中考數(shù)學(xué)專題圓的切線習(xí)題

中考數(shù)學(xué)專題圓的切線精華習(xí)題中考數(shù)學(xué)專題圓的位置關(guān)系第一部分真題精講【例1】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．【解析】（1）證明：聯(lián)結(jié)OD．∵D為AC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線．∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于點(diǎn)D.∴DE為⊙O的切線．（2）解：聯(lián)結(jié)DB．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵D為AC中點(diǎn)，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=，∴EC=.由勾股定理得：DC=.在Rt△DCB中,BD=．由勾股定理得：BC=5.∴AB=BC=5.∴⊙O的直徑為5.【例2】已知：如圖，⊙O為的外接圓，為⊙O的直徑，作射線，使得平分，過點(diǎn)作于點(diǎn).（1）求證：為⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑.【解析】證明：連接.∵，∴.∵，∴.∴.∴∥.∵,∴.∴.∵是⊙O半徑，∴為⊙O的切線.（2）∵,，，∴.由勾股定理，得.∴.∵是⊙O直徑，∴.∴.又∵,,∴.在Rt△中，==5.∴⊙O的半徑為.【例3】已知：如圖，點(diǎn)是⊙的直徑延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在⊙上，且（1）求證：是⊙的切線；（2）若點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且，，求⊙的半徑長.【解析】（1）證明：連接.∵，∴.∴是等邊三角形.∴.∵，∴∴.∴.又∵點(diǎn)在⊙上，∴是⊙的切線.（2）解：∵是⊙的直徑，∴.在中，,∴設(shè)則，∴.∴.∵,∴∽.∴.∵,∴.∴【例4】如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作⊙O交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，垂足為，交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：直線是⊙O的切線；（2）求的值．【解析】（1）證明：如圖，連結(jié)，則．∴．∵，∴．∴是的中點(diǎn)．∵是的中點(diǎn)，∴．∵于F．∴．∴是⊙O的切線．(2)連結(jié)，∵是直徑,∴．∴．∴．設(shè)，則．在中，．在中，．∴．解得．即．在中．∴．【例5】如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓交AD于F，交BC于G，延長BA交圓于E.（1）若ED與⊙A相切，試判斷GD與⊙A的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件不變的情況下，若GC＝CD＝5，求AD的長.【解析】結(jié)論：與相切證明：連接∵點(diǎn)、在圓上，∴∵四邊形是平行四邊形，∴∴∵∴∴在和∴∴∵與相切∴∴∴∴與相切（2）∵，四邊形是平行四邊形∴，，∵∴∴∴∴∴.如圖△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，與AB切于點(diǎn)D，求證：與AC也相切。如圖，中，AB=AC，=，O、D將BC三等分，以O(shè)B為圓心畫，求證：與AC相切。第二部分發(fā)散思考【思考1】如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點(diǎn)，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長.【思考2】已知：如圖，AB為⊙O的弦，過點(diǎn)O作AB的平行線，交⊙O于點(diǎn)C，直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D=∠ACB.（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若⊙O的半徑等于4，，求CD的長.【思考3】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.（1）求證：AE與⊙O相切；（2）當(dāng)BC=4,cosC=時，求⊙O的半徑.【思路分析】這是一道去年北京中考的原題，有些同學(xué)可能已經(jīng)做過了。主要考點(diǎn)還是切線判定，等腰三角形性質(zhì)以及解直角三角形，也不會很難。放這里的原因是讓大家感受一下中考題也無非就是如此出法，和我們前面看到的那些題是一個意思?！舅伎?】如圖，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O為△ABC的外接圓，D為上一點(diǎn)，CE⊥AD于E.求證：AE=BD+DE．【思路分析】前面的題目大多是有關(guān)切線問題，但是未必所有的圓問題都和切線有關(guān)，去年西城區(qū)這道模擬題就是無切線問題的代表。此題的關(guān)鍵在于如何在圖形中找到和BD相等的量來達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。如果圖形中所有線段現(xiàn)成的沒有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的線段關(guān)系?！舅伎?】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長線于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．求證：DE是⊙O的切線；若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的長．【思路分析】又是一道非常典型的用角證平行的題目。題目中雖未給出AC評分角EAD這樣的條件，但是通過給定CE=CF，加上有一個公共邊，那么很容易發(fā)現(xiàn)△EAC和△CAF是全等的。于是問題迎刃而解。第二問中依然要注意找到已知線段的等量線段，并且利用和，差等關(guān)系去轉(zhuǎn)化。第三部分思考題解析【思考1解析】．∴∠OBD=90°．∴直線BD與⊙O相切．（2）解：∵∠D=∠ACB，，∴．在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，，∴，．∴．OBGEOBGECMAF1231）證明：連結(jié)，則．∴．∵平分．∴．∴．∴．∴．在中，，是角平分線，∴．∴．∴．∴．∴與相切．（2）解：在中，，是角平分線，∴．∵，∴．在中，，∴．設(shè)的半徑為，則．∵，∴．∴．∴．解得．∴的半徑為．