2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練（蘇科版）專題20 胡不歸小題含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題20胡不歸小題1．如圖，在等邊中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．3 B． C．6 D．2．如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．2 B． C．4 D．3．如圖，中，，于點(diǎn)，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．104．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連接，則的最小值是A．6 B． C． D．5．如圖，在中，，，則．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．1 B． C． D．26．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值A(chǔ)． B．6 C． D．47．如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．88．如圖，中，，，為邊上一點(diǎn)，則最小值為．9．如圖，中，，．是的邊上的高，點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．10．如圖，為等邊三角形，平分，的面積為，點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．11．如圖①，在中，，，點(diǎn)沿折疊與上的點(diǎn)重合．連接，請(qǐng)你探究：；請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②，在中，，，若，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連接，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，的最小值是．13．如圖，中，，，為射線上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是直線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）．（2）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．15．如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象分別與軸和軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．若定點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，則的最小值為．17．如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．18．如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．19．如圖，在平行四邊形中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．20．如圖，在中，，，．點(diǎn)是在邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是． 專題20胡不歸小題1．如圖，在等邊中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．3 B． C．6 D．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，是等邊三角形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在中，，，的最小值為：．故答案為：．2．如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．2 B． C．4 D．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，且時(shí)，有最小值為，如圖：，，，在中，，，的最小值是，故選：．3．如圖，中，，于點(diǎn)，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．10【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，或（舍去），，，，，，，，在中，，，，，的最小值是：，故選：．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連接，則的最小值是A．6 B． C． D．【解答】解：連接，過作，過作，令，即，解得或1，，，，，，．，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，，，，的最小值為．故選：．5．如圖，在中，，，則．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．1 B． C． D．2【解答】解：過作于，過點(diǎn)作于，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，為正三角形，，，，，，，，的最小值為．故選：．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值A(chǔ)． B．6 C． D．4【解答】解：如圖，，，，，，在的延長(zhǎng)線上取，，作于，，，當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，最小，過點(diǎn)作于，在中，，，最小值是3，最小值是6，故選：．7．如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8【解答】解：如圖，以為斜邊在下方作等腰，過作于，，，，，，，，的最小值為．故選：．二．填空題（共13小題）8．如圖，中，，，為邊上一點(diǎn)，則最小值為．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，此時(shí)：，，，，，則最小值為，故答案為：．9．如圖，中，，．是的邊上的高，點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是5．【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，在中，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上，且時(shí)取得最小值．，，，，的最小值為5．故答案為5．10．如圖，為等邊三角形，平分，的面積為，點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【解答】解：過作于，過點(diǎn)作于，為等邊三角形，平分，，，，的面積為，，，，，的最小值為．故答案為：．11．如圖①，在中，，，點(diǎn)沿折疊與上的點(diǎn)重合．連接，請(qǐng)你探究：；請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②，在中，，，若，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：，，，點(diǎn)沿折疊與上的點(diǎn)重合，，，，，，，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，此時(shí)的值最小，，在中，，，在中，，，，，在△中，，的最小值為，故答案為：，．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連接，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，的最小值是．【解答】解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，二次函數(shù)的解析式為，令，，解得或3，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，的最小值為4．故答案為：，4．13．如圖，中，，，為射線上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．【解答】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在上的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的倍，，，，，，，，，，，，，當(dāng)、、點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)有最小值，，，，，即，，，故答案為：．14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是直線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）．（2）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解答】解：（1）設(shè)，過點(diǎn)作軸交于，，，，，，故答案為：；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過作軸交于，連接，，，，，此時(shí)的值最小，，，，，，，，，，，故答案為：，．15．如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為6．【解答】解：如圖，在中，，，，在的下方作，作于，作于，，，，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，，，故答案是6．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象分別與軸和軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．若定點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：過點(diǎn)作直線與軸的夾角，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，，，，，，此時(shí)取最小值，，，，，的坐標(biāo)為，，，，，直線的圖象分別與軸和軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，，，，，，，，，，，取最小值為，故答案為：．17．如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于4．【解答】解：如圖過點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，，要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為的長(zhǎng)，在中，，，．故答案為：4．18．如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【解答】解：如圖，作于，于．，，，設(shè)，，則有：，，或（舍棄），，，，，（等腰三角形兩腰上的高相等），，，，，，，的最小值為．故答案為．19．如圖，在平行四邊形中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，即最小值為，，，故答案為：．20．如圖，在中，，，．點(diǎn)是在邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【解答】解：過點(diǎn)作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，取最小值，，，，，，，故答案為：． 專題21相似三角形綜合題1．如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，CD=4x，CE=3x，其中0＜x＜3．(1)求證：DE∥AB；(2)當(dāng)x=1時(shí)，求點(diǎn)E到AB的距離；(3)將△DCE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上的D′處.在旋轉(zhuǎn)的過程中，若點(diǎn)D′的位置有且只有一個(gè)，求x的取值范圍.圖1

備用圖1

備用圖22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．（1）如圖1，EF與CD邊交于點(diǎn)M，當(dāng)DM＝EM時(shí)；求t的值．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在矩形任意兩個(gè)頂點(diǎn)的所在直線上時(shí)，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值．3．如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分別是線段AC、BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形．（1）若△PCD是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）若AP=，求CF的長(zhǎng)．4．如圖1，點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)，△EBF的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng).（1）求∠EOF的度數(shù).（2）連接OA、OC（如圖2）.求證：△AOE∽△CFO.（3）若OE=OF，求的值.5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PE＝y(tǒng)；（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）探究：當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PQBE為梯形？（3）是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，連接.過點(diǎn)作，垂足為.經(jīng)過點(diǎn)、、，與相交于點(diǎn).（1）求證；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，，求的半徑.7．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E在AD上，BE與AC交于點(diǎn)F.（1）若AC⊥BE,求AE的長(zhǎng)；（2）設(shè)△DEF和△DCF的面積分別為S1和S2，當(dāng)AE=m時(shí),求S1：S2；（3）當(dāng)AE的長(zhǎng)是多少時(shí)，△DCF是等腰三角形？8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)是（－6，0），B點(diǎn)是（0，8），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在OB邊上以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）如1圖，設(shè)△BPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）如2圖，連接AQ、OP，如果AQ⊥OP，求t的值；（3）設(shè)PQ的中點(diǎn)為D點(diǎn)，則D點(diǎn)一定在直線________上．

9．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在斜邊AC上，三角板的兩直角邊分別交直線AB、BC于E、F兩點(diǎn)．（1）如圖①，若O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上．①當(dāng)△OFC是等腰直角三角形時(shí)，∠FOC=；②求證：OE=OF；（2）如圖②，若AO：AC=1：4時(shí)，OE和OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．10．如圖1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段AD延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為一邊，在CP的左側(cè)作矩形CPFE．（1）若DP＝，①如圖1，當(dāng)矩形CPFE的頂點(diǎn)F恰好落在CD的延長(zhǎng)線上，求PF的長(zhǎng)；②如圖2，求證：點(diǎn)A一定在矩形CPFE的邊CE所在的直線上；③如圖3，連接EP，易知EP中點(diǎn)O在CP的垂直平分線上，設(shè)CP的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BO，求5BO＋3OG的最小值；（2）如圖4，若所作矩形CPFE始終保持CE＝CP，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使CH＝2，連接HF，試探究點(diǎn)P移動(dòng)過程中，HF是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出HF的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后把紙片展平．第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，再把紙片展平．

問題解決：（1）如圖1，填空：四邊形的形狀是_____________________；（2）如圖2，線段與是否相等？若相等，請(qǐng)給出證明；若不等，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，若，求的值．12．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．13．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．（1）當(dāng)矩形EFPQ為正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；（2）設(shè)EF＝x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BC勻速向右運(yùn)動(dòng)（當(dāng)矩形的頂點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．14．如圖1，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m?1，將它沿EF折疊(點(diǎn)E.

F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，連接EP.設(shè)，其中0<n?1.(1)如圖2，當(dāng)n=1(即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；(2)如圖3，當(dāng)(M為AD的中點(diǎn))，m的值發(fā)生變化時(shí)，求證：EP=AE+DP；(3)如圖1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，n的值發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?說明理由.15．如圖1，點(diǎn)M放在正方形ABCD的對(duì)角線AC(不與點(diǎn)A重合)上滑動(dòng)，連結(jié)DM，做MN⊥DM,交直線AB于N．(1)求證：DM=MN；(2)若將(1)中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變?nèi)鐖D，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，當(dāng)M滑動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3)，請(qǐng)你直接寫出MD：MN的比值．

16．如圖，正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果______；將圖中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖，求HD：GC：EB；把圖中的正方形都換成矩形，如圖，且已知DA：：，求此時(shí)HD：GC：EB的值簡(jiǎn)要寫出過程．17．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．動(dòng)點(diǎn)P在線段CB上，以1cm/s的速度從點(diǎn)C向B運(yùn)動(dòng)，連接AP，作CE⊥AB分別交AP、AB于點(diǎn)F、E，過點(diǎn)P作PD⊥AP交AB于點(diǎn)D．（1）線段CE=；（2）若t=5時(shí)，求證：△BPD≌△ACF；（3）t為何值時(shí)，△PDB是等腰三角形；（4）求D點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．18．（1）我們知道：如圖①，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為__________．（2）在圖①中，若，則的長(zhǎng)為__________；（3）如圖②，用邊長(zhǎng)為的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得折痕．試說明：是的黃金分割點(diǎn)；（4）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長(zhǎng)為的正方形的邊上任取點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)與滿足某種關(guān)系時(shí)，、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．專題21相似三角形綜合題1．如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，CD=4x，CE=3x，其中0＜x＜3．(1)求證：DE∥AB；(2)當(dāng)x=1時(shí)，求點(diǎn)E到AB的距離；(3)將△DCE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上的D′處.在旋轉(zhuǎn)的過程中，若點(diǎn)D′的位置有且只有一個(gè)，求x的取值范圍.圖1

備用圖1

備用圖2【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】(1)根據(jù)線段之間的比值得出△CDE和△CAB相似，從而得出平行；(2)過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，然后得出△BEH和△BAC相似得出EH的長(zhǎng)度；(3)本題分⊥AB于點(diǎn)和與點(diǎn)B重合時(shí)兩種情況分別求出x的值．【詳解】(1)∵，∴.∵，∴.

∵，∴.

∴.

∴∥.

(2)、過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H.

∵，∴.∵，

∴.

∵，∴.∴.(3)當(dāng)⊥AB于點(diǎn)，，

∴.

∴.當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，.∴，∴.∴.綜上：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形相似的性質(zhì)與判定，屬于中等難度的題型．證明三角形相似和了解三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．（1）如圖1，EF與CD邊交于點(diǎn)M，當(dāng)DM＝EM時(shí)；求t的值．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在矩形任意兩個(gè)頂點(diǎn)的所在直線上時(shí)，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值．【答案】（1）；（2）所有符合條件的t的值t＝1或t＝3或t＝2或．【分析】（1）連接，證明，求得的值，進(jìn)而求出，從而求證；（2）分四種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明全等或相似，求得的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）連接，如圖，正方形，矩形，，，在和中，，，，在中，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，；（2）分四種情況，①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，矩形，，，，正方形，，，，，，在和中，，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，；②當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖，為正方形的對(duì)角線，，矩形，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，；③當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，設(shè)，則，，，，，，解得：，即，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，；④當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，設(shè)，，則，，，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，；故所有符合條件的的值或或或．【點(diǎn)睛】本題以動(dòng)點(diǎn)為背景考查了正方形，矩形的性質(zhì)，根據(jù)根據(jù)正方形，矩形的性質(zhì)，利用全等或相似求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而分析求解是解題的關(guān)鍵．3．如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分別是線段AC、BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形．（1）若△PCD是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）若AP=，求CF的長(zhǎng)．【答案】（1）4；5；（2）【分析】（1）先求出AC，再分三種情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）先判斷出OC=ED，OC=PF，進(jìn)而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判斷出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)CP=CD時(shí)，AP=AC﹣CP=10﹣6=4；②當(dāng)PD=PC時(shí)，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5；③當(dāng)DP=DC時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DQ⊥AC于Q，則PQ=CQ，∵S△ADC=AD?DC=AC?DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=，所以，若△PCD是等腰三角形時(shí)，AP=4或5或；（2）如圖2，連接PF，DE記PF與DE的交點(diǎn)為O，連接OC，∵四邊形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴=，∵AP=，∴CF=．4．如圖1，點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)，△EBF的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng).（1）求∠EOF的度數(shù).（2）連接OA、OC（如圖2）.求證：△AOE∽△CFO.（3）若OE=OF，求的值.【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）【分析】(1).在BC上取一點(diǎn)G，使得CG=BE，連接OB、OC、OG，然后證明△OBE和△OCG全等，從而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出EF=GF，從而得出△FOE和△GOF全等，得出∠EOF的度數(shù)；(2)、連接OA，根據(jù)點(diǎn)O為正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，結(jié)合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，從而得出三角形相似；(3)、根據(jù)相似得出線段比，根據(jù)相似比求出AE和CO的關(guān)系，CF和AO的關(guān)系，從而得出答案．【詳解】解：(1).如圖，在BC上取一點(diǎn)G，使得CG=BE，連接OB、OC、OG.∵點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，∴OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．∴△OBE≌△OCG（SAS）.

∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)，∴EF＝GF.

∴△EOF≌△GOF（SSS）.∴∠EOF＝∠GOF＝45°．(2).連接OA．∵點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，∴∠OAE＝∠FCO＝45°．∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°．∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．∴△AOE∽△CFO．(3).∵△AOE∽△CFO，∴＝＝．即AE＝×CO，CF＝AO÷．∵OE＝OF，∴＝．∴AE＝CO，CF＝AO．

∴＝．點(diǎn)睛：本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)，綜合性非常強(qiáng)，難度較大．熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PE＝y(tǒng)；（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）探究：當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PQBE為梯形？（3）是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝﹣x+3（2）當(dāng)x＝時(shí)，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時(shí)四邊形PQBE是梯形（3）當(dāng)x＝或x＝或x＝或x＝時(shí)，△PQE為等腰三角形【分析】（1）由四邊形ABCD為矩形，得到∠D為直角，對(duì)邊相等，可得三角形ADC為直角三角形，由AD與DC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由PE平行于CD，利用兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，可得出三角形APE與三角形ADC相似，由相似得比例，將各自的值代入，整理后得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；（2）若QB與PE平行，得到四邊形PQBE為矩形，不合題意，故QB與PE不平行，當(dāng)PQ與BE平行時(shí)，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出一對(duì)鄰補(bǔ)角相等，再由AD與BC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出三角形APQ與三角形BEC相似，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到四邊形PQBE為梯形時(shí)x的值；（3）存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分兩種情況考慮：當(dāng)Q在AE上時(shí)，由AE﹣AQ表示出QE，再根據(jù)PQ＝PE，PQ＝EQ，PE＝QE三種情況，分別列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意x的值；當(dāng)Q在EC上時(shí)，由AQ﹣AE表示出QE，此時(shí)三角形為鈍角三角形，只能PE＝QE列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到滿足題意x的值，綜上，得到所有滿足題意的x的值．【詳解】（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC＝＝5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y(tǒng)，DC＝3，∴，即，∴y＝﹣x+3；（2）若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，故QB與PE不平行，當(dāng)QP∥BE時(shí)，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴，即，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝，∴當(dāng)x＝時(shí)，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時(shí)四邊形PQBE是梯形；（3）存在．分兩種情況：當(dāng)Q在線段AE上時(shí)：QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝5﹣x，（i）當(dāng)QE＝PE時(shí)，5﹣x＝﹣x+3，解得：x＝；（ii）當(dāng)QP＝QE時(shí)，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣x，解得：x＝；（iii）當(dāng)QP＝PE時(shí)，過P作PF⊥QE于F，可得：FE＝QE＝（5﹣x）＝，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝，∵cos∠AEP＝＝＝，解得：x＝；當(dāng)點(diǎn)Q在線段EC上時(shí)，△PQE只能是鈍角三角形，如圖所示：∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣x+5，PE＝﹣x+3，∴﹣x+3＝x﹣（﹣x+5），解得：x＝．綜上，當(dāng)x＝或x＝或x＝或x＝時(shí)，△PQE為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題屬于相似綜合題，涉及的知識(shí)有：矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，梯形的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論時(shí)要做到不重不漏，考慮問題要全面．6．如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，連接.過點(diǎn)作，垂足為.經(jīng)過點(diǎn)、、，與相交于點(diǎn).（1）求證；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，，求的半徑.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】分析：（1）先,證出,再根據(jù)四邊形是的內(nèi)接四邊形,得到,從而證出結(jié)論;(2)連接根據(jù)得到,根據(jù)得,從而,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半徑.【詳解】（1）證明：在正方形中，.∴.∵.∴.∴.∴.∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴.又，∴.∴.（2）解：如圖，連接.∵，，∴.∴，即.∵，∴.∴.在正方形中，，∴，.∴.∵，∴是的直徑.∴的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的推論，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)證明相似三角形，利用線段，角的關(guān)系解題.7．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E在AD上，BE與AC交于點(diǎn)F.（1）若AC⊥BE,求AE的長(zhǎng)；（2）設(shè)△DEF和△DCF的面積分別為S1和S2，當(dāng)AE=m時(shí),求S1：S2；（3）當(dāng)AE的長(zhǎng)是多少時(shí)，△DCF是等腰三角形？【答案】（1）；（2）S1：S2=m(4-m):16；（3）、4、.【分析】（1）利用已知條件，得到，，得到，代入求值可得到AE.（2）過F作BC,AD的垂線，長(zhǎng)度分別為h1和h2，根據(jù)△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到可以求得代入可得到比值.（3）分三種情況進(jìn)行討論，分別是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分開討論即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形;∴△ABE是直角三角形;又∵AC⊥BE,∴∠AFB=90°,∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠BAC=90°.∴∠AEB=∠BAC∴,∴;∴（2）過F作BC,AD的垂線，長(zhǎng)度分別為h1和h2,∵△AEF∽△CBF,∴,∵h(yuǎn)1+h2=3,∴又∵△AGF∽△CBA，∴∴∴∴S1：S2=∴S1：S2=m(4-m):16（3）本題分三種情況：①當(dāng)CD=CF=3時(shí)，AF=2，由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=；②當(dāng)DF=CF時(shí)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，此時(shí)E、D重合，∴AE=4；③當(dāng)DF=CD=3時(shí)，作DM⊥AC于G，則CM=FM=，AF=，由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=綜上，AE=、4、【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)定理，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)是（－6，0），B點(diǎn)是（0，8），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在OB邊上以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）如1圖，設(shè)△BPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）如2圖，連接AQ、OP，如果AQ⊥OP，求t的值；（3）設(shè)PQ的中點(diǎn)為D點(diǎn)，則D點(diǎn)一定在直線________上．

【答案】（1）y=－6t2+12t（0＜t＜2）；（2）；（3）y=4．【詳解】分析：（1）作PH⊥OB于H．由題意得到，，由的定義，得到，從而求出；（2）作PH⊥OB于H．由，得到，由△OAQ∽△HOP，得到，解方程即可；（3）由P（－3t，8－4t），Q（0，4t），得到PQ的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．詳解：（1）作PH⊥OB于H．∵A點(diǎn)是（－6，0），B點(diǎn)是（0，8），∴OA＝6，OB＝8．又∵軸⊥軸，∴，由題意得：，∴，又∵，∴，，∴y=－6t2+12t（0＜t＜2）；（2）作PH⊥OB于H．

由上題可知：，∴，∴．∵，∴△OAQ∽△HOP，

∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，則有．（3）∵P（－3t，8－4t），Q（0，4t），∴PQ的中點(diǎn)D（－1.5t，4），即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)固定不變，∴D點(diǎn)一定在直線y=4上．點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．由三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，此類題目為中考的熱點(diǎn)考題之一，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．9．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在斜邊AC上，三角板的兩直角邊分別交直線AB、BC于E、F兩點(diǎn)．（1）如圖①，若O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上．①當(dāng)△OFC是等腰直角三角形時(shí)，∠FOC=；②求證：OE=OF；（2）如圖②，若AO：AC=1：4時(shí)，OE和OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】（1）①90°或45°②證明見解析（2）OF=3OE【詳解】試題分析：（1）①分和兩種情況，分別寫出的度數(shù)即可.②連接OB，證明≌即可證明.（2）作于M，于N．首先證明得到再證明得到試題解析：（1）①當(dāng)∴當(dāng)時(shí)，

故答案為：90°或45°．②證明：如圖①中，連接OB．∵∴∴∴∴≌∴（2）結(jié)論：．理由如下：作于M，于N．∵∴ON∥BC，∴∵∴∴∴∴∴∵∴∵∴∴點(diǎn)睛：兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.10．如圖1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段AD延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為一邊，在CP的左側(cè)作矩形CPFE．（1）若DP＝，①如圖1，當(dāng)矩形CPFE的頂點(diǎn)F恰好落在CD的延長(zhǎng)線上，求PF的長(zhǎng)；②如圖2，求證：點(diǎn)A一定在矩形CPFE的邊CE所在的直線上；③如圖3，連接EP，易知EP中點(diǎn)O在CP的垂直平分線上，設(shè)CP的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BO，求5BO＋3OG的最小值；（2）如圖4，若所作矩形CPFE始終保持CE＝CP，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使CH＝2，連接HF，試探究點(diǎn)P移動(dòng)過程中，HF是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出HF的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①；②見解析；③；（2）存在，最小值為【分析】（1）①利用相似三角形的性質(zhì)求出DF即可解決問題．②如圖2中，連接AC．利用相似三角形的性質(zhì)證明∠ACP＝90°，推出E，A，C共線即可解決問題．③如圖3中，作射線GP，連接BP，過點(diǎn)O作OH⊥GP于H，過點(diǎn)B作B⊥GP于J，設(shè)PC交OG于K．證明OH＝OG，推出5BO＋3OG＝5（OB＋OG）＝5（OB＋OH），OB＋OH≥BJ，求出BJ即可解決問題．（2）如圖4中，連接AF，CF，過點(diǎn)H作HJ⊥AF于J，交AP于K，過點(diǎn)K作KP⊥BC于P．利用相似三角形的性質(zhì)證明∠CAF＝90°，推出點(diǎn)F在直線AF上運(yùn)動(dòng)，求出HJ，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠ADC＝∠CDP＝90°，∵四邊形CEFP是矩形，∴∠CPF＝90°，∴∠DCP＋∠CPD＝90°，∠CPD＋∠DPE＝90°，∴∠DCP＝∠DPF，∵∠CDP＝∠PDF＝90°，∴△CDP∽△PDF，∴＝，∴＝，∴DF＝，∴PF＝＝＝．②如圖2中，連接AC．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∠ADC＝∠CDP＝90°，∴PD＝，∴CD2＝AD?DP，∴＝，∵∠ADC＝∠CDP，∴△ADC∽△CDP，∴∠ACD＝∠DPC，∵∠DCP＋∠CPD＝90°，∴∠ACD＋∠DCP＝90°，∵∠ECP＝90°，∴C，A，E共線，∴點(diǎn)A一定在矩形CPFE的邊CE所在的直線上．③如圖3中，作射線GP，連接BP，過點(diǎn)O作OH⊥GP于H，過點(diǎn)B作B⊥GP于J，設(shè)PC交OG于K．在Rt△CDP中，PC＝＝＝，∵OG垂直平分線段PC，∴CK＝PC＝，GC＝GP，∵∠DCP＋∠GCK＝90°，∠GCK＋∠CGK＝90°，∴∠DCP＝∠CGK，∵∠CKG＝∠CDP＝90°，∴△CDP∽△GKC，∴＝，∴＝，∴CG＝PG＝，∵S△PBG＝×（4＋）×3＝××BJ，∴BJ＝，∵∠ECK＝∠CKG＝90°，∴EC∥OG，∴∠ACB＝∠OGC＝∠OGH，∴tan∠ACB＝tan∠OGH＝，∴sin∠OGH＝＝，∴OH＝OG，∵5BO＋3OG＝5（OB＋OG）＝5（OB＋OH），OB＋OH≥BJ，∴5OB＋3OG≥，∴5OB＋3OG的最小值為．（2）如圖4中，連接AF，CF，過點(diǎn)H作HJ⊥AF于J，交AP于K，過點(diǎn)K作KP⊥BC于P．∵＝＝，∴＝，∵∠ADC＝∠FPC＝90°，∴△ADC∽△FPC，∴∠CAD＝∠CFP，∴A，C，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠FAP＋∠CPF＝180°，∵∠CPF＝90°，∴∠CAF＝90°，∴點(diǎn)F在直線AF上運(yùn)動(dòng)，∵CA⊥AF，HJ⊥AF，∴CA∥KH，∵AK∥CH，∴四邊形AKHC是平行四邊形，∴AK＝CH＝2，∵∠AKJ＝∠CHJ＝∠BCA，∴tan∠AKJ＝tan∠PHK＝，∴cos∠AKJ＝＝，∴JK＝，∵sin∠KHP＝＝，KP＝AB＝3，∴KH＝5，∴HJ＝KH＋JK＝5＋＝，∵HF≥BJ，∴HF≥，∴FH的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．11．實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后把紙片展平．第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，再把紙片展平．

問題解決：（1）如圖1，填空：四邊形的形狀是_____________________；（2）如圖2，線段與是否相等？若相等，請(qǐng)給出證明；若不等，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，若，求的值．【答案】（1）正方形；（2），見解析；（3）【分析】（1）有一組鄰邊相等且一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形；（2）連接，由（1）問的結(jié)論可知，，又因?yàn)榫匦渭埰剡^點(diǎn)E的直線折疊，可知折疊前后對(duì)應(yīng)角以及對(duì)應(yīng)邊相等，有，，，可以證明和全等，得到，從而有；（3）由，有；由折疊知，，可以計(jì)算出；用勾股定理計(jì)算出DF的長(zhǎng)度，再證明得出等量關(guān)系，從而得到的值．【詳解】（1）解：∵ABCD是平行四邊形，∴，∴四邊形是平行四邊形∵矩形紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處∴∴∵∴四邊形的形狀是正方形故最后答案為：四邊形的形狀是正方形；（2）理由如下：如圖，連接，由（1）知：∵四邊形是矩形，∴由折疊知：∴又，∴∴∴（3）∵，∴由折疊知：，∴∵∴設(shè)，則在中，由勾股定理得：解得：，即如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則∴∴∴∵，∴∴【點(diǎn)睛】（1）本問主要考查了正方形的定義，即有一組鄰邊相等且一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形，其中明確折疊前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵；（2）本問利用了正方形的性質(zhì)以及折疊前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等來證明三角形全等，再根據(jù)角相等則邊相等即可做題，其中知道角相等則邊相等的思想是解題的關(guān)鍵；（3）本問考查了全等三角形、相似三角形的性質(zhì)、角相等則正切值相等以及勾股定理的應(yīng)用，其中知道三角形相似則對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．12．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．【答案】（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長(zhǎng)度，即可求出BE的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．（1）當(dāng)矩形EFPQ為正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；（2）設(shè)EF＝x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BC勻速向右運(yùn)動(dòng)（當(dāng)矩形的頂點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)矩形EFPQ為正方形時(shí)，邊長(zhǎng)為；（2）當(dāng)x=時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5；（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，S=5-2t2；當(dāng)＜t＜2.5時(shí)，S＝-2t；當(dāng)2.5≤t≤3時(shí)，S＝2t2-12t+18【詳解】分析：（1）由條件可得，即，計(jì)算即可.（2）可利用用x表示出EH．表示出矩形EFPQ的面積，利用二次函數(shù)可求得其最大值；（3）分0≤t≤，，2.5≤t≤3三種情況進(jìn)行討論即可.詳解：(1)∵四邊形EFPQ為矩形，∴EF∥BC，，即，解得∴當(dāng)矩形EFPQ為正方形時(shí)，邊長(zhǎng)為.即當(dāng)x為時(shí)，矩形EFPQ為正方形；（2）∵∠B=45°，∴，∴∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，∴，即，∴，已知EF=x，則EH=．∵∠B=45°，∴=4﹣．S矩形EFPQ∴當(dāng)x=時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．（3）如圖①，當(dāng)0≤t≤時(shí)

設(shè)EF交AC于M點(diǎn)，F(xiàn)P交AC于N點(diǎn)，∵△MNF∽△CAD，∴，即，∴FN=4t，∴S=5-t·4t，

=5-2t2如圖②，當(dāng)時(shí)設(shè)EF交AC于M點(diǎn)，過C作CN⊥EF于N點(diǎn)，∵△CNM∽△ADC∴，即，∴MN=，∴FN=t-，∴S=5-（t-+t），=-2t，如圖③，當(dāng)2.5≤t≤3時(shí)設(shè)EQ交AC于N點(diǎn)，∵△CQN∽△CDA∴，即，∴NQ=12-4t，∴S=(3-t)(12-4t)=2t2-12t+18點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意分類討論思想的應(yīng)用．14．如圖1，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m?1，將它沿EF折疊(點(diǎn)E.

F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，連接EP.設(shè)，其中0<n?1.(1)如圖2，當(dāng)n=1(即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；(2)如圖3，當(dāng)(M為AD的中點(diǎn))，m的值發(fā)生變化時(shí)，求證：EP=AE+DP；(3)如圖1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，n的值發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?說明理由.【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；(3)值不變，理由見解析.【詳解】試題分析：（1）由條件可知，當(dāng)n=1（即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合），m=2時(shí)，AB=2AD，設(shè)AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論.（2）延長(zhǎng)PM交EA延長(zhǎng)線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.（3）如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．∵FN=FC，∴AE=FC．∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF."∴BE="DF."∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.∴BE=2AD-AD=.∴.（2）如圖3，延長(zhǎng)PM交EA延長(zhǎng)線于G，∴∠GAM=90°．∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不變，理由如下：如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，F(xiàn)C=KB.∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.∴即.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.∴的值不變．考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì)．15．如圖1，點(diǎn)M放在正方形ABCD的對(duì)角線AC(不與點(diǎn)A重合)上滑動(dòng)，連結(jié)DM，做MN⊥DM,交直線AB于N．(1)求證：DM=MN；(2)若將(1)中的正方形變?yōu)榫匦危溆鄺l件不變?nèi)鐖D，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，當(dāng)M滑動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3)，請(qǐng)你直接寫出MD：MN的比值．

【答案】（1）見解析；（2）：；（3）：.【分析】（1）過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根據(jù)ASA即可判定△MDP≌△MNQ，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DM=MN；（2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，根據(jù)∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根據(jù)△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；（3）過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根據(jù)CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．【詳解】證明：過M作于于P，則，，，是正方形，平分，，在和中，，≌，；過M作于于W，則，，，又，∽MNS，：：：WA，，，∽，又，：：：；：，理由：過M作于于R，則易得∽，：：：MX，由，易得∽，：：AD，又，：：．【點(diǎn)睛】相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，運(yùn)用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可．16．如圖，正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果______；將圖中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖，求HD：GC：EB；把圖中的正方形都換成矩形，如圖，且已知DA：：，求此時(shí)HD：GC：EB的值簡(jiǎn)要寫出過程．【答案】（1）1：：1；（2）1：：1；（3）有變化；：：1．【詳解】分析：延長(zhǎng)HG交BC于F，由正方形AEGH和正方形ABCD，易證得，可得是等腰直角三角形，即可求得HD：GC：EB的值；連接AG、AC，由和都是等腰直角三角形，易證得∽與≌，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值；由DA：：：1，易證得∽，∽，∽，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．詳解：如圖，延長(zhǎng)HG交BC于F，四邊形AEGH和ABCD都是正方形，，，，，即，，四邊形GEBF是矩形，，同理可得，，是等腰直角三角形，：GC：：：1；故答案為1：：1；連接AG、AC，和都是等腰直角三角形，：：：，，，∽，：：：，，，在和中，，≌，，：G