：由題意可得：：機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，∴6x=12{8+2x），解得x=4答：當(dāng)x=45，即運(yùn)動45秒時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AQ上且PQ=2m時，則6x+2=8+2x，解得x=32當(dāng)點(diǎn)P在線段BQ上且PQ=2m時，則6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=52或194答：當(dāng)x=32或x=52或x=194，即運(yùn)動x=32或x=52或x=19【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的應(yīng)用、線段上的動點(diǎn)問題的求解等知識點(diǎn)，正確地用含x的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長是解答本題的關(guān)鍵.【變式3-3】（2022·江西省豐城中學(xué)七年級期中）已知數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)是a，B點(diǎn)表示的數(shù)是b，且a，b滿足式子a+32(1)寫出a=______，b=______．(2)將數(shù)軸上線段AB剪下來，并把AB這條線段沿著某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段，若這三條線段的長度之比為1：2：2，求折痕處對應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)．【答案】(1)?3；6(2)35或32【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性與偶次方的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a+3=0，b?6=0，再解方程即可求解．（2）設(shè)折痕處點(diǎn)表示數(shù)為x，被剪處為點(diǎn)C、D，分三種情況：①當(dāng)AC:CD:DB=1:2:2時，②當(dāng)AC:CD:DB=2:1:2時，③當(dāng)AC:CD:DB=2:2:1時，分別求解好戲可．（1）解：∵(a+3)2又∵(a+3)2≥0，∴a+3=0，b?6=0，∴a=?3，b=6．故答案為：?3；6．（2）解：設(shè)折痕處點(diǎn)表示數(shù)為x，①當(dāng)AC:CD:DB=1:2:2時，AB=5AC=9，∴AC=9∴x=?3+2×9②當(dāng)AC:CD:DB=2:1:2時，則AB=5CD=9，∴CD=9∴AC+1∴x=?3+9③當(dāng)AC:CD:DB=2:2:1時，則AB=5DB=9，∴DB=9∴AC+1∴x=?3+27∴綜上，折痕處表示的數(shù)為：35或32或【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段和差倍分，熟練掌握偶次方與絕對值的非負(fù)性，分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型4線段中的數(shù)形結(jié)合思想】【例4】（2022·廣東東莞·七年級期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q兩點(diǎn)分別從A、C出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向右運(yùn)動，運(yùn)動的時間為ts．(1)當(dāng)t＝1s時，CP＝cm，QB＝cm；(2)當(dāng)運(yùn)動時間為多少時，PQ為AB的一半？(3)當(dāng)運(yùn)動時間為多少時，BQ＝AP？【答案】(1)3，6；(2)運(yùn)動時間為2s時，PQ為AB的一半；(3)運(yùn)動時間為83s【分析】（1）根據(jù)CP=AC?AP，QB=AB?AQ的關(guān)系，由P、Q兩點(diǎn)分別從A、C出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向右運(yùn)動，求解當(dāng)t=1s對應(yīng)的長度即可；（2）通過建立一元一次方程進(jìn)行求解即可；（3）通過分類討論的思想，當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)B的左邊或右邊時，通過建立一元一次方程進(jìn)行求解．(1)解：∵CP=AC?AP，當(dāng)t=1s，AP=1cm，∴CP=4?1=3cm，∵QB=AB?AQ，當(dāng)t=1s，CQ=2cm，∴QB=12?4?2=6cm，故答案為：3，6；(2)解：設(shè)運(yùn)動t秒時，PQ是AB的一半，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C的左邊時，∴PQ=PC+CQ=4?t+2t=6，解得：t=2，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C的右邊時，PQ的距離大于AB的一半，不滿足題意，故運(yùn)動時間為2s時，PQ是AB的一半；(3)解：當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)B的左邊時，設(shè)運(yùn)動t秒時，BQ=AP，則8?2t=t，解得：t=8當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)B的右邊時，設(shè)運(yùn)動t秒時，BQ=AP，則2t?8=t，解得：t=8，故運(yùn)動時間為83s或8s時，【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，一元一次方程，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想進(jìn)行求解．【變式4-1】（2022·山東德州·七年級期末）已知，線段AB=20，M是線段AB的中點(diǎn)，P是線段AB上任意一點(diǎn)，N是線段PB的中點(diǎn)．（1）當(dāng)P是線段AM的中點(diǎn)時，求線段NB的長；（2）當(dāng)線段MP=1時，求線段NB的長；（3）若點(diǎn)P在線段BA的延長線上，猜想線段PA與線段MN的數(shù)量關(guān)系，并畫圖加以證明．【答案】（1）7.5；（2）4.5或5.5；（3）PA=2MN，畫圖證明見解析．【分析】（1）畫出符合題意的圖形，先求解AM=10，再求解AP=5，可得PB=15，再利用中點(diǎn)的含義可得答案；（2）分兩種情況討論：當(dāng)P在M左邊時，當(dāng)P在M右邊時，先求解PB,再利用中點(diǎn)的含義可得答案；（3）當(dāng)P在線段BA延長線上時，如圖，設(shè)PA=t，求解NB=10+12t【詳解】解：（1）如圖，∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，AB=20∴MA=∵P是線段AM的中點(diǎn)，∴AP=∴PB=AB?AP=20?5=15∵N是線段PB的中點(diǎn)∴NB=（2）∵M(jìn)P=1，∴當(dāng)P在M左邊時，如圖，BP=MB+MP=11，∵N是線段PB的中點(diǎn)，∴NB=1如圖，當(dāng)P在M右邊時，BP=MB?MP=9，∵N是線段PB的中點(diǎn)，∴NB=1（3）線段PA和線段MN的數(shù)量關(guān)系是：PA=2MN，理由如下：當(dāng)P在線段BA延長線上時，如圖，設(shè)PA=t，則PB=20+t∵N是線段PB的中點(diǎn)∴NB=∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，AB=20∴MB=∴MN=NB?MB=又∵PA=t∴PA=2MN【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差關(guān)系，線段的中點(diǎn)的含義，整式的加減運(yùn)算，分類思想的運(yùn)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足m?4+n?82=0，點(diǎn)M，N分別為(1)求線段AB，CD的長；(2)線段AB以每秒4個單位長度向右運(yùn)動，線段CD以每秒1個單位長度也向右運(yùn)動．若運(yùn)動6秒后，MN＝4，求此時線段BC的長；(3)若BC＝24，將線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運(yùn)動，在線段AB向右運(yùn)動的某一個時間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個定值，并直接寫出t在哪一個時間段內(nèi)．【答案】(1)線段AB的長是4，線段CD的長是8(2)16或8(3)當(dāng)7.5≤t≤9時，MN+AD為定值，定值為6【分析】（1）利用絕對值和平方的非負(fù)性求出m和n的值即可；（2）分M′在N′的左側(cè)和M′（3）由題意，運(yùn)動t秒后，MN=30?4t，AD=（1）解：∵m?4+∴m?4=0，n?8∴m=4，n=8，∴AB=4，CD=8，即線段AB的長是4，線段CD的長是8；（2）解：∵AB=4，CD=8，∴MB=12AB=2設(shè)運(yùn)動后點(diǎn)M對應(yīng)點(diǎn)為M′，點(diǎn)N對應(yīng)點(diǎn)為N若6秒后，M′在N′的左側(cè)時：∴MB+BC+CN+NN即2+BC+4+6×1=6×4+4，解得BC=16．若6秒后，M′在N′的右側(cè)時：∴MM即6×4=2+BC+4+6×1+4，解得BC=8．即線段BC的長為16或8；（3）解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，∴MN=BC+12AB+∵線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運(yùn)動，∴運(yùn)動t秒后，MN=30?4t，AD=當(dāng)0≤t<7.5時，MN+AD=30?4t+36?4t=66?8t；當(dāng)7.5≤t≤9時，MN+AD=4t?30+36?4t=6；當(dāng)t>9時，MN+AD=4t?30+4t?36=8t?66；故當(dāng)7.5≤t≤9時，MN+AD為定值，定值為6．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差關(guān)系，以及數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想．【變式4-3】（2022·河南周口·七年級期末）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra做了n次取線段中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段OP0=1．第1次，取OP0的中點(diǎn)P1；第2次，取P0P1的中點(diǎn)P2；第3次，取P1P2的中點(diǎn)P3，第4次，取P2P3的中點(diǎn)P4；…(1)請完成下列表格數(shù)據(jù)．次數(shù)Pi-1Pi線段OPi的長第1次PO第2次PO第3次PO第4次PO第5次………(2)小明對線段OP4的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡：因?yàn)镺P所以2OP4=2兩式相加，得3OP所以O(shè)P請你參考小明的化簡方法，化簡OP5的表達(dá)式．(3)類比猜想：Pn?1Pn=__________，OP【答案】(1)P4P(2)O(3)12n，2【分析】（1）根據(jù)表中的規(guī)律可求出P4P5（2）參照小明對線段OP4的表達(dá)式的化簡可得（3）根據(jù)類比猜想可得答案．（1）解：P4P5故答案為：P4P5（2）解：因?yàn)镺P所以2OP5=2兩式相加，得3OP所以O(shè)P（3）解：Pn?1Pn=12n，O故答案為：12n，23【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，找到規(guī)律并會表現(xiàn)出來是解題關(guān)鍵．【題型5角中的整體思想】【例5】（2022·山西·七年級期末）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下題目．將一副三角板按如圖1所示方式擺放，分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM，ON，然后提出問題：求∠MON的度數(shù)．小明與同桌小麗討論后，進(jìn)行了如下解答：特殊情況，探索思路將三角板分別按圖2，圖3所示的方式擺放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分線，其中，按圖2方式擺放時，可以看成是ON，OD，OB在同一直線上．按圖3方式擺放時，∠AOC和∠BOD相等．（1）請你直接寫出計算結(jié)果：圖2中∠MON的度數(shù)為______，圖3中∠MON的度數(shù)為______；特例啟發(fā)，解答題目（2）請你完成李老師出示的題目的解答過程；拓展結(jié)論，設(shè)計新題（3）若將李老師出示的題目中條件“分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM，ON”改為“分別作出射線OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=【答案】（1）135°；135°；（2）答案見解析；（3）112.5°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC+∠NOD=1（3）根據(jù)已知條件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC+∠NOD=1【詳解】（1）解：圖2中，∠MON圖3中，∠MDN====135°；故答案為：135°，135°；（2）圖1中，∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線，∴∠MOC+∠NOD=1∴∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=45°+90°=135°；（3）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，∵∠AOM=34∠AOC∴∠MOC=1∴∠MOC+∠NOD=1∴∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=22.5°+90°=112.5°；故答案為：112.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，角平分線的定義，通過圖形直觀得出各個角之間的和差關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)？（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)，（用含α的式子表示）（3）若將題中的“平分”的條件改為“∠EOB=13∠COB，∠COF=2【答案】(1)45°;(2)12a;(3)2【分析】(1)首先求得∠BOC的度數(shù),然后根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解;(2)根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=(3)根據(jù)角的等分線的定義可得∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23.∠AOC=23【詳解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a；（3）∵∠EOB=∠BOC，∴∠EOC=∠BOC，又∵∠COF=∠AOC，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計算及角平分線的定義，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.【變式5-2】（2022·全國·七年級）已知∠AOB＝120°，OC、OD是過點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB（1）如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖②，若∠COD＝50°，∠AOC≠∠DOB，則∠MON（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD＝α(0°<α<【答案】（1）80o；（2）85o；（3）60【分析】（1）由題意易得∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×120°＝40°，進(jìn)而可得∠MOC=1（2）由題意易得∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，則有（3）由題意可得∠MOC+∠DON=12∠AOC+∠DOB，則有∠MOC+∠DON【詳解】解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分線，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC＝20°，∴∠MON＝20°+40（2）∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC∴∠MOC+∠DON=1∵∠AOB＝120°，∠COD＝50∴∠AOC+∠DOB＝120°?50∴∠MOC+∠DON＝35°∴∠MON＝50°+35故答案為85°；（3）∵射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC∴∠MOC+∠DON=1∵∠AOB＝120°，∠COD＝α∴∠AOC+∠DOB＝120°?α，∴∠MOC+∠DON＝60°?1∴∠MON＝60°?12α+α故答案為60°+1【點(diǎn)評】本題考查了角度的計算，也考查了角平分線的性質(zhì)．【變式5-3】（2022·全國·七年級單元測試）如圖，將一副三角板如圖①所示擺放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM，ON分別平分∠AOD、∠COB．(1)求∠MON的度數(shù)；(2)將圖①中的三角板OCD繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，求∠MON的度數(shù)；(3)將圖①中的三角板OCD繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置，猜想∠MON的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)52．5°(2)52．5°(3)52．5°，理由見解析【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)，分別求出∠NOB和∠MOB，相加即可求得∠MON，（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則∠MON=12∠AOD+12∠COB+∠BOD，將式子變形為∠MON=（3）同（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則∠MON=12∠AOD+12∠COB-∠BOD，將式子變形為∠MON=12∠AOD+∠BOD?∠COB?∠BOD（1）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB．∴∠NOB=12∠COB∠MOB=12∠AOD∴∠MON=∠NOB+∠MOB=22．5°+30°=52．5°，（2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB．∴∠MOD=12∠AOD，∠NOB12∠∴∠MON=1=1=（3）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB．∴∠MOD=12∠AOD，∠NOB=12∠∴∠MON=1=1=1=12∠AOB+∠COD=【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，幾何圖形中角的計算．準(zhǔn)確識圖并發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型6角中的方程思想】【例6】（2022·黑龍江牡丹江·七年級期末）以直線MN上點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，將直角三角板AOB的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(1)如圖①，三角板AOB的邊OB在射線ON上，若∠BOC=40°，則∠AOC=________．(2)如圖②，將三角板繞點(diǎn)O逆時針方向轉(zhuǎn)動，使得OB平分∠CON，請判斷OA平分∠COM嗎？并說明理由．(3)若∠CON=50°，將三角板AOB繞點(diǎn)O按逆時針方向轉(zhuǎn)動，使得∠BOC=13∠AOM，則∠BON【答案】(1)50°(2)OA平分∠MOC，見解析(3)30°或60°【分析】（1）代入∠AOB=∠AOC+∠COB求出即可；（2）求出∠COB=∠BON，根據(jù)∠AOB=90°求出∠AOM+∠BON=90°，∠AOC+∠COB=90°，推出∠AOM=∠AOC，即可得出答案；（3）設(shè)∠BOC=x°，則∠AOM=3x°，分OB在∠CON的內(nèi)部和在∠COM的內(nèi)部時兩種情況討論，利用平角的性質(zhì)列出方程求解即可．（1）解：∵∠AOB=∠AOC+∠COB=90°，又∵∠COB=40°，∴∠AOC=50°，故答案為：50°；（2）解：OA平分∠MOC，理由如下：∵OB平分∠NOC，∴∠COB=∠BON=12∠NOC∵∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=90°，∵∠AOC+∠COB=90°，∴∠AOM=∠AOC，∴OA平分∠MOC；（3）解：設(shè)∠BOC=x°，則∠AOM=3x°，當(dāng)OB在∠CON的內(nèi)部時，如圖：∴∠AOC=90°-x°，∠COM=180°-50°=130°，∴∠AOM+∠AOC=∠COM=130°，∴3x+90-x=130，∴x=20，∴∠BOC=20°，∴∠BON=50°-20°=30°；當(dāng)OB在∠COM的內(nèi)部時，如圖：∴∠AOM+∠AOB+∠BOC=∠COM=130°，∴3x+90+x=130，∴x=10，∴∠BOC=10°，∴∠BON=10°+50°=60°；故答案為：30°或60°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和角的計算，一元一次方程的應(yīng)用，能根據(jù)圖形和已知求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2022·陜西渭南·七年級期末）如圖，已知∠AOC:∠AOB=2:7,OD是∠AOB的平分線，若∠AOC=16°，求【答案】∠AOD=28°．【分析】設(shè)∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，由∠AOC=16由OD是∠AOB的平分線，可得∠AOD=12∠AOB==【詳解】∵∠AOC：∠AOB=2：7，∴設(shè)∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，∵∠AOC=∴2x=16∴x=8∴∠AOB=7x°=7×8°=56°∵OD是∠AOB的平分線，∴∠AOD=12∠AOB=1【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，7等分角問題，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出關(guān)于x的方程．【變式6-2】（2022·山東煙臺·期末）如圖，將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．(1)當(dāng)∠BON=60°時，求∠COM的度數(shù)；(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度數(shù)．【答案】(1)∠COM=30°(2)∠AON=135°【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠AON=120°，再由角平分線得出∠CON=60°，結(jié)合圖形求解即可；（2）設(shè)∠COM=x，結(jié)合圖形利用角平分線及一元一次方程求解即可．（1）解：∵∠BON=60°，∴∠AON=120°，∵OC平分∠AON，∴∠CON=1∵∠MON=90°，∴∠COM=90°?60°=30°；（2）設(shè)∠COM=x，∵∠AOM=2∠COM，∴∠AOM=2x，∴∠AOC=3x，∵OC平分∠AON，∴∠AOC=∠CON，∴∠CON=∠AOC=3x，∵∠COM+∠CON=90°，∴x+3x=90°，解得x=22.5°，∴∠AON=6x=135°．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的計算，鄰補(bǔ)角的計算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，已知∠AOB=90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD=45°，OE平分∠BOC．(1)如圖1，當(dāng)∠AOC=30°時，∠DOE=_____________°；(2)如圖2，當(dāng)∠AOC=60°時，∠DOE=_____________°；(3)如圖3，當(dāng)∠AOC=α（90°<α<180°）時，求∠DOE的度數(shù)（用α表示）；(4)由前三步的計算，當(dāng)0°<∠AOC<180°時，請直接寫出∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為_______________________________________．【答案】(1)15(2)30(3)∠DOE=(4)∠AOC=2∠DOE【分析】（1）先求出∠BOC=60°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠EOC=30°，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）先求出∠BOC=30°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠EOC=15°，然后根據(jù)角的和差即可得；（3）先求出∠BOC=α?90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠EOC=1（4）設(shè)∠AOC=x0°<x<180°，分①0°<x≤90°和②90°<x<180°（1）解：∵∠AOB=90°,∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∵∠COD=45°，∴∠DOE=∠COD?∠EOC=15°，故答案為：15．（2）解：∵∠AOB=90°,∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=30°，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∵∠COD=45°，∴∠DOE=∠COD?∠EOC=30°，故答案為：30．（3）解：∵∠AOB=90°,∠AOC=α90°<α<180°∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=α?90°，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∵∠COD=45°，∴∠DOE=∠COD+∠EOC=1（4）解：設(shè)∠AOC=x0°<x<180°①如圖1和圖2，當(dāng)0°<x≤90°時，∵∠AOB=90°,∠AOC=x，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=90°?x，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∵∠COD=45°，∴∠DOE=∠COD?∠EOC=1即∠AOC=2∠DOE；②如圖3，當(dāng)90°<x<180°時，同（3）可得：∠DOE=1則∠AOC=2∠DOE；綜上，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為∠AOC=2∠DOE，故答案為：∠AOC=2∠DOE．【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，正確找出圖形中的角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型7角中的分類討論思想】【例7】（2022·浙江金華·七年級期末）定義：在一個已知角內(nèi)部，一條線分已知角成兩個新角，其中一個角度數(shù)為另個角度數(shù)的兩倍，我們把這條線叫做這個已知角的三等分線．(1)如圖，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分線，求∠AOC的度數(shù)．(2)點(diǎn)O在線段AB上（不含端點(diǎn)A，B），在直線AB同側(cè)作射線OC，OD．設(shè)∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①當(dāng)OC是∠AOD的三等分線時，求t的值．②當(dāng)OC是∠BOD的三等分線時，求∠BOD的度數(shù)．【答案】(1)∠AOC的度數(shù)為40°或80°；(2)①：t=907或36019；②∠BOD=【分析】（1）分兩種情況討論，列式計算即可；（2）①分兩種情況討論，列式計算即可；②計算得到∠COD=8t-180°，分兩種情況討論，列式計算即可．(1)解：OC是∠AOB的三等分線，當(dāng)∠AOC=23∠AOB∵∠AOB=120°，∴∠AOC=23∠AOB當(dāng)∠AOC=13∠AOB∵∠AOB=120°，∴∠AOC=13∠AOB綜上，∠AOC的度數(shù)為40°或80°；(2)解：①∵OC是∠AOD的三等分線，∴OC在∠AOD內(nèi)，依題意得：(180°-5t)÷3=3t或(180°-5t)÷3×2=3t，解得：t=907或360②∵OC是∠BOD的三等分線，∴OC在∠BOD內(nèi)，∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，∴∠COD=8t-180°，依題意得：(8t-180°)×3=5t或(8t-180°)×32=5t解得：t=54019或540∴∠BOD=270019度或2700【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，解決問題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線的定義，解題時注意分類思想的運(yùn)用，分類時不能重復(fù)，也不能遺漏．【變式7-1】（2022·江蘇·文昌初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知如圖，∠COD=90°，直線AB與OC交于點(diǎn)B，與OD交于點(diǎn)A，射線OE與射線AF交于點(diǎn)G.(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，則∠OGA=°(2)若∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，∠OBA=42°，則∠OGA=(3)將(2)中的“∠OBA=42°”改為“∠OBA=α”，其它條件不變，求∠OGA的度數(shù).(用含α的代數(shù)式表示)(4)若OE將∠BOA分成1︰2兩部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α(30°<<90°)，求∠OGA的度數(shù).(用含α的代數(shù)式表示)【答案】（1）21°；（2）14°；（3）13α；（4）∠OGA的度數(shù)為12α+15°或1【分析】（1）由于∠BAD=∠OBA+∠BOA=α+90°，由AF平分∠BAD得到∠FAD=12∠BAD，而∠FAD=∠EOD+∠OGA，45°+∠OGA=12(α+90°)，則∠OGA=12α（2）由于∠GOA=13∠BOA=30°，∠GAD=13∠BAD，∠OBA=α，根據(jù)∠GAD=∠EOD+∠OGA得到30°+∠OGA=13(α+90°)，則∠OGA=13（3）由（2）得到∠OGA=13α（4）討論：當(dāng)∠EOD：∠COE=1：2時，則∠EOD=30°，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到30°+∠OGA=12(α+90°)，則∠OGA=當(dāng)∠EOD：∠COE=2：1時，則∠EOD=60°，同理得∠OGA=12α【詳解】（1）21°；（2）14°；（3）13（4）當(dāng)∠EOD：∠COE=1：2時，則∠EOD=30°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，而AF平分∠BAD，∴∠FAD=12∠BAD∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，∴2×30°+2∠OGA=α+90°，∴∠OGA=12α當(dāng)∠EOD：∠COE=2：1時，則∠EOD=60°，同理得到∠OGA=12α即∠OGA的度數(shù)為12α+15°或12考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【變式7-2】（2022·江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級期末）如圖，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，(1)如圖1，當(dāng)OC在OB左側(cè)，且α=80°(2)當(dāng)OC的位置不確定時，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究∠DOE的大小與α(3)當(dāng)∠DOE的度數(shù)為36°時，請直接寫出α【答案】(1)85°(2)∠DOE=45°+12(3)18°或162°【分析】（1）利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系求解；（2）分OC在OB左側(cè)，OC在∠AOB內(nèi)部，OC在OA（3）將∠DOE（1）解：由題意得，∠AOB=90°，∵OD，OE分別是∠AOB，∴∠DOB=1∴∠DOE即∠DOE的度數(shù)是85°（2）解：分三種情況討論，當(dāng)OC在OB左側(cè)時，如下圖所示：∠DOE當(dāng)OC在∠AOB∠DOE當(dāng)OC在OA下方時，如下圖所示：∠DOE綜上可知，∠DOE=45°+12α（3）解：由（2）可知，∠DOE45°?12α=36°解得α=18°，或α=162°，或即α的度數(shù)為18°或162°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，需要注意OC的位置有多種可能，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·廣東汕頭·七年級期末）探索新知：如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”（1）一個角的平分線______這個角的“巧分線”（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=______；（用含α的代數(shù)式表示）；深入研究：如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成180°時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．若射線PM同時繞點(diǎn)P以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ【答案】（1）是；（2）12α或13【分析】（1）根據(jù)巧分線定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；深入研究：分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可．【詳解】（1）一個角的平分線是這個角的“巧分線”，故答案為：是；（2）∵∠MPN=α，當(dāng)∠MPN=2∠MPQ時，如圖：∴∠MPQ=12當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時，如圖：∴∠MPQ=13當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時，如圖：∴∠MPQ=23故答案為：12α或13深入研究：依題意有：①10t=1解得t=2.4；②10t=1解得t=4；③10t=2解得t=6；故當(dāng)t為2.4或4或6時，射線PQ是∠MPN的“巧分線”．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問題中的角度計算，解一元一次方程，巧分線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．【題型8角中的數(shù)形結(jié)合思想】【例8】（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC=1：2．(1)求∠AOC，∠BOC的度數(shù)；(2)作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內(nèi)作射線ON，使∠BON=70°，補(bǔ)全圖形，并求出∠MON的度數(shù)；(3)若存在射線OD，使∠AOD=4∠BOD，請直接寫出所有可能的∠COD的度數(shù)．【答案】(1)∠AOC=40°，∠BOC=80°(2)∠MON=30°(3)56°或120°或128°【分析】（1）根據(jù)角的倍分關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，求出∠CON和∠COM即可求解；（3）分射線OD在∠AOB的內(nèi)部和射線OD在∠AOB的外部分別求解即可．(1)解：∵∠AOB=120°，∠∠AOC：∠BOC=1：2．∴∠AOC=13∠AOB=40°，∠BOC=23∠(2)解：如圖，∵∠BOC=80°，∠BON=70°，∴∠CON=∠BOC-∠BON=10°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC∴∠MON=∠CON+∠COM=30°；(3)解：當(dāng)射線OD在∠AOB的內(nèi)部時，如圖，∵∠AOD=4∠BOD，∴∠BOD=15∠AOB∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-24°=56°；當(dāng)射線OD在∠AOB的外部時，如圖，∵∠AOD=4∠BOD，∴∠BOD=13∠AOB=40°，或∠BOD=15(360°-∠∴∠COD=∠BOC+∠BOD=80°+40°=120°，或∠COD=80°+48°=128°，綜上，∠COD的度數(shù)為56°或120°或128°．【點(diǎn)睛】本題考查簡單作圖、角平分線的定義、角的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型，解答關(guān)鍵是理解題意，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想進(jìn)行角度的運(yùn)算．【變式8-1】（2022·山東臨沂·七年級期末）已知∠AOB、∠COD，射線OE平分∠AOD；(1)如圖1，已知∠AOB=180°、∠COD=90°，若∠DOB=46°，求∠COE的度數(shù)；(2)∠AOB、∠COD的位置如圖2，已知∠COD=12∠AOB【答案】(1)∠COE=23°(2)∠COE:∠DOB=1:2【分析】（1）先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求出∠AOD=134°，再根據(jù)角平分線定義求出∠EOD度數(shù)，即可由∠COE=∠COD?∠EOD求解；（2）由角平分線得∠EOD=12∠AOB+∠BOD，又因?yàn)椤螩OD=12∠AOB，則（1）解：∵∠AOB=180°，∠DOB=46°，∴∠AOD=134°，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=1∵∠COD=90°，∴∠COE=∠COD?∠EOD=90°?67°=23°；（2）解：∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∵∠COD=1∴∠EOC=∠EOD?∠COD==∴∠COE:∠DOB=1:2【點(diǎn)睛】本題考查與角平分線有關(guān)的角的計算，利用數(shù)形結(jié)合，熟練掌握利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行角的和差倍分運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·全國·七年級單元測試）操作與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐活動課上，老師將一副三角板按圖1所示的位置擺放，分別在∠AOC，∠BOD的