晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)

固體物理學(xué)一維單原子鏈格波方程:

不同原子間的相位差：相鄰原子間的相位差：格波相速度：格波的波長：相鄰原子間的相位差：所有原子的振動(dòng)完全相同由于格波解和色散關(guān)系對(duì)于波矢的周期性，我們可以限制波矢在一個(gè)周期的獨(dú)立取值范圍內(nèi)，第一布里淵區(qū)．晶格振動(dòng)的所有可能狀態(tài)都包含在該布里淵區(qū)中，這個(gè)區(qū)域之外的波矢不提供任何新的振動(dòng)狀態(tài)．一維單原子鏈色散關(guān)系:

第一布里淵區(qū)一維單原子鏈色散關(guān)系:

長波極限色散關(guān)系稱為聲學(xué)支。類似于連續(xù)介質(zhì)的波速形式在長波極限下，相鄰兩個(gè)原子的相位差趨向于“零”，而且在一個(gè)波長內(nèi)可以包含許多個(gè)原子，因此晶格可以看作是連續(xù)介質(zhì)。一維單原子鏈色散關(guān)系:

短波極限短波極限相當(dāng)于：則：相鄰兩個(gè)原子的振動(dòng)方向相反。

晶體的彈性力常數(shù)β約為15N/m，若一個(gè)原子的質(zhì)量為6×10-27Kg，則晶格振動(dòng)的最大圓頻率為

弧度/秒，最大頻率，即10THz。THz波段在微波與紅外光之間。二十世紀(jì)九十年代初，由于超快激光技術(shù)的發(fā)展，THz波段的輻射產(chǎn)生和探測技術(shù)得到很快發(fā)展；不同材料的晶格振動(dòng)頻譜具有各自的特征，可以作為這個(gè)材料的“指紋”，THz譜技術(shù)作為一種有效的無損探測方法，通過晶格振動(dòng)頻譜可以鑒別和探測材料。晶格振動(dòng)的應(yīng)用：聲子的引入：其中：簡諧振動(dòng)的零點(diǎn)能。聲子：是格波的量子，它的能量等于，一個(gè)格波稱為一種振動(dòng)模，即為一種聲子；當(dāng)振動(dòng)模處在本征態(tài)時(shí)，稱為有個(gè)聲子，個(gè)聲子數(shù)；當(dāng)光子（電子）與晶格振動(dòng)相互作用，交換能量是以為單元。若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格能量，稱發(fā)射一個(gè)聲子。聲子具有能量、動(dòng)量，聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí)的粒子,只是一種準(zhǔn)粒子電子波在晶體中的散射可以看作電子和聲子間的相互作用光在晶體中的散射可以看作是光子和聲子間的相互作用3.3一維雙原子鏈的晶格振動(dòng)

一、運(yùn)動(dòng)方程及其解運(yùn)動(dòng)方程：(設(shè)M>m)考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈。只考慮近鄰原子間的彈性相互作用試解：帶入與n沒有關(guān)系，所以所有聯(lián)立方程對(duì)格波形式解都?xì)w結(jié)為同一對(duì)方程。上述方程是關(guān)于A、B的線性齊次方程組，A、B有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，從而得到一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系：一維復(fù)式晶格的色散關(guān)系比一維單原子鏈晶格的色散關(guān)系復(fù)雜，在一維復(fù)式晶格中一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)這個(gè)兩個(gè)圓頻率。2.聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波:在長波極限下：則利用：得到：因此：因此在長波極限下，聲學(xué)波的頻率正比于波數(shù)，類似于一維鏈時(shí)的連續(xù)介質(zhì)的彈性波。在長波極限下，聲學(xué)波的振幅關(guān)系。說明在長聲學(xué)波時(shí)，原胞中的兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和相位沒有差別，做質(zhì)心整體振動(dòng)。光學(xué)波:在長波極限下，光學(xué)波的振幅關(guān)系：說明在長光學(xué)波時(shí)，光學(xué)波在長波極限下描述原胞質(zhì)心不動(dòng)、不同原子相對(duì)于質(zhì)心的振動(dòng)，原胞中的兩種原子的運(yùn)動(dòng)相位相反。在長波極限下：3.聲學(xué)波和光學(xué)波在短波極限下情況

短波極限：當(dāng)時(shí)不存在格波，此范圍稱為頻率隙。4.長聲學(xué)支格波與長光學(xué)支格波的本質(zhì)差別長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞中的不同原子做相對(duì)振動(dòng)（質(zhì)心不做運(yùn)動(dòng)），頻率較高，它包含了晶格振動(dòng)的頻率的最高振動(dòng)模式；長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)不同原子沒有相對(duì)位移，原胞作整體運(yùn)動(dòng)（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)），振動(dòng)頻率較低，它包含了晶格振動(dòng)頻率的最低振動(dòng)模式；任何晶體中都存在聲學(xué)制格波，但是簡單晶格（非復(fù)式晶格）晶體不存在光學(xué)支格波。5.思考題長聲學(xué)支格波能否將晶體宏觀極化？不能。長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)不同原子沒有相對(duì)位移，原胞作整體運(yùn)動(dòng)（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)）。長光學(xué)支格波可以使晶體宏觀極化。長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞中的不同原子做相對(duì)振動(dòng)，使正負(fù)離子產(chǎn)生相對(duì)位移。6.若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，一維晶格振動(dòng)有s個(gè)色散關(guān)系式（s支格波），其中：1支聲學(xué)波,（s-1）支光學(xué)波。晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝sN＝晶體的自由度數(shù)。3.4三維晶格運(yùn)動(dòng)設(shè)三維復(fù)式格子晶體，一個(gè)原胞中有n個(gè)原子，其質(zhì)量分別為m1,m2……mn,第l個(gè)原胞的位置設(shè)為：

第l個(gè)原胞中各個(gè)原子的位置表示為：第l個(gè)原胞中各個(gè)原子的偏離的位移表示為：第l個(gè)原胞中,第k個(gè)原子的的運(yùn)動(dòng)方程：一個(gè)原胞內(nèi)共有n個(gè)這樣的方程最后得到方程解的形式，＝1，2，3其中久期方程可以解得與q的三個(gè)關(guān)系式，對(duì)應(yīng)于三維情況沿三個(gè)方向的振動(dòng)，即三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對(duì)于復(fù)式晶格，若每個(gè)原胞中有n個(gè)原子，由運(yùn)動(dòng)方程可以解得3n個(gè)與q的關(guān)系式（即色散關(guān)系式），對(duì)應(yīng)于3n支格波，其中3支為聲學(xué)波（一支縱波，兩支橫波），3(n－1)支為光學(xué)波。對(duì)于N個(gè)原胞組成的三維晶體，設(shè)每個(gè)原胞中有n個(gè)原子，該晶體的晶格振動(dòng)有以下三個(gè)一般結(jié)論：

（1）格波共有3n支，其中3支聲頻支，其余3n-3支為光頻支；（2）每支格波有N個(gè)振動(dòng)模；

（3）共有個(gè)振動(dòng)模3nN.一般地，對(duì)于d維晶體，上述的三個(gè)結(jié)論依然成立，只是需將上述三個(gè)結(jié)論中的3改為d．

二、布里淵區(qū)對(duì)于第j支格波，設(shè)有兩個(gè)波矢q

和q’所描述的晶格振動(dòng)狀態(tài)完全相同，有上式對(duì)于任意時(shí)刻t和任意的格矢Rl都成立，有：由于Gn為倒格矢，h為整數(shù)有q’-q＝±Gn

，（由于Rl為任意格矢）

在q空間中，

j(q)是以倒格矢Gn

為周期的周期函數(shù)，仍可將波矢q限制在簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。即：

j(q±Gn)=j(q)因此在三維格子中，倒格子波矢可以寫為根據(jù)波恩—卡曼邊界條件，得：是沿晶格三個(gè)邊矢方向的的原胞數(shù)目。則：在q空間每一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的空間體積為：在q空間中，波矢q的分布密度由

j(q±Gn)=j(q)，可知在q空間中，

j(q)是以倒格矢Gn

為周期的周期函數(shù)，仍可將波矢q限制在簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。簡單晶格：每個(gè)原胞中只有一個(gè)原子，每一個(gè)q的取值

對(duì)應(yīng)于三個(gè)聲學(xué)波（1個(gè)縱波，2個(gè)橫波）。晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝3N＝晶體的自由度數(shù)。復(fù)式晶格：若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，每一個(gè)q的取值對(duì)應(yīng)于3個(gè)聲學(xué)波和3(s-1)個(gè)光學(xué)波。晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝[3＋3(s-1)]N=3sN=晶體的自由度數(shù)晶格振動(dòng)波矢的總數(shù)＝晶體的原胞數(shù)晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝晶體的自由度數(shù)重要結(jié)論：布里淵區(qū)的幾何作圖法：根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點(diǎn)陣，任取一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)；布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平分面。由近到遠(yuǎn)作各倒格矢的垂直平分面；在原點(diǎn)周圍圍成一個(gè)包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，即為簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)。習(xí)題：1、原胞中有p各原子，那么晶體中有

支聲學(xué)波，

支光學(xué)波。2、面心立方原胞體積

；其第一布里淵區(qū)的體積為

。4、一維復(fù)式原子鏈振動(dòng)中，在第一布里淵區(qū)中心和邊界，聲學(xué)波的頻率為

；光學(xué)波的頻率為。3、聲子的角頻率為，聲子的能量和動(dòng)量可以表示為

。33p-3

長光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng).所以定性地說，長光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng).

光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的.

聲學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相同的.1聲子光子1905年愛因斯坦在研究光電效應(yīng)時(shí)提出光子的概念.光是運(yùn)動(dòng)著的粒子流→光子每個(gè)光子的能量為對(duì)照光子的概念,我們將格波的能量量子稱為聲子.注:(1)聲子是準(zhǔn)粒子.光子是真實(shí)粒子,可在真空中存在.聲子是人們?yōu)榱烁美斫夂吞幚砭Ц窦w振動(dòng)而設(shè)想的一種粒子,不能游離于固體之外.(3)聲子具有等價(jià)性.當(dāng)q增加一個(gè)周期時(shí)不變即具有相同的性質(zhì).各個(gè)格波可能具有不同的聲子數(shù)，在一定溫度的熱平衡態(tài)，頻率為的格波的平均聲子數(shù)服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)對(duì)于頻率為的格波，忽略零點(diǎn)能情況下，其能量為其能量恰為ni個(gè)聲子所攜帶(4)聲子是玻色子.2n2n-12n+12n+22n-2

1mM

兩種不同原子所構(gòu)成的一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。設(shè)晶格常數(shù)為a,相鄰兩個(gè)原子之間的距離為b,恢復(fù)力系數(shù)為交替等于

1和

2.試找出色散關(guān)系.ab思考題:

2整理得欲使A，B有非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)為零，即:解得:對(duì)于三維晶格來說，還需考慮原子位移方向與格波傳播的向的關(guān)系。當(dāng)波矢q是沿著晶體的一個(gè)對(duì)稱軸，晶體繞這個(gè)軸存在對(duì)稱操作是，格波分為縱波和橫波。橫格波和縱格波縱波：原子的位移平行于波的傳播方向；橫波：原子位移垂直于波的傳播方向。且兩者都是兼并的。TO橫光學(xué)波，LO縱光學(xué)波TA橫聲學(xué)波，LA縱聲學(xué)波§3.5離子晶體的長光學(xué)波設(shè)正負(fù)離子的質(zhì)量分別為：設(shè)正負(fù)離子的位移分別為：黃昆先生引入折合位移矢量：黃昆方程：宏觀極化強(qiáng)度宏觀電場強(qiáng)度描述離子相對(duì)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程正負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生的極化和宏觀電場存在產(chǎn)生的附加極化b11W：離子相對(duì)位移引起的短程彈性恢復(fù)力b12E：宏觀極化電場對(duì)離子的作用力可以證明：b12=b21

一、長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程1、靜電場情況：由靜電學(xué)：——靜電介電常數(shù)；——真空電容率＝0

2、高頻電場情況：——高頻介電常數(shù)

0：橫長光學(xué)波的頻率

二、長光學(xué)波的橫波（TO）與縱波（LO）考慮帶電離子間的庫侖相互作用：橫波：縱波：靜電學(xué)方程：無自由電荷——LST關(guān)系一般情況：離子晶體中長光學(xué)波產(chǎn)生極化電場，增加了縱波的恢復(fù)力，從而提高了縱波的頻率，縱波聲子也被稱為極化聲子。三、離子晶體的光學(xué)性質(zhì)用黃昆方程討論離子晶體的光吸收，引入阻尼項(xiàng)：取復(fù)數(shù)形式解：由弱阻尼情況：吸收功率正比于介電常數(shù)的虛部

2，在＝0處有一吸收峰。而在弱阻尼情況下（），當(dāng)

1＝0時(shí)，＝L

。NaClNaClKClCsClTlCl最大吸收波長

(m)61.170.7102.0117.0§3.6確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法

中子（或光子）與晶格的相互作用即中子（或光子）與晶體中聲子的相互作用。中子（或光子）受聲子的非彈性散射表現(xiàn)為中子吸收或發(fā)射聲子的過程。晶格振動(dòng)譜可以利用中子、可見光光子或X光光子受晶格的非彈性散射來測定。只討論單聲子過程。一、中子的非彈性散射中子的非彈性散射是確定晶格振動(dòng)譜最有效的實(shí)驗(yàn)方法。{“＋”：吸收聲子的散射過程，“－”：發(fā)射聲子散射過程E1和p1（E2和p2）

：入射（出射）中子的能量與動(dòng)量Mn：中子質(zhì)量；Gl：倒格矢有慢中子的能量：0.020.04eV，與聲子的能量同數(shù)量級(jí)；中子的deBroglie波長：23×10－10m（23?），正好與晶格常數(shù)同數(shù)量級(jí)，可直接準(zhǔn)確地給出晶格振動(dòng)譜的信息。中子的非彈性散射被廣泛地用于研究晶格振動(dòng)譜。局限性：不適用于原子核對(duì)中子有強(qiáng)俘獲能力的情況。二、可見光的非彈性散射我們將發(fā)射或吸收光學(xué)聲子的散射稱為Raman散射；將發(fā)生或吸收聲學(xué)聲子的散射稱為Brillouin散射。k1和

1：入射光的波矢與頻率

k2和2：散射光的波矢與頻率固定入射光的頻率和入射方向，測量不同方向的散射光的頻率，可以得到聲子和頻率和波矢的關(guān)系。{能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒（單聲子過程）：1、光子與長聲學(xué)波聲子的相互作用長聲學(xué)波聲子：光波：因?yàn)椋喝绻庾拥牟ㄊ概c光子的波矢近似相等：則有：Brillouin散射：頻移

2－1

介于10731010Hz2、光子與長光學(xué)波聲子的相互作用入射光較弱時(shí)：p＝

ERaman散射：感應(yīng)的偶極矩將向空間輻射電磁波，形成散射光。對(duì)立方晶體，電子極化率為標(biāo)量。設(shè)：＝0＋

：極化率（電子極化率）設(shè)入射光波為：散射波為：頻率減小（

1－）的散射：Stokes散射；頻率增加（

1＋）的散射：anti－Stokes散射。入射光與晶格振動(dòng)的光學(xué)波相互作用所引起的頻率改變的非彈性散射光，稱為Raman散射。頻率不變的彈性散射光，稱為Rayleigh散射；Raman散射：頻移

2－1

介于3101031013Hz3.8晶格熱容的的量子理論固體的定容熱容E—固體的平均內(nèi)能當(dāng)晶體體積保持不變，沒有化學(xué)反應(yīng)和相變情況下，溫度每改變1K，晶體所吸收或放出的熱量或晶體內(nèi)能改變。晶格熱容——晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。電子熱容——電子熱運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。N個(gè)原子，晶體總能量：按照經(jīng)典理論,每個(gè)簡諧振動(dòng)的平均能量熱容是一個(gè)與溫度和材料無關(guān)的常數(shù).---杜?。晏娑蓪?shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)：熱容量隨溫度迅速趨于零!1、比熱的量子理論根據(jù)量子理論,在簡諧近似下,晶體的能量為：A、高溫極限－－－與杜隆－珀替定律相符熱容與晶格振動(dòng)頻率和溫度都有關(guān)

忽略B、低溫極限頻率的計(jì)算比較復(fù)雜,在一般討論中，常用愛因斯坦模型和德拜模型.關(guān)鍵（1）、愛因斯坦模型1907年愛因斯坦采用了非常簡單的假設(shè)：假設(shè)晶體中的原子振動(dòng)是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率

0.---愛因斯坦熱容函數(shù)令---愛因斯坦溫度A、溫度較高時(shí)

與杜隆—珀替定律相符——按溫度的指數(shù)形式降低這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果，解決了長期以來困擾物理學(xué)的一個(gè)疑難問題.金剛石的熱容B、溫度非常低時(shí)當(dāng)T0時(shí)，CV0，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性符合。實(shí)驗(yàn)表明:溫度很低時(shí)愛因斯坦模型過于簡單,忽略了各格波之間的頻率差別.低溫下,晶體熱容主要由頻率較低的聲學(xué)支格波決定,而愛因斯坦模型只考慮了光學(xué)支格波對(duì)熱容的貢獻(xiàn).愛因斯坦模型與德拜模型的本質(zhì)區(qū)別在于：德拜模型考慮了格波的頻率分布。（2）、德拜（Debye

）模型德拜于1912年提出了另一個(gè)簡化模型,考慮了格波的的頻率分布.(1)把晶體視為連續(xù)介質(zhì),即把格波看作是彈性波.(2)假定橫波和縱波的波速相等.低溫時(shí)，只有長聲學(xué)波被激發(fā)，對(duì)比熱容產(chǎn)生影響，所以實(shí)際上，德拜模型考慮的正是長聲學(xué)波對(duì)比熱的影響.基本思想:q空間近似頻率分布函數(shù)一維單原子鏈o平均每個(gè)點(diǎn)子占據(jù)的q空間線度q的分布密度推廣到三維情況

V

是一個(gè)宏觀的體積，允許的

q值在

q空間十分密集，可以看作是準(zhǔn)連續(xù)的.

在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目單位體積的固體中,頻率在到間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)目.態(tài)密度(頻譜密度)

q是準(zhǔn)連續(xù)的,所以頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的.在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目為最大截至頻率考慮到三維情況下有三支聲學(xué)支格波代入熱容公式：最大截至頻率的計(jì)算頻率在之間，振動(dòng)模式數(shù)目令---德拜溫度---德拜熱容函數(shù)A、在高溫極限下——與杜隆－珀替定律一致采用一級(jí)近似B、低溫極限利用Taylor展開式：利用積分公式